1.2.1有理数讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦初中数学“有理数的概念及分类”核心知识点，通过回忆已学整数与分数，结合有限小数、无限循环小数可化为分数的实例，引出有理数定义，再系统梳理正/负有理数分类及带“非”字分类（如非负整数、非正有理数），形成从具体到抽象的学习支架。 资料以“引入-归纳-例题-练习-反馈”为主线，通过变式例题（如例1变式）和分层练习（基础巩固与能力提升），培养学生抽象能力（数感）和推理意识，开放题（如第8题）则提升应用意识。课中助力教师高效授课，课后通过当堂反馈帮助学生查漏补缺，强化知识理解。

1.2.1有理数 新课学习 知识点① 有理数的概念及分类 引入 (1)回忆我们的学习历程，我们学过的数有： (2)有限小数和无限循环小数都可以化为分数。如：，，，。无限不循环小数化为分数。如：。 (3)下列整数可化为分数形式：，，，，。 归纳 可以写成分数形式的数称为有理数。其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数。有理数的分类如图所示。 例1【变式】 指出下列各数中的正有理数、负有理数，并分别指出其中的正整数、负整数： 。 1.【练习改编】 指出下列各数中的正有理数、负有理数、整数： 。 知识点② 有理数的分类（带“非”字） 2. (1)正数和0统称为非负数；负数和0统称为非正数。 (2)正整数和0统称为非负整数；负整数和0统称为非正整数。 (3)正有理数和0统称为非负有理数；负有理数和0统称为非正有理数。 例2将分类： (1)正有理数集合：； (2)负有理数集合：； (3)非整数集合：； (4)非负数集合：。 3.将分类： (1)非整数集合：； (2)非正整数集合：； (3)非正有理数集合：； (4)非负有理数集合：。 【当堂反馈】 基础巩固 1．下列属于正有理数的是（     ） A． B． C．54 D． 2．在，，，，，中，非负整数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．在，，，，，中，非负数有（） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 4．在，，0，，3.14159，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 5．下列说法中：①0是最小的整数；②非负数就是正数；③ 不仅是有理数，而且是分数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 能力提升 6．把下面各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）： ，，，，，，，，． 负整数集合{______________…} 整数集合{______________…} 正分数集合{______________…} 非负整数集合{______________…} 有理数集合{______________…} 7．“有理数运动会”已经拉开序幕，每位有理数运动员要通过自己专属的检录通道，才能参加运动项目，请你作为志愿者带领以下有理数有秩序地进行检录（填序号）：①；②；③；④0；⑤；⑥10；⑦；⑧； 运动会检录窗口 正有理数 非负整数 负分数 8．（开放题）写出三个有理数，使它们满足：①是负数；②是整数；③能被2、3、5整除.答：  ____________ 答案 引入　(1)整数　分数　 (2)　　　　不可以 (3)3　8　0　－3　－8 归纳　正整数　负整数　负分数 例1　解：正有理数有6，3.，，22%，2 024； 其中正整数有6，2 024. 负有理数有－7，－100，－2.25，－18； 其中负整数有－100，－18. 1．解：正有理数有20，，86%，0.020 020 002，0..负有理数有－4.8，－13，－35. 整数有20，0，－13，－35. 例2　(1)3，1.5， (2)－9，－，－23%，－0. (3)－，1.5，，－23%，－0. (4)3，0，1.5， 3．(1)，15%，－0.7，1　(2)－4，0，－18 (3)－4，0，－0.7，－18　(4)2，0，，15%，1 当堂反馈 1．C 【分析】根据既是正数又是有理数的定义即可判断． 【详解】解：A、 是负数，故选项不符合题意； B、 不是有理数，故选项不符合题意； C、54是正有理数，故选项符合题意； D、可能是正数、负数或0，故选项不符合题意； 2．C 【分析】非负整数指大于或等于0的整数，只需逐个判断给出的数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：是负整数，不符合；是分数，不是整数，不符合；是大于等于的整数，符合；是负小数，不符合；是负分数，不符合；是大于的整数，符合； ∴ 符合条件的非负整数共有个． 3．C 【分析】本题考查非负数的概念，解题思路是先明确非负数的定义，非负数指大于或等于的数，包括和正数．再逐个判断给出的数，统计符合要求的数的个数即可． 【详解】解： ，，二者为负数，不符合要求． ，，，，四个数均满足大于或等于，属于非负数． 非负数共有个． 4．D 【详解】解：是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 是整数，是有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； 是有限小数，是有理数； ，是有限小数，是有理数； （每相邻两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，是无理数。 综上，有理数共有个． 5．B 【详解】解：① 不是最小的整数，∵负整数比小，不存在最小的整数，∴①错误； ② 非负数包含正数和，因此非负数不只是正数，∴②错误； ③ 是无限不循环小数，不属于有理数，∴③错误； ④ 正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，该说法正确； 综上，错误的说法共有个． 6． 见解析 【分析】根据整数，正分数，非负整数，有理数的定义进行分类，需注意是无限不循环小数，不属于有理数，解题时先化简各待分类的数，再根据定义分类． 【详解】解：先化简各数，可得 ，，， 因此按定义分类如下： 负整数集合{，……}， 整数集合{，，，，……}， 正分数集合{，……}， 非负整数集合{，，……}， 有理数集合{，，，，，，，……}． 7．②③⑥⑧ ④⑥⑧ ①⑤ 【分析】本题考查了有理数的分类，解题的关键是明确正有理数、非负整数、负分数的定义． 先明确各类数的定义，正有理数是大于0的有理数；非负整数是0和正整数；负分数是小于0的分数（包括可化为分数的负小数）；再逐一分析所给有理数，按定义归类． 【详解】解：正有理数是大于0的有理数，包括②、③、⑥10、⑧； 非负整数是0和正整数，包括④0、⑥10、⑧； 负分数是小于0的分数，包括①、⑤ 故正有理数：②③⑥⑧；非负整数：④⑥⑧；负分数：①⑤． 8．-30，-60，-90 【分析】首先所求的数是负数、并且是整数，求出2、3、5的最小公倍数，即可写出答案． 【详解】根据题意，符合条件的数有-30、-60、-90、-120等． 故答案为-30，-60，-90（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了对有理数、负数、负整数、最小公倍数的理解，主要考查学生的辨别能力． 学科网（北京）股份有限公司 $