6.5角的比较与运算 教案 2026-2027学年青岛版数学七年级上册

该初中数学教案聚焦角的比较（度量法、叠合法）、和差运算及角平分线定义，通过类比线段比较方法导入，回顾旧知构建学习支架，衔接前后知识脉络。 特色在于运用类比教学与直观演示，结合探究发现法引导学生辨析角平分线逆命题分情况讨论，培养逻辑推理与数学运算能力，实例丰富且注重易错点提示，助力学生形成严谨思维，为教师提供高效教学流程。

课题 6.5 角的比较与运算 课型 新授课 课时 1课时 教材版本 青岛版数学七年级上册 教学方法 类比教学法、探究发现法、讲练结合法、直观演示法 教学用具 多媒体课件、量角器、直尺 一、核心素养目标 • 【数学抽象】通过类比线段比较与运算的方法，抽象出角的大小比较方法（度量法、叠合法）和角的和差运算，发展数学抽象能力 • 【逻辑推理】通过角平分线定义的推导和逆命题的讨论，理解“因为…所以…”的推理格式，培养逻辑推理和分类讨论能力 • 【直观想象】借助图形直观理解叠合法比较角的大小和角平分线的概念，发展几何直观 • 【数学运算】能运用角平分线定义进行简单计算，会求角的和与差，能进行度分秒的混合运算，提高数学运算能力 二、教学重难点 教学重点：角的大小比较方法（度量法、叠合法）；角的和与差运算；角平分线的定义及简单推理 教学难点：叠合法比较角的大小的灵活运用；角平分线逆命题的讨论（分情况讨论）；无图条件下的角的计算 三、教学过程 【情境导入：类比引入——从线段到角】（3分钟） 【教师活动】同学们，前面我们学习了线段的比较与运算，也学习了角的认识。线段和角都可以度量，线段有长短，角有大小。类比线段的比较与运算，如何进行角的比较与运算？今天我们就来学习“角的比较与运算”。 【教师活动】本节课的学习目标有两个：第一，会用不同的方法比较角的大小；第二，理解角的和、差与角平分线的概念，会进行简单的计算和推理。希望大家带着这两个目标来学习。 【学生活动】回顾线段比较方法：度量法（用刻度尺）和叠合法（用圆规），为角的比较做类比准备。 【过渡语】首先，我们来学习如何比较两个角的大小。 【探究一：观察与发现——角的大小比较方法】（7分钟） 【教师活动】如何比较两个角的大小？类比线段比较的方法，我们也有两种方法：度量法和叠合法。 【教师活动】第一种方法——度量法：用量角器分别量出两个角的度数，然后比较度数的大小。这是最直接的方法，就像用刻度尺量线段长度来比较一样。 【学生活动】理解度量法：用量角器量出两个角的度数，比较数值大小。 【教师活动】第二种方法——叠合法：如图，将∠AOB与∠A'O'B'的边OA、O'A'叠合在一起，观察O'B'的位置来比较∠AOB与∠A'O'B'的大小。请同学们注意叠合法的三种情况。 【教师活动】情况一：如果O'B'落在∠AOB的内部，说明∠AOB大于∠A'O'B'，记作∠AOB＞∠A'O'B'。 【学生活动】理解：叠合后，O'B'在∠AOB内部 → ∠AOB＞∠A'O'B'。 【教师活动】情况二：如果O'B'与OB重合，说明两个角相等，记作∠AOB＝∠A'O'B'。 【学生活动】理解：叠合后，两条边完全重合 → ∠AOB＝∠A'O'B'。 【教师活动】情况三：如果O'B'落在∠AOB的外部，说明∠AOB小于∠A'O'B'，记作∠AOB＜∠A'O'B'。 【学生活动】理解：叠合后，O'B'在∠AOB外部 → ∠AOB＜∠A'O'B'。 【教师活动】归纳：叠合法比较角的大小，先把顶点和一边重合，再看另一边的位置。这与线段叠合法一脉相承——先重合一端，再看另一端。 【知识点】角的大小比较方法：1.度量法——用量角器量出度数，比较数值；2.叠合法——将顶点和一边重合，看另一边的位置。三种结果：∠AOB＞∠A'O'B'（O'B'在内部）、∠AOB＝∠A'O'B'（重合）、∠AOB＜∠A'O'B'（O'B'在外部）。 判断技巧：叠合法比较角的大小与线段叠合法完全类似：线段叠合是“一端重合，看另一端”；角叠合是“顶点和一边重合，看另一边”。类比记忆，事半功倍！ 【过渡语】掌握了角的大小比较方法，接下来我们来研究角的和与差运算，这同样可以类比线段的和与差。 【探究二：思考与交流——角的和与差】（7分钟） 【教师活动】如图，∠AOB与∠AOC，∠COB之间有什么关系？请同学们观察图形，类比线段的和差关系来思考。 【学生活动】观察并思考：∠AOB＝∠AOC＋∠COB，∠AOC＝∠AOB－∠COB，∠COB＝∠AOB－∠AOC。 【教师活动】完全正确！图中，∠AOB是∠AOC与∠COB的和，记作∠AOB＝∠AOC＋∠COB。∠AOC是∠AOB与∠COB的差，记作∠AOC＝∠AOB－∠COB。同样，∠COB＝∠AOB－∠AOC。 【教师活动】请同学们注意：角的和差的记法与线段和差的记法完全一样。当射线OC在∠AOB的内部时，∠AOC与∠COB的度数之和等于∠AOB的度数。 【学生活动】理解并记忆：∠AOB＝∠AOC＋∠COB（角的和），∠AOC＝∠AOB－∠COB（角的差）。 【教师活动】下面我们来做两道练习巩固角的和差关系。 【教师活动】练习1：在空格处填上适当的角，使等式成立。(1)∠AOD＝∠AOC＋____；(2)∠AOD－∠BOD＝____；(3)∠BOC＝____－∠COD。 【学生活动】填空：(1)∠AOD＝∠AOC＋∠COD；(2)∠AOD－∠BOD＝∠AOB；(3)∠BOC＝∠BOD－∠COD。 【教师活动】练习2：若∠AOB＝60°，∠BOC＝40°，则∠AOC＝____°；若∠AOC＝35°，∠BOC＝40°，则∠AOB＝____°。注意：射线OC在∠AOB的内部，所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC。 【学生活动】计算：∠AOC＝60°－40°＝20°；∠AOB＝35°＋40°＝75°。 【知识点】角的和与差：当射线OC在∠AOB内部时，∠AOB＝∠AOC＋∠COB（和）；∠AOC＝∠AOB－∠COB（差）；∠COB＝∠AOB－∠AOC（差）。角的和差运算与线段和差运算完全类似。 易错提示：角的和差运算必须注意射线OC的位置！只有当OC在∠AOB的内部时，∠AOB才是∠AOC与∠COB的和。如果OC在∠AOB的外部，关系就不同了，需要根据具体情况分析。 【过渡语】理解了角的和差关系，接下来我们研究一种特殊情况——当一条射线把一个角分成两个相等的角时，这条射线就是角平分线。 【探究三：概括与表达——角平分线】（6分钟） 【教师活动】如图，当∠AOC＝∠COB时，∠AOB与∠AOC，∠COB之间有什么关系？ 【学生活动】思考并回答：因为∠AOC＝∠COB，且∠AOB＝∠AOC＋∠COB，所以∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC。 【教师活动】非常正确！由此我们引出角平分线的定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线。 【教师活动】如图，射线OC是∠AOB的平分线。因为OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC＝∠COB＝∠AOB/2。 【学生活动】理解并记忆角平分线定义：OC平分∠AOB ⇔ ∠AOC＝∠COB＝∠AOB/2。 【教师活动】类似地，还有角的三等分线和四等分线等。如图，OB、OC是∠AOD的三等分线，则∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD/3。三等分线和四等分线是角平分线概念的推广。 【知识点】角平分线定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线。OC是∠AOB的平分线 ⇔ ∠AOC＝∠COB＝∠AOB/2。三等分线：∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD/3。 重点强调：角平分线定义是几何推理的核心工具！推理格式：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠COB＝∠AOB/2。这个推理格式与线段中点完全类似，可以类比记忆。注意：角平分线是一条射线，不是线段！ 【过渡语】掌握了角平分线的概念，下面我们通过例题来学习如何运用角平分线进行推理和计算。 【例题精讲一：例1 角平分线+直角】（6分钟） 【教师活动】例1 如图，OC是∠AOB的平分线，∠COD是直角。若∠AOC＝60°，求∠BOD的度数。 【教师活动】请同学们仔细读题，已知条件是什么？目标是什么？ 【学生活动】分析：已知OC是∠AOB的平分线，∠AOC＝60°，∠COD是直角（即90°）。求∠BOD。 【教师活动】解：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠BOC＝∠AOC。∵∠AOC＝60°，∴∠BOC＝60°。∵∠COD是直角，∴∠COD＝90°。∵∠BOD＝∠COD－∠BOC，∴∠BOD＝90°－60°＝30°。 【教师活动】这道题的解题关键是：先利用角平分线定义得出∠BOC＝∠AOC＝60°，再根据角的和差关系∠BOD＝∠COD－∠BOC，代入计算即可。 【知识点】利用角平分线解题的步骤：1.根据角平分线定义写出等量关系（如∠BOC＝∠AOC）；2.代入已知角度；3.利用角的和差关系列式；4.计算结果。 解题技巧：解决角平分线问题，首先要标出角平分线，写出等量关系。然后根据图形中的位置关系，用角的和差公式列出方程。注意：直角等于90°，平角等于180°，这些都是常用的已知条件。 【过渡语】例1直接用了角平分线的定义，接下来看例2，它涉及倍数关系和角平分线的综合运用。 【例题精讲二：例2 倍数关系+角平分线】（5分钟） 【教师活动】例2 如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC＝40°，求：(1)∠AOB的度数；(2)∠COD的度数。 【教师活动】请同学们分析：已知∠BOC＝2∠AOC，且∠AOC＝40°，那么∠BOC等于多少？ 【学生活动】分析：∵∠BOC＝2∠AOC＝2×40°＝80°，∴∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝40°＋80°＝120°。 【教师活动】解：(1)∵∠BOC＝2∠AOC＝2×40°＝80°，∴∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝40°＋80°＝120°。 【教师活动】再看第(2)问：OD平分∠AOB，要求∠COD。先求∠AOD？ 【学生活动】分析：∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠AOB/2＝120°/2＝60°。∴∠COD＝∠AOD－∠AOC＝60°－40°＝20°。 【教师活动】解：(2)∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠AOB/2＝120°/2＝60°。∴∠COD＝∠AOD－∠AOC＝60°－40°＝20°。 【知识点】综合应用题：先根据已知倍数关系求各角大小，再根据角平分线定义求相关角，最后利用角的和差关系求目标角。解题要有条理，一步一步来。 【过渡语】两道例题讲完了，它们分别代表了角平分线推理的两种基本题型。在继续做练习之前，我们先来讨论一个重要的概念辨析问题。 【讨论与交流：逆命题辨析——分情况讨论】（4分钟） 【教师活动】请同学们思考一个问题：如果OC是∠AOB的平分线，那么∠AOB＝2∠BOC。反之，如果∠AOB＝2∠BOC，那么OC是∠AOB的平分线，这种说法是否正确？ 【学生活动】思考讨论：有的同学认为正确，有的同学认为不正确。 【教师活动】答案是不正确！因为根据条件能画出两种情况的图形。如图所示，在图①中OC不是∠AOB的平分线（OC在∠AOB的外部），在图②中OC是∠AOB的平分线（OC在∠AOB的内部）。 【教师活动】所以，正确的表述应该是：若∠AOB＝2∠BOC＝2∠AOC，则OC是∠AOB的平分线。也就是说，必须同时满足∠AOB＝2∠BOC和∠AOB＝2∠AOC两个条件，才能得出OC平分∠AOB。 【学生活动】理解：无图条件下要分情况讨论。∠AOB＝2∠BOC不能得出OC是角平分线，因为OC可能在∠AOB的外部。必须再加一个条件，如∠AOC＝∠BOC。 【知识点】角平分线逆命题辨析：由∠AOB＝2∠BOC不能推出OC是∠AOB的平分线。必须同时满足∠AOB＝2∠BOC＝2∠AOC（即OC在∠AOB内部且∠AOC＝∠BOC），才能得出OC是角平分线。无图条件下要分情况讨论！ 易错提示：这是本节课最容易出错的地方！“∠AOB＝2∠BOC → OC是角平分线”是一个错误的推理！因为OC可能在∠AOB的外部。正确推理是：“∠AOB＝2∠BOC＝2∠AOC → OC是角平分线”。无图条件一定要分情况讨论！ 【过渡语】讨论清楚了逆命题的问题，下面我们通过四道练习来全面巩固本节课的知识。 【课堂练习：巩固与应用】（12分钟） 【教师活动】练习1 比较图中三角形的三个角的大小。请同学们用量角器分别量出三个角的度数，然后比较。 【学生活动】用量角器分别量出三个角的度数，比较大小：∠C＞∠A＞∠B。 【教师活动】解：用量角器分别量出三个角的度数，得到∠C＞∠A＞∠B。这道题练习了度量法，也提醒我们：比较角的大小不要仅凭目测，要动手测量。 【教师活动】练习2 如图，点O在直线AB上，过点O作射线OE、OC、OD。(1)∠BOE能表示成哪两个角的和？有几种不同的表示方法？(2)∠AOE能表示成哪两个角的差？有几种不同的表示方法？ 【学生活动】分析：(1)∠BOE＝∠BOD＋∠DOE，∠BOE＝∠BOC＋∠COE，共2种。(2)∠AOE＝∠AOC－∠COE，∠AOE＝∠AOD－∠DOE，∠AOE＝∠AOB－∠BOE，共3种。 【教师活动】解：(1)∠BOE＝∠BOD＋∠DOE，∠BOE＝∠BOC＋∠COE，共2种。(2)∠AOE＝∠AOC－∠COE，∠AOE＝∠AOD－∠DOE，∠AOE＝∠AOB－∠BOE，共3种。这道题练习了角的和与差的多种表示方法，关键是看清图形中射线之间的位置关系。 【教师活动】练习3 已知射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB＝60°，∠BOC＝20°，求∠AOC的度数。注意：这道题没有给出图形，需要分情况讨论！ 【学生活动】分情况讨论：情况一：OC在∠AOB内部，则∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－20°＝40°。情况二：OC在∠AOB外部，则∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝60°＋20°＝80°。 【教师活动】解：当OC在∠AOB内部时，∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－20°＝40°；当OC在∠AOB外部时，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝60°＋20°＝80°。所以∠AOC＝40°或80°。这道题练习了无图条件下分情况讨论的思想，与刚才讨论的逆命题辨析一脉相承。 【教师活动】练习4 如图，OB平分∠AOC，∠AOD＝90°，∠COD＝31°18'。求∠BOC的度数。这道题涉及角平分线和度分秒的运算，请注意单位换算。 【学生活动】分析：∵∠AOD＝90°，∠COD＝31°18′，∴∠AOC＝∠AOD－∠COD＝90°－31°18′＝89°60'－31°18′＝58°42′。∵OB平分∠AOC，∴∠BOC＝∠AOC/2＝58°42′/2＝29°21′。 【教师活动】解：∠AOC＝∠AOD－∠COD＝90°－31°18′＝89°60'－31°18′＝58°42′。∵OB平分∠AOC，∴∠BOC＝∠AOC/2＝58°42′/2＝29°21′。注意：90°化为89°60'后再减，58°42′除以2时，58°÷2＝29°，42′÷2＝21′。 【知识点】无图条件下角的计算必须分情况讨论。角平分线+度分秒运算时，注意60进制，借位时借1°得60'，借1′得60″。 重点强调：无图条件下求角度，一定要分情况讨论！这是本节课的核心考点。OC可能在∠AOB内部，也可能在∠AOB外部，两种情况的答案不同。另外，角平分线+度分秒运算时，除法要分别对度和分进行，注意60进制。 【过渡语】练习做完了，同学们对角的大小比较、角的和差运算和角平分线都掌握得很好。下面我们来回顾本节课的知识框架。 【课堂小结：知识框架梳理】（3分钟） 【教师活动】本节课我们学习了角的比较与运算，谁能总结一下我们学到了什么？ 【学生活动】回顾总结：学会了角的大小比较方法（度量法和叠合法）；理解了角的和与差运算；掌握了角平分线的定义和推理格式；学会了无图条件下分情况讨论的方法。 【教师活动】总结得非常全面！我们一起来梳理知识框架。本节课围绕“角的比较与运算”，从三个方面展开：第一，角的大小比较——度量法（用量角器）和叠合法（顶点和一边重合，看另一边位置）；第二，角的和与差——∠AOC＝∠AOB＋∠BOC（和），∠AOB＝∠AOC－∠BOC（差）；第三，角平分线——从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，推理格式：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠COB＝∠AOB/2。 【教师活动】特别提醒：无图条件下求角度，一定要分情况讨论！“∠AOB＝2∠BOC”不能推出“OC是角平分线”，必须同时满足“∠AOB＝2∠AOC”。这是本节课最容易出错的地方！ 【知识点】本节课核心知识框架：1.角的大小比较——度量法（量角器）、叠合法（三种结果）；2.角的和与差——∠AOC＝∠AOB＋∠BOC，∠AOB＝∠AOC－∠BOC；3.角平分线——OC平分∠AOB ⇔ ∠AOC＝∠COB＝∠AOB/2；4.三等分线、四等分线；5.无图条件下分情况讨论。 重点强调：角平分线是本课时的核心考点！记忆口诀：“角平分线，一半半；推理格式记心间。无图条件要讨论，内部外部分两边。”。类比线段中点来学习，事半功倍！ 四、板书设计 五、教学反思 1. 本节课学生哪些地方容易出错？ 2. 哪些学生需要特别关注？ 3. 教学时间分配是否合理？ 4. 实验/探究环节是否达到预期效果？ 5. 有哪些生成性问题？如何处理？ 6. 下节课如何改进？ 学科网（北京）股份有限公司 $