北京市北京大学附属中学行知/未名学院2025-2026学年第二学期高一年级期末考试数学试卷

2025一2026学年第二学期行知/未名学院高一年级期末考试 数学试卷 考 1.考生要认真填写考场号和座位序号。 生 2. 本试卷共4页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选 择题，共110分。 须 3. 试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必 须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 知 4. 考试结束后，考生应将答题卡放在桌面上，待监考员收回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项。 (1)复数z=m2-1+(m+1)i是纯虚数，则实数m= (A)0 (B)-1 (C)1 (D)+1 (②)下列函数中，周期为π且在区间(，心上单调递增的是 (A)y=sinx (B)y=sin2x 1 (c)y=cosx (D)y=tanx (3)在正方形ABCD中，E是DC边的中点，设AB=4,AD=b,则BE等于 (A)La+b (B)-1a+b 2 2 e)a+0 0a- (4)已知非零向量a,b满足☑=2，b=1,且(a+b)Lb,则a与b的夹角是 a君 (B) 3 e月 (D) 2π 3 (5)窗花是中国古老的传统民间艺术之一.如图 1所示的窗花由外围四个大小相等的半圆和 中间正方形所构成.己知正方形ABCD的 边长为2，中心为O,四个半圆的圆心均在 正方形ABCD各边的中点（如图2），若点 图1 图2 数学第1页（共6页） P在四个半圆的圆弧上运动，则AB.OP的取值范围是 (A)[-4,4] (B)[-2,2] (C)[-22,2W2] (D)[-32,3W2] (6)已知函数fw)=2sin(3x-乃， 将f(x)的图象向右平移(>0)个单位得到g(x)的图 4 象，若f()的图象的对称中心落在g(x)图象的对称轴上，则m的值可以是 员 (B) 6 e8 D, (7)在△4BC中，若AB.BC=AC.CB,则△ABC的形状描述最符合的是 (A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等边三角形 (8)已知函数fy)=1-cosx 则y=f(x)的图象的对称中心可以是 sin x (A)(π，0) B)旺0 c)昏0) D)0) (9)已知a,b是非零向量，“(a-b)Lb”是“对于任意的1eR,都有-≤a-l成立”的 (A)充分不必要条件 (B)既不充分也不必要条件 (C)充分必要条件 (D)必要不充分条件 (10)己知函数f)=sinx 给出下列四个命题： ①f(x)的图象关于y轴对称： ②对任意与e0孕，当马<%时，)<f,)成立： ③对任意M>0,存在N>0,使得当x>N时，f(x<M成立： ④存在M>0,使得对任意x≠0，f(x)<M恒成立. 其中正确的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 数学第2页（共6页） 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 (11)若复数=满足=(1+)=2，则z=」 (12)在△ABC中，b=10,A= Γ6 ①若a=5,则角B的大小为： ②若符合条件的△ABC有两个，则a的取值范围是 (13)如图所示，海岸上有一个竖直向上的灯塔，塔顶为P点，塔底为H点.现有两个小 P 岛A,B,且A,H,B三点在同一水平面内，为确认两个小岛 A,B之间的距离，在小岛A,B处分别可以测得灯塔的仰角 ∠HAP和∠HBP,在灯塔的塔底H处可以测得∠AHB.已知 A 灯塔高度HP=20(单位：米)，tam∠HAP= 30 B tm∠DP=0,乙AHD=60°，则4B的距离为 米 (14)已知函数f(x)=sin(x+p)+cos2x,其中0，p是常数. ①若0=1，p=0,则f(x)的最大值是： ②若o=2且f(x)的最大值是2，则p的一个取值为一 (15)如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD,AD=CD=AB=2,M为BC中点.点P 是平面上的动点，且AP=xAB+yAD 给出下列结论： ①若动点P在线段BC上运动，则AP.AB的最小值是8： ②若动点P满足AP=1,则P2.PG的最小值是7-2√6： 数学第3页（共6页） ③若动点P满足PM.PB=PM.PC,则AP的最小值是√2： @若动点2在直角梯形A8cD上及内部运动，则x+y的最大值是 其中所有正确结论的序号是 三、解答题。共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 (16)(本小题13分) 在平面直角坐标系xOy中，己知向量a=(2,-1),b=(-1,3). (I)求向量a与向量b的夹角： (Ⅱ)若向量c满足clla且c=√5，求c的坐标： (IⅢ)若向量a-b与M+b的夹角是钝角，求实数2的取值范围. (17)(本小题13分) 如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B, 且AD=-1,CD=3,cosB= 3 (I)求△ACD的面积： (Ⅱ)若BC=2W3,求AB的长. (18)(本小题14分) 1 已知函数f(x)=V3 sinx cosx+cos2x-2sin2x+ (I)求函数f(x)的单调递减区间： (Ⅱ)若存在∈[0，]，使得不等式f)st成立，求实数t的取值范围： (I)求不等式f)≥(-)的解集 数学第4页（共6页） (19)(本小题15分) 在△ABc中，asinA-csinC=b(sinB-sinC),D是边Ac上的一点. (I)求∠A: (Ⅱ)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且 唯一，求△ABC的面积. 条件O:cosC=13 4 AD=1 BD=7; 条件②：cosC= 14?cos∠DBC=4 7,CD=2. 条件③：D是AC中点，AB=3,BD=√万 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解 答，按第一个解答计分 (20)(本小题15分) 已知函数)=血伽血公>0p<孕在区间[否上是减函数， 2 且5（受=-1.从条件①、条件②、条件@这三个条件中选择一个作为已知，使函数f) 存在。 条件O:对任意x∈R,f)sf头恒成立： 条件②：f(受=f孕： 条件@：f停+r受=0 (I)求o,p的值： (Ⅱ)若函数f)在区间（任，m)内有最小值而无最大值，求实数m的取值范围。 (Ⅲ)若直线y=t(t>0)与函数f(x)的图象相交的连续三个点从左到右依次记为A,B,C, 且BC=3AB,直接写出实数t的值（不必说明理由）· 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分：如果选择多个符合要求的条件分 别解答，按第一个解答计分 数学第5页（共6页） (21)(本小题15分) 给定正整数n≥2，定义集合Sn={(化，x2,…,xn)川x∈{-1,1，i=1,2,…,川.对任意 1=(a,a,…,a),b=(,b,…,bn)∈Sn,定义a和b的内积为： n.b=4b+ab3+…+abn 若S,的非空子集A满足：对任意互不相同的a,b∈A,都有·b=0,则称A为 “Sn的Pn子集”. （)当n=4时，设41=(1,1,1,1)，%=(1,1,1，-1)，3=(1,1，-1，-1)， 44=(1,-1,1,-1),记集合4={4，%3,44}，A={4,4,44}. (i)分别判断A={a1,4,4}和A,={4,,4}是否为“S4的P4子集”，并说明理由； (ii)若集合A3是S4的D4子集，且A3的元素个数为4，当A二A时，求A3: (Ⅱ)当n=4k+2(keN)时，若A为Sn的Pn子集，证明：A中至多有两个元素 数学第6页（共6页）