26.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质同步训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数图象与性质，通过基础巩固、图象变换到综合应用的递进式训练，系统覆盖解析式确定、单调性、最值等核心考点，渗透几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|选择1-3、填空9|待定系数法求解析式、单调性判断、函数值比较|从点坐标到解析式，关联对称轴与单调性，构建概念生成链条| |图象变换|选择4/8、填空12|平移规律应用、图象翻折分析、正方形几何关联|结合平移法则与对称性，深化图象变换认知，体现空间观念| |综合应用|解答13/16、填空10|五点作图、直角三角形存在性、面积最值探究|综合函数性质与几何图形，构建数学模型解决实际问题，发展应用意识|

26.2.3二次函数y=ax2+比x+c的图象和性质同步训练 新人教版2026一2027学年九年级数学上册 一、选择题 1.已知抛物线'=++c(a≠0)过点42，)、B6,D和C4,2),那么a+b+c的值是 () A.2 B.3 C.4 D.5 2.已知抛物线"=r+(m-)x+m,当=时，<4，且当>2时，y的值随x值的增 大而增大，则的取值范围是() A.m>-3 B.m<2 C.-3≤m<2 D.1<m≤3 3.若点1-1）、B2,）、C(4)在二次函数'=ar-2a+1(a>0)的图象上，则八、 的大小关系是() A.片<%<乃B.为<乃<y C.⅓<片<为 D.片<h<⅓ 4、将抛物线”=r+2 向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是 () A.y=x+1B.y=(- C.y=(x+3)月 D.y=(x+2)2+1 5.函数y=r-a与'=-a(a≠0) 在同一平面直角坐标系中的图象可能是() 6.二次函数=ar+bx+c 的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① 试卷第1页，共3页 a<0 >0b2-4ac>03a+b=0 ② ；③ ;④ ,其中，正确的有（)， A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.若函数'=+x+b在0≤r≤ 在 的最大值是M,最小值是”，则M-m() A.与a有关，且与b有关 B.与a有关，但与b无关 C.与a无关，且与b无关 D.与a无关，但与b有关 8.将二次函数"=r+2x-3 的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得 到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是() A.当x=-1时，函数有最大值 B.当x<-1时，y随x的增大而增大 C.图象与轴两个交点之间的距离为4D.图象与'轴的交点坐标为 0,2) 二、填空题 9.已知二次函数"=r+4+5 ,当3≤xs0 时，y的取值范围为 10.已知抛物线'=-2r-4r+ 与轴交于点4和点B,点C为抛物线上的一动点，当 △ABC为直角三角形时，则点C的坐标为 1 11.己知二次函数y=x2-hx+b+1的图象经过点A(-1,n)和点B(m-3,n),当=2时函数 取得最小值，则m的值为 试卷第2页，共3页 12.如图，关于的二次函数 =x2-2mx+m2+ 的图像为抛物线C,直线=“与抛物线 C交于A,B两点，过抛物线C的顶点作x轴的平行线I,过A,B分别作的垂线，垂足 为M,N.若四边形ABNM为正方形，则a= y=a M ol 三、解答题 y=ax2+bx+c 13.已知：二次函数 y与x的一些对应值如表： 。 -1 0 2 ax2+bx+c … e 3 -1 3 … 4 3 4 -4-3-2-10 1234x 2 3 4 (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为一： (2)表格中空白处的值m=一，n=一： (3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数'=ar+br+C 的图象，并回答：顶点坐 标为 ,对称轴方程为； (4)当0<x≤t时，-1≤y<3,则t的取值范围为 试卷第3页，共3页 14,己知二次函数y=a+r+c4≠0)经过41(3,0B(-1,0)两点 (I)对称轴方程为，用含a的代数式表示c,则c=_: (2)-次函数y=2x+3a与'=ar+x+d有且只有3个公共点时，求a的值： P.0)作垂直于x轴的直线分别与一次函数=2x+30,二次函数=a++C交 (3)过点 于E,F两点，满足当-1≤t≤1的时候，总有E,F两点之间距离小于1，求a的取值范围. 15.已知抛物线乙：y=-r++c (1)当b=2,c=1时，求抛物线L的顶点坐标： (2)点0为平面直角坐标系原点， Mm,2mr).N(,2n)在抛物线L上，且m<m, m≠0 ①若m+n=p,用含P的代数式表示b； ②当∠MON=90°时，求证：抛物线L恒过定点，并求出定点的坐标. 16、如图，已知直线y=-名 3x+4交x轴正半轴于点C,交y轴正半轴于点g,抛物线 y=ar2+10 x+C经过gC两点，交x轴负半轴于点A 试卷第4页，共3页 E B C下 (1)求抛物线的解析式： (2)E是直线BC上方抛物线上的一动点，当四边形BOCE面积最大时，请直接写出点E的 坐标. 17.已知二次函数'=r+r+ 0,-3)(2,5) 的图象经过 (1)求这个二次函数的解析式： (2)当-2≤x<2时，直接写出y的取值范围. y=x2+mx+n 18.已知抛物线1 的对称轴在'轴右侧当1≤x≤4时，'的最小值为5， 最大值为11. (I)求整数m,n的值； @四在（4山的条件下，直线=：-2与抛物线在1≤x≤4范围内有两个交点，点P(,）, 试卷第5页，共3页 (:,片)均在抛物线上，P在巴的左侧. ①求k的取值范围； @若=，过点P作PW1X轴，垂足为V,交直线于点M.设△PM0的面积为 △0N的面积为5，若65=18-2x,且S=28,求的近似值 试卷第6页，共3页 参考答案 1.A 2.C 3.A 4.C 5.D 6.D 7.B 8.C 9.1≤y≤5 -2+51-2-51 60.22或27 11.5 12.5 18.【详解】（4)解：依题忘，把Q32-43分别代入=am+hx+c, [3=c -1=4a+2b+c 得 3=16a+4b+c a=1 b=-4 解得 c=3’ :=-4x+3 (2)解：依题意，把=-1代入=-4r+3 得=（--4×()+3=8，即m=8, 把x=引代入=-4+3 试卷第7页，共3页 得P=1-4x1+3=0 即n=0 (3)图象如图所示： 3 -4-3-2-10 八2乃4x -3 -4 (2,-1)x=2 y=x2-4x+3=x2-4x+4-1=(x-2)2-1 2,-1) 顶点坐标为 对称轴方程为x=2」 (4)解：观察(3)的函数图象： 3 -4-3-2-10 234x 2 3 4 当-1≤y<3时，则0<x<4 ,当0<x≤t时，-1≤y<3, ∴.结合函数图象，得2≤t<4 14.【详解】(1)解：将4(3,0)B(-1,0)代入y=ar+r+c得： 试卷第8页，共3页 9a-3b+c=0 b=4a a-b+c=0,解得：c=3a, C对称轴方程为x三一。-三2(0》 2a2a 综上：对称轴为x=-2,c=3a (2)解：一次函数y=2x+3a的图象为一条直线， .b=4a,c=3a, y=atbx+c=a(x+4x+3) ..y=a+bx+e=ax'+4ax+3a=a(x+4x+3) :y=(t+4+3列的图象是将二次函数y=a(r+4+3列的图象在x轴下方的部分沿x轴 上翻折到x轴上方， :.y=(+4x+3列在x轴下方没有图象。 要使一次函数y=2x+30与=r+c+有且贝有3个公共点，则a>0, .y@(x+4x+3)-a+4x+3 如图所示，当=2x+30经过4(3,0)时。 .6+3a=0,解得：a=2; 如图所示，一次函数y=2x+3加与'-a++d在点太B之间的图象只有一个交点， 试卷第9页，共3页 在点小B之间的图象解折式为'=-a-4ar-3a(-3≤x≤-) 令a-4ar-3a=2x+30,整理得：+(4a+2)r+60=0 △=(4a+2}-4xax6a=224a-1三0，解得：Q=2或a=2（金本、 2+V6 a= 综上：a=2或“-2 (3)解：P,0) .E,21+3a）,Fk,at2+4at+3a) :EF=（ar2+4at+3a-(2t+3a=lr+(4a-2)4. 令y=br+(4a-2川，当t=0时，y=0. -4和-3州经点关发=2-。2对 (2a-12 当=1时y=5a-2水当，1-1时，y=a-2当1=。2时，。： a :当-ls1≤1时，ar+(4a-2)川<1 :l5a-2<1aBa-2<1, 试卷第10页，共3页 11-2<1, .3a 1 3 当<2≤0时，解得：2≤a<亏，如图所示： 当3a ∴此时5a-2=5a-2,3a-2=2-3a,a .(5a-2)-(2-3a)=8a>0 .5a-2>2-3a, a-2y-2a_a-20 0 a 5a-2>2a- 六此时当1=1时，=r+(a-24取最大值为=5a-250-2, 3 5a-2<1,解得：a< 5 13 5 当0<。2<1时，解得：号a<2,如图所示： 1 a 试卷第11页，共3页 -101 .(3a-2-(5a-2}=-8(2a2-1)>0 、3a-2>5a-2 :2-3a>2a-y a, 此时当1=-1时.=br+(4a-2训取最大值为=Ba-2-2-30, 1 ÷2-3a<1,解得：a>3 1 1 3<a<2 综上：3a< 1 5· 15。【详解】()解：当0=2，C=1时，抛物线的解折式为=-+2x1 配方得少=-x-)2+2 因此抛物线L的顶点坐标为(1,2) (2)①因为点“ hM(m,2m2）N(n,2n2）) 都在抛物线L上 试卷第12页，共3页 所以可得2m2=-m2+bm+c,2n2=-n2+bn+c 两式作差得2m2-2n2=-m2+n2+bm-bn 整理得3(m2-n）-6(m-m)=0 因式分解得m-n儿3(m+）-6]=0 .m+n=p,m<n ∴.m-n≠0,3p-b=0 b=3p ②抛物线L恒过定点，定点坐标为 04) 证明：，∠MON=90°， .由勾股定理得OM2+OW2=MW2, M(m,2mr2）.N(a,2n2)】 0M2=m2+(2m2)2=m2+4m40N2=n2+(2n2)2=n2+4n4 MN2=(m-n)2+(2m2-2n2)2=(m-n)2+4(m2-n2)2 =m2-2mn+n2+4m4-8m2n2+4n 将上述式子代入OM2+ON2=MN2得： m2+4m4+n2+4n4=m2-2mn+n2+4m4-8m2n2+4n4 整理得8m2n2+2mn=0, 2mn(4mn+1)=0 提取公因式得 ,m≠0，且m<n, .mn≠0， 试卷第13页，共3页 六4mn+1=0,即mn=- 4 =3(m+川），将5=3(m+m代入3m-bm-c=0得.c=3m-3m+m）m=-3m, 由①得 将mns、1 c=-3× 13 4代入得 、44 抛物线L的解析式为y=-x2+bx+3 4 3 当x=0时，y=4,结果与b的取值无关， 3》 0. ∴.抛物线L恒过定点，定点坐标为4)， 【详解】少解：把y=0代入直线三x+4得：0三-x+4,解得： C60) 2 把x=0代入直线y=3x+4得：y=4, ,B(0,4) ·抛物线y=ar2+10 x+C经过B'C两点， 2 [36a+20+c=0 a=- 3 c=4 ,解得： c=4’ 2x+1 ·抛物线的解析式为y=一 10 x+4 3 (2)解：连接OE,如图所示： 试卷第14页，共3页 S四边形B0cE=S,B0E+S,oCE C(6,0)B(0,4) .0C=6,0B=4, 10 。t+4 ),由题意知0<t<6, 1 1 S四边形BOCE ×4t 2 2*6 +9+4-+1+12-2-3+30, 3 .-2<0, ∴当=3时，四边形B0CE的面积最大，此时点E的坐标为8). 17.【详解1（4解：把0-3引，(2，代入)=+r+C 「c=-3 得4+2b+c=5, 「b=2 解得c=-3 y=x2+2x-3 二次函数的解析式为 =x2+2x-3=(x+1)2-4 (2)解：将二次函数配方得 函数的对称轴为直线x=-1 .1>0 ∴二次函数开口向上， ∴当x=-1时，y取得最小值-4： 当x=2时，y=(-2+1-4=-3。 当=2时，y=(2+-4=5 即在-2≤x<2时，y的取值范围是-4≤y<5 试卷第15页，共3页 y=x2+mx+n 18.【详解】(1)解：抛物线 开口向上， 对称轴为x=一2， ,0 由对称轴在y轴右侧得一2 .m<0 ,当-1≤x≤4时，y的最小值为-5，最大值为11 情形一：当对称轴在-1≤≤4时，即1≤-受≤4， 又m<0 .-8≤m<0 六最小值为5即最小值在顶点处，得：加m 4=-5,即n=m-20 4① 最大值在x=-1或x=4, 当x=-l时，1-m+n=11, 代入①解得：m=-6,n=4或m=10,n=20(舍去) 当x=4时，16+4m+n=11. 代入①解得：m=0(舍去)或m=-16(舍去) 信形二：当对将轴4时.即受4 .m<-8, .最大值为x=-1时，1-m+n=11 最小值为x=4时，16+4m+n=-5 解得：m=6.2,不是整数， 综上所述，m=-6,n=4: y=x2-6x+4 (2)解：①联立直线与抛物线y=c-2 得-(6+)x+6=0 :直线y=:-2与抛物线在-1≤x≤4范围内有两个交点， 试卷第16页，共3页 设”=r-(6+)r+6 (-12+(6+k)+620 a=(6+k-24>0且-46+)+6≥0，-1<6<4 2 解(6+)}-24>0 :k>26-6欧<-26-6 (-1)+(6+)+6≥0 解446+6+6≥0得：-13≤k≤月 解-16生s4得-8<k<2 2 综上所述：2V6-6<k≤-1 2 ②设△PM0的面积为，△0MN的面积为5，P(,）,(,) M在y=-2上， :M(,-2）,N(,0）,P(-6+4) :MN=-2=2-a,PM=-6+4-c+2=K-(6+k)x+6 又：6s=186-2i,则5=写+3x 4-=24 :8e-a)=x城 S-PMx-)-6+列+水（飞-）=-(6+)+6x2x写 .9,=2S 5-6++425j0 ,P在Q的左侧 试卷第17页，共3页 5>则+新 .0<x<6 2<x<3 (i)当 时， [-6++62-5-1 当k=-1时， --5+66-)=3+ 解得：古674 (舍去) 0<x≤23≤x<6 (i)当 或 时， [6-6+)+62-)=1 当k=-1时， (G-+66-x)=+5 解得： ≈1.35 试卷第18页，共3页