江西省樟树中学2025-2026学年高二下学期第三次诊断作业数学试题

樟树中学2027届高二年级下学期第三次诊断作业 数学作业答案 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的)1.B 2.A 3.B 4.B 5.B 6.D 7.C 8.D 5.【答案】B【详解】因为函数f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x),又易得函数f(x)的定义域是R,即 In(e-2x +1)+ax =In(e2x+1)-ax, 所以2ax=me2s+1）-hmex+)=n()=ne2=2x, 所以2(a-1)x=0,又x∈R,所以解得a=1,所以f(x)=ln(e2x+1)-x, 所以f'6)=282-1,所以f"0)=01282x0-1=0, 所以曲线y=f(x)在x=0处的切线斜率为0.故选：B. 6.【答案】D【解析】f()=x3-x2+4x+1→f'x)=x2-5x+4, 令f'(x)>0,解得x>4或x<1,所以函数f(x)的单调递增区间为(4，+o)和(-∞，1)： 令f'(x)<0,解得1<x<4,所以函数f(x)的单调递减区间为(1,4， 因此1,4是函数f(x)的两个极值点，因此ao13a1014=1×4=4, 2026 l0g4ak=l0g4a1+l0g4a2+…+l0g4a2026=l0g4(a1a2…a2026) k=1 =l0g4[(a1a2026)(a2a2o2s)…(a1013a1014)】=l0g4(4×4×…×4)=lo9441013=1013. 7.C【详解】当n=8时，最底层小球的数量为cd=(a+7)b+7),即c=a+7,d=b+7, 从而有[2b+b+7)a+2b+14+b)a+7)+7=460,整理得2ab+7a十7b=80,由a,b皆为正整数，得a+b是 6 不超过10的正偶数，当a+b=2时，ab=33,无解；当a+b=4时，ab=26,无解： 当a+b=6时，ab=19,无解：当a+b=8时，山=12，解得6-名或份-名符合题意： 当a+b=10时，ab=5,无正整数解，所以该垛积的第一层小球个数ab=12. 名案：D解新：ae=,可二=营a>号同理，可得酷营6>安兰-兰c> a 令f)=安x∈0，+m).则f'()=巴，当x∈0,1)时，f')<0,即fx)单调递减， 当x∈(1，+∞)时，f'o)>0,即fx)单调递增，∴f(目>f(月)>f(目)，又f(a)=f(目)，则a>1, fb)=f(目)，则b>1,f(c)=f(目)，则c>1,即f(a)>f(b)>f(c),且a>1,b>1,c>1, 由f(x)在(1，+o∞)上单调递增，所以a>b>c.故选：Dp 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9.BD 10.BCD 11.ACD 10.【答案】BCD 樟树中学2027届高二年级下学期第三次诊断作业数学答案 第1页共6页 【解析】解：由g(x)为偶函数，得g(-x)=g(x). 由f(2-x)=g(x)得f(2+x)=g(-x),则f(x+2)=g(x). 则f(x+4)=g(x+2)=-f(x),得f(x+4)=-f(x), 进而，f(x+8)=-f(x+4)=f(x),即f(x)的最小正周期为8： 由g(x)=f(x+2),可得g(x)的最小正周期也为8. 对于选项A:由f(2-x)=g(x),令x=1,得g(1)=f(1)=3,故A错误. 对于选项B:由f(x+2)=g(x),令x=1,得f(3)=g(1=3,故B正确. 对于选项C:由f(x+4)=-f(x),令x=1,得f(5)=-f(1)=-3,故C正确. 对于选项D:由g(x)周期为8，得g(9)=g(1)=3,故D正确.故选：BCD. 11.【答案】ACD【解析】解：由棱台的结构特征可知，A正确：B错误（因为AA1与EB1不一定平行）. 设A1HI平面ABCD于AC上的点H,HK⊥AB于点K, D 设HK=1,则AH=V2,LA1KH=60°， 故A,H=V了.aA,AH=得所以bsin/A.AH=-=零C正确， 对于选项D,先将问题转化为平面几何问题：记上下底面中心分别为Q,Q, 过Q1,Q且垂直于BC的平面截该棱台得一等腰梯形，其一半为如图所示直角梯形， E 且∠E1EQ=60°. 若存在球与该正四棱台每个面都相切，不妨记该内切球球心为01，半径为， 由题意知∠01EQ=30,EQ=V30,Q,即4-√3×34B=AB,解得 4 AB=3A1B1,D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.-1 13.-e e 14.5 12ma0-mf0+0f0-fo)=1-2=-1. △x 13.D【详解】f(x)的定义域为(-m,+),求导得f'()=ex- x+m 因为y=n在(-m,+∞)单调递减，则y=-n在(-m,+∞)单调递增， 所以f'(x)在(-m,+∞)单调递增，又当x→-m时，f'(x)→-∞，当x→+n时，f'(x)→+∞， 所以存在唯一∈（←m,+∞）使得fxg)=0.即e=n①。 樟树中学2027届高二年级下学期第三次诊断作业数学答案 第2页共6页 则x。=-n(xo+m),f(x)在(-m,xo)单调递减，在(xo,+∞)单调递增， 所以f(x)min=f(xo)=eo-ln(x。+m)=e+xo=e+1,则=1， 代入①得e=中m解得m=。故选：D. 14.【答案】5【解析】根据题意，M=x1≤x≤100，xEN}, 设集合B=a,aaa:<a2<…<a人aa∈，对于任意a:geBG≠).号E层 现计算此时n的最大值，要使最大，则数列的增长速度应该尽可能的慢，首先尽可能小， 所以a1=1,则a+1应该是满足a+1>3a:的最小整数，故a+1=3a+1,i≥1， ∴a+1+3(a+》则数列[a+引是首项为a1+=三公比为3的等比数列， 所以an+}=2×3-3,an=-≤100，即3n≤201，又3=81,35=243且n∈N, 2 22 ∴n的最大值为4，例如B={1,4,13,40},则k的最小值是5.故答案为：5. 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.【答案】(1)1 (2)答案见解析【详解】(1)由题可得f'(x)=e[x2+(2-a)x-2a], 因为f(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，所以f'(1)=0, 即e3-3a)=0,解得a=1,经检验a=1符合题意.。o。。。6分 （2)因为f'()=e[x2+(2-a)x-2a],令f'(x)=0,得x=-2或x=a.。o。a。。8分 当a<-2时，随x的变化，f'(x),f(x)的变化情况如下表所示： (-o,a) a (a,-2) -2 (-2,+o) f'(x) 0 0 f(x) 单调递增 f(a) 单调递减 f(-2) 单调递增 所以f(x)在区间(-∞a)上单调递增，在区间(a,-2)上单调递减，在区间(-2，+∞)上单调递增. 当a=-2时，因为f′(x)=ex(x+2)2≥0，当且仅当x=-2时，f'(x)=0, 所以f(x)在区间(-∞+∞)上单调递增 当a>-2时，随x的变化，f'(x),f(x)的变化情况如下表所示： X -,-2) (-2,a) a (a,+n) 樟树中学2027届高二年级下学期第三次诊断作业数学答案 第3页共6页 f(x) 0 0 f(x) 单调递增 f(-2) 单调递减 f(a) 单调递增 所以f(x)在区间(-∞，一2)上单调递增，在区间(-2，a)上单调递减，在区间(a,+o)上单调递增. 综上所述 当a<-2时，f(x)的单调递增区间为(-∞，a)和(-2，+∞)，单调递减区间为(a,-2): 当a=-2时，f(x)的单调递增区间为(-∞，+∞)，无单调递减区间： 当a>-2时，f(x)的单调递增区间为(-∞，-2)和(a,+m),单调递减区间为(-2，a).。。。13分 16.【答案】解：(1)以D为坐标原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴建立空间直角坐标系，如图 所示.当n=4时，AB=2,AA1=2,则A(2,0,0),E(0,2,1),B(2,2,0),D1(0,0,2): ZA D 则AE=(-2,2,1),BD1=(-2,-2,2): B 因为直线AE与平面a垂直，所以AE=(-2,2,1)是平面的一个法向量， 所以直线sD,与a所成角的正弦值为需-品污-号 。。。。。。7分 D (2)在(1)的坐标系中，A(20,0),E(0,2),B(2,20),D1(00,V刀) 则4正=(-2,2，），BD=(-2,-2,Vm), 所a.=正顾=号=学则=品=2日动业分 所以21=1=21-号+号号+号计+月品)=2-品<2。。5分 17.【详解】(1)数列{an}中当n≥2时，由am=2an-1+1得： an+1=2(an-1+1),又a1+1=2≠0，故an+1≠0， 故m+出=2，故{a+1)为等比数列，公比为2，首项a1+1=2, an-1+1 得到an+1=2×2n-1=2n,所以数列{am的通项公式为am=2n-1.。。。6分 (2)数列bn中，b1=1,bg+2=a5,则1+7d+2=25-1解得d=4, 所以{bn的通项公式为bm=1+4(n-1)=4n-3, 。0.000.9分 Cn =Alog2(an +1)-nbn =Alog22n-n(4n-3)=An-4n2+3n 已知数列{cn}为严格减数列，则cn+1<cn对任意正整数n都成立， 即1(n+1)-4(m+1)2+3(n+1)<1n-4n2+3m 化简得λ<8n+1对任意正整数n都成立，所以2<9.。o。15分 悍州中子U上/由同一平数下子别市二伏珍T作业数子合杀 布4只共0贝 18.【答案】(1)x2+y2=4 (2)V14 (3)证明见解析 【解析】【小问1详解】设Qc),因为8=2，所以QMP=4QN, 即(x-42+y2=4[(x-1)2+y2],整理得x2+y2=4, 所以曲线C的轨迹方程为x2+y2=4.。。。。4分 【小问2详解】 曲线C的圆心到直线x-y+1=0的距离d= v2 12+(-12 2 所以A8l=2722-24-=Vi4.8分 【小问3详解】 证明：设G(x1,y1),H(x2,y2),D(xo,yo). 联g+4(m2+y2-2my-3=0, 4=4m2+12m2+1)>0,y+%=0%2=-n 3 设E(-20,F(20).所以直线EG的方程为y=共（c+2),直线FH的方程为炒y=兰c-2. y0= 因为直线EG与直线FH交于点D,所以 o+2). 6=-2). 则o+2=业，x+2=m+1=my+yt2-当 xo-2x2-2y1(my2-3)y1 my1y2-3y1 3m 2m m m红安兰》解得x。4,所以点D在直线x4上。17分 3m m2+13y1 19.【答案】(1)t=1(2)①(0，+∞)：②证明见解析 【详解】(1)f'(x)=t-“f(1)=0“fx)≥0台fx)≥f(①). 由于x=1不是定义域区间的端点，且f(x)在定义域上连续， 故：f(1)不仅是函数f(x)的最小值，同时也是极小值. f'(1)=0→t-1=0→t=1.检验：当t=1时，f)=x-1-lx,f')=1-主=号 当0<x<1时，f'(x)<0,f(x)单调递减，当x>1时，f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以：f(x)≥f(1)=0成立，故：t=1。。。。4分 樟树中学2027届高二年级下学期第三次诊断作业数学答案 第5页共6页 （2）0当t=0时，g6-=f6)+x2-x=2-x-lm,g'60-2x-1-=2- 令：g(x)>0→x>1;同理：g(x)<0→0<x<1 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增. 当x→0时，g(x)→+o;当x→+o时，g(x)→+o: 且g(1)=0;所以方程f(x)+x2-x=m有两个不同的根时，m∈(0，+∞). 00000.8分 YA ②由题可知：g(x1)=g(x2)=m, y=m 即x子-x1-nx1=x经-x2-nx2=m且0<x1<1<x2 y=g(x) 构造函数h(x)=g(x)-g(2-x)0<x<1) w网=9'②+90-0=2x-1+22-0-1-2-2g <0 所以h(x)在(0,1)上单调递减，故h(x)>h(1)=g(1)-g(2-1)=0. 所以g(x)>g(2-x),又因为0<x1<1所以：g(x1)>g(2-x1), 又因为g(x1)=g(x2),所以：g(x2)>g(2-x1) 因为g(x)在(1，+∞)单调递增，2-x1>1,x2>1所以x2>2-X1台x1+x2>2. 要证：nx1+x2>1-m,即证：lnx1+x2>1-(x12-x1-lnx1), 即x2>1-x12+x1只须证明：X2+x1>1-x12+x1+x1, 即证：x2+x1>1-x12+2x1 因为：x1+x2>2,故只须证明：1-x12+2x1≤2 因为1-x12+2x1=2-x12+2x1-1=2-(x1-1)2<2成立. 所以原不等式lnx1+x2>1-m成立，证毕 .00000000.17分 樟树中学2027届高二年级下学期第三次诊断作业数学答案 第6页共6页严格规范创新超越 樟树中学2027届高二年级下学期第三次诊断作业 数学作业 作业范围：已学范围 作业时间：2026.07.07 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要 求的) 1.已知集合A={tan号，cos买，sim子，smg,B=y1y=simx,则AnB=( A.{3,-要号} B.{引 c.侣引 D.{9 2.己知等差数列{an},则“k=9”是“a7+a11=2ak”成立的( )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 3.某工厂需要建一个面积为5122的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最 省，则堆料场的长和宽各为( A.16m,16m B.32m,161m C.32m,8m D.16m,8m 4数列a,满足a:=-1,且岩=+eN).则2s=( A.2022 B.2023 C.2024 D.2025 5.若函数f(x)=lm(e2x+1)-ax是偶函数，则曲线y=f(x)在x=0处的切线斜率为( A-月 B.0 c D月 6已知等比数列am的各项均为正数：a103,a104是函数f)=x3-x2+4x+1的两个极值点，则 ∑206log4ak=( ) A.2026 B.2025 C.1014 D.1013 7.北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式如图，由大小 相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有ab个小球，第二层有(a+1)(b+1)个小球，第三层有 (a+2)(b+2)个小球..依此类推，最底层有cd个小球，共有n层，由“隙 积术"可得这些小球的总个数为m2b+aa+2d+b)c+c-l,若由小球堆成的某个 6 长方台形垛积有8层，小球总个数是460，则该垛积的第一层小球个数可以 是() A.5 B.8 C.12 D.19 8.已知a>且ae=ea,b>粗be=eb,c>且cei-e,则( A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 樟树中学2027届高二年级下学期第三次诊断作业数学 第1页共3页 严格规范创新超越 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9若a<b<0,则下列不等式一定成立的有() A.a2<b2 B.>君 C.In(b-a)>0 D.a3<b3 10.己知函数f(x),g(x)的定义域为R,g(x)为偶函数且f(2-x)=g(x),g(2+x)=-f(x),若 f(1)=3,则( A.g(1)=-3 B.f(3)=3 C.f(5)=-3 D.g(9)=3 11.已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1侧面与底面ABCD夹角为60°，E,F分别是AB,CD的中点，则() A.BC1与AD是异面直线 B.平面ADD1A1//平面EFC1B1 C.侧棱与底面的夹角正弦值为 D.若存在球与该正四棱台每个面都相切，则AB=3A1B1 6 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12已知函数f=x-2si.则典0 Ax 13.已知函数f(x)=ex-ln(x+m)的最小值为e+1,则m= 14.设集合M={x1≤x≤100，x∈N},若对于满足ASM的任意k个元素的集合A={a1,a2,…,ak},都 存在a4,4EA(≠)使得是∈[昼，3]，则k的最小值是 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.己知函数f(x)=ex(x2-ax-a). (1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求实数a的值： (2)求函数f(x)的单调区间. 16.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，AB=2,AA1=Vn,n∈N*. (1)当n=4时，若直线AE与平面α垂直，求直线BD1与所成角的正弦值； D (2)设a=AG,BD,证明：21ae<2. A D B 樟树中学2027届高二年级下学期第三次诊断作业数学 第2页共3页 严格规范创新超越 17.已知数列{an}中，a1=1,an=2an-1+1(n≥2)；数列{bn}为等差数列，且满足：b1=1,b8+2=a5 (1)求证：数列{an+1}为等比数列，并写出数列{an的通项公式： (2)令cn=log2(an+1)-nb,若数列{cn}为严格减数列，求实数的取值范围. 18.古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0且k≠1)的 点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，N(1,0),M(4,0),动点Q满足 =2,设动点0的轨迹为曲线c: (1)求曲线C的轨迹方程： (2)若直线x-y+1=0与曲线C交于A,B两点，求|AB|: (3)若曲线C与x轴的交点为E,F,直线l:x=y-1与曲线C交于G,H两点，直线EG与直线FH交于 点D,证明：点D在定直线上. 19.已知函数f(x)=t(x-1)-lnx(t∈R) (1)若f(x)≥0恒成立，求实数t的值： (2)当t=0时，方程f(x)+x2-x=m有两个不同的根，分别为x1,x2(x1<x2) ①求实数m的取值范围； ②求证：nx1+x2>1-m 樟树中学2027届高二年级下学期第三次诊断作业数学 第3页共3页