6.6余角和补角 教案 2026-2027学年青岛版数学七年级上册

该初中数学教案聚焦余角和补角的概念与性质，通过观察三角板两个锐角和为90°引出互余，类比到互补，搭建从具体图形到数量关系的学习支架，梳理概念与性质的知识脉络。 以探究发现法和讲练结合法为主，借助三角板直观想象、性质探究培养逻辑推理、方程法提升数学运算，落实核心素养。如例2用方程解决补角是余角3倍的问题，培养模型意识，帮助学生深化理解，为教师提供清晰教学流程与易错指导。

课题 6.6 余角和补角 课型 新授课 课时 1课时 教材版本 青岛版数学七年级上册 教学方法 探究发现法、类比教学法、讲练结合法 教学用具 多媒体课件、三角板 一、核心素养目标 • 【数学抽象】理解余角、补角的概念，能从具体图形中抽象出两个角之间和为90°或180°的数量关系，发展数学抽象能力 • 【逻辑推理】通过探究发现同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等，经历猜想、验证、推理的过程，培养逻辑推理能力 • 【数学运算】能熟练求一个角的余角和补角，会用方程思想解决余角补角的相关计算问题，提高数学运算能力 • 【直观想象】借助三角板和几何图形，直观理解互余和互补的位置无关性，发展几何直观 二、教学重难点 教学重点：余角、补角的概念（和为90°互余，和为180°互补）；余角、补角的性质（同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等） 教学难点：运用余角、补角的性质进行几何推理和计算；方程思想在余角补角问题中的应用 三、教学过程 【情境导入：三角板中的余角】（4分钟） 【教师活动】同学们，请观察手中的一副三角板。每块三角板中两个锐角的和是多少？ 【学生活动】观察三角板并计算：第一块三角板，60°＋30°＝90°；第二块三角板，45°＋45°＝90°。 【教师活动】非常好！两块三角板中，两个锐角的和都等于90°。在数学中，我们把具有这种特殊数量关系的两个角叫做互为余角。除了和为90°的情况，还有和为180°的情况，叫做互为补角。今天我们就来学习余角和补角。 【教师活动】本节课的学习目标有两个：第一，理解余角、补角的概念，会求一个角的余角和补角；第二，掌握余角、补角的性质，会用余角、补角的性质进行简单的计算和推理。 【过渡语】首先，我们来正式学习余角和补角的定义。 【探究一：概括与表达——余角和补角的概念】（6分钟） 【教师活动】如果两个角的和为90°，就说这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫作另一个角的余角。请同学们注意三个关键词：“两个角”、“和为90°”、“互为”。 【教师活动】如图，∠1与∠2的和为90°，则∠1与∠2互为余角。也就是说，∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角。 【学生活动】理解记忆：互余是两个角之间的数量关系，条件是∠α＋∠β＝90°。 【教师活动】类似地，如果两个角的和为180°，就说这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫作另一个角的补角。 【教师活动】如图，∠1与∠2的和为180°，则∠1与∠2互为补角。也就是说，∠1是∠2的补角，∠2也是∠1的补角。 【学生活动】理解记忆：互补是两个角之间的数量关系，条件是∠α＋∠β＝180°。 【知识点】余角：两个角的和为90°，则这两个角互余。补角：两个角的和为180°，则这两个角互补。互余与互补都是两个角之间的数量关系，与角的位置无关。 理解要点：互余和互补都是针对“两个角”而言的，不是三个角或更多角。互余的条件是两角之和为90°，互补的条件是两角之和为180°。“互为”说明关系是相互的。 【过渡语】掌握了余角和补角的概念，下面我们来思考一个问题：所有的角都有余角或补角吗？ 【探究二：思考与交流——余角和补角的性质】（8分钟） 【教师活动】想一想：所有的角都有余角或补角吗？请同学们讨论一下。 【学生活动】讨论：钝角（大于90°）没有余角，因为余角要求两角之和为90°，钝角本身就大于90°了。直角（90°）也没有余角，因为90°的余角是0°，0°不是角。但任何角都有补角，因为180°减去任何角都得到一个正角。 【教师活动】分析得很好！互余的两个角均为锐角。钝角没有余角，直角也没有余角。但锐角、直角、钝角都有补角。 【教师活动】接下来，我们来探究余角和补角的重要性质。如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，请指出图中互余的角。图中除直角外还有相等的角吗？ 【学生活动】观察图形：∠BOC与∠COD互余（∠BOC＋∠COD＝∠BOD＝90°），∠AOD与∠COD互余（∠AOD＋∠COD＝∠AOC＝90°）。∠AOD与∠BOC都等于90°－∠COD，所以∠AOD＝∠BOC。 【教师活动】非常棒！我们发现了：∠AOD和∠BOC都与∠COD互余，且∠AOD＝∠BOC。这说明了什么？ 【学生活动】归纳：同角的余角相等。因为∠AOD和∠BOC都是∠COD的余角，所以它们相等。 【教师活动】更一般地，如果∠1＝∠2，∠1与∠3互余，∠2与∠4互余，那么∠3与∠4有什么关系？为什么？ 【学生活动】推理：由∠1与∠3互余，得∠3＝90°－∠1；由∠2与∠4互余，得∠4＝90°－∠2。因为∠1＝∠2，所以∠3＝∠4。即等角的余角相等。 【教师活动】如果把上面的互余改成互补，结论仍然成立吗？为什么？ 【学生活动】推理：由∠1与∠3互补，可得∠1＋∠3＝180°，因此∠3＝180°－∠1。类似地，可知∠4＝180°－∠2。由于∠1＝∠2，所以∠3＝∠4。即等角的补角相等。 【知识点】余角和补角的性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。符号语言：∵∠1与∠2互余(补)，∠1与∠3互余(补)，∴∠2＝∠3。或：∵∠1与∠2互余(补)，∠3与∠4互余(补)，∠1＝∠3，∴∠2＝∠4。 易错提示：互余和互补是“两个角”之间的关系，不能用于三个或更多角。例如，∠1＋∠2＋∠3＝180°，不能说∠1、∠2、∠3互为补角！另外，两个锐角互余，两个锐角之和不能小于45°（否则每个角都小于45°，它们的和才小于90°）。 【过渡语】余角和补角的性质是我们进行几何推理和计算的重要工具。下面我们通过例题来应用这些知识。 【例题精讲一：例1 求余角和补角】（5分钟） 【教师活动】例1 求下列各角的余角和补角：(1) 15°；(2) 53°；(3) 46°30′。请同学们根据余角和补角的定义来计算。 【学生活动】计算：(1) 余角：90°－15°＝75°，补角：180°－15°＝165°。 【教师活动】解：(1)余角：90°－15°＝75°，补角：180°－15°＝165°。 【学生活动】(2) 余角：90°－53°＝37°，补角：180°－53°＝127°。 【教师活动】解：(2)余角：90°－53°＝37°，补角：180°－53°＝127°。 【学生活动】(3) 余角：90°－46°30′＝89°60′－46°30'＝43°30′，补角：180°－46°30′＝179°60′－46°30′＝133°30′。 【教师活动】解：(3)余角：90°－46°30′＝43°30′，补角：180°－46°30′＝133°30′。注意：带度分秒的减法要借位，借1°得60′。 【教师活动】观察这三组结果，你有什么发现？ 【学生活动】发现：锐角的补角比它的余角大90°。验证：165°－75°＝90°，127°－37°＝90°，133°30'－43°30'＝90°。 【知识点】求余角：90°－已知角；求补角：180°－已知角。锐角的补角比它的余角大90°。原因：(180°－α)－(90°－α)＝90°。 判断技巧：锐角的补角比它的余角大90°。用代数式表示：(180°－α)－(90°－α)＝90°。这个结论可以用于快速检验计算结果是否正确。 【过渡语】求余角和补角的基本运算掌握了，下面我们来看如何用方程思想解决余角补角的综合问题。 【例题精讲二：例2 方程法求角度】（5分钟） 【教师活动】例2 一个角的补角是它的余角的3倍，求这个角的度数。请同学们思考：题中有哪些关键信息？ 【学生活动】分析：设这个角是x°，那么它的补角是(180－x)°，余角是(90－x)°。补角＝3×余角，即180－x＝3(90－x)。 【教师活动】解：设这个角是x°，那么它的补角是(180－x)°，余角是(90－x)°。由题意，得180－x＝3(90－x)。解方程：180－x＝270－3x，2x＝90，x＝45。所以，这个角是45°。 【学生活动】验证：45°的余角是45°，补角是135°，135°确实等于3×45°。答案正确！ 【知识点】在解决余角、补角的关系等问题时，常设出未知数，利用方程解答。基本步骤：设未知数→用未知数表示余角和补角→根据数量关系列方程→解方程→验证。 解题技巧：涉及余角补角关系的方程问题，关键是把余角表示为(90°－x)，补角表示为(180°－x)，然后根据题目中的数量关系列方程。方程法也是解决这类问题最规范的方法。 【过渡语】方程法是解决余角补角问题的常用方法。下面我们来看一道综合几何推理题，它既用到余角补角的性质，又用到角的运算。 【例题精讲三：例3 综合几何推理】（5分钟） 【教师活动】例3 如图，O是直线AB上的一点，∠AOC＝∠DOE＝90°，指出图中与∠COD互余的角、互补的角和相等的角。 【学生活动】分析：因为∠AOC＝∠COD＋∠AOD＝90°，所以∠AOD与∠COD互余。又因为∠DOE＝∠COD＋∠COE＝90°，所以∠COE也与∠COD互余。 【教师活动】解：(1)因为∠AOC＝∠COD＋∠AOD＝90°，∠DOE＝∠COD＋∠COE＝90°，即∠AOD和∠COE都与∠COD互余，所以根据同角的余角相等，得∠AOD＝∠COE。同理可得出∠BOE＝∠COD。 【教师活动】因为∠BOE＋∠AOE＝180°，所以∠BOE与∠AOE互补。因为∠BOE＝∠COD，所以∠COD与∠AOE互补。即∠COD＋∠AOE＝180°。 【学生活动】总结：与∠COD互余的角：∠AOD、∠COE。与∠COD互补的角：∠AOE。与∠COD相等的角：∠BOE。此外，∠AOD＝∠COE（同角的余角相等）。 【知识点】在几何图形中运用余角补角性质：先找互余/互补关系，再运用“同角或等角的余角（补角）相等”得出相等关系，进而解决更多的问题。 重点强调：在几何推理中，余角补角的性质是证明角相等的重要依据。关键步骤：①找到互余（或互补）关系；②找到共同角（或等角）；③运用性质得出结论。注意：互余和互补是数量关系，与位置无关，但在图形中往往通过位置关系来发现数量关系。 【过渡语】三道例题分别从基本计算、方程法和几何推理三个角度展示了余角补角的应用。下面我们来总结互余和互补的规律。 【规律总结：互余互补的深度理解】（3分钟） 【教师活动】通过前面的学习，我们对互余和互补有了更深入的理解。请大家总结一下互余和互补的规律。 【学生活动】总结：(1)互余与互补是两个角之间的数量关系，只与两个角的度数有关，与角的位置无关。(2)若两个以上的角的和为90°或180°，则它们不能称为互余或互补。(3)互余的两个角均为锐角，但不能同时小于45°。(4)在某个图形中，一个角可能没有余(补)角，也可能有一个或多个余(补)角。(5)在解决余角、补角的关系等问题时，常设出未知数，利用方程解答。 【知识点】互余互补五条规律：(1)只与数量有关，与位置无关；(2)仅限两个角；(3)互余两角均为锐角且不能同时小于45°；(4)一个角可能有0个或多个余(补)角；(5)方程法是解决余角补角关系问题的常用方法。 易错提示：最容易犯的错误是：(1)把三个角相加等于90°或180°说成互余或互补；(2)认为钝角有补角就一定有锐角与之互补，但钝角本身大于90°，它的补角是锐角，不能反过来认为钝角是锐角的补角（这是对的，钝角是锐角的补角）——注意：钝角确实有补角，且它的补角一定是锐角。 【过渡语】规律总结完了，下面我们通过几道练习来巩固今天所学的知识。 【课堂练习：巩固与应用】（10分钟） 【教师活动】练习1 判断下列说法的正误：(1)两个锐角能互补；(2)两个钝角能互补；(3)如果两个角互补，其中一定有一个角是钝角，另一个角是锐角；(4)如果∠1＋∠2＋∠3＝180°，那么∠1、∠2、∠3互为补角。 【学生活动】判断：(1)错误，两个锐角之和小于180°，不能互补；(2)错误，两个钝角之和大于180°，不能互补；(3)错误，可能两个都是直角（90°＋90°＝180°）；(4)错误，互余互补只针对两个角。 【教师活动】练习2 下列图形中，互为补角的是________，互为余角的是________。（答案：①和③互为补角，①和④互为余角） 【教师活动】练习3 两个角互余，那么它们一定是( ) A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不能确定 【学生活动】选择A。互余的两个角之和为90°，所以每个角都小于90°，都是锐角。 【教师活动】练习4 一个锐角的补角一定是( ) A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不能确定 【学生活动】选择B。锐角小于90°，它的补角＝180°－锐角＞90°，所以是钝角。 【教师活动】练习5 若一个角的补角比它的余角的6倍还多40°，求这个角的大小。请同学们用方程法来解。 【学生活动】解：设这个角是x°，则它的余角为(90－x)°，补角为(180－x)°。根据题意，得180－x＝6(90－x)＋40。解这个方程：180－x＝540－6x＋40，180－x＝580－6x，5x＝400，x＝80。答：这个角是80°。 【教师活动】练习6 如图，∠ACB＝90°，∠BDC＝90°。(1)填空：∵∠A＋∠B＝90°，∴∠A与∠B____。∵∠A＋∠2＝90°，∴∠A与∠2____。∴_____＝_____（同角的余角相等）。 【学生活动】填空：互余；互余；∠B＝∠2。 【教师活动】(2)图中一共有几对互余的角？是哪几对？ 【学生活动】共有4对互余的角，分别为∠A与∠B，∠A与∠2，∠1与∠B，∠1与∠2。 【教师活动】(3)图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？ 【学生活动】∠A＝∠1（同角的余角相等），∠B＝∠2（同角的余角相等）。 【知识点】通过练习，复习了互余互补的概念判断、性质应用和方程法解题。关键要区分：互余→90°，互补→180°，都只针对两个角。 重点强调：用方程法解决余角补角问题时，关键步骤是：设未知数→用(90°－x)表示余角，用(180°－x)表示补角→根据题目条件列方程→解方程→检验。注意单位统一，带度分秒的角要先化为度再计算。 【过渡语】练习做完了，同学们今天的学习非常认真。下面我们来回顾本节课的知识框架。 【课堂小结：知识框架梳理】（4分钟） 【教师活动】本节课我们学习了余角和补角，谁能总结一下我们学到了什么？ 【学生活动】回顾总结：学会了余角（和为90°）和补角（和为180°）的概念；掌握了余角和补角的性质（同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等）；学会了求一个角的余角和补角，以及用方程法解决余角补角的关系问题。 【教师活动】总结得非常全面！我们一起来梳理：本节课围绕“余角和补角”，从概念、性质、应用三个方面展开。概念方面：互余（和为90°）、互补（和为180°），是数量关系，与位置无关。性质方面：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。应用方面：求余角补角（90°－α，180°－α）、方程法、几何推理。 【教师活动】特别提醒：互余和互补只针对两个角，不能用于三个或更多角！锐角的补角比它的余角大90°。钝角有补角但没有余角。这些易错点请大家务必注意！ 【知识点】本节课核心知识框架：1.概念——余角（和为90°），补角（和为180°）；2.性质——同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等；3.规律——互余两角均为锐角，补角比余角大90°；4.方法——方程法（设未知数，列方程）是解决余角补角关系问题的常用方法。 重点强调：余角和补角的核心是“同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等”。这是几何推理中证明角相等的重要依据。记住：互余→90°，互补→180°，只针对两个角，与位置无关，只与数量有关！ 四、板书设计 五、教学反思 1. 本节课学生哪些地方容易出错？ 2. 哪些学生需要特别关注？ 3. 教学时间分配是否合理？ 4. 实验/探究环节是否达到预期效果？ 5. 有哪些生成性问题？如何处理？ 6. 下节课如何改进？ 学科网（北京）股份有限公司 $