第6章 基本的几何图形（复习讲义）数学新教材青岛版七年级上册

第6章 基本的几何图形（复习讲义） 1．认识立体图形和平面图形，能区分不同图形的特征。了解点、线、面、体的概念及它们之间的关系。 ①认识立体图形和平面图形；②，能区分不同图形的特征；③了解点、线、面、体的概念及它们之间的关系。 2．理解线段、射线和直线的概念，能够表示线段、射线和直线，会比较线段的长短。 ①理解线段、射线和直线的概念，掌握它们的区别与联系；②能够表示线段、射线和直线；③，会比较线段的长短。 3．认识角，理解角的概念，掌握角的表示方法与度量单位，掌握比较角大小的方法。 ①认识角，理解角的概念，知道角的组成部分（顶点和边）；②掌握角的度量单位（度）并能进行相关的角度计算；③掌握比较角大小的方法；④理解余角和补角的概念，能够进行余角和补角的相关计算，并解决实际问题。 知识点01 图形的认识 1）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球都是常见的几何体，又简称为体。几何体是由面组成的。 2)在长方体中，相邻两个面的交接处是一条线段，我们把它叫作棱，圆锥的侧面与底面的交接处是圆。 3）一般而言，两个面的交接处是一条线，线可以是直的，也可以是曲的。线与线的交接处是一个点，点一般用一个大写字母表示，如点P。在长方体中，棱与棱的公共点叫作长方体的顶点。 4）长方体、圆柱、圆锥、球、三角形、平行四边形、梯形、圆等都是几何图形。 5）如果几何图形上的点不都在同一个平面内，那么这样的几何图形叫作立体图形。 6）如果几何图形上的点都在同一个平面内，那么这样的几何图形叫作平面图形。 7）长方体、圆柱、圆锥、球等都是立体图形。线段、角、三角形、平行四边形、梯形、圆等都是平面图形。 8）流星给我们以“点动成线”的形象，折扇扇骨移动形成的扇面给我们以“线动成面”的形象，旋转门给我们以“面动成体”的形象。点、线、面、体的运动变化，能组成各种各样的几何图形。点是构成图形的基本元素。 知识点02 线段、射线和直线 1）线段有两个端点;线段向一个方向无限延伸得到射线,射线只有一个端点;线段向两个方向无限延伸得到直线,直线没有端点。 2）射线、线段都是直线的一部分。 3）我们可以用两个大写字母或一个小写字母表示线段、射线、直线。 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． 4）基本事实 经过两点能且只能作一条直线。简单说成:两点确定一条直线。 5）基本事实 两点间所有连线中,线段最短。简单说成:两点之间,线段最短。连接两点间的线段的长度,叫作这两点间的距离。 知识点03 线段的比较与运算 1）在数学中,只使用无刻度的直尺和圆规作图的方式称为尺规作图。 2）比较两条线段长短的方法有两种：度量法、叠合法。 3）如果点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 与BM,那么点 M 叫作线 段AB 的中点。 知识点04 角 1）有公共端点的两条射线组成的几何图形叫作角。这个公共端点叫作角的顶点,这两条射线叫作角的边。 2）角通常用符号 “∠”和三个大写英文字母表示,如图中的角可以记作∠AOB 或∠BOA,表示顶点的字母O 必须写在中间, 读作 “角AOB”或 “角BOA”。如果顶点处只有一个角,也可以只用这个顶点的字母来表示这个角,如图中的角也可记作∠O。 3）为了方便表示,有时在靠近角的顶点处画上弧线,用一个数字或一个小写希腊字母表示一个角。 4）角还可以看作由一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置所形成的图形。如图,射线的端点O 叫作角的顶点,起始位置的射线 OA 叫作角的始边,终止位置的射线OB 叫作角的终边。当终边OB 与始边OA 成一条直线时,形成平角; 当终边OB 与始边OA 重合时,形成周角。 5）为了更精密地度量角,把1°的角60等分,每一份叫作1分的角,1分记作 1'。把1'的角60等分,每一份叫作1秒的角,1秒记作1″。由此得到 1°=60',1'=60″。 6）度、分、秒是角的基本度量单位。 知识点05 角的比较与运算 1）比较两个角大小的方法有两种：度量法、叠合法。 2）从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线 叫作这个角的平分线。 知识点06 余角与补角 1）一般而言,如果两个角的和为90°,就说这两个角互为余角,简称互余,其中一个角叫作另一个角的余角。 2）类似地,如果两个角的和为180°,就说这两个角互为补角,简称互补,其中一个角叫作另一个角的补角。 3）同角或等角的余角相等; 同角或等角的补角相等。 题型一 立体图形的分类 【例1】1．下面的几何体中，属于棱柱的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-1】2．如图，图中是棱柱的有 ．（填标号） 【变式1-2】观察如图所示的8个几何体． (1)按序号写出各自几何体的名称： ； ；   ； ； (2)在以上几何体中，是柱体的有 ；含曲面的有 （填序号）． 【变式1-3】观察如下图所示的图形，回答下列各题： (1)按平面图形和立体图形分类． (2)把立体图形按柱体、锥体、球体分类． (3)指出各面都是平面的立体图形． 题型二 点、线、面、体四者之间的关系 【例2】5．给我们以点动成线的印象的是（    ） A．汽车挡风玻璃上转运的雨刷 B．转动的电扇 C．表演用飞机后面喷出的彩烟 D．转动的自行车辐条 【变式2-1】图中的几何体由 个面围成，面和面相交形成 条线，线与线相交形成 个点． 【变式2-2】点动成   线动成    面动成 【变式2-3】用数学知识解释下列现象： （1）武术操的歌曲中有一句“枪打一条线，棍扫一大片”，解释为 ； （2）旋转一扇门，门在空中运动的痕迹，解释为 ． 题型三 直线、射线、线段的联系与区别 【例3】9．如图，下列说法正确的是（   ） A．点O在射线上 B．点B是直线的一个端点 C．点A在线段上 D．射线和射线是同一条射线 【变式3-1】下列说法正确的是（    ） A．直线和直线表示不同的直线 B．过一点能作无数条直线 C．射线和射线表示同一条射线 D．射线比直线短 【变式3-2】下列语句中正确的是（   ） A．延长直线 B．延长线段到点C，使线段与线段相等 C．延长射线 D．反向延长射线到点B，使射线与射线相等 【变式3-3】如图，下列说法错误的是（    ）． A．图中共有2条线段 B．直线与直线表示的是同一条直线 C．射线与射线表示的是同一条射线 D．线段与线段表示的是同一条线段 题型四 两点确定一点直线 【例4】13．经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的黑线，而且只能弹出一条黑线，能解释这一实际应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．过一点，有无数条直线 C．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 D．两点之间的所有连线中，线段最短 【变式4-1】将一根木条固定在墙上至少需要2个钉子，这一事实说明 ． 【变式4-2】小明在设计黑板报时，想在黑板上画一条笔直的参照线，由于尺子不够长，他想出了如下办法：①在一根长度合适的毛线上涂满粉笔末；②由两个同学分别按住毛线的两端，并绷紧；③捏起毛线后松开，便可在黑板上弹出一条笔直的参照线．上述“画参照线”方法的依据是 ． 【变式4-3】宣传委员制作黑板报时想要在黑板上画出一条笔直的参照线，由于尺子不够长，她想出了一个办法：在一根长度合适的毛线上涂满粉笔灰，两个同学分别抓住毛线两端，绷紧，靠近黑板要画线的位置，在中间将线一拉再松开，毛线弹回到黑板上，这样黑板上就出现了一条笔直的“粉笔灰线”，这种画法的数学依据是 ． 题型五 两点之间线段最短 【例5】17．亮亮准备从学校出发，开车去南山滑雪场滑雪，他打开导航，显示两地直线距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为，，．能解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点之间，直线最短 D．经过一点有无数条直线 【变式5-1】如图1，A、B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．如图2，连接，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的理由是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，直线最短 【变式5-2】现实生活中有人乱穿马路，却不愿从天桥或斑马线通过．请用数学知识解释这一现象，其原因为 ． 【变式5-3】小海同学计划到距家直线距离为12.9公里的天竺山森林公园游玩．他通过导航软件发现有三条可选路线，如图所示，长度分别为15.8公里，15.4公里，18.4公里．能解释这一现象的数学知识是 ． 题型六 线段中点的有关计算 【例6】21．如图，点为线段上的一点，，、两点分别为、的中点，若线段为，则的长为 ． 【变式6-1】已知线段，是的中点，是上一点，为中点，，则 ． 【变式6-2】长度的线段的中点为M，C点在线段上，，求线段的长度． ​ 【变式6-3】已知、、是线段上的点，且，若点是线段的中点， ，是线段的中点，则线段的长是 ． 题型七 与线段有关的动点问题 【例7】25．如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，； ②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【变式7-1】如图，点P是线段上一点，且满足，点C，D分别在线段，上． (1)若，探究线段，的数量关系； (2)若点Q是直线上一动点，且，求的值； (3)若E是线段上的一个动点，点M，N分别是，的中点，以下两个结论： ①的值不变，②的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【变式7-2】如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 【变式7-3】已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，求的值． (2)若点C、D运动时，总有，直接填空： ___________． (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 题型八 角的四则运算 【例8】29．计算： ，用度分秒表示   ． 【变式8-1】计算： (1)； (2)． 【变式8-2】计算： (1)； (2)． 【变式8-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)（结果用“”表示）； 题型九 角平分线的有关计算 【例9】33．如图，已知射线平分，，，则的度数是 ． 【变式9-1】如图， （填“＞”“＝”或“＜”）；若 ，则平分． 【变式9-2】如图所示，、、分别是、、内部的一条射线． (1)如图1，平分，平分，已知，，求的度数． (2)如图2，若，，且，求的度数． 【变式9-3】如图，点O在直线上，从O点引一条射线，平分，． (1)如图1，若，，求； (2)如图2，若为直角，求n的值； (3)如图3，若，设（用含m的代数式表示的度数）． 题型十 余角和补角 【例10】37．一个角是，则它的余角的度数是 ． 【变式10-1】已知，则的余角是 度，的补角是 度． 【变式10-2】若一个角的余角等于这个角的，求这个角的度数． 【变式10-3】如图，为直线上一点，与互补，、分别是、的平分线． (1)根据题意，补全下列说理过程： ∵与互补 ∴ 又∵___________ 根据___________， ∴______________________． （备注：符号“∵”表示“因为”，符号“∴”表示“所以”） (2)若，求的度数． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列几何体中，柱体的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着”，春雨的下落过程蕴含以下哪个道理（   ） A．两点之间，线段最短 B．点动成线 C．线动成面 D．面动成体 3．毛泽东主席在《水调歌头•游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”．正如创下了四项“世界之最”的临猗黄河大桥，采用步履式顶推技术在空中‘穿针引线’，建成后，运城通往西安的车程将缩短至2小时．用所学数学知识解释这一现象恰当的是（    ） A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．连接两点之间线段的长度是两点之间的距离 4．将一副三角板按如图所示摆放，使其中一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，点A、B、C顺次在直线l上，M是线段的中点，N是线段的中点，若想求出的长度，则只需条件（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 6．墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线，木工师傅这样做的道理是： ． 7．观察图形，下列说法正确的有 个． 直线和直线是同一条直线； 线段和线段是两条不同的线段； 射线和射线是同一条射线． 8．已知，则的余角的大小为 ． 9．如图，，，是的平分线，则 度． 10．已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）． 三、解答题 11．计算． (1)； (2)． 12．如图，已知点O是直线上的一点，，分别是的角平分线． (1)求的度数； (2)直接写出图中与互余的角 　　； (3)直接写出的补角 　　． 13．如图，C为线段的中点，点D分线段两部分和的比为． (1)若，求线段的长； (2)若E为线段的中点，试说明线段与线段的数量关系． 14．如图，点A，B，C在同一条直线上，平分，，，求的度数． 15．如图，点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点 (1)如果，求的长 (2)如果，求的长 能力提升进阶练 一、单选题 1．如图，你见过这种折叠灯笼吗？折叠时，它看起来是平面的，可是提起来后却变成了美丽的灯笼，这个过程可近似用数学知识解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 2．下列说法错误的是（   ） A．过两点有且只有一条直线 B．连接两点间线段的长度叫做两点的距离 C．两点之间，线段最短 D．射线和射线是同一条射线 3．在正常情况下，射击时要保证瞄准的那只眼在由准星和缺口确定的直线上才能射中目标（如图），这样做的数学依据是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．三点确定一条直线 D．垂线段最短 4．如图，将三角板的直角顶点放在直线上，若，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 6．观察下图中各几何体的特征，回答下列问题： 将上述几何体按如下两种方式进行分类（请填写序号）： （1）按形状来划分，柱体有 ，球体有 ，锥体有 ； （2）按几何体有无顶点来划分， 为一类，几何体有顶点； 为一类，几何体无顶点． 7．如图，小明准备从常德市体育中心去往常德市人民政府，打开导航，显示两地之间的距离为，但导航时却显示路长为，能解释这一现象的数学知识是 ． 8．如图，线段，延长到，使．若为的中点，则的长是 ． 9．如图所示，，平分，，则 ． 10．如图（射线在内部），与都是直角，则下列说法正确的是 ．（填序号）    ①若，则            ②图中共有5个角 ③               ④与的和不变 ⑤时，平分． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 12．如图，为线段上一点．C、D、E均为直线上方的点． (1)如图1，与互余，证明：； (2)如图2，与互补，且平分，求． 13．如图，为线段上一点，点为的中点，且，． (1)图中共有 条线段． (2)求的长． (3)若点在直线上，且，求的长． 14．如图，O是直线上的一点，射线、是不与重合的两条射线，，平分． (1)如图1，若，则_____°，_____°； (2)如图2，若，求的度数； (3)当时，直接写出此时的度数． 15．如图，已知点、在线段上． (1)图中共有________条线段； (2)若比较线段的大小：________（填：“>”，“=”，或“<”）； (3)若，，是的中点，是的中点（如下图）． ①求的长度； ②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 基本的几何图形（复习讲义） 1．认识立体图形和平面图形，能区分不同图形的特征。了解点、线、面、体的概念及它们之间的关系。 ①认识立体图形和平面图形；②，能区分不同图形的特征；③了解点、线、面、体的概念及它们之间的关系。 2．理解线段、射线和直线的概念，能够表示线段、射线和直线，会比较线段的长短。 ①理解线段、射线和直线的概念，掌握它们的区别与联系；②能够表示线段、射线和直线；③，会比较线段的长短。 3．认识角，理解角的概念，掌握角的表示方法与度量单位，掌握比较角大小的方法。 ①认识角，理解角的概念，知道角的组成部分（顶点和边）；②掌握角的度量单位（度）并能进行相关的角度计算；③掌握比较角大小的方法；④理解余角和补角的概念，能够进行余角和补角的相关计算，并解决实际问题。 知识点01 图形的认识 1）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球都是常见的几何体，又简称为体。几何体是由面组成的。 2)在长方体中，相邻两个面的交接处是一条线段，我们把它叫作棱，圆锥的侧面与底面的交接处是圆。 3）一般而言，两个面的交接处是一条线，线可以是直的，也可以是曲的。线与线的交接处是一个点，点一般用一个大写字母表示，如点P。在长方体中，棱与棱的公共点叫作长方体的顶点。 4）长方体、圆柱、圆锥、球、三角形、平行四边形、梯形、圆等都是几何图形。 5）如果几何图形上的点不都在同一个平面内，那么这样的几何图形叫作立体图形。 6）如果几何图形上的点都在同一个平面内，那么这样的几何图形叫作平面图形。 7）长方体、圆柱、圆锥、球等都是立体图形。线段、角、三角形、平行四边形、梯形、圆等都是平面图形。 8）流星给我们以“点动成线”的形象，折扇扇骨移动形成的扇面给我们以“线动成面”的形象，旋转门给我们以“面动成体”的形象。点、线、面、体的运动变化，能组成各种各样的几何图形。点是构成图形的基本元素。 知识点02 线段、射线和直线 1）线段有两个端点;线段向一个方向无限延伸得到射线,射线只有一个端点;线段向两个方向无限延伸得到直线,直线没有端点。 2）射线、线段都是直线的一部分。 3）我们可以用两个大写字母或一个小写字母表示线段、射线、直线。 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． 4）基本事实 经过两点能且只能作一条直线。简单说成:两点确定一条直线。 5）基本事实 两点间所有连线中,线段最短。简单说成:两点之间,线段最短。连接两点间的线段的长度,叫作这两点间的距离。 知识点03 线段的比较与运算 1）在数学中,只使用无刻度的直尺和圆规作图的方式称为尺规作图。 2）比较两条线段长短的方法有两种：度量法、叠合法。 3）如果点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 与BM,那么点 M 叫作线 段AB 的中点。 知识点04 角 1）有公共端点的两条射线组成的几何图形叫作角。这个公共端点叫作角的顶点,这两条射线叫作角的边。 2）角通常用符号 “∠”和三个大写英文字母表示,如图中的角可以记作∠AOB 或∠BOA,表示顶点的字母O 必须写在中间, 读作 “角AOB”或 “角BOA”。如果顶点处只有一个角,也可以只用这个顶点的字母来表示这个角,如图中的角也可记作∠O。 3）为了方便表示,有时在靠近角的顶点处画上弧线,用一个数字或一个小写希腊字母表示一个角。 4）角还可以看作由一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置所形成的图形。如图,射线的端点O 叫作角的顶点,起始位置的射线 OA 叫作角的始边,终止位置的射线OB 叫作角的终边。当终边OB 与始边OA 成一条直线时,形成平角; 当终边OB 与始边OA 重合时,形成周角。 5）为了更精密地度量角,把1°的角60等分,每一份叫作1分的角,1分记作 1'。把1'的角60等分,每一份叫作1秒的角,1秒记作1″。由此得到 1°=60',1'=60″。 6）度、分、秒是角的基本度量单位。 知识点05 角的比较与运算 1）比较两个角大小的方法有两种：度量法、叠合法。 2）从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线 叫作这个角的平分线。 知识点06 余角与补角 1）一般而言,如果两个角的和为90°,就说这两个角互为余角,简称互余,其中一个角叫作另一个角的余角。 2）类似地,如果两个角的和为180°,就说这两个角互为补角,简称互补,其中一个角叫作另一个角的补角。 3）同角或等角的余角相等; 同角或等角的补角相等。 题型一 立体图形的分类 【例1】1．下面的几何体中，属于棱柱的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了棱柱，根据棱柱的定义逐一判断即可求解，掌握棱柱的定义是解题的关键． 【详解】解：第一个几何体是长方体，属于棱柱； 第二个几何体是圆柱，不属于棱柱； 第三个几何体是四棱柱，属于棱柱； 第四个几何体是三棱锥，不属于棱柱； 第五个几何体是圆锥，不属于棱柱； 第六个几何体是三棱柱，属于棱柱； 所以属于棱柱的有个， 故选：． 【变式1-1】2．如图，图中是棱柱的有 ．（填标号） 【答案】②⑤⑥ 【分析】本题考查了立体图形的分类，熟练掌握了棱柱的定义是解题关键．棱柱是由几个侧面和两个底面组成，其中底面是多边形，侧面是平行四边形，两个底面平行且是完全相同的多边形，据此可找出棱柱即可得． 【详解】解：图中是棱柱的有②⑤⑥， 故答案为：②⑤⑥． 【变式1-2】观察如图所示的8个几何体． (1)按序号写出各自几何体的名称： ； ；   ； ； (2)在以上几何体中，是柱体的有 ；含曲面的有 （填序号）． 【答案】(1)圆柱；圆锥；五棱柱；三棱柱； (2)；． 【分析】本题主要考查了认识立体图形，掌握常见几何体的特点是解题的关键． （）根据几何体的特点回答即可； （）根据平面和曲面的区别回答即可． 【详解】（1）解：按序号写出各自几何体的名称：圆柱；圆锥；五棱柱；三棱柱； 故答案为：圆柱；圆锥；五棱柱；三棱柱； （2）解：在以上几何体中，是柱体的有；含曲面的有， 故答案为：；． 【变式1-3】观察如下图所示的图形，回答下列各题： (1)按平面图形和立体图形分类． (2)把立体图形按柱体、锥体、球体分类． (3)指出各面都是平面的立体图形． 【答案】(1)平面图形：①②④⑤⑦，立体图形：③⑥⑧⑨⑩ (2)柱体：③⑥⑧；锥体：⑩；球体：⑨ (3)各面都是平面的立体图形：③⑥ 【分析】本题主要考查点、线、面、体的基本知识，可以根据平面图形、立体图形进行解答， （1）根据平面图形与立体图形的定义解决； （2）根据柱体、锥体、球的定义可得结论； （3） 结合立体图形的面的定义，即可解决． 【详解】（1）解：平面图形：①②④⑤⑦，立体图形：③⑥⑧⑨⑩； （2）柱体：③⑥⑧；锥体：⑩；球体：⑨； （3）各面都是平面的立体图形：③⑥． 题型二 点、线、面、体四者之间的关系 【例2】5．给我们以点动成线的印象的是（    ） A．汽车挡风玻璃上转运的雨刷 B．转动的电扇 C．表演用飞机后面喷出的彩烟 D．转动的自行车辐条 【答案】C 【分析】本题考查的是点、线、面、体的关系，点动成线、线动成面、面动成体．根据点动成线、线动成面、面动成体即可得出答案． 【详解】解：A、汽车挡风玻璃上转动的雨刷，雨刷可以看成是一条线，线动成面，选项A错误； B、转动的电扇的扇叶是面，面动成体，故选项B错误； C、表演用飞机后面喷出的彩烟可看成是点，点动成线，选项C正确； D、自行车辐条可看成是线，线动成面，选项D错误； 故选：C． 【变式2-1】图中的几何体由 个面围成，面和面相交形成 条线，线与线相交形成 个点． 【答案】 9 16 9 【分析】本题考查点、线、面、体的关系，仔细观察图形，侧面有几个，底面有几个，面和面相交形成几条线，线与线相交形成几个点解答即可． 【详解】解：图中的几何体由9个面围成，面和面相交形成16条线，线与线相交形成个9点， 故答案为：9，16，9． 【变式2-2】点动成   线动成    面动成 【答案】 线 面 体 【分析】本题考查的是点、线、面的关系，理解点动成线，线动成面，面动成体的定义是解题关键．根据点、线、面的关系直接填空即可． 【详解】解：点动成线，线动成面，面动成体． 故答案为：线；面；体． 【变式2-3】用数学知识解释下列现象： （1）武术操的歌曲中有一句“枪打一条线，棍扫一大片”，解释为 ； （2）旋转一扇门，门在空中运动的痕迹，解释为 ． 【答案】 点动成线，线动成面 面动成体 【分析】本题考查点、线、面、体之间的关系，解题的关键在于理解点动成线、线动成面、面动成体的数学概念，通过分析题目中描述的现象，将其与点、线、体的运动关系对应起来． 【详解】（1）枪在射击时，子弹的运动轨迹是一条直线，子弹可以看作一个点，点在运动过程中形成了一条线，所以“枪打一条线”解释为点动成线； 棍在挥舞时，棍可以看作一条线，线在运动过程中形成一片区域，也就是一个面，所以“棍扫一大片”解释为线动成面； 故答案是：点动成线、线动成面． （2）门可以看作一个平面，当门旋转时，这个平面在空中运动，形成了一个立体的空间，也就是一个体，所以“旋转一扇门，门在空中运动的痕迹”解释为面动成体； 故答案是：面动成体． 题型三 直线、射线、线段的联系与区别 【例3】9．如图，下列说法正确的是（   ） A．点O在射线上 B．点B是直线的一个端点 C．点A在线段上 D．射线和射线是同一条射线 【答案】C 【分析】本题考查了直线，射线，线段的有关概念；由直线，射线，线段的有关概念，即可判断． 【详解】解：A、点在射线的反向延长线上，故此选项不符合题意； B、直线没有端点，故此选项不符合题意； C、点在线段上，原说法正确，故此选项符合题意； D、射线和射线的端点不同，不是同一条射线，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式3-1】下列说法正确的是（    ） A．直线和直线表示不同的直线 B．过一点能作无数条直线 C．射线和射线表示同一条射线 D．射线比直线短 【答案】B 【分析】本题主要考查直线和射线的区别，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．根据直线和射线的定义解答即可． 【详解】解：A、直线和直线表示同一条直线，选项错误，不符合题意； B、过一点能作无数条直线，选项正确，符合题意； C、射线和射线表示不同的射线，选项错误，不符合题意； D、射线、直线都是无限长的，不能比较长短，选项错误，不符合题意． 故选：B． 【变式3-2】下列语句中正确的是（   ） A．延长直线 B．延长线段到点C，使线段与线段相等 C．延长射线 D．反向延长射线到点B，使射线与射线相等 【答案】B 【分析】本题考查了几何基本概念：直线、射线与线段；根据几何基本概念，逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A选项错误：直线是向两端无限延伸的，没有端点，因此无法再被“延长”； B选项正确：线段可以沿B点方向延长到点C，使；例如，用圆规截取的长度，从B点延长即可构造点C； C选项错误：射线从端点O向A方向无限延伸，已无法再延长； D选项错误：射线反向延长得到的是另一条射线（方向与相反），射线本身是无限长的，无法定义“相等”； 综上，只有B选项符合几何基本概念． 故选：B． 【变式3-3】如图，下列说法错误的是（    ）． A．图中共有2条线段 B．直线与直线表示的是同一条直线 C．射线与射线表示的是同一条射线 D．线段与线段表示的是同一条线段 【答案】A 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：A．图中有线段、线段、线段，共3条线段，故错误，符合题意； B．直线与直线表示的是同一条直线，正确，不符合题意； C．射线与射线表示的是同一条射线，正确，不符合题意； D．线段与线段表示的是同一条线段，正确，不符合题意． 故选：A． 题型四 两点确定一点直线 【例4】13．经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的黑线，而且只能弹出一条黑线，能解释这一实际应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．过一点，有无数条直线 C．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 D．两点之间的所有连线中，线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了直线的性质，掌握“经过两点有且只有一条直线”是解题的关键．根据“经过两点有且只有一条直线”即可得出结论． 【详解】解：∵经过两点有且只有一条直线， ∴经过木板上的A、B两个点，只能弹出一条笔直的墨线． ∴能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线． 故选：A． 【变式4-1】将一根木条固定在墙上至少需要2个钉子，这一事实说明 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查两点确定一条直线，根据两点确定一条直线进行作答即可． 【详解】解：由题意，该事实说明：两点确定一条直线； 故答案为：两点确定一条直线． 【变式4-2】小明在设计黑板报时，想在黑板上画一条笔直的参照线，由于尺子不够长，他想出了如下办法：①在一根长度合适的毛线上涂满粉笔末；②由两个同学分别按住毛线的两端，并绷紧；③捏起毛线后松开，便可在黑板上弹出一条笔直的参照线．上述“画参照线”方法的依据是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了直线的性质：两点确定一条直线，正确把握直线的性质是解题关键．直接利用直线的性质分析得出答案． 【详解】解：上述“画参照线”方法的依据是：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 【变式4-3】宣传委员制作黑板报时想要在黑板上画出一条笔直的参照线，由于尺子不够长，她想出了一个办法：在一根长度合适的毛线上涂满粉笔灰，两个同学分别抓住毛线两端，绷紧，靠近黑板要画线的位置，在中间将线一拉再松开，毛线弹回到黑板上，这样黑板上就出现了一条笔直的“粉笔灰线”，这种画法的数学依据是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了直线的性质， 根据学生的做法，思考直线的性质解答即可. 【详解】解：这种画法的数学依据是“两点确定一条直线”. 故答案为：两点确定一条直线. 题型五 两点之间线段最短 【例5】17．亮亮准备从学校出发，开车去南山滑雪场滑雪，他打开导航，显示两地直线距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为，，．能解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点之间，直线最短 D．经过一点有无数条直线 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的性质，即两点之间，线段最短． 【详解】解：亮亮打开导航，显示两地直线距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为，，， 能解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短． 故选：B． 【变式5-1】如图1，A、B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．如图2，连接，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的理由是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，直线最短 【答案】A 【分析】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短． 利用线段的性质解答即可． 【详解】解：A，B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小，图2中所示的C点即为所求的码头的位置，那么这样做的理由是两点之间，线段最短． 故选：A． 【变式5-2】现实生活中有人乱穿马路，却不愿从天桥或斑马线通过．请用数学知识解释这一现象，其原因为 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了两点之间，线段最短． 直接根据两点之间，线段最短作答即可． 【详解】解：现实生活中有人乱穿马路，却不愿从天桥或斑马线通过．请用数学知识解释这一现象，其原因为两点之间，线段最短. 故答案为：两点之间，线段最短． 【变式5-3】小海同学计划到距家直线距离为12.9公里的天竺山森林公园游玩．他通过导航软件发现有三条可选路线，如图所示，长度分别为15.8公里，15.4公里，18.4公里．能解释这一现象的数学知识是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了两点之间，线段最短，熟练掌握两点之间，线段最短是解题关键． 根据两点之间，线段最短求解即可． 【详解】解：能解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 题型六 线段中点的有关计算 【例6】21．如图，点为线段上的一点，，、两点分别为、的中点，若线段为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和与差．明确线段之间的数量关系是解题的关键． 由题意知，，由中点可知，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵M、N两点分别为的中点， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：． 【变式6-1】已知线段，是的中点，是上一点，为中点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，结合图形，找准线段之间的和差关系是解决本题的关键． 由的长度及点C为的中点可求出的长度，由的长度及点E为的中点可求出的长度，再利用即可求出的长度． 【详解】解：如图 ∵点C是的中点， ∴， 又∵点E是的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式6-2】长度的线段的中点为M，C点在线段上，，求线段的长度． ​ 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及图形中线段之间的和差关系是正确解答的关键． 根据线段中点的定义以及图形中线段之间的和差关系进行计算即可． 【详解】解：，点是的中点， ， ， ． 【变式6-3】已知、、是线段上的点，且，若点是线段的中点， ，是线段的中点，则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差，解题的关键是掌握各线段间的关系．根据线段中点的定义可得，，进而得到，结合，即可求解． 【详解】解：点是线段的中点， ， 是线段的中点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型七 与线段有关的动点问题 【例7】25．如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，； ②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∴，故①正确； 设运动秒，则， ∵为的中点，为的中点， ， ∴， ， ∴的值不变，故②错误； ， ， 解得：，故③正确； 故选：D． 【变式7-1】如图，点P是线段上一点，且满足，点C，D分别在线段，上． (1)若，探究线段，的数量关系； (2)若点Q是直线上一动点，且，求的值； (3)若E是线段上的一个动点，点M，N分别是，的中点，以下两个结论： ①的值不变，②的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【答案】(1) (2)或 (3)①不正确；②正确， 【分析】本题考查了线段的和差，线段的中点相关计算； （1）设，，由线段的和差得，，即可求解； （2）分类讨论：当在线段的延长线上时，由线段和差得，可得 ，即可求解；当在线段上时，同理可求； （3）分类讨论：当、在在左侧时，由线段中点的定义得，，由线段的和差得，求出，，即可求解； 当、在在两侧时，同理可求；当、在在右侧时，同理可求； 能熟练利用线段的和差表示出所求线段，并能根据动点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：设，， 则，， ， ， ； （2）解：当在线段的延长线上时， ， ， ， ； 当在线段上时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：或； （3）解：当、在在左侧时， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， ， ， 的值不确定， 的值不确定， 故①不正确； ， ， 故②正确； 当、在在两侧时， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， 的值不确定， 故①不正确； ， ， 故②正确； 当、在在右侧时， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， ， 的值不确定， 的值不确定， 故①不正确； ， ， 故②正确； 综上所述：①不正确；②正确，． 【变式7-2】如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（）先计算，再计算即可；利用中点的性质求解即可； （）设运动时间为，则，，得到，又由，得到，进而得到即可求解； 本题考查了线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； ∵点到达中点时，点也刚好到达的中点，设运动时间为， 则：，， ； （2）解：设运动时间为，则，， ， ， ． 【变式7-3】已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，求的值． (2)若点C、D运动时，总有，直接填空： ___________． (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【分析】（1）本题考查线段的和与差，以及动点问题，根据题意算出，，再由，即可解题． （2）本题考查线段的和与差，以及动点问题，设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）本题考查线段的和与差，以及动点问题，根据N是直线上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段上时和当点N在线段的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：（1）当点C、D运动了时，，， ，，， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ， 故答案为：． （3）解：当点N在线段上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ， 又， ，即．综上所述的值为或． 题型八 角的四则运算 【例8】29．计算： ，用度分秒表示   ． 【答案】 16 25 12 【分析】本题考查了角的运算，解题的关键是掌握，．进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制． 【详解】解∶ ； 故答案为∶ ；16；25；12． 【变式8-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角度的加减运算： （1）根据角度的加减运算法则计算即可； （2）根据角度的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【变式8-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的四则运算法则，熟练掌握角的四则运算法则是解题关键． （1）根据角的四则运算法则求解即可； （2）根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)（结果用“”表示）； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了角度的加、减、乘、除四则运算，熟练掌握角度的进制换算以及四则运算的规则是解题的关键． （1）将度、分、秒分别相加，再按照进制的原则进行进位处理． （2）将度、分、秒分别相减，若分或秒不够减，则按照进制的原则向高位借位． （3）将角度的度、分、秒分别与整数相乘，再按照进制的原则进行进位处理． （4）将角度的度除以整数，得到的商作为度的结果，余数换算为分后再继续除以整数，若还有余数则进一步换算为秒后再除以整数，或者将角度的度、分、秒分别除以整数，对余数部分进行适当的单位换算和进位处理． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： ． 题型九 角平分线的有关计算 【例9】33．如图，已知射线平分，，，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和差计算．熟练掌握角平分线平分角，理清角之间的和差关系，是解题的关键． 首先由角平分线得到，然后结合求解即可． 【详解】解：∵射线平分，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式9-1】如图， （填“＞”“＝”或“＜”）；若 ，则平分． 【答案】 ＞ 【分析】本题主要考查了角的定义、角平分线的定义等知识点，掌握角的定义以及角平分线的定义成为解题的关键． 利用已知图形结合角平分线的定义即可解答． 【详解】解：由图象可得：， 若，则平分． 故答案为：＞，． 【变式9-2】如图所示，、、分别是、、内部的一条射线． (1)如图1，平分，平分，已知，，求的度数． (2)如图2，若，，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的计算和角平分线定义，一元一次方程的应用． （1）先根据平分求出的度数，根据计算，最后根据平分即可求出的度数； （2）设，分别用含x的代数式表示出和，建立关于x的方程后解方程求出x的值后即可求出的度数． 【详解】（1）解：因为平分， 所以 因为， 所以 又因为， 所以， 又因为平分， 所以； （2）解：因为， 设，则，， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以， 解得， 所以． 【变式9-3】如图，点O在直线上，从O点引一条射线，平分，． (1)如图1，若，，求； (2)如图2，若为直角，求n的值； (3)如图3，若，设（用含m的代数式表示的度数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键． （1）已知平分，可得的度数，因为，可得的度数，再根据即可解答； （2）因为为直角，即，因为平分，所以，即可得n的值； （3）已知平分，可得的度数，因为，可得的度数，再根据即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵为直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十 余角和补角 【例10】37．一个角是，则它的余角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角：和为的两个角互为余角，熟练掌握余角的定义是解题关键．根据和为的两个角互为余角求解即可得． 【详解】解：一个角是，则它的余角的度数是， 故答案为：． 【变式10-1】已知，则的余角是 度，的补角是 度． 【答案】 【分析】本题考查了余角与补角，根据余角和补角的定义列式计算即可，解题的关键是熟记互为余角的两个角的和为，互为补角的两个角的和为． 【详解】解：根据余角的定义，的余角， 根据补角的定义，的补角度数， 故答案为：，． 【变式10-2】若一个角的余角等于这个角的，求这个角的度数． 【答案】这个角的度数是 【分析】本题考查与余角有关的计算，设这个角的度数为，根据互余关系，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为，则这个角的余角为， ∴， 解得：； 答：这个角的度数是． 【变式10-3】如图，为直线上一点，与互补，、分别是、的平分线． (1)根据题意，补全下列说理过程： ∵与互补 ∴ 又∵___________ 根据___________， ∴______________________． （备注：符号“∵”表示“因为”，符号“∴”表示“所以”） (2)若，求的度数． 【答案】(1)，同角的补角相等，， (2) 【分析】本题考查补角性质，同角的补角性质，角平分线定义，角的和差倍分计算，掌握补角性质，同角的补角性质，角平分线定义，角的和差倍分计算是解题关键． （1）由题意可得，，可以根据同角的补角相等得到； （2）根据角平分线的定义可得，，然后计算出，进而得到． 【详解】（1）解：∵与互补 ∴ 又∵ 根据同角的补角相等， ∴． 故答案为：，同角的补角相等，； （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列几何体中，柱体的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了认识立体图形，熟练掌握棱柱、棱锥、球的形体特征是解决此题的关键．根据柱体、锥体、球体的形体特征进行判断即可． 【详解】解：图中的几何体从左到右依次是：圆柱、圆锥、正方体、长方体、五棱柱、球体， ∴柱体有：圆柱，正方体、长方体、五棱柱，共4个， 故选：A． 2．朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着”，春雨的下落过程蕴含以下哪个道理（   ） A．两点之间，线段最短 B．点动成线 C．线动成面 D．面动成体 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体的关系，熟练掌握点动成线，线动成面，面动成体是解题的关键．根据点动成线，线动成面，面动成体，即可解答． 【详解】解：在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这种生活现象可以反映的数学原理是：点动成线. 故选：B． 3．毛泽东主席在《水调歌头•游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”．正如创下了四项“世界之最”的临猗黄河大桥，采用步履式顶推技术在空中‘穿针引线’，建成后，运城通往西安的车程将缩短至2小时．用所学数学知识解释这一现象恰当的是（    ） A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．连接两点之间线段的长度是两点之间的距离 【答案】C 【分析】本题考查了线段的性质，明确两点之间线段最短是解题关键，根据两点之间线段最短解答本题即可． 【详解】解：用数学知识解释这一现象产生的原因：两点之间线段最短． 故选：C． 4．将一副三角板按如图所示摆放，使其中一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的和差运算，熟练掌握角的和差运算是解决问题的关键． 求出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．如图，点A、B、C顺次在直线l上，M是线段的中点，N是线段的中点，若想求出的长度，则只需条件（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是线段中点的定义、两点间的距离等知识点，明确线段中点的定义是解题的关键． 根据点M、N分别是、的中点，，进而得到，即只需知道的长度即可求得的长度． 【详解】解：∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴， ∴，即只需知道的长度即可求得的长度， ∴符合题意． 故选：B． 二、填空题 6．墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线，木工师傅这样做的道理是： ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了直线的性质，熟练掌握直线的性质是解题的关键．根据直线的性质，即可解答． 【详解】解：墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．木工师傅这样做的道理是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 7．观察图形，下列说法正确的有 个． 直线和直线是同一条直线； 线段和线段是两条不同的线段； 射线和射线是同一条射线． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段，解决本题的关键是根据直线、射线、线段的定义进行判断． 【详解】解：直线是向两个方向无限延伸的，直线和直线是同一条直线，故正确； 线段有两个端点，不延伸，线段和线段是同一条线段，故不正确； 射线有一个端点，向一个方向无限延伸，射线和射线的端点相同，延伸的方向相同，是同一条射线，故正确； 说法正确的有个． 故答案为：． 8．已知，则的余角的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个角的余角，根据和为的两个角互余，求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角的大小为； 故答案为：． 9．如图，，，是的平分线，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、角的和与差，根据角平分线的定义可知：，根据图形中角的位置关系可知：． 【详解】解：，是的平分线， ， 故答案为：． 10．已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）． 【答案】/ 【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，再利用线段和差分别表示线段的长度即可． 【详解】解：∵M为的中点，N为的中点， ∴，． ∵线段和线段在同一直线上， 线段（A在左，B在右）的长为a， 长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动， ∴分以下5种情况说明： ①当在左侧时，如图1， 即， ， ， ； ②当点D与点A重合时，如图2， 即 ， ； ③当在内部时，如图3， 即 ， ； ④当点C在点B右侧时， 同理可得：； ⑤当在右侧时， 同理可得：； 综上所述：线段的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查线段的和差，根据题意画出对应情况的图形是解题的关键，注意分类讨论思想的运用． 三、解答题 11．计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了度分秒的计算． （1）按照度与度，分与分，秒与秒相加，根据度分秒之间的换算进制，把满60的单位向它前面的单位进1，进行计算即可； （2）按照度与度，分与分，秒与秒相加减，根据度分秒之间的换算进制，把满60的单位向它前面的单位进1，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 12．如图，已知点O是直线上的一点，，分别是的角平分线． (1)求的度数； (2)直接写出图中与互余的角 　　； (3)直接写出的补角 　　． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了角平分线的定义和角度的和差、余角和补角等知识． （1）根据平角的定义，角平分线的意义进行计算即可； （2）根据互余的意义和等量代换可得答案； （3）根据补角的定义和等量代换得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴； （2）∵分别是的角平分线 ∴， ， 又∵， ∴， ∴的余角为， 故答案为： ； （3）∵， ∴， 即的补角为， 故答案为：． 13．如图，C为线段的中点，点D分线段两部分和的比为． (1)若，求线段的长； (2)若E为线段的中点，试说明线段与线段的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是熟练掌握线段中点的定义． （1）设，，则，根据线段中点的定义即可得到结论． （2）设，，则，根据线段中点的定义即可得到结论． 【详解】（1）设，，则， ∵C为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2），理由如下： 同（1）得：，，则，， ∵E为线段的中点， ∴， ∴， ∴． 14．如图，点A，B，C在同一条直线上，平分，，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查平角，角平分线的定义，一元一次方程的应用．设，则，根据角平分线的定义求得的度数，再根据平角的概念求得的度数，然后根据题意列式求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 15．如图，点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点 (1)如果，求的长 (2)如果，求的长 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段中点的性质及线段的和差计算，解题的关键是利用中点性质将线段长度进行转化，结合已知条件通过和差关系求解． （1）主要关键步骤：由M是中点得求出长度；再由与的差求出长度；最后由N是中点得求出长度． （2）主要关键步骤：由M、N分别是、中点得、；根据推出，进而求出长度． 【详解】（1）解：∵点M是线段的中点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵点N是线段的中点 ∴ （2）∵点M是线段的中点，点N是线段的中点 ∴ ∵ ∴ 能力提升进阶练 一、单选题 1．如图，你见过这种折叠灯笼吗？折叠时，它看起来是平面的，可是提起来后却变成了美丽的灯笼，这个过程可近似用数学知识解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【答案】C 【分析】此题主要考查了面动成体的数学原理，根据灯笼由平面图形变成立体图形的过程即可得出答案． 【详解】解：∵折叠灯笼提起来后却变成了美丽的灯笼，这一过程是由平面图形变成立体图形的过程， ∴这一过程可以用面动成体的数学原理来解释． 故选：C． 2．下列说法错误的是（   ） A．过两点有且只有一条直线 B．连接两点间线段的长度叫做两点的距离 C．两点之间，线段最短 D．射线和射线是同一条射线 【答案】D 【分析】本题主要考查了射线的定义，两点确定一条直线，据此可判断A；连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离且两点之间线段最短，据此可判断B、C；射线与射线的方向不同，据此可判断D． 【详解】解：A、过两点有且只有一条直线，说法正确，不符合题意； B、连接两点间线段的长度叫做两点的距离，说法正确，不符合题意； C、两点之间，线段最短，说法正确，符合题意； D、射线与射线不是同一条射线，原说法错误，符合题意； 故选：D． 3．在正常情况下，射击时要保证瞄准的那只眼在由准星和缺口确定的直线上才能射中目标（如图），这样做的数学依据是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．三点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本事实：两点确定一条直线，充分理解这句话的意义是解决问题的关键． 【详解】解：由“两点确定一条直线”基本事实可知： 选项 A，C，D错误，不符合题意；选项B正确，符合题意， 故选：B 4．如图，将三角板的直角顶点放在直线上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的和与差、角度的计算．根据、、，可得：． 【详解】解：如下图所示，， ， ， ， ． 故选：D ． 5．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的应用，线段的中点性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 根据两点间距离进行计算即可判断①；利用路程除以速度即可判断②；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，由题意求出的长， 再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断④； 【详解】∵A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且， ∴B对应的数为，故①正确； ∵， ∴点P到达点B时，，故②是正确的； 当点P在点B右边时， ∵， ∴， ∴； 当点P在点B左边时， ∵， ∴， ∴， ∴时，或，故③错误； 在点P的运动过程中，当点P在点B右边时， ； 在点P的运动过程中，当点P在点B左边时， ； ∴在点P的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故④错误； ∴正确结论有①②， 故选：A． 二、填空题 6．观察下图中各几何体的特征，回答下列问题： 将上述几何体按如下两种方式进行分类（请填写序号）： （1）按形状来划分，柱体有 ，球体有 ，锥体有 ； （2）按几何体有无顶点来划分， 为一类，几何体有顶点； 为一类，几何体无顶点． 【答案】 ①②④ ③ ⑤ ①②⑤ ③④ 【分析】本题考查几何体的分类，掌握知识点是解题的关键． （1）根据柱体，球体，锥体的定义，即可解答； （2）根据柱体，球体，锥体的特征，即可解答 【详解】解：（1）由柱体，球体，锥体的定义，可按形状来划分，柱体有①②④，球体有③，锥体有⑤； （2）由柱体，球体，锥体的特征，可按几何体有无顶点来划分，①②⑤为一类，几何体有顶点；③④为一类． 故答案为：①②④；③；⑤；①②⑤；③④． 7．如图，小明准备从常德市体育中心去往常德市人民政府，打开导航，显示两地之间的距离为，但导航时却显示路长为，能解释这一现象的数学知识是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题主要考查线段的性质：两点之间线段最短，正确理解性质是解题的关键．根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：能解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短 8．如图，线段，延长到，使．若为的中点，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离，掌握两点间的距离求法，将线段进行合理的分段求值是解题的关键．根据，求出的值，进而可求出的值，根据中点的定义求出，由图可知，代入所求即可． 【详解】解：，， ， ， 为的中点， ， ， 故答案为：． 9．如图所示，，平分，，则 ． 【答案】/75度 【分析】根据，设，则．列方程解答即可． 本题考查了角的平分线，角的和差倍分，一元一次方程的应用，运用方程思想是解题的关键． 【详解】解：根据，设， 则，． ∵平分， ∴， 又， 故， 即， 解得， 则， 故答案为：． 10．如图（射线在内部），与都是直角，则下列说法正确的是 ．（填序号）    ①若，则            ②图中共有5个角 ③               ④与的和不变 ⑤时，平分． 【答案】①③④⑤ 【分析】①先根据余角的定义求出，再根据角的和差关系即可判定； ②根据角的定义数出图中的角即可判定； ③根据同角的余角相等即可求解； ④根据角的和差关系即可判定； ⑤先根据余角的定义求出°即可判定． 【详解】解：∵与都是直角， ∴若，则，则，故①正确； 图中，，，，，共6个角，故②错误； ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴与的和不变，故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴，即平分，故⑤正确． 说法正确的是①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 【点睛】本题考查了余角性质，以及角的计算，属基础题，准确识图是解题的关键． 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了进行度、分、秒的混合运算，是角度计算中的一个难点，注意以60为进制即可． （1）进行度、分、秒的加减混合运算即可； （2）先进行度、分、秒的乘法计算，再算减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．如图，为线段上一点．C、D、E均为直线上方的点． (1)如图1，与互余，证明：； (2)如图2，与互补，且平分，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了余角和补角、角平分线的定义、一元一次方程的应用、几何图形中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题得，根据同角的余角相等即可求证； （2）由题得，可得，可求，再利用平角的定义即可求出． 【详解】（1）解：∵与互余 ∴ ∴； （2）∵平分 ∴ ∵与互补 ∴ ∴ 即 解得 ∴． 13．如图，为线段上一点，点为的中点，且，． (1)图中共有 条线段． (2)求的长． (3)若点在直线上，且，求的长． 【答案】(1)6 (2)的长是 (3)的长是或 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，线段的和差，正确的理解题意是解题关键． （1）根据直线上线段的条数公式：直线上有n个点，线段的条数是，可得答案； （2）根据线段中点的性质和线段的和差即可得到结论； （3）根据线段的和差，可得答案． 【详解】（1）解：图中有四个点，线段有． 故答案为：6； （2）解：点为的中点，， ， ， 答：的长是； （3）解：，， 当点在线段上时， ， 当点在线段的延长线上时， ， 答：的长是或． 14．如图，O是直线上的一点，射线、是不与重合的两条射线，，平分． (1)如图1，若，则_____°，_____°； (2)如图2，若，求的度数； (3)当时，直接写出此时的度数． 【答案】(1)120，45 (2) (3)或 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，与角平分线有关的计算，一元一次方程的几何应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算，，根据平分，故，再把数值代入进行计算，即可作答． （2）理解题意，设，整理得，故，再运用角的和差关系进行列式计算，即可作答． （3）进行分类讨论，结合图1，根据角的和差关系以及角平分线的定义进行列式计算，得出；图2：先设，得，，结合平分，得，因为，所以， 解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ∴， 故答案为：120，45； （2）解：设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得， 即． （3）解：如图1： 当时， ∴ 平分， ， ，， ∴ 即 ， ， 如图2： 设， 则，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴ 15．如图，已知点、在线段上． (1)图中共有________条线段； (2)若比较线段的大小：________（填：“>”，“=”，或“<”）； (3)若，，是的中点，是的中点（如下图）． ①求的长度； ②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 【答案】(1)6 (2) (3)①；②同意，理由见详解 【分析】本题主要考查了两点间的距离以及线段的和差关系，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性． （1）依据、在线段上，即可得到图中共有线段． （2）依据，即可得到，进而得出． （3）①依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到的长度． ②分为当点在线段上，点在射线上运动时；当点在射线上，点在射线上运动时，两种情况分别求解判断即可； 【详解】（1）解：∵、在线段上， ∴图中共有线段共6条． 故答案为：6； （2）若，则，即． 故答案为：； （3）①∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴．    ②当线段在射线上运动时， 当点在线段上，点在射线上运动时：      ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． 当点在射线上，点在射线上运动时：    ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． ∴线段的长度不变． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $