江西景德镇市乐平市第四中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

乐平四中2025-2026学年度下学期高二数学期末考试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在等差数列中，，，则等于（ ） A． B．15 C．25 D． 2．若，则等于（ ） A．2 B．0 C． D． 3．随机变量，且，则（ ） A．06 B．0.5 C．0.4 D．0.3 4．已知是等比数列的前项和，若，，则（ ） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 5．设存在导数，且满足，则曲线在处的切线倾斜角为（ ） A． B． C． D． 6．已知条件概率，，则（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，则的极小值为（ ） A． B． C． D． 8．已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，答错不给分） 9．已知函数的图象与轴相切，则实数的所有可能的值为（ ） A． B．0 C．2 D．3 10．下列关于随机变量的说法正确的是（ ） A．若服从正态分布，则 B．已知随机变量服从二项分布，且，随机变量服从正态分布，若，则 C．若服从超几何分布，则期望 D．若服从二项分布，则方差 11．等差数列的前项和记为，若，，（ ） A．公差 B． C． D．当且仅当时 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12数列7，77，777……前项和________． 13．过点且与曲线相切的直线方程是________． 14．已知函数在处取得极值0，则________． 四、解答题（本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品． （1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； （2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 16．（15分）已知等差数列中，，为其前项和，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前2026项和． 17．（15分）已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最值． 18．（17分）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成，，，，，六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”． （1）请根据直方图中的数据填写下面的列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？ （2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为，求的分布列和数学期望． 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 60 女 110 合计 附表及公式 0.15 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.072 3.481 5.024 6.635 7.879 10.828 ，其中． 19．（17分）已知函数． （1）求的单调区间； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围． 参考答案与详细解析 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1．答案：B． 解析：由题意得：，解得：．故选B． 2．答案：C 解析：，，，， ，，．故选：C 3．答案：D． 解析：随机变量，则， 且，则， ．故选D． 4．答案：B． 解析：设等比数列的公比为，由题意可得 解得：，．故选B． 5．答案：C． 解析：设曲线在处的切线倾斜角为，由， 则曲线在处的斜率为，则，，解得．故选C 6．答案：A 解析：根据条件概率公式，．故选：A 7．答案：A 解析：定义域，，令得，，解得， 当时，，当时，， 故是极小值点．，选A． 8．答案：D 解析：，得，又等差数列的前项和的表达式满足，数列，由此可设，，故，，故选D 二、多项选择题（每小题5分，共20分） 9．答案：AD． 解析：设切点为，求导，由得， ， 所以或．当时，，得；当时，，得，所以或．故选AD． 10．答案：CD 解析：A错，由于，，根据方差的性质，，故A错误； B错，服从二项分布，，解得，，根据正态分布的对称性可得，，故B错误； C对，服从超几何分布，根据超几何分布的期望公式，； D对，服从二项分布，根据二项分布的方差公式得，． 11．答案：ABC 解析：因为，所以，又，所以，，所以，，故ABC正确；因为，故D错误．故选ABC． 三、填空题（每小题5分，共20分） 12．答案： 解析：数列7，77，777……的通项公式， 13．答案：或 解析：，设过的切线与曲线相切于点，根据导数的几何意义，曲线在点处的切线的斜过切点的斜率为，，解得或，或，因此曲线的切线方程为或，即或． 14．答案：512 解析：在处有极值，且，，即，解得：，或．当时，，函数在R上为增函数，无极值，舍去；当时，，当时，函数为减函数，当时，函数为增函数，故函数在处取得极小值，所以，，． 四、解答题（共70分） 15．（13分）（1）从甲箱中任取2个都是次品的概率 甲箱共有个产品，从8个中任取2个的总组合数为：，从3个次品中任取2个的组合数为： 因此从甲箱中任取2个都是次品的概率为：； （2）设为“从甲箱中取出k个正品[个次品]放入乙箱”，B为“从乙箱中取出的是正品”． ，此时乙箱有4个正品、5个次品，； ，此时乙箱有5个正品、4个次品，； ，此时乙箱有6个正品、3个次品，； 由全概率公式： 16．（15分）解：（1）设等差数列公差为，①， ②． 联立①，②解得，，的通项公式． （2）， . 17．（15分）解：（1）函数定义域为R，求导得： ． 令，得或；令，得． 故单调递增区间为，，单调递减区间为．（6分） （2）由（1）知，函数极值点为，． 计算区间端点与极值点函数值： ，， ，． 故函数在上的最大值为7，最小值为．（12分） 18．（17分） 解：（1）根据频率分布直方图计算“课外体育达标”（时间分钟）的频率： 频率：，频率： 达标总频率：，达标总人数：，不达标总人数： 已知女生合计110人，总人数200人，故男生合计：人． 男生不达标60人，故男生达标：人．达标总人数50人，故女生达标：人． 女生不达标：人． 列联表如下： 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 60 30 90 女 90 20 110 合计 150 50 200 计算卡方统计量： ， 犯错误概率不超过0.01的临界值为，因为，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关． （2）不达标与达标人数比为，分层抽样抽取8人： 不达标人数：人，达标人数：人 表示抽取3人中“不达标”的人数，服从超几何分布，可取1，2，3： ；； 分布列： 1 2 3 数学期望： 19．（17分） 解：（1）函数的定义域为． ，令得 由得，由得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）定义域：． 恒成立，即， 由（1）得， 令，得，所以，解得： 所以，的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $