1.1.1空间向量及其运算（第一课时）课件——2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量及其线性运算，涵盖空间向量、相等向量、共面向量的概念，以及加法、减法、数乘运算的几何意义与运算律。通过复习平面向量的定义、零向量等概念，搭建从平面到空间的认知支架，帮助学生自然过渡到空间向量的学习。 其亮点在于以平行六面体、三棱锥等几何模型为实例，结合数学抽象与逻辑推理，引导学生理解空间向量的线性运算及共面问题。课堂练习与例题解析强化知识应用，既帮助学生直观构建空间观念，也为教师提供结构化的教学资源，提升教学效率。

人教B版(2019)选择性必修第一册 1.1.1空间向量及其运算 （第一课时） 第一章 空间向量及其立体几何 1 学习目标 了解由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念，体现数学抽象能力（重点） 掌握空间向量的线性运算,并理解其几何意义，体现逻辑推理能力（重难点） 2 新课导入 复习：平面向量的相关概念 向量的定义 零向量 单位向量 相等向量 向量平行 (向量共线) 在平面内，既有大小又有方向的量称为向量(也称矢量)，向量的大小也称为向量的模(或长度). 始点和终点相同的向量，记为 ，模为0，即| |=0. 模等于1的向量， 是单位向量的充要条件是| |=1. 大小相等，方向相同的向量. 如果两个非零向量的方向相同或相反. 规定：0与任意向量共线. 3 新课学习 空间向量的概念 空间中既有大小又有方向的量称为向量（简称为向量），向量的大小也称为向量的模（或长度）. 4 新课学习 相等向量的概念 相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等的向量. 向量a和b相等，记作a=b. 平行向量或共线向量：如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行．通常规定零向量与任意向量平行． 5 新课学习 举个例子： 如图所示，对于平行六面体ABCD−A1B1C1D1来说，因为AA1，BB1，CC1，DD1互相平行而且长度都相等，因此 6 新课学习 共面向量的概念 一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面． 7 新课学习 举个例子： 结论：可以看出 ， 空间中任意两个向量都是共面的， 但空间中任意三个向量不一定共面. 8 新课学习 空间向量加法的三角形法则 平面向量的三角形法则在空间向量也适用. 9 新课学习 举个例子： 如图所示的长方体ABCD−A1B1C1D1中， 10 新课学习 空间向量加法的平行四边形法则 11 新课学习 空间向量加法的运算律 对于任意的向量a，b，c，都有 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 12 新课学习 证明：对于空间向量加法的结合律的证明： 空间向量加法的结合律可以借助如图所示的三棱锥O−ABC来理解， 因此(a+b)+c=a+(b+c). 13 新课学习 空间向量中有限个向量的加法 从图中也可以看出，为了得到有限个空间向量的和，只需将这些空间向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为始点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和向量． 14 新课学习 空间向量减法的三角形法则 15 新课学习 举个例子： 如图所示的四棱锥O−ABCD中，有 16 新课学习 相反向量的概念 17 新课学习 空间向量减法的概念 18 新课学习 空间向量的数乘的概念 给定一个实数λ与任意一个空间向量a，规定它们的乘积是一个空间向量，记作λa，其中： (1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向： ①当λ>0时，与a的方向相同； ②当λ<0时，与a的方向相反. (2)当λ=0或a=0时，λa=0. 上述实数λ与空间向量a相乘的运算简称为数乘向量. 19 新课学习 空间向量的三点共线的概念 线段中点的向量表示： 20 新课学习 空间向量的加法、减法与数乘运算，以及它们的混合运算，统称为空间向量的线性运算. 空间向量线性运算的概念 线性运算的分配律： 对于实数λ与μ，向量a与b，有如下运算律： λa+μa=(λ+μ)a，λ(a+b)=λa+λb. 21 新课学习 因为底面ABCD是一个平行四边形， 所以 所以 例1说明：三个不共面的向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量. 22 新课学习 例2：设AB是空间中任意一条线段，O是空间中任意一点，求证：M为AB中点的充要条件是 因为 M为AB中点 所以结论成立. 23 新课学习 化简结果的向量如图所示. 24 课堂练习 D 25 课堂练习 26 课堂练习 C 27 课堂练习 C 28 课堂练习 29 课堂练习 A 30 课堂练习 31 课堂练习 A 32 课堂练习 33 课堂总结 1.空间向量的概念 2.相等向量的概念 3.空间向量的加法、减法和数乘的概念 34 谢 谢 观 看 35 向量 ， ， 不共面，因为这三个向量有一个公共点A，而A，B，D都在平面ABCD内，点A1在平面ABCD外. 虽然直线AA1与直线B1C1异面，但向量 ， ， 是共面的，因为 经过平移后可以到达 的位置，而 ， ， 都在平面ADD1A1内； 给定两个空间向量a，b，在该空间内任取一点A，作 ， ，作出向量 ，则 是向量a与b的和（也称 为向量a与b的和向量）. 向量a与b的和向量记作 ，因此 . 因为 ，所以 空间向量的加法也可用平行四边形法则：任意给定两个不共线的向量a，b，在空间中任取一点A，作 ， ，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量 ，则 . 所以 ， ， 其中 ， ， ，而且 ， ， 在空间中任取一点O，作 ， ，作出向量 ，则向量 就是向量a与b的差（也称 为向量a与b的差向量），即 ， 当a与b不共线时，向量a，b， 正好能构成一个三角形，因此这种求两向量差的作图方法称为向量减法的三角形法则. 给定一个空间向量，与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作 . 因此， 的相反向量是 ，而且 . 因为零向量的始点与终点相同，所以-0=0. 数乘向量的定义说明，如果存在实数 ，使得 ，则 .而且，如果存在实数 ，使得 ，则 与 平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线. 当 ，即 时，B为线段AC的中点. 1.关于空间向量，下列四个结论正确的是( ) A.共线的单位向量都相等 B.不相等的两个空间向量的模必不相等 C.相反向量指方向相反的两个向量 D.任意两个空间向量一定共面 解析：对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确.故选:D 2.在斜三棱柱 中， ( ) A. B. C. D. 解析：三棱柱 中， .故选:C. 3.下列关于空间向量的说法正确的是( ) A.空间中任意两个单位向量都相等 B.空间中零向量的方向是确定的 C.空间中相反向量的模长相等 D.空间中共线的向量必在同一条直线上 解析：相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误.故选：C 4.在正方体 中，与向量 相等的向量有( ) A. B. C. D. 解析：如图，在正方体 中，由正方体性质可知与 相等的向量有 .故选：A 5.在四面体 中，设 ， ， ，M为 的中点，则 ( ) A. B. C. D. 解析：由已知， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 .故选：A $