湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

雅礼中学2026年上学期期末考试试卷 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数（为虚数单位）的实部是（　　） A．-1 B．1 C． D．i 2．设全集，集合满足，则（　　） A． B． C． D． 3．命题“”的否定是（　　） A． B． C． D． 4．设向量，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C．与垂直 D． 5．的展开式中的系数为（　　） A．10 B．20 C．40 D．80 6．圆与直线的位置关系为（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 7．设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（　　） A． B． C． D． 8．雅礼中学数学组、信息组、物理组的竞赛生人数比为4：2：3，在今年湖南省某竞赛考试中，数学组、信息组、物理组分别有的学生进入决赛．在这三个竞赛组中随机抽取一名，已知该生进入了决赛，则该生为数学组的学生的概率为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知变量之间的经验回归方程为，且变量之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法正确的是（　　） 6 8 10 12 6 3 2 A．变量之间成负相关关系 B． C．可以预测，当时，约为2.6 D．由表格数据知，该经验回归直线必过点 10．写出一个具体函数，使得在中任给一个数，可以在中找到唯一确定的值与对应，这个函数可以是（　　） A． B． C． D． 11．下列说法正确的是（　　） A．，则实数的取值范围为 B．，则实数的取值范围为 C．，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，则的最小值为___________． 13．若曲线上点的切线平行于直线，则点的横坐标是___________． 14．若实数满足，若的大小关系为以下几种情况（不考虑相等情况）：，则整数的最大值为___________． （数据：） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 长沙市为了了解高中学生的近视眼情况，在雅礼中学高二某班做数据调查，已知该班有50名学生，近视的学生人数为30人． （1）从该班随机抽取2人，抽到近视眼的人数为，求的概率； （2）用该班的近视眼率估计高二年级整体近视眼率，从高二学生中随机抽取2 人，抽到近视眼的人数为，求的分布列与均值． 16．（本小题满分15分） 如图，在直三棱柱中，依次为的中点． （1）求证：； （2）求与平面所成角的正弦值． 17．（本小题满分15分） 向量，其中数列均为正项等比数列．定义，向量满足． （1）若数列的公比相等，求向量． （2）若． （i）求数列的通项公式； （ii）求数列的前项和． 18．（本小题满分17分） 已知抛物线． （1）写出抛物线C的焦点坐标和准线方程； （2）动直线与抛物线C交于两点，交直线于点，动点的轨迹过点． （i）求证直线过定点，并求的值； （ii）为抛物线C上异于的不同两点，，直线与直线的交点的坐标为为参数．求四边形面积的最小值． 19．（本小题满分17分） 已知函数在处取得最大值． （1）求的值． （2）如果且，证明：． （3），求证：． 高二数学（答案） 1．【答案】B 【解】因为．所以复数的虚部为-1． 2．【答案】A 【解析】由题意知，故选A． 3．【答案】C 【解析】由题意得命题“”的否定是“”． 4．【答案】C 【解析】，故A错；，故B错； ，故C正确； ，故D错． 故选C． 5．【答案】C 【解析】由题意可得， 令，则，所以所求系数为． 6．【答案】C 【解析】直线恒过点， 点在圆内，直线与圆相交，故选C． 7．【答案】D 【解析】[方法一]：因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． [方法二]：因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：， 所以． 思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 8．【答案】B 【解析】设抽取的一名学生来自数学组、信息组、物理组为事件，该学生进入决赛为事件，则 则 法二：设数学组、信息组、物理组的竞赛生人数为，则数学组、信息组、物理组分别有人进入决赛，则已知该生进入了决赛，则该生为数学组的学生的概率为． 9．【答案】ACD 【解析】由得，所以成负相关关系，故A正确； 当时，的预测值为2.6，故C正确； ，故．故经验回归直线过，故D正确； 因为，所以，故B错误． 10．【答案】ABD 11．【答案】ACD 【解析】A对、B错显然； C选项：原式子可化为， 则，所以实数的取值范围，所以C对． D选项：不等式可变形为，则，解得， 因，则，此时 所以的取值范围为，所以D对． 12．【答案】 13．【答案】e 【解析】，令，即， ， 点的横坐标为． 14．【答案】3 【解析】设，所以，，由解得，由解得， 结合指数函数图象，为了满足的大小关系可能为 这种情况， 则， 解得 所以整数的最大值为3． 15．（*）解：（1），所以的概率为． （2）由题意知，， ．． 所以的分布列为 0 1 2 均值为． 16．（**）解：（1）证明：因为三棱柱为直三棱柱， 所以面，又面，所以， 又面，所以面， 又面，则， 又，面，所以面， 又面，则． （2）解以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的一个法向量为，由得 令可得． 设与面所成角为，所以 即与平面所成角的正弦值为． 17．解：（1）设的公比分别为，则， 由和得 ，则，所以， 若，则，所以． 所以． 注：也可以直接由，求． （2）（i）由得， 又，所以，则． （ii），则， 则， 所以数列的前项和． 18．解：（1）抛物线C的焦点坐标为，准线方程为． （2）（i）设直线的方程为，，， 由得，则， 所以，解得． 所以直线的方程为，直线过定点． 因为交于点，动点的轨迹过点， 所以，解得． （ii）法1：设， 则直线的方程为， 直线的方程为， 因为直线与直线的交点，由（i）知道， 将坐标代入直线的方程得得， 同理． 将上面两式子相乘可得 因，则 所以． 设直线的方程为，由得， 则，解得，所以直线过定点． 同理． 所以 等号成立当且仅当． 所以四边形面积的最小值为75． （ii）法2：设，则直线的方程为， 直线的方程为， 因为直线与直线的交点，由（i）知道， 将坐标代入的方程 得， 则 将坐标代入直线的方程得 得， 则 所以 整理得，因，则． 设直线的方程为，由得， 则，解得，所以直线过定点． 同理． 所以 等号成立当且仅当． 所以四边形面积的最小值为75． 19．解：（1）因为为函数的最大值点， 即为函数的极大值点 求导得，解得． 当时，， 所以函数在单调递增，在单调递减，所以． 即符合题意． （2）法一：不妨设，要证，只要证 因为，函数在在单调递减， 只要证 只要证． 令，则 所以在单调递减，即， 所以成立，即成立． 法二：由题意知，则， 不妨设，要证，只要证，只要证， 只要证， 只要证，只要证，令 只要证，令 所以在单调递增，所以 即，所以． （3）先证明左边：由（1）知，等号成立当且仅当 令为，可得，等号成立当且仅当 令，则． ， 从而有 根据不等式同向可加性得，左边得证． 下面证明右边：由（2）的方法二知：， 令，可得． 从而 根据不等式同向可加性得，左边得证．．．．． 法二：以证明右边为例：因为数列的前项和为， 所以要证， 只要证 只要证，只要证 只要证，令，只要，证毕． 学科网（北京）股份有限公司 $