1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系（第一课时）导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“空间向量的坐标与空间直角坐标系（第一课时）”，核心知识点涵盖空间向量正交分解、坐标表示及线性运算、数量积运算等。通过“温故”环节链接线性组合与空间向量基本定理，为“知新”的单位正交基底、坐标分解等内容搭建学习支架，引导学生从已有知识自然过渡到新知。 该资料亮点突出，预习提要明确目标，填空式梳理知识强化理解，课前自测针对性巩固运算能力。反思环节融入吉布斯建立向量坐标体系的数学史，激发学生数学好奇心，培养数学眼光和创新意识，助力学生用数学语言规范表达，发展逻辑推理的数学思维。

1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系（第一课时） 预习提要 1.掌握空间向量正交分解的概念及坐标表示； 2.能正确地运用空间向量的坐标，进行向量的线性运算与数量积运算； 3.阅读课本P17—P20内容，掌握内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故：课前知识链接 线性组合的概念：表达式 一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式. 空间向量基本定理说明，如果三个向量a，b，c不共面，则它们的线性组合xa+yb+zc能生成所有的空间向量. 二、知新：课本研习梳理 1.单位正交基底的概念：一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量 ，就称这组基底为单位正交基底. 2.单位正交分解的概念：在 的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p=xe1+ye2+ze3，则称有序实数组 为向量p的坐标，记作 ，其中x，y，z都称为p的坐标分量. 3.空间向量运算的坐标表示： a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2)， ua+vb= ， a·b= ， ， . 4.空间向量平行的坐标表示：a//b⇔ . 5.空间向量垂直的坐标表示：a⊥b⇔a·b=0⇔ . 课前自测 1.已知，，若，则( ) A.-4 B.4 C.-6 D.6 2.已知空间向量，，若，x，y满足的关系式为( ) A. B. C. D. 3.已知向量，，若，则x的取值为( ) A.±1 B. C.1 D. 4.已知向量，，，则为( ) A.10 B.-10 C.12 D.-12 5.已知向量，，且，那么____. 反思 吉布斯是19世纪美国顶尖物理学家、数学家，常年研究电磁学、热力学.当时学界主流在用哈密顿的四元数处理空间问题，但四元数自带冗余标量部分，做立体几何、电场力计算时步骤繁杂，非常不实用.他把四元数乘法拆开，分离出互不干扰的数量积、向量积，全部给出坐标分量运算规则，规范向量坐标书写、全套坐标运算公式，建立适合教学与计算的现代空间向量坐标体系，我们现在做立体几何大题使用的坐标法，全部源于他的整理. 答案及解析 温故：课前知识链接 xa+yb+zc 知新：课本研习梳理 1.两两垂直 2.单位正交基底下向量 (x，y，z) p=(x，y，z) 3.(ux1+vx2，uy1+vy2，uz1+vz2) x1x2+y1y2+z1z2 4. 5.x1x2+y1y2+z1z2=0 课前自测 1.答案：A 解析：因为，所以，解得，，故.故选：A 2.答案：B 解析：由题意得，即.故选：B 3.答案：B 解析：因为向量，，所以，又因为，所以，故，故选：B 4.答案：A 解析：由题意，.故选：A 5.答案： 解析：由，可得，即，解得.所以，.故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $