精品解析：广东云浮市邓发纪念中学2024-2025学年高二第二学期期中测试数学试题

2024至2025学年度第二学期高二级期中测试 数学科试题 考试范围：导数及应用，排列与组合；考试时间：120分钟； 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数的导数为，则＝（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先求出导函数，再代入求值即得. 【详解】则. 故选：D. 2. 函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的几何意义即可求解. 【详解】由，得， 在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即. 故选：A. 3. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由导数求单调递增区间. 【详解】因为定义域是，且，令，解得：，故单调递增区间是， 故选:. 4. 算盘是中国古代的一项重要发明，现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）.如果拨动图1算盘中的两枚算珠，可以表示不同整数的个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件分类探求出拨动两枚算珠的结果计算得解. 【详解】拨动图1算盘中的两枚算珠，有两类办法， 由于拨动一枚算珠有梁上、梁下之分，则只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法，在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法， 由分类加法计数原理得共有8种方法， 所以表示不同整数的个数为8. 5. 已知函数的最小值为1，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，分类讨论，从而求出的单调区间，即可求解函数的最值求解. 【详解】函数的定义域为，， 当时，在内恒成立，所以函数在内为增函数,此时无最小值， 当时，由，得，由得 函数在内为减函数，在内为增函数，故当时，取最小值， 即，故， 故选：D 6. 已知函数，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】易得函数在上是增函数，再利用导数求出函数在上的单调区间，即可得解. 【详解】函数的定义域为， 当时，， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 当时，，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，的增区间为，减区间为， 则A选项符合题意. 故选：A. 7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为在上恒成立；根据导函数解析式可知问题可进一步转化为在上恒成立；利用正弦型函数值域求法可求得，则只需即可，解不等式求得结果. 【详解】由题意得： 在上单调递增 在上恒成立 又 在上恒成立 当时， ，解得： 本题正确选项： 【点睛】本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题，涉及到正弦型函数值域的求解问题；本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题，从而利用三角函数的最值来求得结果. 8. 经过点所作曲线的切线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】求导，后根据导数几何意义，转化为：的根的个数，结合根的判别式判定即可. 【详解】因为，所以曲线在点处的切线方程为. 将代入，得. 因为，所以方程有两个不同的根，且根不为0， 所以方程共有3个不同的根， 即经过点所作曲线的切线有3条. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，则函数（ ） A. 单调减区间为 B. 在区间上的最小值为 C. 图象关于点中心对称 D. 极大值与极小值的和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调区间和极值即可判断选项A，B，D；利用即可判断选项C. 【详解】对于A，， 故， 所以在和上，，函数单调递增； 在上，，函数单调递减， 故A错误； 对于D，由A知，函数的极大值为， 极小值， 则，故D正确； 对于B，， 结合函数在的单调性可知：，故B正确； 对于C，， 所以， 故函数图象关于点中心对称，故C正确. 故选：BCD 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的极大值点为 B. 函数的极小值点为 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上单调递减 【答案】AD 【解析】 【分析】先求出函数的导数，然后由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值. 【详解】函数的定义域为 由，得 ， 当或时，，当或时，， 所以函数在和上递增，在和上递减， 所以为极大值点，为极小值点， 所以AD正确，BC错误. 11. 已知直线与曲线相交于，两点，与曲线相交于，两点，，，的横坐标分别为，，.则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，求导得其最大值，即可得到，然后对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】设，得，令，可得， 当时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 则当时，有极大值，即最大值. 设，得，令，则， 当时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 则当时，有极大值，即最大值， 从而可得.由，得，故A正确； 由，得，即， 又，得， 又在上单调递增，则，故B错误； 由，得，即. 又，得， 又在上单调递减，则，故C正确； 由前面知，，得，又由， 得，，则，.故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的极小值为______． 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】根据函数的导数与单调性、极值的关系求解. 【详解】函数的定义域为， ， 令，即，得， 令，即，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 故当时，函数取得极小值，极小值为． 故答案为: . 13. 已知，则正整数___________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据组合数和排列数的运算即可求得答案. 【详解】由题意，，得. 故答案为：6. 14. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图，某桨轮船的子的半径为，它以的角速度逆时针旋转.轮子外边沿有一点， 点到船底的距离是（单位：），轮子旋转时间为（单位：s）. 当时，点在轮子的最高点处. ①当点第一次入水时，__________； ②当时，函数的瞬时变化率取得最大值，则的最小值是________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 （1）根据题意，列出方程，分类讨论即可求解； （2）求出导数得，，当时，瞬时变化率取得最大值，进而求解 【详解】（1）当时，点在轮子最高点处，由图可知，轮船距离船底1m，半径3m，设为，则，当点第一次入水时，水面高2.5m，即，代入得，，第一次入水即在满足的情况下满足现实条件后可取的最小值， （2）瞬时变化率取得最大值，即最大，，当时，瞬时变化率取得最大值，此时，的最小值为 故答案为：①；② 【点睛】关键点睛：解题的关键在于求出和，根据题目的实际情况求解，难度属于中档题 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，曲线在点处切线方程为． （1）求的值； （2）讨论的单调性，并求的极大值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）求导函数，利用导数的几何意义及曲线在点处切线方程为，建立方程，即可求得，的值；（2）利用导数的正负，可得的单调性，从而可求的极大值． 试题解析：（1）． 由已知得，． 故，． 从而，． （2）由（1）知，， ． 令得，或． 从而当时，； 当时，． 故在，上单调递增，在上单调递减． 当时，函数取得极大值，极大值为． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 【方法点晴】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．求极值的步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值． 16. 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数． （Ⅰ）在组成的三位数中，求所有偶数的个数； （Ⅱ）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数； （Ⅲ）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数． 【答案】（Ⅰ）共有30个符合题意的三位偶数． （Ⅱ）共有20个符合题意的“凹数 （Ⅲ）共有28个符合题意的五位数 【解析】 【详解】试题分析：在正自然数中，零不能处在最高位，（1）偶数的个位数为偶数，所以只能为0，2，4，根据排列公式求出偶数个数即可；（2）由题意可知十位数可为0，1，2，分别从剩余的数字中取两个进行排列；（3）5个数字中只有两个奇数，所以可将1，3以及夹在中间的偶数看作整体，并与剩余的两个偶数进行排列计算． 试题解析：（1）将所有的三位偶数分为两类： （i）若个位数为，则共有（个）； （ii）若个位数为或，则共有（个）， 所以，共有个符合题意的三位偶数． （2）将这些“凹数”分为三类： （i）若十位数字为，则共有（个）； （ii）若十位数字为，则共有（个）； （iii）若十位数字为，则共有（个）， 所以，共有个符合题意的“凹数”． （3）将符合题意的五位数分为三类： （i）若两个奇数数字在一、三位置，则共有（个）； （ii）若两个奇数数字在二、四位置，则共有（个）； （iii）若两个奇数数字在三、五位置，则共有（个）， 所以，共有个符合题意的五位数． 考点：排列的运用. 17. 已知. (1)讨论的单调性； (2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围. 【答案】(1) 时 ,在是单调递增；时,在单调递增，在单调递减.（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）由,可分,两种情况来讨论；（II）由（I）知当时在无最大值,当时最大值为因此.令,则在是增函数,当时,,当时,因此a的取值范围是. 试题解析： （Ⅰ）的定义域为,,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减. （Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,则在是增函数,,于是,当时,,当时,因此a的取值范围是. 考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想. 18. 已知是实数，函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个相异的零点且，求证：． 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）证明过程见解析. 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，对进行分类讨论，求出单调性；（2）先结合第一问得到，且得到，将不等式变形为，故构造函数，，进行证明. 【小问1详解】 的定义域为，，当时，恒成立，故在上单调递减； 当时，令得：，令得：，故在上单调递增，在上单调递减； 综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 由（1）可知，要想有两个相异的零点，则，不妨设，因为，所以，所以，要证，即证，等价于，而，所以等价于证明，即， 令，则，于是等价于证明成立， 设， ，所以在上单调递增， 故，即成立， 所以，结论得证. 【点睛】对于多元不等式证明问题，要转化为一元不等式进行证明，再构造函数，利用导函数研究其单调性，极值及最值，从而证明出结论. 19. 已知函数（e为自然对数的底数）. （1）求f(x)的最大值； （2）设a为整数，若在定义域上恒成立，求a的最大值； （3）证明. 【答案】（1）1； （2）2； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用导数求出函数的最大值作答. （2）利用（1）的结论可得，进而可得当时，，再按、探讨恒成立，构造函数并证明不等式作答. （3）利用（2）的结论，构造数列不等式，再借助等比数列求和公式推理作答. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得：，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，. 【小问2详解】 由（1）知，，，即，因此对，， 当时，对，，则有， 于是当时，对，恒成立， 当时，函数的定义域为，，必有，解得， 而为整数，则最大值不大于2， 因为对，恒成立，则对，有恒成立，当且仅当时取等号， 又，恒成立，当且仅当时取等号，于是对，， 综上得当时，对，恒成立，即整数， 所以整数a的最大值为2. 【小问3详解】 由（2）知，，，取，有，因此， 从而， 所以原不等式成立. 【点睛】思路点睛：涉及含参函数不等式恒成立问题，可以结合导数分段讨论，确定临界值，再利用导数证明不等式作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024至2025学年度第二学期高二级期中测试 数学科试题 考试范围：导数及应用，排列与组合；考试时间：120分钟； 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数的导数为，则＝（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 4. 算盘是中国古代的一项重要发明，现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）.如果拨动图1算盘中的两枚算珠，可以表示不同整数的个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 已知函数的最小值为1，则（ ） A. B. C. D. 1 6. 已知函数，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 8. 经过点所作曲线的切线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，则函数（ ） A. 单调减区间为 B. 在区间上的最小值为 C. 图象关于点中心对称 D. 极大值与极小值的和为 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的极大值点为 B. 函数的极小值点为 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上单调递减 11. 已知直线与曲线相交于，两点，与曲线相交于，两点，，，的横坐标分别为，，.则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的极小值为______． 13. 已知，则正整数___________. 14. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图，某桨轮船的子的半径为，它以的角速度逆时针旋转.轮子外边沿有一点， 点到船底的距离是（单位：），轮子旋转时间为（单位：s）. 当时，点在轮子的最高点处. ①当点第一次入水时，__________； ②当时，函数的瞬时变化率取得最大值，则的最小值是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，曲线在点处切线方程为． （1）求的值； （2）讨论的单调性，并求的极大值． 16. 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数． （Ⅰ）在组成的三位数中，求所有偶数的个数； （Ⅱ）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数； （Ⅲ）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数． 17. 已知. (1)讨论的单调性； (2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围. 18. 已知是实数，函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个相异的零点且，求证：． 19. 已知函数（e为自然对数的底数）. （1）求f(x)的最大值； （2）设a为整数，若在定义域上恒成立，求a的最大值； （3）证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $