精品解析：　广东省广州市越秀区广州大学附属中学2025-2026学年下学期八年级期末数学试题

2025-2026学年第二学期期末测试 八年级数学学科问卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 若有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了分式、二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于，分母不等于列式求解即可，熟练掌握分式、二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵有意义， ∴且， ∴， 故选：． 2. 在中，，，的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理等知识点，根据三角形的内角和定理求出的度数，即可判断选项，根据三角形内角和定理求出和的度数，即可判断选项，选项，根据勾股定理的逆定理判定选项即可，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解决此题的关键． 【详解】解：、由,，则不是直角三角形，故本选项符合题意； 、由,，得,是直角三角形，故本选项不符合题意； 、由,,则,是直角三角形，故本选项不符合题意； 、由,得是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 一个木匠制作了一块四边形的踏板．为了检验这块踏板是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（ ） A. 测量踏板的对角线是否互相平分 B. 测量踏板的对角是否相等 C. 测量踏板的三个角是否都为 D. 测量踏板的一组对边是否平行且相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形和矩形的判定规则，逐一判断各选项即可得到结论． 【详解】解：A：对角线互相平分的四边形是平行四边形，无法判定是矩形，故该选项不合题意； B：对角相等的四边形是平行四边形，无法判定是矩形，故该选项不合题意； C：四边形内角和为，若三个角都为，则第四个角也为，四个角都是直角的四边形是矩形，故该选项符合题意； D：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，无法判定是矩形，故该选项不合题意． 4. 如图，用弹簧测力计挂一个砝码，手持弹簧测力计从盛着水的圆柱形容器上方离水面某一高度处缓缓下降，使砝码逐渐浸入水中（不接触容器表面）．则下图中，能反映下降过程中，弹簧测力计读数与砝码下降高度之间的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据物理知识可知，手持弹簧测力计从盛着水的圆柱形容器上方到水面时，受重力和弹簧的拉力两个力作用， 此时弹簧拉力等于重力， ∴弹簧测力计的读数不发生变化； 当砝码开始侵入水中，砝码受弹簧拉力，重力和浮力三个力的作用， 此时弹簧拉力重力浮力， ∵浮力随着砝码排开水的体积的增大而增大， ∴弹簧测力计的读数在减小，直到砝码完全侵入水中； 当砝码完全侵入水中后，浮力不再变化，此时弹簧测力计读数不再变化． 5. 如图，在中，对角线相交于点为的四等分点，为的中点．若，则的长是（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据平行四边形得到为的中点，继而得到为的中位线，为的中位线，即可求解． 【详解】解：取的中点，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴为的中点， ∵点为的四等分点，的中点， ∴点为的中点， ∵为的中点， ∴， ∵的中点，为的中点， ∴， 故选：C． 6. 在统计学中，三个数值把一组数由小到大排列分成四等份，称这三个数值为这组数据的四分位数，张老师绘制了某次数学检测中1班，2班两个班级学生得分的箱线图，则下列说法正确的是（ ） A. 1班中位数班中位数 B. 1班方差班方差 C. 1班得分低于105的人数多于2班得分低于105的人数 D. 若每班都有50个学生，2班的第13名分数高于1班的第13名 【答案】D 【解析】 【分析】根据箱线图读取两个班级的中位数、四分位数及极差等统计量，结合方差的定义及百分位数的概念逐项判断即可． 【详解】解：由箱线图可知：1班的中位数大于120，2班的中位数小于120， ∴1班中位数班中位数，故A错误； 由图可知，2班数据的极差（最大值减最小值）及四分位距（箱体长度）均大于1班，数据分布更分散， ∴1班方差班方差，故B错误； 虽然2班得分低于105分的比例大于，1班得分低于105分的比例小于， 但两个班级的总人数未知，无法比较具体人数，故C错误； 若每班都有50个学生，将成绩从高到低排列， ∵ 由图可知，1班的上四分位数小于2班的上四分位数， ∴2班的第13名分数高于1班的第13名，故D正确． 7. 一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 不等式解集是 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据图象，逐一进行判断即可. 【详解】解：由图象可知，，故选项A，B错误； 当时，，故选项C错误； 不等式解集是，故选项D正确. 8. 将若干个大小相等的正五边形排列成环形，如图是排列的前4个正五边形，要完成这一个圆环还需要（ ）个这样的正五边形． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正五边形的内角度数，再根据拼接处周角为求出围成圆环所需的正五边形总数，最后减去已有的数量即可． 【详解】解：正五边形的内角为． 则在圆环内侧形成的正边形的一个内角为． 设围成这一圆环共需要个正五边形， 该正边形的一个外角为． ∵多边形的外角和为， ∴． 图中已排出4个正五边形，还需要个这样的正五边形． 9. 点都在直线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，先根据直线判断出函数图象的增减性，再根据点的横坐标的大小进行判断即可． 【详解】解：∵直线中，， ∴y随x的增大而减小， 又， ∴， 故选：B． 10. 如图，，点D在边上（与B，O不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点C，连接交于点H，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点D坐标为，点A坐标为，给出以下结论：①四边形为矩形；②；③；④点H的坐标；⑤．其中正确的答案是（　　） A. ①③④⑤ B. ①②③⑤ C. ②③④⑤ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由正方形的性质得到，，证明，得到，，再证明，即可证明四边形是矩形，故①正确；则，再由，可得，故②正确；在中，由勾股定理得，则，在中，由勾股定理得，，故③正确；如图所示，过点E作轴于T，同理可证明，可得；求出直线解析式为，可得，故④正确；则，故⑤错误． 【详解】解：∵点坐标为，点坐标为， ∴； 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形，故①正确； ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故③正确； 如图所示，过点E作轴于T， 同理可证明， ∴， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴，故④正确； ∴，故⑤错误； ∴正确的是①②③④， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，正确利用一线三垂直模型证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．） 11. 函数是一次函数，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的定义，列出关于的方程和不等式，即可求解的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 由可得， 由可得， ∴． 12. 如表记录了四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择______． 甲 乙 丙 丁 平均数（） 188 180 188 180 方差 【答案】甲 【解析】 【分析】根据平均数和方差的意义解题，平均数越大代表成绩越好，方差越小代表成绩越稳定，先通过平均数筛选出成绩较好的运动员，再通过方差确定发挥稳定的人选． 【详解】解：， 从甲和丙中选择参赛运动员， ， 甲的成绩更稳定，选择甲． 13. 如图，矩形纸片的边上有一点，将纸片沿折叠，点落在点．若，，则点到的距离等于______． 【答案】 【解析】 【分析】作于点F，先根据折叠性质和角度关系求出，再利用直角三角形中角所对边等于斜边一半，求出的长度 【详解】解：作于点F， ， 由折叠得，，， 又四边形为矩形， ， ， ， ． 14. 如图，点是 、 的斜边的中点，且，，分别连接，，则 的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三线合一可得，且，进而根据三角形的外角的性质得出，再根据三角形的内角和定理，以及等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点是 、 的斜边的中点，， ∴，且，则， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三线合一，三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15. 若关于的分式方程的解是正数，且一次函数不经过第二象限，则满足所有条件的整数的和为______． 【答案】3 【解析】 【分析】先求解分式方程，根据解为正数且分母不为0得到m的取值范围，一次函数的图象分布确定一个范围，综合确定解集，找出范围内所有整数，求和即可得到结果． 【详解】解：解分式方程 方程两边同乘 得 整理得 ， ∵分式方程的解为正数，且分母不能为0 ∴ 且 解得且 因为一次函数不经过第二象限， 所以 ，且， 故； 综上所述，且； 符合条件的整数为：， 故. 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，点C的坐标为．点D在x轴上，连接，使，则点D的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出，，，从而可得，再分两种情况：当点在点左侧时，当点在点的右侧时，分别求解即可得出结果． 【详解】解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点在点左侧时， ∵，， ∴， 过点作，交直线于点，过点作轴，过点作于，过点作于，则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 将代入可得， 解得， ∴； 当点在点的右侧时， 作点关于直线的对称点，连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴， 综上所述，点D的坐标为或． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂的运算法则、绝对值的性质，二次根式的化简，负指数幂的运算法则即可解答． 【详解】解： ； 【点睛】本题考查了零指数幂的运算法则、绝对值的性质，二次根式的化简，负指数幂的运算法则，掌握对应法则是解题的关键． 18. 如图，A、D、B、F在一条直线上，，，．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】证明，得到，进而得到，即可得证. 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 19. 4月23日是世界读书日，某校组织了以“书香润心，阅读致远”为主题的读书大赛．本次大赛包含“阅享心得”“经典诵读”“创意书签”这三项比赛，每项比赛的满分均为100分．其中“阅享心得”以10位评委打分的平均分作为最终分数；“经典诵读”以8位评委去掉最高分和最低分后的平均分作为最终分数；“创意书签”以满分乘投票率作为最终分数．小赵和小李两名同学参加了本次读书大赛． 数据收集与整理 a．“阅享心得”10位评委打分的折线统计图： b．“经典诵读”8位评委打分数据： 小赵：83，88，90，95，83，76，80，86． 小李：90，85，95，88，96，94，99，95． c．小赵和小李三项比赛的最终分数的统计表如下： 同学 分数/分 阅享心得 经典诵读 创意书签 小赵 92 86 小李 92 73 请根据以上信息，回答下列问题． （1）计算统计表中的值． （2）有人认为“小赵和小李两名同学‘阅享心得’这项比赛的最终分数一致，所以这两名同学这项比赛的水平一样”．请你从“中位数”“众数”的角度任选一个说明你的看法． （3）若本次大赛将“阅享心得”“经典诵读”“创意书签”这三项比赛的最终分数按的比例计算最终成绩，请通过计算说明小赵和小李两名同学谁的最终成绩更好． 【答案】（1） （2）中位数角度看，小李得分高于小赵得分；众数角度看，小赵得分高于小李得分； （3）小赵的最终成绩更好 【解析】 【分析】（1）根据算术平均数的公式计算即可； （2）根据中位数和众数的定义解答即可； （3）根据加权平均数解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：； 【小问2详解】 解：把“阅享心得”10位评委打分从小到大排列： 小赵：88，89，90，92，93，93，93，93，94，95； 小李：85，88，88，88，94，94，95，95，96，97； ∴小赵得分的中位数为分，小李得分的中位数为分， ∴中位数角度看，小李得分高于小赵得分； ∵小赵得分中93出现次数最多，小李得分中88出现次数最多， ∴小赵得分的众数为93，小李得分的众数为88， ∴众数角度看，小赵得分高于小李得分； 【小问3详解】 解：小赵的得分为：分， 小李的得分为：分， ∵， ∴小赵的最终成绩更好． 20. 定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． （1）已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； （2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【答案】（1） 是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）BN＝12或13 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12或13． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解． 21. 如图，点在上，为线段的中点，，分别为，的平分线． （1）尺规作图：过点作的平行线； （2）若（1）中的直线交于点，交于点，试判断四边形的形状，并证明． 【答案】（1） （2）四边形是矩形，证明如下： 连接，如图所示： ∵，分别为，的平分线， ∴， ∵， ∴， 即 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的平行线，进行作图即可得出符合题意的直线； （2）根据角平分线的性质以及平行线的性质，得出，再结合等角对等边，以及根据为线段的中点，得出对角线互相平分，故四边形是平行四边形，再根据有一个角是90度的平行四边形是矩形，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某中学八年级数学兴趣小组对“校门口车道拥堵”问题展开项目式学习． 【模型准备】 校门口呈东西方向共5条车道，路口无红绿灯．兴趣小组认为，某方向车道的拥堵程度可以用该方向的交通量（每分钟该方向通行的车辆数，单位：辆／分钟）与该方向车道数的比值来衡量．例如，自西向东方向的交通量为20，有2个车道，故拥堵度为10．拥堵度的数值越大，该方向越拥堵．记自东向西的拥堵度为，自西向东的拥堵度为， 【收集数据】 小组成员分工进行数据收集并整理如下： 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自东向西交通量（辆／分钟） 32 26 20 14 8 自西向东交通量（辆／分钟） 11 14 17 20 23 【建立模型】 成员小明发现，时间与交通量的变化规律符合一次函数的特征，并由此得到与的函数关系式及与的函数关系式． 【模型应用】 兴趣小组希望根据两个方向的拥堵度来合理设置不同时段可变车道的方向．成员小敏认为，在没有可变车道的情况下，哪个方向的拥堵程度更高，可变车道就设置为该方向． 【问题求解】 （1）与的函数关系式为______；与的函数关系式为______． （2）在13时，如果可变车道为自东向西方向，通过计算及的值说明哪个方向更拥堵． （3）根据小敏的想法，请设计该路段8时至20时的可变车道方案，并说明理由． 【答案】（1），； （2）自西向东更堵 （3）8时至15时，可变车道设置为自东向西；15时至20时，可变车道设置为自西向东 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用．理解并应用拥堵度解决问题是解决本题的关键． （1）设，取表格中任意两组数值代入可得k，b；m，n的值，即可求得相应的函数解析式； （2）取，求得相应的和的值，进而求得和的值，比较后即可得到哪个方向的车道更拥堵； （3）分别假设，时，求出x的值，即可得到可变车道的设计方案． 【小问1详解】 解：设， ∴， 解得：， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：当时，， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴自西向东更堵； 【小问3详解】 解：由已知可知： 当时，， 解得：， 即 当时，， 解得：， 即 答：8时至15时，可变车道设置为自东向西；15时至20时，可变车道设置为自西向东． 23. 综合与实践课上，小磊通过折叠矩形做的角后，发现将矩形纸片换成正方形纸片，也可以折叠出特殊角，于是他进行了以下探究． （1）【操作判断】 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平． 根据以上操作，请写出图1中的度数，并说明理由． （2）【拓展应用】 小磊在以上操作的基础上，继续研究，延长交于点M，连接交于点N，如图2．试判断的形状，并说明理由． （3）【迁移探究】 如图③，已知正方形的边长为3，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出的长． 【答案】（1），见解析 （2）是等边三角形，见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质结合正方形的性质证明是等边三角形，再根据 即可得解． （2）连接，由折叠的性质结合正方形的性质证明可求，再证明，可得，进而得证； （3）分两种情况讨论，或2，再根据勾股定理设未知数列方程求解即可． 【小问1详解】 解：，理由如下， 如图，连接， 四边形是正方形， ， 由折叠可知，， ， ， ， 是等边三角形， ， ； 【小问2详解】 解：是等边三角形，理由如下： 如图，连接， 四边形是正方形， ， 由折叠可知，， ， 由（1）得，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形； 【小问3详解】 解：点H是边的三等分点， 或2； 由（2）知，， ， 由折叠可知， 当时，则， 设，则， ， 在中，， ， 解得 ， ， 当时，， 设，则， ， 在中，， ， 解得， ， 综上，的长为或． 24. 如图1，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与x轴交于点D，与直线交于点E， （1）若，点E的横坐标为4． ①求b的值和点D的坐标； ②已知P是坐标平面内一点，连接，，，所得的，的面积分别为，，设；如图2，若点P在直线上运动，且位于四边形内，则k是否为定值？若是请求出这个定值，若不是请说明理由； （2）如图3，若，将直线沿x轴向左平移2个单位后，与x轴，y轴分别交于A，B两点，O关于A的对称点为F；G为中点，P为直线上的一点，且，求P的横坐标（用含a的代数式表示）． 【答案】（1）①，点D的坐标为；②是，为定值； （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据一次函数的性质求出点E的坐标，再代入求出b的值，再根据一次函数的性质即可点D的坐标；②过点作轴交直线于点，交直线于点，设点P的坐标为，则，，利用三角形面积公式分别表示出和，得出，即可得出结论； （2）根据题意可得，，分两种情况讨论：①P在直线上方；②P在直线下方，作交于点，作轴于点，作于点，先证明得到，，求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的表达式，再联立直线，即可求出P的横坐标． 【小问1详解】 解：①根据题意，直线表达式为， 当时，， ∴， 代入到，得， 解得， ∴直线表达式为， 当时，， 解得， ∴点D的坐标为； ②如图2，过点作轴交直线于点，交直线于点， ∵点P在直线上运动， ∴设点P的坐标为， ∴，， ∴，， 由①得，，， ∴， 对于直线， 当时，；当时，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵将直线沿x轴向左平移2个单位， ∴平移后的直线为， 当时，；当时，，解得， ∴，， ∵O关于A的对称点为F， ∴， ∴， ∵G为中点， ∴点的坐标为，即； ①当P在直线上方时，如图，作交于点，作轴于点，作于点， 则， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为， 联立， 则， 解得， ∴P的横坐标为； ②当P在直线下方时，如图，作交于点，作轴于点，作于点， 则， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， 同理可得直线的表达式为， 联立， 则， 解得， ∴P的横坐标为； 综上所述，P的横坐标为或． 25. 在等腰中，，，点D为上一点，连接． （1）如图1，若平分，，求的长； （2）如图2，过点D作，交于点E，交延长线于点F，连接，，用等式表示线段，的数量关系并证明； （3）如图3，，P为上的点，且，连接，当取最小值时，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，在的延长线上取一点M，且，连接，若，为锐角，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） ，证明如下： 过点A作，且，连接，， ∵在等腰中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∵中，，， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）过点D作，交于点H．证明，得出，，根据等腰三角形的判定和勾股定理可得出，，设，则，结合得出，然后解方程即可求解； （2）过点A作，且，连接，，证明，得出，，进而可证，再证明，得出，根据勾股定理可求出，即可出结论； （3）以B为顶点，为边，在的下方作，且截取，连接，，可证，得出，则，故当A、P、G三点共线时，取最小值，此时，过A作于E，过G作于F，可求出，，根据等面积法求出，进而求出，根据等边对等角、三角形外角的性质等知识可得出，则，然后根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：过点D作，交于点H． ∵在等腰中，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：以B为顶点，为边，在的下方作，且截取，连接，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、G三点共线时，取最小值， ∵，， ∴，， 此时，过A作于E，过G作于F， 则和都是等腰直角三角形， ∴，， 又， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末测试 八年级数学学科问卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 若有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 2. 在中，，，的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个木匠制作了一块四边形的踏板．为了检验这块踏板是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（ ） A. 测量踏板的对角线是否互相平分 B. 测量踏板的对角是否相等 C. 测量踏板的三个角是否都为 D. 测量踏板的一组对边是否平行且相等 4. 如图，用弹簧测力计挂一个砝码，手持弹簧测力计从盛着水的圆柱形容器上方离水面某一高度处缓缓下降，使砝码逐渐浸入水中（不接触容器表面）．则下图中，能反映下降过程中，弹簧测力计读数与砝码下降高度之间的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，对角线相交于点为的四等分点，为的中点．若，则的长是（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 6. 在统计学中，三个数值把一组数由小到大排列分成四等份，称这三个数值为这组数据的四分位数，张老师绘制了某次数学检测中1班，2班两个班级学生得分的箱线图，则下列说法正确的是（ ） A. 1班中位数班中位数 B. 1班方差班方差 C. 1班得分低于105的人数多于2班得分低于105的人数 D. 若每班都有50个学生，2班的第13名分数高于1班的第13名 7. 一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 不等式解集是 8. 将若干个大小相等的正五边形排列成环形，如图是排列的前4个正五边形，要完成这一个圆环还需要（ ）个这样的正五边形． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 点都在直线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，点D在边上（与B，O不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点C，连接交于点H，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点D坐标为，点A坐标为，给出以下结论：①四边形为矩形；②；③；④点H的坐标；⑤．其中正确的答案是（　　） A. ①③④⑤ B. ①②③⑤ C. ②③④⑤ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．） 11. 函数是一次函数，则m的值为______． 12. 如表记录了四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择______． 甲 乙 丙 丁 平均数（） 188 180 188 180 方差 13. 如图，矩形纸片的边上有一点，将纸片沿折叠，点落在点．若，，则点到的距离等于______． 14. 如图，点是 、 的斜边的中点，且，，分别连接，，则 的度数是______． 15. 若关于的分式方程的解是正数，且一次函数不经过第二象限，则满足所有条件的整数的和为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，点C的坐标为．点D在x轴上，连接，使，则点D的坐标为________． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17. 计算：． 18. 如图，A、D、B、F在一条直线上，，，．求证：四边形为平行四边形． 19. 4月23日是世界读书日，某校组织了以“书香润心，阅读致远”为主题的读书大赛．本次大赛包含“阅享心得”“经典诵读”“创意书签”这三项比赛，每项比赛的满分均为100分．其中“阅享心得”以10位评委打分的平均分作为最终分数；“经典诵读”以8位评委去掉最高分和最低分后的平均分作为最终分数；“创意书签”以满分乘投票率作为最终分数．小赵和小李两名同学参加了本次读书大赛． 数据收集与整理 a．“阅享心得”10位评委打分的折线统计图： b．“经典诵读”8位评委打分数据： 小赵：83，88，90，95，83，76，80，86． 小李：90，85，95，88，96，94，99，95． c．小赵和小李三项比赛的最终分数的统计表如下： 同学 分数/分 阅享心得 经典诵读 创意书签 小赵 92 86 小李 92 73 请根据以上信息，回答下列问题． （1）计算统计表中的值． （2）有人认为“小赵和小李两名同学‘阅享心得’这项比赛的最终分数一致，所以这两名同学这项比赛的水平一样”．请你从“中位数”“众数”的角度任选一个说明你的看法． （3）若本次大赛将“阅享心得”“经典诵读”“创意书签”这三项比赛的最终分数按的比例计算最终成绩，请通过计算说明小赵和小李两名同学谁的最终成绩更好． 20. 定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． （1）已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； （2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 21. 如图，点在上，为线段的中点，，分别为，的平分线． （1）尺规作图：过点作的平行线； （2）若（1）中的直线交于点，交于点，试判断四边形的形状，并证明． 22. 某中学八年级数学兴趣小组对“校门口车道拥堵”问题展开项目式学习． 【模型准备】 校门口呈东西方向共5条车道，路口无红绿灯．兴趣小组认为，某方向车道的拥堵程度可以用该方向的交通量（每分钟该方向通行的车辆数，单位：辆／分钟）与该方向车道数的比值来衡量．例如，自西向东方向的交通量为20，有2个车道，故拥堵度为10．拥堵度的数值越大，该方向越拥堵．记自东向西的拥堵度为，自西向东的拥堵度为， 【收集数据】 小组成员分工进行数据收集并整理如下： 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自东向西交通量（辆／分钟） 32 26 20 14 8 自西向东交通量（辆／分钟） 11 14 17 20 23 【建立模型】 成员小明发现，时间与交通量的变化规律符合一次函数的特征，并由此得到与的函数关系式及与的函数关系式． 【模型应用】 兴趣小组希望根据两个方向的拥堵度来合理设置不同时段可变车道的方向．成员小敏认为，在没有可变车道的情况下，哪个方向的拥堵程度更高，可变车道就设置为该方向． 【问题求解】 （1）与的函数关系式为______；与的函数关系式为______． （2）在13时，如果可变车道为自东向西方向，通过计算及的值说明哪个方向更拥堵． （3）根据小敏的想法，请设计该路段8时至20时的可变车道方案，并说明理由． 23. 综合与实践课上，小磊通过折叠矩形做的角后，发现将矩形纸片换成正方形纸片，也可以折叠出特殊角，于是他进行了以下探究． （1）【操作判断】 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平． 根据以上操作，请写出图1中的度数，并说明理由． （2）【拓展应用】 小磊在以上操作的基础上，继续研究，延长交于点M，连接交于点N，如图2．试判断的形状，并说明理由． （3）【迁移探究】 如图③，已知正方形的边长为3，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出的长． 24. 如图1，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与x轴交于点D，与直线交于点E， （1）若，点E的横坐标为4． ①求b的值和点D的坐标； ②已知P是坐标平面内一点，连接，，，所得的，的面积分别为，，设；如图2，若点P在直线上运动，且位于四边形内，则k是否为定值？若是请求出这个定值，若不是请说明理由； （2）如图3，若，将直线沿x轴向左平移2个单位后，与x轴，y轴分别交于A，B两点，O关于A的对称点为F；G为中点，P为直线上的一点，且，求P的横坐标（用含a的代数式表示）． 25. 在等腰中，，，点D为上一点，连接． （1）如图1，若平分，，求的长； （2）如图2，过点D作，交于点E，交延长线于点F，连接，，用等式表示线段，的数量关系并证明； （3）如图3，，P为上的点，且，连接，当取最小值时，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，在的延长线上取一点M，且，连接，若，为锐角，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $