精品解析：山东省青岛市莱西市2024—2025学年下学期七年级期末数学试卷（五四学制）

2024-2025学年山东省青岛市莱西市七年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，四个不透明布袋中都装进只有颜色不同的3个球，分别从中随机摸出一个球，摸到红球属于必然事件的布袋是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 3. 将一副三角板按如图所示摆放，点D在上，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 下列语句中，真命题是（ ） A. 若，则 B. 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 C. 是的平方根 D. 相等的两个角是对顶角 5. 如果关于的一元一次不等式的解集为，则的值是（    ） A. B. C. D. 6. 如果方程组的解是方程的一个解，则（    ） A. B. C. D. 7. “践行垃圾分类・助力双碳目标”主题班会结束后，甲和乙一起收集了一些废电池，甲说：“我比你多收集了7节废电池．”乙说：“如果你给我9节废电池，我的废电池数量就是你的2倍”设甲收集了节废电池，乙收集了节废电池，根据题意可列方程组为( ) A. B. C. D. 8. 太原地铁“一号线”正在进行修建，预计年年底通车试运营，标志色为梦想蓝，现有大量的残土需要运输，某车队有载重量为吨的卡车辆，载重量为吨的卡车辆，该车队需要一次运输残土不低于吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共辆，若购进载重量为吨的卡车辆，则需要满足的不等式为（    ） A B. C. D. 9. 如图，直线与直线相交于点，则关于的一元一次不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：①；②点P在的平分线上；③．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则______________． 12. 如图，，，，则的度数为____________． 13. 已知数据：，，，，，，．从中随机抽取一个数是无理数的概率为______． 14. 如图，，平分，若的周长为，，则______． 15. 王老师逛超市时看中一种样式的碗，她将同样规格的碗叠成一列（如图），测量后发现：用2只碗叠放时总高度为，用4只碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度为____________． 16. 新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们称射线为的倍分线，例如，如图，，则为的倍分线应用：若，为的二倍分线，且，则 ______． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程组： （1）； （2）． 18. （1）解不等式：； （2）解不等式组，并在数轴上表示此不等式组解集． 19. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计黑球和白球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到白球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到白球的频率 （1）请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到）； （2）若先从袋子中取出个黑球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出白球”为必然事件，则 ； （3）若先从袋子中取出x个白球，再放入x个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个白球的概率为，求x的值． 20. 阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，， 原方程组可化， 解得，， ∴原方程组的解为， 请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组 21. 如图，直线的函数表达式为，且直线与轴交于点．直线与轴交于点，且经过点，直线与交于点． （1）求的解析式； （2）利用函数图象写出关于的二元一次方程组的解． 22. 如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段，上的点，连接交于点G，连接交于点H．已知，． （1）求证：； （2）若，且，求的度数． 23. 如图点在线段上，∥，，，是的中点，试探索与的位置关系，并说明理由. 24. 为助力莱西打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，某社区计划采购一批相同型号的匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买副匹克球拍和个匹克球，共花费元；若购买副匹克球拍和个匹克球，共花费元． （1）求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？ （2）由于社区参与文体活动居民人数变化，采购需求有所调整现需一次性购买匹克球拍和匹克球数量之和为，匹克球拍不少于副，那么购买匹克球拍多少副时，可使总费用最少？最少费用为多少元？ 25. 综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中一对全等三角形． 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点．求的大小，并证明：． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省青岛市莱西市七年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都为1的整式方程即为二元一次方程，据此进行判断即可．本题考查二元一次方程的定义，熟练掌握并理解其定义是解题的关键． 【详解】解：A．，是一元一次方程，故本选项不符合题意； B．，未知数的次数是2，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； C．，不是整式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； D．，符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 如图，四个不透明布袋中都装进只有颜色不同的3个球，分别从中随机摸出一个球，摸到红球属于必然事件的布袋是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件的分类办法分析即可得解. 【详解】解：①袋中没有红球，摸到红球属于不可能事件； ②袋中有1个红球，2个白球，摸到红球属于随机事件； ③袋中有2个红球，1个白球，摸到红球属于随机事件； ④袋中有3个红球，没有白球，摸到红球属于必然事件. 故选:D 3. 将一副三角板按如图所示摆放，点D在上，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查三角形外角及平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键． 由“两直线平行，同位角性质”得到，再根据三角形的外角定理求解即可． 【详解】解：如图，，， ， ， ． 故选：A． 4. 下列语句中，真命题是（ ） A. 若，则 B. 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 C. 是的平方根 D. 相等的两个角是对顶角 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根，算术平方根，点到直线的距离及对顶角的定义依次判断各选项即可． 【详解】解：A、若，则或，故A选项错误； B、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故B选项错误； C、，-3是9的平方根，则是的平方根，故C选项正确； D、如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，相等的两个角不一定是对顶角，故D选项错误； 故选C． 【点睛】本题是对命题知识的考查，熟练掌握平方根，算术平方根，点到直线的距离及对顶角的定义是解决本题的关键． 5. 如果关于的一元一次不等式的解集为，则的值是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．解一元一次不等式，求出，再根据已知的解集，即可求出m的值． 【详解】解：， ∴， ∵关于x一元一次不等式的解集为， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如果方程组的解是方程的一个解，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，熟练掌握方程组的解的定义是解本题的关键．先解方程组，用a表示x和y，再代入方程求解a的值． 【详解】解：方程组为： 由方程②得：． 将代入方程（1）： 代入，得： 因此，方程组的解为： 将解代入方程： 解得： 故选：A． 7. “践行垃圾分类・助力双碳目标”主题班会结束后，甲和乙一起收集了一些废电池，甲说：“我比你多收集了7节废电池．”乙说：“如果你给我9节废电池，我的废电池数量就是你的2倍”设甲收集了节废电池，乙收集了节废电池，根据题意可列方程组为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据两人收集废电池数量间的关系，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：甲比乙多收集了7节废电池， ； 若甲给乙9节废电池，则乙的废电池数量就是甲的2倍， ． 根据题意可列方程组． 故选：D． 8. 太原地铁“一号线”正在进行修建，预计年年底通车试运营，标志色为梦想蓝，现有大量的残土需要运输，某车队有载重量为吨的卡车辆，载重量为吨的卡车辆，该车队需要一次运输残土不低于吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共辆，若购进载重量为吨的卡车辆，则需要满足的不等式为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据题意可得载重量为吨的卡车共有辆，载重量为吨的卡车共有辆，再根据题意列出不等式即可，根据题意找到不等量关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故选：． 9. 如图，直线与直线相交于点，则关于的一元一次不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题关键是结合图像进行解答．结合函数图像，写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴由图像可知，关于的一元一次不等式的解集为． 故选：C． 10. 如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：①；②点P在的平分线上；③．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质和判定、全等三角形的性质与判定，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和判定． 作可通过角平分线的性质判断①；根据角平分线的判定判断②；利用和推得，，再根据即可判断③，综上即可得解． 【详解】解：作于点， 、分别平分、， 且、、， ，， ， 正确； 且、， 在的平分线上， 正确； 四边形中，，， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ， 错误； 综上，正确． 故答案为：2． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据题意得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：的边的垂直平分线交于点，， ， ， ， 故答案为：． 12. 如图，，，，则的度数为____________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】根据得到，结合，，得到，计算即可，本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴，， ∴， 又， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 已知数据：，，，，，，．从中随机抽取一个数是无理数的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式以及有理数和无理数，直接由概率公式求解即可．概率所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键． 【详解】解：7个数据：，，，，，，，其中，，，，是无理数，有5个， 从中随机抽取一个数是无理数的概率为， 故答案为：． 14. 如图，，平分，若的周长为，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，由平行线的性质和角平分线的定义证明，则． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 王老师逛超市时看中一种样式的碗，她将同样规格的碗叠成一列（如图），测量后发现：用2只碗叠放时总高度为，用4只碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，以实物图形为题目主干，图形形象直观，直接反映了物体的数量关系，设每两个碗叠放在一起比单独的一个碗增高，单独一个碗的高度为，根据题意列方程组求出，进而求解即可． 【详解】解：设每两个碗叠放在一起比单独的一个碗增高，单独一个碗的高度为， 根据题意得： 解得： ， 则8个碗放在一起时，它的高度为． 故答案为：． 16. 新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们称射线为的倍分线，例如，如图，，则为的倍分线应用：若，为的二倍分线，且，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角的计算，理解倍分线的定义是解题的关键． 根据为的二倍分线且得出，结合可得求得，进而完成解答． 【详解】解：为的二倍分线，且， ， ，即， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 小问1详解】 解：， ，得， ，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， 方程组的解为； 【小问2详解】 解：， ，得， ，得， ，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， 方程组的解为． 18. （1）解不等式：； （2）解不等式组，并在数轴上表示此不等式组的解集． 【答案】（1）；（2），数轴表示见解析． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， 在数轴上表示不等式组的解集为： 19. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计黑球和白球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到白球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到白球的频率 （1）请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到）； （2）若先从袋子中取出个黑球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出白球”为必然事件，则 ； （3）若先从袋子中取出x个白球，再放入x个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个白球的概率为，求x的值． 【答案】（1） （2）14 （3）1 【解析】 【分析】此题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率． （1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到白球频率逐渐靠近于， （2）根据白球的频率逐渐靠近于，从而得出摸到白球的概率，再用总球的个数乘以白球的概率即可得出盒子里白球的数量；根据盒子里有14个黑球，再根据“摸出白球”为必然事件，从而得出； （3）根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：当n很大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：； 【小问2详解】 由（1）得白球的概率为， 故盒子里白球的数量为：(个)， ∴盒子里有个黑球， ∵若先从袋子中取出个黑球，再从袋子中随机摸出1个球，盒子里有14个黑球，“摸出白球”为必然事件， ， 故答案为：14； 【小问3详解】 由（2）知白球6个，黑球14个， 根据题意得： 解得：， 则的值为1． 20. 阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，， 原方程组可化为， 解得，， ∴原方程组的解为， 请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组 【答案】 【解析】 【分析】根据“整体换元”的解法，设，得，得出m，n的值，再解，即可得答案． 【详解】解：设，，原方程可化为 ，即， ②-①得，， ∴， 把代入②得，， ∴ ∴ 解得：． 【点睛】本题考查了用“整体换元”的思想解二元一次方程组，解题的关键是合理换元，熟练地解二元一次方程组． 21. 如图，直线的函数表达式为，且直线与轴交于点．直线与轴交于点，且经过点，直线与交于点． （1）求的解析式； （2）利用函数图象写出关于的二元一次方程组的解． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）及待定系数法，掌握待定系数法和函数与方程组的关系是解题的关键． （1）利用待定系数法求直线的解析式； （2）利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【小问1详解】 解：点在直线上， ， ， ； 设直线的函数表达式为， 由题意得：，解得：， ； 【小问2详解】 由图可知，关于的二元一次方程组的解为． 22. 如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段，上的点，连接交于点G，连接交于点H．已知，． （1）求证：； （2）若，且，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对顶角相等结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行即可证得结论； （2）根据对顶角相等结合已知得出，证得，根据平行线的性质和已知得出，最后根据平行线的性质即可求得． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【小问1详解】 证明：， 而，， ， ； 【小问2详解】 解：， 而， ， ， ， 而， ， ， ， ， ， ， ． 23. 如图点在线段上，∥，，，是的中点，试探索与的位置关系，并说明理由. 【答案】 【解析】 【分析】根据AD∥EB得出∠A=∠EBC，根据SAS证△ADC≌△BCE，推出DC=CE，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可. 【详解】， ∥， ， ， ≌ ， ， ， ， 故答案为CF⊥DE. 【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点. 24. 为助力莱西打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，某社区计划采购一批相同型号的匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买副匹克球拍和个匹克球，共花费元；若购买副匹克球拍和个匹克球，共花费元． （1）求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？ （2）由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整现需一次性购买匹克球拍和匹克球数量之和为，匹克球拍不少于副，那么购买匹克球拍多少副时，可使总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】（1）匹克球拍的单价为元，匹克球的单价为元； （2）当购买匹克球拍副时，可使总费用最少，最少费用为元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用等知识点，正确列出二元一次方程组和函数解析式是解答本题的关键． （1）设匹克球拍的单价为元，匹克球的单价为元，根据购买副匹克球拍和个匹克球，共花费元；若购买副匹克球拍和个匹克球，共花费元列方程组求解即可； （2）设购买匹克球拍副，则购买匹克球个，根据匹克球拍不少于副，求出的取值范围，再根据总费用等于购买匹克球拍和匹克球费用之和列出函数解析式，最后根据函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设匹克球拍的单价为元，匹克球的单价为元， 由题意得：，解得：． 答：匹克球拍的单价为元，匹克球的单价为元． 【小问2详解】 解：设购买匹克球拍副，则购买匹克球个，总费用元， 由题意得：，， ， 随的增大而增大， ， 当时，最小，最小值为． 答：当购买匹克球拍副时，可使总费用最少，最少费用为元． 25. 综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形． 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点．求的大小，并证明：． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】[初步把握]；[深入把握]，证明见解析；[拓展延伸]，，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是找出对应边和对应角，准确理解“手拉手模型”． [初步把握]根据证明即可 [深入把握]根据证明，再由全等的性质得到 [拓展延伸]根据证明，由全等的性质可得，，进而可证 【详解】[初步把握] 证明∶ 在和中， ． [深入把握] 证明：和都是等边三角形， ，，， ． 即， 在和中，， ， ；． ， ． [拓展延伸] 解：，，理由如下： ， ， 即， 在和中， ，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $