1.2.1&1.2.2 空间中的点、直线、平面与空间向量（题型专练）数学人教B版2019选择性必修第一册

1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 1.2.2空间中的平面与空间向量 题型一 直线方向向量的概念 1．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得直线的方向向量与共线， 而，所以是该直线的方向向量. 故选：D. 2．（多选）（24-25高二上·广东江门·期末）如图，在四面体中，，，，分别是，，，的中点，是和的交点，为空间中任意一点，则（   ） A．，，，四点共面 B． C．为直线的方向向量 D． 【答案】AC 【详解】在四面体中，，，，分别是，，，的中点， 则，， 于是得四边形是平行四边形，故，，，四点共面，即A正确； 因平行四边形两条对角线不一定垂直，即不一定垂直，则不一定成立，B不正确； 因，，则为直线的方向向量，C正确； 平行四边形中，是和的交点，则是中点，对空间任意一点， 则，D不正确. 故选：AC. 题型二 求直线的方向向量 1．（24-25高二上·山东枣庄·期末）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为A，B在直线l上，所以， 与共线的向量可以是直线l的一个方向向量，其他选项经验证与均不共线. 故选：B 2．（24-25高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：A 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在棱长为1的正方体中，为平面的中心，为的中点.以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线的一个方向向量（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，则，所以为直线的一个方向向量. 故选：B 题型三 由直线的方向向量求参数 1．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【详解】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 2．（23-24高二上·山西·阶段练习）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为，直线的一个方向向量为， 所以有向量与向量为共线， 所以，解得，， 所以， 故选：A. 3．（24-25高二上·吉林松原·阶段练习）已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】因为， 所以， 由已知，， 所以，即，解得， 所以. 故选：D. 题型四 平面法向量的概念 1．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解析：因为，，所以. 平面的法向量，则， 所以，即. 故选：A. 2.（24-25高二上·内蒙古包头·阶段练习）设是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件的点构成的图形是（   ） A．圆 B．平面 C．直线 D．线段 【答案】B 【详解】因为是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件, 所以点构成的图形是经过点，且以为法向量的平面. 故选：B 题型五 求平面的法向量 1.（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知平面内有两个向量，，设平面的法向量为，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为平面的法向量，所以且. 因为：； ； . 所以ACD都不是. 因为，，所以B正确. 故选：B 2．（25-26高二·江苏·假期作业）已知空间中，点，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，，得. 故选：B. 3．（2025·湖北武汉·三模）在平行六面体中，，．设，，，则平面的一个法向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如下图所示： 在平行六面体中，，．设，，， 所以， ，， 对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，, ， 与、都垂直，则是平面的一个法向量，故D正确； 故选：D. 题型六 根据平面的法向量求参数 1．（24-25高二上·湖南·期末）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，∴，∴，解得，所以C正确. 故选：C. 2．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，，所以， 解得，所以. 故选：A. 3．（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知向量分别是平面与平面的一个法向量，若，则实数（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由于，则，解得， 故选：C 4．（24-25高二下·甘肃白银·期末）若直线平面，且的方向向量为，平面的一个法向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线平面， ， ， 解得，， 则. 故选：A. 题型七 利用向量判断空间位置关系 1．（24-25高二下·四川内江·开学考试）已知平面的一个法向量为，若直线满足（），则（ ） A． B． C．直线与平面有且仅有一个公共点 D．直线与平面的位置关系不确定 【答案】C 【详解】∵，∴， ∵为平面的一个法向量，∴平面， ∴直线与平面有且仅有一个公共点. 故选：C. 2．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【答案】A 【详解】由题意得，，则，则. 故选：A 3．（24-25高二下·江苏常州·期中）若平面，的法向量分别为，，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】B 【详解】由，得， 所以平面与垂直. 故选：B 4．（24-25高二下·云南·阶段练习）在空间向量中，我们给出了定义向量的“外积”运算规则：对于空间向量和，.已知，，平面的法向量，直线的方向向量，则直线与平面的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交但不垂直 【答案】D 【详解】因为，， 所以平面的法向量为， 由题意可知，则，说明与不垂直. 由，说明与不平行，与既不垂直也不平行， 所以直线与平面相交但不垂直， 故选：D. 5．（多选）（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱中，D为BC中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BD 【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误； 故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误； 故选：BD. 题型八 空间位置关系命题的判断 1．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）设是不同的直线，，，是不同的平面，则下面说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】若，，则或，A错误； 若，，则或或，B错误； 若，，则或相交，C错误； 设直线方向向量为，平面法向量分别为， 因为，所以， 又，所以， 所以 所以，正确， 故选：D 2．（2025·北京丰台·一模）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【详解】 如图，在正方体中分析选项A、B、C. A.平面，平面，平面平面，但，A错误. B.，平面，但平面，B错误. C.平面平面，平面，，但平面，C错误. D.取直线的方向向量，直线的方向向量， ∵，，∴分别为平面的法向量， ∵，∴，∴，选项D正确. 故选：D. 题型九 空间平行位置关系的证明 1．（24-25高二下·江苏镇江·阶段练习）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【答案】证明见解析 【详解】因为在上，且， 所以. 同理. 所以 ， 又与不共线，则共面， 又平面，得平面. 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图， 因为H，P分别是BC，AB的中点，所以， 因为，可得，又因为平面ABC， 以点为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，，，，，， 所以向量，且平面的法向量为， 则，所以， 又因为平面，所以平面. 题型十 空间垂直位置关系的证明 1．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A.   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】对于选项A，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，. 因为，根据向量垂直的性质可知，即满足，故A正确. 对于选项B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，.则与不垂直.故B错误. 对于选项C，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，.则.则与不垂直.故C错误. 对于选项D，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，则.则与不垂直.故D错误. 故选：A. 2．（2025高三·全国·专题练习）在四棱锥中，，，四边形为矩形，在上，且，为的中点，平面交于点．求证：. 【答案】证明见解析 【详解】如图， 由可得， 由于，故， 又，故， 可得： 故，故， 结合底面为矩形，故， 故两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系. ， ，， 由， 又， 两式联立解得：， 所以 则， 故， 因此平面， 故平面， 平面， 故 3．（24-25高二上·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 【答案】证明见解析 【详解】如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， ∵E，F分别为AB，的中点，∴， ，，， ∵，，∴， 又，平面， 平面． 题型一 空间位置关系证明的综合问题 1．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且，为的中点. 求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）连接与交点为，在连接， 则为中点，为中点， 所以平面平面， 所以平面； （2）， ， 底面是菱形，且， ， ，即， . 2．（21-22高二·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， ，即，， 又因为，平面PBC． 所以平面PBC． （2）证明：由（1）可得，，． 设平面BDE的法向量为， 则，即令，得，， 则是平面BDE的一个法向量， 因为，所以， 因为平面BDE，所以平面BDE． 题型二 空间位置关系下的计算问题 1．（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知在长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】如图建立空间直角坐标系，设，，则，，， ，， ，， 即，所以， 当时，所以，所以.    故答案为：. 2．（24-25高二上·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，，若点在矩形内，且平面，则 ． 【答案】 【详解】如图，以为坐标原点，，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，， ， 设平面的法向量为 则 令，得,所以， 设，则，又平面，则， 所以，解得，，所以. 故答案为：. 题型三 空间点的位置确定问题 1．（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正方体中，是的中点，是的中点. (1)在平面内确定一点，使平面； (2)证明：棱上不存在点，使平面平面. 【答案】(1)当点的坐标为时，平面. (2)证明见解析 【详解】（1） 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，，，，，， 设，. 因为，，，又，不共线， 所以当时，平面. 所以，解得，， 所以当点的坐标为时，平面. （2）设平面的法向量为，则， 因为，，所以， 令，则，，所以平面的一个法向量. 若平面平面，则也是平面的一个法向量. 因为，， 所以，即，得， 此时， 所以不是平面的一个法向量，即与平面不垂直. 所以棱上不存在点，使平面平面. 2.（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.    (1)用，，表示； (2)若为棱的中点，求； (3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，为的中点 【详解】（1）； （2）若P为棱的中点，则，， 所以 ； （3）设， 则，由（1）知 所以， 即， 化简得，解得， 所以这样的点存在，且为的中点. 1．（15-16高二下·四川南充·阶段练习）如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知：， 设，则． 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为平面，则， 即，解得，即点坐标为． 故选：B. 2．（多选）（24-25高二下·浙江·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，为棱中点，为棱上的动点（不包括端点），则（   ） A．直线与直线相交 B．存在点，使得 C．当取最小值时，点为中点 D．过三点的截面为五边形 【答案】AD 【详解】对于A，如图，连接，，，且以为原点建立空间直角坐标系， 由正方体性质得，故四点共面， 由题意得正方体的棱长为，则，，，， 则，，两个向量不成比例， 则与不平行，得到直线与直线相交，故A正确， 对于B，如图，连接，易得，设， 则，， 若，则，得到， 解得，与不符， 则不存在点，使得，故B错误， 对于C，如图，连接，设， 由两点间距离公式得， ， 则， 令，则， 而，则不可能是的最小值，故C错误， 对于D，如图，延长交延长线于，连接交于， 连接，，延长交于，连接交于， 此时，则四点共面， 而，，可得五点共面， 易得不与所在棱的顶点重合， 则五边形即为所求截面五边形，故D正确. 故选： AD． 3．（多选）（24-25高二下·四川成都·阶段练习）如图，正方体中，分别是上的中点，是上的动点.下列结论正确的是（    ） A．平面截正方体所得截面为等腰梯形 B．平面平面 C．当点为中点时，平面 D．存在点，使得 【答案】ABC 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长， 则， 对于A，取的中点，连接，则， ，而直线，于是，梯形即为平面截正方体所得截面， ，因此梯形为等腰梯形，A正确； 对于B，， 设平面的法向量为，则，令，得， 设平面的法向量为，则，令，得， 显然，即，因此平面平面，B正确； 对于C，由点为中点，得，而平面的法向量为， 则，于是平面，而平面，因此平面，C正确； 对于D，，设， 则， 此时，即不成立， 所以不存在点，使得，D错误. 故选：ABC 4．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．若直线l经过点，且以为方向方量，P是直线l上的任意一点，O为坐标原点． (1)求证：； (2)当，且时，求点P的坐标． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）由点，点，得， 由向量为直线l的方向向量，得， 于是，而，消去得， 所以. （2）由（1）知，而，则， 又，显然， 由，得，解得， 所以点P的坐标是. 5．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）证明：设，，，则， 底面是菱形，有， 则， ∴，即. （2）要使平面，只需且. 欲使，则可证明，即， 也就是， 即， 由于，显然当时，上式成立. 同理可得，当时，. 因此，当时，能使平面. 6．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）在四棱锥中，面面，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，的值为 【详解】（1）平面平面 且平面平面， 平面 平面 平面 又， 平面. 平面平面平面. （2）假设在棱上是否存在点，使得平面 取中点，连接，，如下图 ，， ，， 从而，故平面， 又平面平面 且平面平面， 平面， 以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，如下图： 由题意可知，，，，， 设 点在棱上，故， ，故 设平面的法向量为 故，令，则， 从而平面的法向量可以取 平面 ，解得， 故假设成立，存在这样的点，使得平面，此时 即，从而 7．（2025高三下·全国·专题练习）如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）设的中点为H，的中点为O，连接，， 由题意知． 因为平面平面，平面，，平面平面， 所以平面，所以平面，则，， 又为等边三角形，所以． 故以O为坐标原点，射线，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ，， ，， 所以.又因为平面， 所以平面． （2）设存在点N，使平面， 设，，则， ， 所以． 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 由， 得，令，则， 由平面，得． 所以，解得． 所以当时，平面． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 1.2.2空间中的平面与空间向量 题型一 直线方向向量的概念 1．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二上·广东江门·期末）如图，在四面体中，，，，分别是，，，的中点，是和的交点，为空间中任意一点，则（   ） A．，，，四点共面 B． C．为直线的方向向量 D． 题型二 求直线的方向向量 1．（24-25高二上·山东枣庄·期末）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在棱长为1的正方体中，为平面的中心，为的中点.以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线的一个方向向量（    ）    A． B． C． D． 题型三 由直线的方向向量求参数 1．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 2．（23-24高二上·山西·阶段练习）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（24-25高二上·吉林松原·阶段练习）已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型四 平面法向量的概念 1．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二上·内蒙古包头·阶段练习）设是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件的点构成的图形是（   ） A．圆 B．平面 C．直线 D．线段 题型五 求平面的法向量 1.（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知平面内有两个向量，，设平面的法向量为，则可以为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二·江苏·假期作业）已知空间中，点，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 题型六 根据平面的法向量求参数 1．（24-25高二上·湖南·期末）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 3．（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知向量分别是平面与平面的一个法向量，若，则实数（   ） A．4 B．2 C． D． 4．（24-25高二下·甘肃白银·期末）若直线平面，且的方向向量为，平面的一个法向量为，则（   ） A． B． C． D． 题型七 利用向量判断空间位置关系 1．（24-25高二下·四川内江·开学考试）已知平面的一个法向量为，若直线满足（），则（ ） A． B． C．直线与平面有且仅有一个公共点 D．直线与平面的位置关系不确定 2．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 3．（24-25高二下·江苏常州·期中）若平面，的法向量分别为，，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 4．（24-25高二下·云南·阶段练习）在空间向量中，我们给出了定义向量的“外积”运算规则：对于空间向量和，.已知，，平面的法向量，直线的方向向量，则直线与平面的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交但不垂直 5．（多选）（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱中，D为BC中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 题型八 空间位置关系命题的判断 1．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）设是不同的直线，，，是不同的平面，则下面说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．（2025·北京丰台·一模）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 题型九 空间平行位置关系的证明 1．（24-25高二下·江苏镇江·阶段练习）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 题型十 空间垂直位置关系的证明 1．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A.   B．   C．   D．   2．（2025高三·全国·专题练习）在四棱锥中，，，四边形为矩形，在上，且，为的中点，平面交于点．求证：. 3．（24-25高二上·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 题型一 空间位置关系证明的综合问题 1．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且，为的中点. 求证： (1)平面； (2). 2．（21-22高二·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 题型二 空间位置关系下的计算问题 1．（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知在长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是 . 2．（24-25高二上·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，，若点在矩形内，且平面，则 ． 题型三 空间点的位置确定问题 1．（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正方体中，是的中点，是的中点. (1)在平面内确定一点，使平面； (2)证明：棱上不存在点，使平面平面. 2.（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.    (1)用，，表示； (2)若为棱的中点，求； (3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 1．（15-16高二下·四川南充·阶段练习）如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二下·浙江·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，为棱中点，为棱上的动点（不包括端点），则（   ） A．直线与直线相交 B．存在点，使得 C．当取最小值时，点为中点 D．过三点的截面为五边形 3．（多选）（24-25高二下·四川成都·阶段练习）如图，正方体中，分别是上的中点，是上的动点.下列结论正确的是（    ） A．平面截正方体所得截面为等腰梯形 B．平面平面 C．当点为中点时，平面 D．存在点，使得 4．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．若直线l经过点，且以为方向方量，P是直线l上的任意一点，O为坐标原点． (1)求证：； (2)当，且时，求点P的坐标． 5．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 6．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）在四棱锥中，面面，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 7．（2025高三下·全国·专题练习）如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$