精品解析：山东省青岛市莱西市 2025-2026学年七年级下学期期末检测数学试题（五四制）

2025-2026学年度第二学期期末质量检测 初二数学试题 （考试时间：120分钟满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第I卷为选择题，共10小题，30分；第II卷为填空题和解答题，共16小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本题满分30分，共10道小题，每小题3分） 1. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 买一张彩票，一定会中奖 B. 经过十字路口，遇到绿灯 C. 打开电视机，正在播放《新闻联播》 D. 任意画一个三角形，内角和是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、买一张彩票，一定会中奖，是随机事件，不符合题意； B、经过十字路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意； C、打开电视机，正在播放《新闻联播》，是随机事件，不符合题意； D、任意画一个三角形，内角和是，是必然事件，符合题意； 故选：D． 2. 如图，直线，且分别与直线 l交于点A，B，把一块含 30°角的三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1=45°，则∠2 的度数是（ ） A. 95° B. 100° C. 105° D. 115° 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，理解并掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质可得，根据平角的性质即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 3. 如图，，则的度数是（　　） A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理求出的度数，再利用，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理．解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等． 4. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式，然后在数轴上表示不等式的解集即可求解． 【详解】解： 解得：， 数轴上表示不等式的解集 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，数形结合是解题的关键． 5. 如图，在等腰中，，点D是线段上一点，过点D作交于点E，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理及外角性质，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，，根据平行线的性质得出，继而得到，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出即可．掌握等腰三角形的性质及平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵在等腰中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角相等、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再根据对顶角相等可得，然后根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】解：如图，由题意得：， ∴， ∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 故选：B． 7. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 三角形的外角大于三角形的内角； B. 两条直线被第三条直线所截得的内错角相等； C. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行； D. 成语“守株待兔”是不可能事件． 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题真假判断，三角形外角性质、平行线的相关概念、事件的分类，逐一判断各命题即可． 【详解】A：∵ 三角形的外角大于与它不相邻的内角，钝角三角形中钝角的外角小于该钝角， ∴ A是假命题． B：∵ 只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，选项未说明两直线平行， ∴ B是假命题． C：∵ 在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，可推出同位角都是，相等，因此两直线平行，符合平行线判定定理， ∴ C是真命题． D：∵ “守株待兔”是可能发生也可能不发生的随机事件，不是不可能事件， ∴ D是假命题． 8. 如图，在中，，，是的中垂线，是的中垂线，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由线段垂直平分线的性质可得，，再由直角三角形的性质可得，，从而得到，根据30度角的性质及垂直平分线的性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的中垂线，是的中垂线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 即， ∴． 9. 如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（ ） A. 方程的解是 B. 方程的解是 C. 关于x，y的方程组的解是 D. 不等式的解集是 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数图象与x轴的交点解答A，再根据两直线的交点解答B，C，然后根据直线在直线下方的部分的自变量取值解答D． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， 所以方程的解是，则A正确； ∵一次函数的图象和一次函数的图象交于点， ∴当时，两个函数值相等， 即方程的解是，则B正确； 方程组的解是，则C正确； 不等式的解集是，则D错误． 10. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论中错误的是（ ） A. B. 当时，，分别是，的中点 C. D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理列式整理即可得解，判断出A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出和是等腰三角形得出故C正确；再利用三角形的三边关系可判断B选项；根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点O到的距离等于，再利用三角形的面积公式列式计算即可得到，判断出D正确． 【详解】解：在中，，  ∵和的平分线相交于点， ∴ ∴， 在中，，故A正确，不符合题意；  ∵在中，和的平分线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项C正确，不符合题意； 当时，在中，，即, ∴，即和不能同时成立， ∴，不是，的中点，即选项B错误； ∵和的平分线相交于点， ∴O在的平分线上，  ∴点O到的距离等于， ∴ ，故选项D正确，不符合题意． II卷（非选择题共90分） 二、填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分） 11. 小明一家在自驾游时，发现某高速路对行驶汽车的速度在正常情况下有如图规定．设小客车的速度为千米/小时，则在行车道①和②都能合规行驶的速度应满足的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意已知小客车在行车道①和②行驶的最高限速和最低限速，然后取其公共部分即可解答． 【详解】解：由题意在行车道①行驶的小客车最高限速为120千米/小时，而最低限速为90千米/小时，则； 由题意在行车道②行驶的小客车最高限速为100千米/小时，而最低限速为80千米/小时，则； 所以在行车道①和②都能合规行驶的速度应满足的条件是． 12. 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆，若衣架收拢，，如图②，则此时A，B两点之间的距离是______． 【答案】20 【解析】 【分析】此题考查等边三角形，掌握等边三角形的判定和性质是解决本题的关键； 根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形进行分析解答即可． 【详解】连接， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为：20． 13. 如图，在中，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，，则四边形的面积等于________． 【答案】 【解析】 【分析】证明是直角三角形，求得，由，得，而，，即可根据“”证明，则，即可推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，，，， ， ∵， ， 点是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴． 14. 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球__________个． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设红球有x个，利用频率=红球个数÷总数，计算即可得出答案． 【详解】解：设红球有x个，由题意可得， ， 解得：， 经检验：是方程的解， 故答案为：12． 15. 当三角形中一个内角是另一个内角的倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”．如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最大外角度数为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，以及三角形的外角的定义；根据三角形内角和等于，如果一个“梦想三角形”有一个角为，可得另两个角的和为，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为，由此比较得出答案即可． 【详解】解：当 的角是另一个内角的3倍时，最小角为， 当的角是另一个内角的3倍时，最小角为 因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 或． ∴这个“梦想三角形”的最大外角度数为或 故答案为：或 16. 如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边分别交于点E，给出以下五个结论： （1）； （2）是等腰直角三角形； （3）； （4）； （5）． 其中一定成立的是______． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】由等边对等角，以及等腰三角形的判定与性质，得，可判断（3）符合题意；再证明，得，可判断（1）符合题意；由，，证明是等腰直角三角形，可判断（2）符合题意；由，，且，得，可判断（4）不符合题意；取的中点L，连接、，则，所以，由，得，可判断（5）不符合题意，于是得到问题的答案． 此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，证明≌是解题的关键． 【详解】解：，， ∴， ∵直角的顶点是的中点， ，， ∴，， ， ； 故（3）符合题意； 在和中， ， ， ，， 故（1）符合题意； ，， 是等腰直角三角形， 故（2）符合题意； ，，且， ， 故（4）不符合题意； 取的中点L，连接、，则， ， ， ， 故（5）不符合题意， 故答案为：（1）（2）（3）． 三．作图题（本题满分6分） 17. 尺规作图：如图，已知和一点，请按以下要求完成作图： （1）过点作的垂线，垂足为点； （2）在线段上试确定一点，使得到射线，的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）如图，直线即为所求． （2）如图，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）以为圆心，以大于点到的距离为半径画弧，交于两点，分别以这两点为圆心，以大于它们距离的为半径画弧，连接与两弧的交点所得的直线与交于点； （2）用尺规作的角平分线，其与的交点即为所求的点，根据角平分线上的点到这个角两边的距离相等可知到射线，的距离相等． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四．解答题（本题满分66分，共9道小题） 18. 解方程组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解本题的关键． （1）根据加减消元法求解即可； （2）根据加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解： 由得，， 解得：， 将代入①得，， 解得：， ∴原方程组的解为：； 【小问2详解】 解： 由得，， 解得：， 将代入①得，， 解得：， ∴原方程组的解为：． 19. 解不等式组 ，将解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的整数解． 【答案】不等式组的解集为，，整数解为：，， 【解析】 【详解】解： ， 由①得： ， 由②得， ∴不等式组的解集为 ， 解集在数轴上表示：略. 整数解为：，， 20. 已知：如图，点A，E，F，C在同一条直线上，，分别作，，垂足分别为E，F，且，连接交于点G．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即：， ∵ ∴ 在和中 ， ∴ ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】通过证明可得，再根据内错角相等，两直线平行即可证明结论． 【详解】略 21. 定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”. （1）直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：______ （2）二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值. 【答案】21. 22. ，． 【解析】 【分析】（1）本题考查对题干中“反对称二元一次方程”的理解，理解概念即可解题． （2）本题考查对题干中“反对称二元一次方程”的理解和解二元一次方程，根据概率得出的“反对称二元一次方程”，再将m，n代入这两个二元一次方程求解，即可解题． 【小问1详解】 解：由题知，二元一次方程的“反对称二元一次方程”是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”是， 又二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ，解得， ，． 22. 甲、乙二人驾车分别从A，B两地同时出发，相向而行．二人离A地的距离（千米）与所用时间（小时）的关系图像分别为和． （1）试求出的关系式； （2）求甲从A地到达B地所需的时间为多少？ 【答案】（1） （2）甲从A地到达B地所需的时间为小时 【解析】 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求得的关系式为．再求得甲从A地到达B地的路程为，然后在中，令得：即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可知：l1过和， 设的关系式为， ，解得：， ∴． 【小问2详解】 解：设的关系式为， ∵过， ∴，解得：， ∴的关系式为． 在中，令得，即甲从A地到达B地的路程为， 在中，令得：． 答：甲从A地到达B地所需的时间为小时． 23. 篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 200 300 400 1000 命中的次数 7 40 81 164 237 324 命中的频率 （1）填空：________，________； （2）根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到）； （3）根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是________次； （4）该运动员任意投出一球投中的概率与下列哪个事件的概率最接近________． ①如图一，转转盘箭头停在阴影部分，其中阴影部分圆心角为； ②掷一枚均匀的骰子，掷到的点数为6； ③如图二，飞镖盘由相同的小正方形组成，任意投掷飞镖，命中阴影部分； ④袋子里有除了颜色外其余都相同的20枚小球，其中3枚黄色，1枚白色，其余为红色，随机摸一枚球颜色为红色． 【答案】（1）100；803 （2） （3）120 （4）④ 【解析】 【分析】（1）根据频数，总数和频率之间的关系，进行计算即可； （2）根据频率估算概率即可； （3）根据概率进行判断即可； （4）分别计算出①④的概率，然后与比较即可解答． 【小问1详解】 解：，． 【小问2详解】 解：由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是． 【小问3详解】 解：由（）可知，该运动员投中的概率为， ∴（次）， 估计他命中的次数为120次． 【小问4详解】 解：①转转盘箭头停在阴影部分的概率为，不符合题意； ②掷一枚均匀的骰子，掷到的点数为6的概率为，不符合题意； ③如图二，飞镖盘由相同的小正方形组成，任意投掷飞镖，命中阴影部分的概率为，不符合题意； ④袋子里有除了颜色外其余都相同的20枚小球，其中3枚黄色，1枚白色，其余为红色，随机摸一枚球颜色为红色的概率为，符合题意． 24. 已知：如图，在中，，的平分线交于点，．判断与的关系并加以证明． 【答案】，理由如下： 平分 ， ． 又 ． ， 又 ， 同理： 又， ． 【解析】 【分析】先证明，得出，进而证明，再根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】略 25. 某初中学校决定为参加体育特训小组的学生提供营养补给，准备了A类有机纯牛奶和B类原味酸奶两种饮品作为训练后的补充．两种饮品每盒容量均为，两种饮品每的营养成分如下： （1）若轩轩需要通过两种饮品补充6920千焦能量和77克蛋白质，请问他应选用有机纯牛奶和原味酸奶各多少盒以满足需求？ （2）考虑到体育训练强度大，学校希望为学生提供足够的蛋白质同时尽量控制总能量．若每月选用A类有机纯牛奶和B类原味酸奶共30盒，要使蛋白质总量不低于200克，则A类有机纯牛奶至少多少盒？如果同时要求能量最低，那么学生应该如何选择这两种饮品的数量？ 【答案】（1）该选用A类牛奶盒，B类酸奶盒 （2）A类牛奶至少12盒；能量最低应选A类12盒，B类18盒 【解析】 【分析】（1）设他选用A类牛奶盒，B类酸奶盒，根据营养成分表及“补充6920千焦能量和77克蛋白质”列方程组求解即可； （2）设每月选用A类牛奶盒，则B类酸奶盒，根据“蛋白质总量不低于200克”求出的值，设总能量为w千焦，根据营养成分表求出w的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：设他选用A类牛奶盒，B类酸奶盒， 由题意得， 解得：， 答：该选用A类牛奶盒，B类酸奶盒； 【小问2详解】 解：设每月选用A类牛奶盒，则B类酸奶盒， ， 解得：， ∵m为整数， ∴， 设总能量为w千焦， 则， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w最小， 此时，（盒）， 答：A类牛奶至少12盒；能量最低应选A类12盒，B类18盒． 26. 已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． （1）小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，请按小明的思路进行证明． （2）小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接请按小刚的思路进行证明． （3）如图③，在四边形中，对角线平分，，，过点作，垂足为点，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明∶如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴． （2）小刚的证明思路∶如图②，延长到，使，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解∶；理由如下： 如图：作于M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】（1）小明的证明方法：证出，再证明可得，再利用等量代换即可证明结论； （2）小刚的证明方法：证出得出，再证明，再利用等角对等边以及等量代换即可证明结论； （3）如图：作于M，先根据角平分线的性质得出，证明得出，证明得出，再根据线段的和差即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末质量检测 初二数学试题 （考试时间：120分钟满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第I卷为选择题，共10小题，30分；第II卷为填空题和解答题，共16小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本题满分30分，共10道小题，每小题3分） 1. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 买一张彩票，一定会中奖 B. 经过十字路口，遇到绿灯 C. 打开电视机，正在播放《新闻联播》 D. 任意画一个三角形，内角和是 2. 如图，直线，且分别与直线 l交于点A，B，把一块含 30°角的三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1=45°，则∠2 的度数是（ ） A. 95° B. 100° C. 105° D. 115° 3. 如图，，则的度数是（　　） A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 4. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在等腰中，，点D是线段上一点，过点D作交于点E，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 三角形的外角大于三角形的内角； B. 两条直线被第三条直线所截得的内错角相等； C. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行； D. 成语“守株待兔”是不可能事件． 8. 如图，在中，，，是的中垂线，是的中垂线，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（ ） A. 方程的解是 B. 方程的解是 C. 关于x，y的方程组的解是 D. 不等式的解集是 10. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论中错误的是（ ） A. B. 当时，，分别是，的中点 C. D. 若，，则 II卷（非选择题共90分） 二、填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分） 11. 小明一家在自驾游时，发现某高速路对行驶汽车的速度在正常情况下有如图规定．设小客车的速度为千米/小时，则在行车道①和②都能合规行驶的速度应满足的条件是________． 12. 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆，若衣架收拢，，如图②，则此时A，B两点之间的距离是______． 13. 如图，在中，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，，则四边形的面积等于________． 14. 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球__________个． 15. 当三角形中一个内角是另一个内角的倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”．如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最大外角度数为_____． 16. 如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边分别交于点E，给出以下五个结论： （1）； （2）是等腰直角三角形； （3）； （4）； （5）． 其中一定成立的是______． 三．作图题（本题满分6分） 17. 尺规作图：如图，已知和一点，请按以下要求完成作图： （1）过点作的垂线，垂足为点； （2）在线段上试确定一点，使得到射线，的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）． 四．解答题（本题满分66分，共9道小题） 18. 解方程组 （1） （2） 19. 解不等式组 ，将解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的整数解． 20. 已知：如图，点A，E，F，C在同一条直线上，，分别作，，垂足分别为E，F，且，连接交于点G．求证：． 21. 定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”. （1）直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：______ （2）二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值. 22. 甲、乙二人驾车分别从A，B两地同时出发，相向而行．二人离A地的距离（千米）与所用时间（小时）的关系图像分别为和． （1）试求出的关系式； （2）求甲从A地到达B地所需的时间为多少？ 23. 篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 200 300 400 1000 命中的次数 7 40 81 164 237 324 命中的频率 （1）填空：________，________； （2）根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到）； （3）根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是________次； （4）该运动员任意投出一球投中的概率与下列哪个事件的概率最接近________． ①如图一，转转盘箭头停在阴影部分，其中阴影部分圆心角为； ②掷一枚均匀的骰子，掷到的点数为6； ③如图二，飞镖盘由相同的小正方形组成，任意投掷飞镖，命中阴影部分； ④袋子里有除了颜色外其余都相同的20枚小球，其中3枚黄色，1枚白色，其余为红色，随机摸一枚球颜色为红色． 24. 已知：如图，在中，，的平分线交于点，．判断与的关系并加以证明． 25. 某初中学校决定为参加体育特训小组的学生提供营养补给，准备了A类有机纯牛奶和B类原味酸奶两种饮品作为训练后的补充．两种饮品每盒容量均为，两种饮品每的营养成分如下： （1）若轩轩需要通过两种饮品补充6920千焦能量和77克蛋白质，请问他应选用有机纯牛奶和原味酸奶各多少盒以满足需求？ （2）考虑到体育训练强度大，学校希望为学生提供足够的蛋白质同时尽量控制总能量．若每月选用A类有机纯牛奶和B类原味酸奶共30盒，要使蛋白质总量不低于200克，则A类有机纯牛奶至少多少盒？如果同时要求能量最低，那么学生应该如何选择这两种饮品的数量？ 26. 已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． （1）小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，请按小明的思路进行证明． （2）小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接请按小刚的思路进行证明． （3）如图③，在四边形中，对角线平分，，，过点作，垂足为点，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $