5.4课时4 营销问题与本息问题 教案 2026-2027学年青岛版数学七年级上册

该教案聚焦用一元一次方程解决营销与本息问题，通过商场打折、银行存款等生活情境导入，引导学生抽象数量关系，衔接前后知识，搭建从实际问题到数学模型的学习支架。 此资料融合数学抽象、逻辑推理与数学建模核心素养，采用情境教学与讲练结合法，如销售问题梳理四大基本关系、例题用两种方式表示售价建立等量关系，培养学生建模意识与方程思想。助力学生提升实际问题解决能力，为教师提供清晰教学路径与丰富实例，提升课堂效率。

课题 5.4 营销问题与本息问题（第4课时） 课型 新授课 课时 1课时 教材版本 青岛版数学七年级上册 教学方法 情境教学法、讲练结合法、探究发现法、启发式教学法 教学用具 多媒体课件、投影 一、核心素养目标 • 【数学抽象】通过分析实际生活中的打折销售和银行储蓄问题，抽象出营销和本息问题中的数量关系，发展数学建模意识 • 【逻辑推理】通过分析利润、售价、成本、折扣率以及本金、利息、利率之间的等量关系，培养逻辑推理和方程思想 • 【数学运算】能熟练运用一元一次方程解决打折销售问题和银行存款问题，提高列方程和解方程的能力 • 【数学建模】能将实际营销问题和银行储蓄问题转化为数学模型，体会数学在实际生活中的应用价值 二、教学重难点 教学重点：利用一元一次方程解决打折销售问题；利用一元一次方程解决银行存款本息问题 教学难点：正确分析销售问题中进价、售价、标价、利润、利润率、折扣数之间的等量关系；正确分析本息问题中本金、利率、利息、期数之间的等量关系 三、教学过程 【情境导入：生活中的营销与储蓄】（3分钟） 【教师活动】同学们，在我们的日常生活中，经常会遇到这样的场景：商场促销时，商品打八折、打九折，这些'打折'究竟是什么意思？我们去银行存款，银行会给我们利息，利息又是怎么计算的呢？ 【学生活动】思考并回答：打折就是按原价的一定比例出售；存款利息就是银行给储户的报酬。 【教师活动】很好！今天我们就来学习用一元一次方程解决两类实际问题：营销问题（打折销售问题）和本息问题（银行存款问题）。本节课的学习目标有两个：第一，通过实例理解售价、成本、利润、折扣率的真实含义和它们之间的关系，会用一元一次方程解决打折销售问题；第二，通过实例理解本金、利息、利率的真实含义和它们之间的关系，会用一元一次方程解决银行存款问题。 【知识点】本节课学习两类实际问题：营销问题（打折销售问题）和本息问题（银行存款问题），均用一元一次方程求解。 理解要点：营销问题关注的是买卖过程中的经济关系，本息问题关注的是银行储蓄中的利息计算。两类问题虽然场景不同，但解题思路一致：找出等量关系，设未知数，列方程，解方程，检验作答。 【过渡语】我们先来看销售问题中涉及哪些基本概念，它们之间又有怎样的关系。 【探究一：销售问题中的基本关系量】（5分钟） 【教师活动】在销售问题中，我们经常会遇到以下这些概念：进价（成本）、售价、标价、利润、利润率、折扣。请同学们想一想，这些概念分别是什么意思？ 【学生活动】思考并回答：进价就是商家进货的价格，也就是成本；售价是实际卖出去的价格；标价是商品标签上写的价格；利润是赚的钱，等于售价减去进价；折扣就是打折，比如八折就是按标价的80%出售。 【教师活动】同学们回答得很全面！我们把这些概念之间的关系整理成几个基本公式。 【教师活动】第一个基本关系：利润等于售价减去进价。用字母表示，如果设进价为a元，售价为b元，那么利润P = b - a。这是最基础的关系。 【学生活动】记录并理解：利润 = 售价 - 进价。 【教师活动】第二个基本关系：利润率等于利润除以进价再乘以100%。利润率 = 利润 / 进价 × 100%。这个公式告诉我们，利润率是利润相对于成本的比例。 【学生活动】记录并理解：利润率 = 利润 / 进价 × 100%。 【教师活动】第三个基本关系：由利润率的定义，我们可以推导出售价与进价的关系。售价 = 进价 × (1 + 利润率)。这个公式非常实用，直接把售价和进价联系起来。 【学生活动】推导并理解：利润 = 进价 × 利润率，所以售价 = 进价 + 进价 × 利润率 = 进价 × (1 + 利润率)。 【教师活动】第四个基本关系：售价等于标价乘以折扣数。比如标价100元的商品打八折，售价就是100 × 80% = 80元。注意，折扣数通常用百分数表示，八折就是80%，七五折就是75%。 【学生活动】记录并理解：售价 = 标价 × 折扣数。 【知识点】销售问题中的四大基本关系：(1) 利润 = 售价 - 进价；(2) 利润率 = 利润 / 进价 × 100%；(3) 售价 = 进价 × (1 + 利润率)；(4) 售价 = 标价 × 折扣数。 易错提示：注意区分'标价'和'售价'：标价是标签上写的价格，售价是实际成交的价格。打折是在标价基础上打折，而不是在进价基础上打折！另外，折扣数如'八折'表示80%，'七五折'表示75%，不要跟百分数混淆。 重点强调：这四个公式是解决营销问题的核心工具，必须熟练掌握。其中，公式(3) 售价 = 进价 × (1 + 利润率) 和公式(4) 售价 = 标价 × 折扣数 是最常用的两个等量关系。 【过渡语】掌握了这四个基本关系，我们就可以用一元一次方程来解决打折销售问题了。下面我们来看一道例题。 【探究二：例题精讲——打折销售问题】（6分钟） 【教师活动】例1 商店将某种商品按标价的九折出售，该商品的利润率是15%。已知这种商品每件的进价为1800元，求每件商品的标价。 【教师活动】请同学们先仔细读题，找出题目中的已知条件和未知量。 【学生活动】读题并分析：已知进价为1800元，按标价的九折出售（即折扣数为90%），利润率为15%。未知量是标价。 【教师活动】很好！我们设每件商品的标价为x元。那么，售价应该是多少？ 【学生活动】回答：售价 = 标价 × 折扣数 = 90%x = 0.9x。 【教师活动】正确！那么根据利润率，售价还可以怎么表示？ 【学生活动】回答：售价 = 进价 × (1 + 利润率) = 1800 × (1 + 15%) = 1800 × 1.15。 【教师活动】非常好！这两个式子都表示售价，它们应该是相等的。这就是本题的等量关系。你能否列出方程？ 【学生活动】回答：列方程 90%x = 1800 × (1 + 15%)，即 0.9x = 1800 × 1.15。 【教师活动】我们也可以写成另一种形式：利润 = 售价 - 进价，即 90%x - 1800 = 1800 × 15%。这两种形式本质上是一样的，只是等量关系选取的角度不同。解这个方程，得 x = 2300。 【教师活动】所以，每件商品的标价为2300元。我们来验算一下：标价2300元，九折出售，售价为2300 × 90% = 2070元。进价1800元，利润为2070 - 1800 = 270元。利润率为270 ÷ 1800 = 15%，与题目条件一致，答案正确。 【知识点】解决打折销售问题的步骤：①审题，明确进价、标价、折扣数、利润率；②设未知数（通常设标价或进价为x）；③找等量关系（售价的两种表达方式相等）；④列方程；⑤解方程；⑥检验并作答。 判断技巧：解决营销问题时，如果题目同时给出了利润率和折扣数，等量关系通常是用两种方式表示售价，建立方程：标价 × 折扣数 = 进价 × (1 + 利润率)。 【过渡语】打折销售问题我们解决了。接下来，我们来看另一种常见的实际问题——银行储蓄中的本息问题。 【探究三：银行储蓄问题中的基本关系】（3分钟） 【教师活动】在银行储蓄问题中，我们会遇到这样几个概念：本金、利息、利率、期数、本息和。请同学们结合自己的生活经验，说说对这些概念的理解。 【学生活动】回答：本金就是存入银行的钱；利息是银行给储户的报酬；利率是利息占本金的比例；期数是存款的时间；本息和是本金加利息的总和。 【教师活动】非常好！我们把这些概念之间的关系整理成基本公式。利息 = 本金 × 利率 × 期数。注意，利率通常用百分数表示，如年利率1.75%表示每年利息为本金的1.75%。本息和 = 本金 + 利息 = 本金 + 本金 × 利率 × 期数 = 本金 × (1 + 利率 × 期数)。 【学生活动】记录并理解：利息 = 本金 × 利率 × 期数；本息和 = 本金 × (1 + 利率 × 期数)。 【教师活动】对于定期存款，到期后如果连本带利再转存，那么下一期的本金就变成了上一期的本息和，这就是'复利'的计算方式。例如，本金x元，年利率1.75%，存一年后本息和为x(1 + 1.75%)，再转存一年，第二年的利息就是x(1 + 1.75%) × 1.75%。 【学生活动】理解复利计算：第一年利息 = 本金 × 1.75%；第二年利息 = (本金 + 第一年利息) × 1.75%。 【知识点】银行储蓄问题的基本关系：(1) 利息 = 本金 × 利率 × 期数；(2) 本息和 = 本金 + 利息 = 本金 × (1 + 利率 × 期数)；(3) 转存时，下一期本金 = 上一期本息和。 理解要点：银行存款问题中，利率必须与期数对应。如年利率对应的是年数，月利率对应的是月数。题目中通常给出的是年利率，期数也是年。另外，转存（复利）时，本金会逐期增加，计算时要特别注意。 【过渡语】了解了银行储蓄的基本关系，我们来看一道关于银行存款的实际问题。 【探究四：例题精讲——本息问题】（6分钟） 【教师活动】例2 李大爷到银行去存储一笔现金，计划存储两年。经过咨询，李大爷可以用两种方式存储这笔现金：第一种是先存年利率为1.75%的一年定期，到期后连本带利再转存一年；第二种是直接存年利率为2.25%的二年定期。已知第二种方式比第一种可以多得利息775.5元，李大爷准备存储的这笔现金是多少元？ 【教师活动】这道题的条件比较多，请同学们先仔细读题，理清两种存储方式。 【学生活动】读题并分析：方式一——先存一年定期（利率1.75%），再转存一年（利率1.75%）；方式二——直接存二年定期（利率2.25%）。第二种方式比第一种多得利息775.5元。 【教师活动】很好！我们设这笔现金为x元。先计算方式一的利息：第一年所得利息为1.75%x元，第一年末本息和为x(1 + 1.75%)。第二年以这个本息和为本金再存一年，第二年所得利息为1.75% × (1 + 1.75%)x元。所以方式一的总利息为：1.75%x + 1.75% × (1 + 1.75%)x。 【学生活动】跟随教师的思路，理解方式一的利息计算过程。 【教师活动】再计算方式二的利息：直接存二年定期，年利率2.25%。利息 = 本金 × 利率 × 期数 = x × 2.25% × 2 = 2 × 2.25%x。 【教师活动】根据题意，方式二比方式一多得利息775.5元。所以等量关系是：方式二的利息 - 方式一的利息 = 775.5。我们可以列出方程。 【学生活动】尝试列方程：2 × 2.25%x - [1.75%x + 1.75% × (1 + 1.75%)x] = 775.5。 【教师活动】非常好！解这个方程，得 x = 80 000。所以，李大爷准备存储的这笔现金是80 000元。我们来验算一下：方式一总利息 = 1.75% × 80000 + 1.75% × 1.0175 × 80000 ≈ 1400 + 1424.5 = 2824.5元；方式二总利息 = 2 × 2.25% × 80000 = 3600元。3600 - 2824.5 = 775.5元，与题目条件一致。 【知识点】解决本息问题的关键步骤：①明确本金、利率、期数及存储方式；②分别计算每种方式的利息或本息和；③根据题意找到等量关系（如利息差、本息和差等）；④列方程并求解；⑤检验并作答。 易错提示：转存（复利）计算时，第二年的本金是'本金+第一年利息'，不是原来的本金。很多同学容易忽略这一点，直接用原本金计算第二年的利息，导致错误。一定要记住：转存后本金变了！ 【过渡语】通过两道例题，我们学习了如何用一元一次方程解决营销问题和本息问题。接下来，我们对解题方法进行归纳总结。 【归纳总结一：找等量关系的方法】（3分钟） 【教师活动】通过前面的学习，我们发现解决实际问题的关键在于：找等量关系和设未知数。下面我们先来总结找等量关系的方法。 【教师活动】找等量关系的方法有三种。第一种：根据各代数式之间的内在联系找等量关系。例如，在营销问题中，用两种方式表达同一个量（如售价），就可以建立方程。第二种：根据不变量找等量关系。例如，在销售问题中，进价是不变的，以此为纽带建立关系。第三种：借助于一些辅助手段找等量关系，如画线段图、列表等。 【学生活动】记录并理解三种找等量关系的方法：①根据代数式之间的内在联系；②根据不变量；③借助辅助手段（如图表）。 【教师活动】在例1中，我们用了第一种方法：售价 = 标价 × 折扣数，同时售价 = 进价 × (1 + 利润率)，两个表达式都表示售价，所以它们相等，这就建立了方程。在例2中，我们也是分别计算两种存储方式的利息，根据利息差建立方程。 【学生活动】理解并记忆：找等量关系的核心思路是'用两种方式表示同一个量'或'利用两个量之间的关系（相差、相等等）'。 【知识点】找等量关系的三种方法：(1) 根据各代数式之间的内在联系找；(2) 根据不变量找；(3) 借助于一些辅助手段找。 理解要点：找等量关系是列方程解应用题最关键的一步。用两种方式表示同一个量，是最常用的找等量关系的方法。在销售问题中，通常用两种方式表示售价；在银行问题中，通常根据利息之间的关系建立方程。 【过渡语】找等量关系的方法总结完了。接下来，我们总结设未知数的方法。 【归纳总结二：设未知数的方法】（2分钟） 【教师活动】设未知数的方法也有三种。第一种：直接设法——题目问什么，就设什么为未知数。它一般适用于要求的未知量只有一个的情况，如例1中直接设标价为x，例2中直接设这笔现金为x。第二种：间接设法——当直接设元列方程较繁琐或较困难时，可选取一个与所求的未知量密切相关的量为未知数，再通过这个未知数求出题目中要求的量。第三种：辅助设法——当题目中的数量关系较复杂或已知条件较少时，为了分析更方便、列方程更容易，在设出所求的未知数的同时，还需增设辅助未知数，解方程时不必求出，可在解题时自动消去，即'设而不求'。 【学生活动】记录并理解三种设未知数的方法：①直接设法——问什么设什么；②间接设法——设与所求量相关的量；③辅助设法——增设辅助未知数（设而不求）。 【教师活动】在今天的例题中，例1和例2都使用了直接设法。但在更复杂的问题中，间接设法往往能简化问题。同学们在解题时要灵活选择设未知数的方法。一般情况下，七年级的题目用直接设法即可解决。 【知识点】设未知数的三种方法：(1) 直接设法——问什么设什么；(2) 间接设法——设与所求量相关的量为未知数；(3) 辅助设法——增设辅助未知数，设而不求。 判断技巧：选择设未知数的方法时，优先考虑直接设法。只有当直接设法导致方程过于复杂或难以列出时，才考虑间接设法。一般情况下，七年级的题目用直接设法即可解决。 重点强调：无论用哪种方法设未知数和找等量关系，最终目标都是列出一个一元一次方程。方程列出后，解方程的过程是相同的，要确保每一步计算准确。 【过渡语】方法总结完了，下面我们通过课堂练习来检验一下同学们对本节课知识的掌握情况。 【课堂练习A组：基础过关】（7分钟） 【教师活动】下面我们来做几道基础练习题，检验同学们对营销问题和本息问题的掌握情况。 【教师活动】第1题：某商场促销，把原价2500元的空调以八折出售，仍可获利400元，则这款空调的进价为（　　）A.1375元 B.1500元 C.1600元 D.2000元 【教师活动】请同学们先独立思考，分析题意：原价2500元就是标价，八折出售，所以售价为2500 × 80% = 2000元。获利400元表示利润为400元。进价 = 售价 - 利润 = 2000 - 400 = 1600元。 【学生活动】计算：售价 = 2500 × 80% = 2000元，进价 = 2000 - 400 = 1600元。选C。 【教师活动】正确答案是C。这道题直接套用公式'利润 = 售价 - 进价'，已知售价和利润，求进价，一步即可完成。 【教师活动】第2题：某种商品进价为800元/件，标价为1200元/件，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则最多打（　　）A.6折 B.7折 C.8折 D.9折 【教师活动】这道题比第1题稍复杂一些。设打x折，则售价为1200 × x/10。要保证利润率不低于20%，即售价 ≥ 进价 × (1 + 20%) = 800 × 1.2 = 960。所以1200 × x/10 ≥ 960，解得x ≥ 8。所以最多打8折。 【学生活动】跟随教师思路分析：设打x折，售价 = 1200 × x/10，由售价 ≥ 800 × 1.2 = 960，得1200 × x/10 ≥ 960，即120x ≥ 960，x ≥ 8，选C。 【教师活动】正确答案是C。这道题融合了折扣和利润率两个概念，关键是把'不低于'转化为不等式。注意，'打x折'表示售价为标价 × x/10。 【教师活动】第3题：某商品的进价为200元，商家按商品标价的八折出售可获利10%。该商品的标价是多少元？ 【教师活动】请同学们在练习本上完成这道题，注意设未知数、找等量关系、列方程、解方程这四个步骤。 【学生活动】独立完成：设标价为x元。售价 = 80%x。利润率10%，即售价 = 200 × (1 + 10%) = 200 × 1.1 = 220。列方程 80%x = 200 × 1.1，即 0.8x = 220，解得 x = 275。答：标价为275元。 【教师活动】非常好！答案正确，标价为275元。这道题与例1的思路完全一致，用两种方式表示售价建立等量关系。 【知识点】A组练习涵盖了营销问题的基本解法：直接利用公式计算、利用不等式判断折扣范围、列方程求解标价。涵盖了从简单到中等难度的三个层次。 【过渡语】A组练习同学们做得不错。下面我们来做B组练习，难度会有所提升，考查的范围也更广。 【课堂练习B组：综合提高】（7分钟） 【教师活动】B组练习题综合了营销问题和本息问题，难度比A组有所提高，请同学们认真思考。 【教师活动】第4题：冯老师利用手机银行将储蓄卡中的16 000元转存为三年定期存款，预计到期收益1 320元。求三年定期存款的年利率是多少。 【教师活动】这是一道银行存款问题。已知本金为16 000元，期数为3年，利息为1 320元。设年利率为x，则有：利息 = 本金 × 利率 × 期数，即 16 000 × 3x = 1 320。 【学生活动】独立完成：设年利率为x，列方程 16 000 × 3x = 1 320，即 48 000x = 1 320，解得 x = 2.75%。答：三年定期存款的年利率是2.75%。 【教师活动】正确！这道题直接套用利息公式，已知本金、期数和利息，求利率，一步即可解出。 【教师活动】第5题：某服装专卖店销售一种服装，按原价的八折销售10件的销售额，与按比原价低30元销售11件的销售额相等。求这种服装的原价。 【教师活动】这道题涉及到两个销售方案，需要先分别表示两种方案的销售额，然后根据'销售额相等'这一等量关系列方程。设原价为x元，第一种方案：每件售价80%x，10件销售额为10 × 80%x = 8x。第二种方案：每件售价(x - 30)元，11件销售额为11(x - 30)。 【学生活动】跟随教师思路：设原价为x元。列方程 10 × 80%x = 11(x - 30)，即 8x = 11x - 330，解得 3x = 330，x = 110。答：这种服装的原价是110元。 【教师活动】非常好！答案正确。这道题的关键是理解'销售额'的含义，并分别用含有未知数的式子表示两种方案的销售额。注意，销售额 = 单价 × 数量。 【教师活动】第6题（综合提高）：某商店将一件商品按进价提高40%后标价，再打八折销售，结果每件获利80元。求这件商品的进价是多少元？ 【教师活动】这道题整合了标价、折扣、利润三个概念。设进价为x元，则标价为x(1 + 40%) = 1.4x元。打八折后售价为1.4x × 80% = 1.12x元。利润为售价 - 进价 = 1.12x - x = 0.12x元。已知利润为80元，所以0.12x = 80。 【学生活动】独立完成：设进价为x元。标价 = 1.4x元，售价 = 1.4x × 0.8 = 1.12x元。利润 = 1.12x - x = 0.12x = 80，解得 x = 80 ÷ 0.12 = 2000/3 ≈ 666.67元。不对，让x = 80 / 0.12 = 8000/12 = 2000/3。 【教师活动】我们仔细算一下：80 ÷ 0.12 = 80 ÷ (12/100) = 80 × (100/12) = 8000/12 = 2000/3 ≈ 666.67。这个结果不是整数，让我们检查一下题目条件。实际上是：1.4x × 0.8 - x = 80，即 1.12x - x = 0.12x = 80，x = 80 / 0.12 = 8000/12 = 2000/3。虽然结果不是整数，但列方程和解方程的过程是正确的。在实际问题中，进价也可能不是整数。 【学生活动】重新计算：80 ÷ 0.12 = 80 × 100/12 = 8000/12 = 2000/3 ≈ 666.67。答：这件商品的进价约为666.67元。 【知识点】B组练习综合了银行储蓄问题和营销问题，涵盖了直接套公式、多方案比较、多概念综合等不同题型，全面考查了学生对本节课知识的掌握程度。 重点强调：解决多方案比较的问题时，关键是分别用含未知数的式子表示出每个方案对应的量（如销售额、利息等），然后根据题目中给出的量之间的关系（相等、相差多少等）建立方程。 【过渡语】B组练习完成了。同学们在解题过程中有没有遇到困难？下面我们一起来回顾本节课的核心内容。 【课堂小结】（3分钟） 【教师活动】针对本节课所学内容，你能说一说你都学到了哪些知识吗？ 【学生活动】回顾并回答：我学会了用一元一次方程解决打折销售问题，知道了利润、售价、进价、标价、折扣数之间的关系。还学会了用一元一次方程解决银行存款问题，知道了本金、利息、利率、期数之间的关系。 【教师活动】很好！我们一起来梳理一下本节课的主要内容：第一，销售问题中的四大基本关系——利润 = 售价 - 进价，利润率 = 利润 / 进价 × 100%，售价 = 进价 × (1 + 利润率)，售价 = 标价 × 折扣数。第二，银行储蓄问题的基本关系——利息 = 本金 × 利率 × 期数，本息和 = 本金 + 利息。 【教师活动】第三，找等量关系的三种方法：根据代数式之间的内在联系找、根据不变量找、借助辅助手段找。第四，设未知数的三种方法：直接设法、间接设法、辅助设法。第五，解决实际问题的通用步骤：审题 → 设未知数 → 找等量关系 → 列方程 → 解方程 → 检验作答。 【学生活动】跟随教师总结，梳理知识框架，补充笔记。 【知识点】本节课核心内容：用一元一次方程解决营销问题（打折销售问题）和本息问题（银行存款问题）。关键在于掌握基本关系公式，正确找出等量关系，合理设未知数，列出方程并求解。 理解要点：营销问题和本息问题虽然场景不同，但解题思路完全一致：都是将实际问题转化为数学问题，用一元一次方程求解。掌握这种'建模'思想，不仅能解决这两类问题，还能解决更多类型的实际问题。 四、板书设计 五、教学反思 1. 本节课学生哪些地方容易出错？ 2. 哪些学生需要特别关注？ 3. 教学时间分配是否合理？ 4. 实验/探究环节是否达到预期效果？ 5. 有哪些生成性问题？如何处理？ 6. 下节课如何改进？ 学科网（北京）股份有限公司 $