6.3线段的比较与运算教学设计 2026-2027学年数学青岛版七年级上册

该初中数学教学设计聚焦“线段的比较与运算”，涵盖比较方法（度量法、叠合法）、尺规作图、线段和差及中点定义。通过回顾小学测量知识，结合比较树高、铅笔长短的生活实例引入，搭建新旧知识桥梁。 特色在于以核心素养为导向，通过生活情境抽象比较方法培养数学抽象，中点定义推导强化逻辑推理，尺规作图发展直观想象。采用探究发现法，如用叠合法比较线段引导学生主动观察，提升学生几何直观与运算能力，为教师提供清晰教学流程与重难点突破策略。

课题 6.3 线段的比较与运算 课型 新授课 课时 1课时 教材版本 青岛版数学七年级上册 教学方法 情境教学法、探究发现法、讲练结合法、直观演示法 教学用具 多媒体课件、直尺、圆规、三角板 一、核心素养目标 • 【数学抽象】通过生活实例抽象出线段比较的方法，理解度量法和叠合法的本质，发展数学抽象能力 • 【逻辑推理】通过线段中点定义的推导，理解“因为…所以…”的推理过程，培养逻辑推理能力 • 【直观想象】借助图形直观理解线段的和、差、倍、分，通过尺规作图培养几何直观和空间观念 • 【数学运算】能运用线段中点定义进行简单计算，会求线段的和与差，提高数学运算能力 二、教学重难点 教学重点：线段长短的比较方法（度量法、叠合法）；线段中点定义及简单推理 教学难点：线段中点定义的推理应用；线段的和、差、倍、分运算 三、教学过程 【情境导入：回顾与引入】（3分钟） 【教师活动】同学们，在小学阶段，我们学习了线段的测量，也学会了用刻度尺测量线段的长度。那么，在初中阶段，如何进行线段的比较与运算呢？今天我们就来深入学习“线段的比较与运算”。 【教师活动】本节课的学习目标有三个：第一，理解比较线段长短的方法，并会进行符号化表达；第二，会用直尺和圆规画一条线段等于已知线段；第三，理解线段的和、差，以及线段中点的定义，能根据中点的定义进行简单推理，会计算线段的和与差。 【学生活动】了解本节课学习目标，明确学习任务。 【过渡语】先来看第一个问题：如何比较线段的长短？ 【探究一：观察与发现——线段长短的比较方法】（8分钟） 【教师活动】如图，如何比较两棵树的高矮？如何比较两支铅笔的长短？请同学们思考，生活中我们是怎么比较物体长短的？ 【教师活动】比较两棵树的高矮，我们可以把它们放在同一水平面上，看谁的顶端更高——这就是“叠合法”的思想。 叠合法 【学生活动】观察并回答：比较两棵树高矮，可以把它们放在同一地面，比较顶端；比较两支铅笔长短，可以把它们一端对齐，看另一端。 【教师活动】非常好！那么，如何比较两条线段的长短呢？我们有两种方法：一种是度量法，另一种是叠合法。 【教师活动】第一种方法——度量法：用刻度尺分别量出两条线段的长度，然后比较它们的大小。比如，量出线段AB=3cm，线段CD=4cm，则AB＜CD。 度量法比较线段长短 【学生活动】理解度量法：用刻度尺量出每条线段的长度，再比较数值大小。 【教师活动】第二种方法——叠合法：将其中一条线段移到另一条线段上，使它们的一个端点重合，然后根据另一个端点的位置进行比较。如图，点A和点C重合，点B落在C、D之间，这时就说线段AB小于线段CD，记作AB＜CD。 叠合法比较线段AB和CD 【学生活动】理解叠合法：将一条线段移动到另一条线段上，一端对齐，看另一端的位置关系。 【教师活动】你能说出什么情况下AB＝CD，AB＞CD吗？ 【学生活动】思考并回答：当点B和点D重合时，AB＝CD；当点B落在CD的延长线上（即点D在C、B之间）时，AB＞CD。 【教师活动】完全正确！三种情况：AB＜CD（点B在C、D之间），AB＝CD（点B与D重合），AB＞CD（点B在CD延长线上）。 【教师活动】观察并比较图中线段AB和CD的长短。比较的结果与你观察到的一致吗？有时候，眼睛看到的并不可靠，需要实际测量或用叠合法来验证！ 【学生活动】体验视觉错觉：看起来AB和CD差不多长，但实际测量后发现并不相等。这说明比较线段长短不能仅凭视觉，要使用度量法或叠合法。 【知识点】线段长短比较的两种方法：1.度量法——用刻度尺量出线段长度，比较数值；2.叠合法——将一条线段移到另一条线段上，一端重合，看另一端位置。三种结果：AB＜CD（点B在C、D之间）、AB＝CD（点B与D重合）、AB＞CD（点B在CD延长线上）。 易错提示：比较线段长短时，不要仅凭目测！视觉有时会产生错觉，必须使用度量法或用圆规进行叠合比较。 【过渡语】在叠合法中，我们需要把一条线段移到另一条线段上，这就要用到尺规作图。接下来我们学习如何用直尺和圆规画一条线段等于已知线段。 【探究二：思考与交流——尺规作图】（5分钟） 【教师活动】如图，已知线段a、b（a＞b），射线AE。用圆规在射线AE上截取线段AB＝a，再截取线段BC＝b。此时，点C在A、B之间还是在A、B之外？ 【学生活动】思考：因为a＞b，所以从A出发截取AB＝a，再从B出发向A方向截取BC＝b，点C在A、B之间。 【教师活动】正确！用圆规画一条线段等于已知线段的步骤是：第一步，用直尺画一条射线；第二步，用圆规量出已知线段的长度；第三步，在射线上以端点为圆心，以已知线段长为半径画弧，与射线相交，截得的线段就等于已知线段。 【教师活动】这种只用直尺和圆规作图的方法，叫作尺规作图。直尺用来画直线，圆规用来截取长度。注意：尺规作图时，直尺是没有刻度的！ 【学生活动】理解尺规作图：用直尺（无刻度）画射线或直线，用圆规量取长度并截取线段。这是几何作图的基本方法。 【知识点】尺规作图：只用直尺（无刻度）和圆规进行作图的方法。画一条线段等于已知线段的步骤：1.画射线；2.用圆规量取已知线段长度；3.在射线上截取等长线段。 理解要点：尺规作图是几何学习的基本功。直尺没有刻度，只能用来画直线；圆规用来量取长度和画弧。截取线段时，圆规两脚之间的距离就是线段的长度。 【过渡语】掌握了尺规作图，我们就能在射线上画出任意长度的线段，这为研究线段的和与差打下了基础。 【探究三：概括与表达——线段的和与差】（6分钟） 【教师活动】如图1，线段AC是a与b的和，记作AC＝a＋b；如图2，线段AC是a与b的差，记作AC＝a－b。请同学们理解：线段的和就是把两条线段首尾相接，线段的差就是从较长的线段中截去较短的部分。 【学生活动】理解线段的和：AC＝a＋b，表示线段AC的长度等于线段a和线段b的长度之和。线段的差：AC＝a－b，表示从长度为a的线段中截去长度为b的线段，剩下的是AC。 【教师活动】下面我们通过练习来巩固线段和差的概念。 【教师活动】练习1：如图，点B、C是线段AD上的两点。请完成填空。(1)AD＝AC＋( )；(2)AC＝AD－( )；(3)BC＋CD＝( )－AB。 【学生活动】思考并填空：(1)AD＝AC＋CD；(2)AC＝AD－CD；(3)BC＋CD＝AD－AB。因为AD＝AB＋BC＋CD，所以BC＋CD＝AD－AB。 【教师活动】练习2：如图，点B、C在线段AD上。(1)如果AB＝CD，那么AC＝BD吗？为什么？(2)如果AC＝BD，那么AB＝CD吗？为什么？ 【学生活动】推理：(1)因为AB＝CD，所以AB＋BC＝CD＋BC，所以AC＝BD。(2)因为AC＝BD，所以AC－BC＝BD－BC，所以AB＝CD。 【教师活动】非常好！这道题运用了等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个量，等式仍然成立。这也是线段和差运算的基本依据。 【知识点】线段的和：AC＝a＋b（首尾相接）；线段的差：AC＝a－b（从较长线段截去较短线段）。线段和差运算的依据是等式的性质：等式两边同时加（或减）同一个量，等式仍成立。 判断技巧：线段和差运算中，关键要看清点与点之间的位置关系。同一直线上，从左到右的点排列顺序决定了线段的和差关系。例如A、B、C在直线上，从左到右依次为A、B、C，则AC＝AB＋BC。 【过渡语】线段的和差运算中，有一种特殊的情况——当一条线段被分成相等的两段时，就引出了线段中点的概念。 【探究四：概括与表达——线段的中点】（6分钟） 【教师活动】如图，点M在线段AB上，AM＝BM，线段AB、BM与AM之间有什么数量关系？ 【学生活动】思考并回答：因为AM＝BM，且AM＋BM＝AB，所以AM＝BM＝AB的一半，即AM＝BM＝AB/2。 【教师活动】非常好！如果点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，那么点M叫作线段AB的中点。这是线段中点最重要的定义。 【教师活动】因为点M是线段AB的中点，所以AM＝BM＝AB/2。反过来也成立：如果AM＝BM＝AB/2，那么点M是线段AB的中点。 【学生活动】理解并记忆中点定义：点M是线段AB的中点 ⇔ AM＝BM＝AB/2。 【教师活动】中点的符号推理格式是：因为点M是线段AB的中点，所以AM＝BM＝AB/2。反之，如果AM＝BM且点M在线段AB上，则点M是线段AB的中点。请大家牢记这个推理格式！ 【知识点】线段中点定义：如果点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，那么点M叫作线段AB的中点。推理格式：∵点M是线段AB的中点，∴AM＝BM＝AB/2。反之也成立。 重点强调：中点定义是几何推理的基础！记住：中点有两个条件——一是点M在线段AB上，二是AM＝BM。两个条件缺一不可！中点推理格式：“∵点M是线段AB的中点，∴AM＝BM＝AB/2”必须熟练掌握。 【过渡语】掌握了线段中点的概念，下面我们通过例题来学习如何运用中点定义进行推理和计算。 【例题精讲：例1 三等分点与中点的综合应用】（5分钟） 【教师活动】例1 如图，点C是线段AB上靠近点A的三等分点，点D是线段AB的中点。若AB＝9，求线段CD的长度。 【教师活动】请同学们仔细读题，分析：C是三等分点是什么意思？D是中点是什么意思？如何求CD？ 【学生活动】分析：C是三等分点，且靠近A，所以AC＝AB/3＝9/3＝3。D是AB的中点，所以AD＝AB/2＝9/2＝4.5。CD＝AD－AC＝4.5－3＝1.5。 【教师活动】解：因为C是线段AB上靠近点A的三等分点，所以AC＝AB/3＝9/3＝3。因为点D是线段AB的中点，所以AD＝AB/2＝9/2＝4.5。所以CD＝AD－AC＝4.5－3＝1.5。 【教师活动】这道题综合运用了三等分点和中点的概念。解题关键是：先根据三等分点的定义求出AC，再根据中点定义求出AD，最后用AD－AC求出CD。 【知识点】三等分点：将线段分成三等份的点。中点：将线段分成两等份的点。解题时，先根据定义求各段长度，再根据和差关系求目标线段。 解题技巧：涉及中点、三等分点的问题，解题步骤：1.明确各点的位置关系；2.根据定义写出各段长度（用分数表示）；3.根据线段的和差关系，列出等式计算目标线段。 【过渡语】例题讲完了，下面我们通过几道练习来巩固所学知识。 【课堂练习：巩固与应用】（9分钟） 【教师活动】练习1：如图，点C在线段AB上，D为线段BC的中点。若AC＝6，AD＝8，求线段AB的长度。 【学生活动】分析：∵AC＝6，AD＝8，∴CD＝AD－AC＝8－6＝2。∵D为线段BC的中点，∴DB＝CD＝2。∴AB＝AD＋DB＝8＋2＝10。 【教师活动】解：∵AC＝6，AD＝8，∴CD＝AD－AC＝8－6＝2。∵D为线段BC的中点，∴DB＝CD＝2。∴AB＝AD＋DB＝8＋2＝10。 【教师活动】练习2：如图，在线段AB上，有C、D，请完成以下填空：AC＝AD－____＝AB－____＝AB－____－____；CD＝AD－____＝BC－____＝AB－____－____。 【学生活动】填空：AC＝AD－CD＝AB－CB＝AB－CD－DB；CD＝AD－AC＝BC－DB＝AB－AC－DB。 【教师活动】练习3：如图，M是线段AB的中点，点P在线段BM上，N是BP的中点。若AB＝20cm，BN＝4cm，求线段MP的长度。 【学生活动】分析：∵M是线段AB的中点，∴BM＝AB/2＝20/2＝10cm。∵N是BP的中点，∴BP＝2BN＝2×4＝8cm。∴MP＝BM－BP＝10－8＝2cm。 【教师活动】解：∵M是线段AB的中点，N是BP的中点，∴BM＝AB/2＝20/2＝10cm，BP＝2BN＝2×4＝8cm。∴MP＝BM－BP＝10－8＝2cm。 【教师活动】练习4：画直线l，并在l上依次取点A、B、C，分别取线段AB、BC的中点D、E。①使AB＝4cm，BC＝2cm，求线段DE的长。②使AB＝a cm，BC＝b cm，求线段DE的长。 【学生活动】解①：∵点D、E是AB、BC的中点，∴DB＝AB/2＝4/2＝2cm，BE＝BC/2＝2/2＝1cm。∴DE＝DB＋BE＝2＋1＝3cm。 【学生活动】解②：∵点D、E是AB、BC的中点，∴DB＝AB/2＝a/2 cm，BE＝BC/2＝b/2 cm。∴DE＝DB＋BE＝a/2＋b/2＝(a＋b)/2 cm。这是一个定值！ 【教师活动】非常好！第②题的结果是(a＋b)/2 cm，说明DE的长度等于AB和BC长度之和的一半。这是一个非常重要的结论，说明DE的长度与A、B、C的具体位置有关，但只与AB和BC的长度有关。 判断技巧：相邻两线段中点之间的距离等于这两线段长度之和的一半。即：若D是AB中点，E是BC中点，且B在A、C之间，则DE＝(AB＋BC)/2。 【过渡语】练习做完了，同学们都掌握得很好。下面我们来回顾本节课所学的内容，梳理知识框架。 【课堂小结：知识框架梳理】（3分钟） 【教师活动】本节课我们学习了线段的比较与运算，谁能总结一下我们学到了什么？ 【学生活动】回顾总结：学会了线段长短比较的两种方法——度量法和叠合法；学会了用尺规作图截取线段；理解了线段的和与差运算；掌握了线段中点的定义和推理格式；能运用中点进行计算。 【教师活动】总结得非常全面！我们一起来梳理知识框架：本节课围绕“线段的比较与运算”，从四个方面展开：第一，线段长短的比较——度量法和叠合法，叠合法进一步引出尺规作图；第二，线段的和、差、倍、分——包括线段的和与差运算，以及等式性质的应用；第三，中点——定义、推理格式及简单计算；第四，三等分点、四等分点——中点概念的推广。 【知识点】本节课核心知识框架：1.线段比较方法（度量法、叠合法）；2.尺规作图（画线段等于已知线段）；3.线段的和、差、倍、分；4.线段中点定义及推理（AM＝BM＝AB/2）；5.三等分点、四等分点等概念。 重点强调：线段中点的定义和推理格式是本节课的重中之重！“∵点M是线段AB的中点，∴AM＝BM＝AB/2”这个推理格式必须熟练掌握，在后续的几何学习中会反复使用。 四、板书设计 五、教学反思 1. 本节课学生哪些地方容易出错？ 2. 哪些学生需要特别关注？ 3. 教学时间分配是否合理？ 4. 实验/探究环节是否达到预期效果？ 5. 有哪些生成性问题？如何处理？ 6. 下节课如何改进？ 学科网（北京）股份有限公司 $