章末过关检测卷(一) 集合与常用逻辑用语-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

章末过关检测卷(一)　集合与常用逻辑用语 (用时：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合A＝{x∈N|－1≤x≤2}，B＝{－2，－1，0，1}，则A∩B＝(　　 ) A．{－2，－1，0，1，2} B．{－1，0，1} C．{0，1} D．{1} 解析：选C. 因为 A＝{x∈N|－1≤x≤2}＝{0，1，2}，又B＝{－2，－1，0，1}，所以A∩B＝{0，1}． 2．命题“对任意x∈R，都有x2>0”的否定是(　　 ) A．对任意x∈R，都有x2≤0 B．不存在x∈R，使得x2≤0 C.存在x∈R，使得x2≥0 D．存在x∈R，使得x2≤0 答案：D 3．已知集合A＝，B＝，则A∩B＝(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.根据题意，集合A为正奇数集，B＝，则A∩B＝. 4．若集合A＝{(x，y)|y＝3x－2}，B＝{(x，y)|y＝x＋4}，则A∩B＝(　　 ) A.{3，7} B．{(3，7)} C．(3，7) D．{x＝3，y＝7} 解析：选B.联立集合A与集合B中方程得消去y得3x－2＝x＋4，解得x＝3.把x＝3代入方程 y＝3x－2，得y＝9－2＝7，所以方程组的解为因为A＝{(x，y)|y＝3x－2}，B＝{(x，y)|y＝x＋4}，所以A∩B＝{(3，7)}． 5．(学科融合)春秋时期孔子及其弟子所著的《论语·颜渊》中的“非礼勿视，非礼勿听，非礼勿言，非礼勿动．”意思是：不符合礼的不看，不符合礼的不听，不符合礼的不说，不符合礼的不做．“非礼勿听，可以理解为：如果不合礼，那么就不听，从数学角度来说，“合礼”是“听”的(　　 ) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 6．集合{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}的真子集的个数是(　　 ) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：选C.当x＝0时，y＝6；当x＝1时，y＝5；当x＝2时， y＝2；当x＝3时，y＝－3. 所以{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}＝{2，5，6}，共3个元素，其真子集的个数为 23－1＝7. 7．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a的值为(　　 ) A． B．0 C．或0 D．无解 解析：选C.由集合A的子集只有两个，知集合A中只有一个元素． 当a＝0时，A＝{x|ax2－3x＋2＝0}＝{x|－3x＋2＝0}＝{}，符合题意； 当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0只有一个解，则Δ＝9－8a＝0，解得a＝. 综上，a＝0或a＝. 8．对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6，那么p是q的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.设U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}． 命题p：x＋y≠8，对应集合为A＝{(x，y)|x＋y≠8}， 命题q：x≠2或y≠6，对应集合为B＝{(x，y)|x≠2或y≠6}， 命题p的否定：x＋y＝8，对应集合为∁UA＝{(x，y)|x＋y＝8}， 命题q的否定：x＝2且y＝6，对应集合为∁UB＝{(x，y)|x＝2，且y＝6}＝{(2，6)}， 显然∁UB∁UA，所以AB，即p是q的充分不必要条件． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则 A 可以是(　　 ) A．{1，8} B．{2，3} C．{1} D．{2} 解析：选AC.因为A⊆B，A⊆C，所以A⊆(B∩C).因为B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，所以B∩C＝{1，8}，所以A⊆{1，8}． 10．下列命题正确的是(　　 ) A．命题“∃x∈R，x2＋x＋1≥0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1<0” B．a＋b＝0的充要条件是＝－1 C．∀x∈R，x2>0 D．“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件 解析：选AD.因为“∃x∈R，x2＋x＋1≥0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1<0”，所以A正确； 当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但＝－1不成立，所以B错误； 当x＝0时，x2＝0，所以C错误； 当a>1，b>1时，则ab>1，所以充分性成立，所以D正确． 11．(新定义)若集合A具有性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A，则称集合 A是“完美集”．下列说法正确的有(　　 ) A．集合B＝{－1，0，1}是“完美集” B．有理数集Q是“完美集” C．设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则x＋y∈A D．设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则xy∈A 解析：选BCD.选项A中，因为1∈B，－1∈B，1－(－1)＝2∉B，不满足性质②，所以A说法不正确； 选项B中，0∈Q，1∈Q，若x，y∈Q，则x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“完美集”，所以B说法正确； 选项C中，因为0∈A，x，y∈A，所以0－y＝－y∈A，所以x＋y＝x－(－y)∈A，所以C说法正确； 选项D中，任取x，y∈A，当x，y中有0或1时，xy∈A；当x，y中均不含0和1时，由性质②可知，∈A，所以－＝∈A，所以x(x－1)∈A.即x(x－1)＝x2－x∈A，即x2∈A，同理，y2∈A，由选项C知x＋y∈A，则(x＋y)2∈A，因为2xy＝(x＋y)2－(x2＋y2)，所以2xy∈A，所以∈A，所以＋＝∈A，所以xy∈A，所以D说法正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．某班50名学生做物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确的有 40 人，化学实验做得正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有________人． 解析：根据题意，可设全集U表示全班学生，A＝{做对物理实验的学生}，B＝{做对化学实验的学生}，并将两种实验都做对的学生记为x人，如图所示． 所以(40－x)＋x＋(31－x)＋4＝50，解得x＝25. 故两种实验都做对的学生为 25人． 答案：25 13．若命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，使x－a≥0”是真命题，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意知，当1≤x≤2时，a≤x恒成立，所以a≤1. 答案：{a|a≤1} 14．已知非空数集I，P满足： (ⅰ)∀x∈I，有x∈P； (ⅱ)∀x，y∈I，有x＋y∈I； (ⅲ)∀x∈I且∀y∈P，有xy∈I， 则称I是P的“理想子集”．给出下列四个结论： ①若I＝，则I是Z的“理想子集”； ②若I是R的“理想子集”，且存在非零实数a∈I，则I＝R； ③若I1，I2是P的“理想子集”，则I1∪I2也是P的“理想子集”； ④若I1，I2是P的“理想子集”，则I1∩I2也是P的“理想子集”． 其中正确结论的序号是________． 解析：①集合I＝表示所有偶数构成的集合，所有的偶数都是整数，任意两个偶数的和仍是偶数，任意偶数和整数的积仍是偶数，满足(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)，故I是Z的“理想子集”，①说法正确； ②若I是R的“理想子集”，且存在非零实数a∈I，则由“理想子集”的概念可知对任意的x∈R有ax∈I，所以I＝R，②说法正确； ③若I1，I2是P的“理想子集”，则∀x，y∈I1，有x＋y∈I1，∀x，y∈I2，有x＋y∈I2， 但对于x∈I1，y∈I2，不一定有x＋y∈I1∪I2，例如I1＝，I2＝，P＝Z，此时2∈I1，3∈I2，2＋3∉I1∪I2，③说法错误； ④若I1，I2是P的“理想子集”，对于I1∩I2显然∀x∈I1∩I2，有x∈P，满足(ⅰ)，令a，b∈I1∩I2，c∈P，则a，b∈I1，又I1是P的“理想子集”，所以a＋b∈I1，ac∈I1， 同理由I2是P的“理想子集”可得a＋b∈I2，ac∈I2，所以a＋b∈I1∩I2，ac∈I1∩I2满足(ⅱ)(ⅲ)，所以若I1，I2是P的“理想子集”，则I1∩I2也是P的“理想子集”，④说法正确． 答案：①②④ 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{x∈N|1<x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}． (1)用列举法表示集合A与B； (2)求A∩B及∁U(A∪B). 解：(1)由题知，A＝{2，3，4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1，2}． (2)由题知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3，4}，所以∁U(A∪B)＝{0，5，6}． 16．(15分)用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题，并判断真假，说明理由． (1)对所有的实数a，b，关于x的方程ax＋b＝0有唯一解或无解； (2)存在实数x，使得＝2. 解：(1)∀a∈R，b∈R，方程ax＋b＝0有唯一解或无解，该命题为假命题． 理由：当a＝0，b＝0时，ax＋b＝0有无数个解． (2)∃x∈R，＝2，该命题为假命题． 理由：因为|x＋1|＋1≥1，所以≤1，所以不存在x∈R，使得＝2. 17．(15分)已知命题α：1≤x≤2，命题β：1≤x≤a. (1)若α是β的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)求证：“a≥2”是“α⇒β成立”的充要条件． 解：(1)设A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}，若α是β的必要不充分条件，则B是A的真子集． 当B＝∅时，a<1，此时满足B是A的真子集，符合题意； 当B≠∅时，若B是A的真子集， 则即 1≤a<2. 所以实数a的取值范围为{a|a<2}． (2)证明：充分性(若a≥2，则α⇒β). 若a≥2，则{x|1≤x≤2}⊆{x|1≤x≤a}，所以命题α：1≤x≤2可以推出命题β：1≤x≤a，故充分性成立； 必要性(若α⇒β，则a≥2). 若命题α：1≤x≤2可以推出命题β：1≤x≤a，则{x|1≤x≤2}⊆{x|1≤x≤a}，所以a≥2，故必要性成立． 综上所述，“a≥2”是“α⇒β成立”的充要条件． 18．(17分)设全集为R，A＝{x|a－1<x<2a}，B＝{x|2<x≤5}． (1)若a＝4，求A∩B，∁R(A∩B)； (2)请在①A∩B＝∅，②A∪B＝B，③A∩B＝B这三个条件中，任选其中一个作为条件，并求在该条件下实数a的取值范围．(若选择多个，只对第一个选择给分) 解：(1)当a＝4时，A＝{x|3<x<8}，而B＝{x|2<x≤5}， 所以A∩B＝{x|3<x≤5}，∁R(A∩B)＝{x|x≤3，或x>5}． (2)若选①，因为A＝{x|a－1<x<2a}，B＝{x|2<x≤5}． 当A∩B＝∅时， 若A＝∅，则a－1≥2a，即a≤－1，此时满足A∩B＝∅； 若A≠∅，要满足A∩B＝∅，即需满足 或 解得－1<a≤1或a≥6. 综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤1，或a≥6}． 若选②，因为A＝{x|a－1<x<2a}，B＝{x|2<x≤5}． 当A∪B＝B时， Ⅰ.当A＝∅时，a－1≥2a，即a≤－1，此时满足A∪B＝B； Ⅱ.当A≠∅时，满足A∪B＝B，即需满足解得A＝∅，矛盾， 综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤－1}． 若选③，因为A＝{x|a－1<x<2a}，B＝{x|2<x≤5}． 当A∩B＝B时，需满足解得<a≤3. 综上所述，实数a的取值范围为{a|<a≤3}． 19．(17分)(新定义)已知 A是非空数集，如果对任意x，y∈A，都有x＋y∈A，xy∈A，则称A是封闭集． (1)判断集合 B＝{0}，C＝{－1，0，1}是否为封闭集，并说明理由． (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由． 命题p：若非空集合A1，A2是封闭集，则A1∪A2也是封闭集． 命题q：若非空集合A1，A2是封闭集，且A1∩A2≠∅，则 A1∩A2也是封闭集． 解：(1)对于集合B＝{0}，因为0＋0＝0∈B，0×0＝0∈B，所以B＝{0}是封闭集； 对于集合C＝{－1，0，1}，因为－1＋(－1)＝－2∉C，所以集合C＝{－1，0，1}不是封闭集． (2)对命题p，令A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}，则集合A1，A2是封闭集， 因为2∈A1，3∈A2，所以2，3∈A1∪A2，但2＋3＝5∉A1∪A2，即A1∪A2不是封闭集，故p为假命题； 对于命题q，设a，b∈A1∩A2，则有a，b∈A1，又集合A1是封闭集，所以a＋b∈A1，ab∈A1， 同理可得 a＋b∈A2，ab∈A2， 所以a＋b∈A1∩A2，ab∈A1∩A2， 所以A1∩A2是封闭集，故q为真命题． 学科网（北京）股份有限公司 $