1.2.2 空间中的平面与空间向量导学案——2026-2027学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修一

该高中数学导学案聚焦“空间中的平面与空间向量”，核心知识点包括平面法向量的概念及性质、三垂线定理及其逆定理、直线与平面及平面与平面的位置关系。通过“温故知新”学习支架，先链接方向向量概念，再系统梳理法向量等新知，搭建前后知识脉络。 资料亮点在于课前自测结合具体例题强化应用，反思引入克利福德代数等数学史渗透文化。助力学生用数学眼光观察空间形式，用数学思维推理逻辑联系，提升数学语言表达能力，适合自主学习与教学评估。

1.2.2 空间中的平面与空间向量 预习题要 1.理解平面的法向量； 2.掌握三垂线定理及其逆定理； 3.阅读课本P37—P41内容，掌握内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故：课前知识链接 方向向量的概念：一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的 所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作 ． 二、知新：课本研习梳理 1.平面法向量的概念：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α ，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作 ． 2.平面法向量的性质： （1）如果直线l垂直于平面α，则直线l的 方向向量都是平面α的一个法向量． （2）如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量 也是平面α的一个法向量，且平面α的任意两个法向量都平行． （3）如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n ，即 ，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定． 3.射影的概念：已知空间中的平面α以及点A，过A作α的 ，设l与α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的射影 (也称为投影). 4.三垂线定理及其逆定理： 三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影 ，则它也和这条斜线垂直． 三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的 垂直． 5.平面与平面的位置与法向量的关系：如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则 ⇔α1⊥α2； ⇔α1∥α2或α1与α2重合 6.直线与平面的位置与法向量的关系：如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则n∥v ⇔ ；n⊥v ⇔ ． 课前自测 1.若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是( ) A. B. C. D. 2.在平面中，，，则平面的一个法向量( ) A. B. C. D. 3.若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则下列说法正确的是( ) A. B. C.或 D.以上说法都不对 4.已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是( ) A. B. C. D. 5.直线l的方向向量为，平面的法向量为，若直线，则实数t的值为______. 反思 威廉・克利福德，英国天才数学家，是少数同时吃透格拉斯曼扩张代数、哈密顿四元数的.他创立克利福德代数（几何代数），统一了两类核心向量：切向方向向量（平行平面）；法向正交向量（垂直平面）.他证明：平面上任意向量都能拆成“平行平面分量+法向分量”，也就是现在立体几何常用的向量分解；同时用代数统一点积、叉积，从底层解释为什么叉乘会生成平面法向量.后世计算机图形学、空间几何计算曲面法线，全部基于他的几何代数框架. 答案及解析 温故：课前知识链接 有向线段 v//l 知新：课本研习梳理 1.垂直 n⊥α 2.任意一个 λn 垂直 3.垂线l 4.垂直 射影 5.n1⊥n2 n1∥n2 6. l⊥α l∥α，或l⊂α 课前自测 1.答案：C 解析：平面的一个法向量为，平面平面，设平面的法向量为，平面的法向量， 选项A，，与不平行，故选项A错误； 选项B，，与不平行，故选项B错误； 选项C，，与平行，故选项C正确； 选项D，，与不平行，故选项D错误.故选：C 2.答案：B 解析：设平面的一个法向量为，则，，，令，得.故选：B 3.答案：C 解析：因为直线l的方向向量与平面的法向量垂直，若平面，则符合题意；若平面，则存在直线，且直线，所以.故选：C 4.答案：A 解析：建立坐标系并确定点坐标，如图，以A为原点，为单位正交基底，正方体棱长为1，则各点坐标为：，，，，设平面的法向量为，则且，即，化简得，，令，则，，即法向量为.故选：A. 5.答案：1 解析：由题意可得直线l的方向向量与平面的法向量平行，即有，解得. 学科网（北京）股份有限公司 $