精品解析：江西九江市六校2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

高二年级下学期期末考试 数学 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：选择性必修第二册，集合与常用逻辑用语，不等式，函数. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ，使得 C. ，使得 D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，且否定结论. 【详解】原命题中量词为“任意”，结论为“”， 因此为“，使得”. 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别判断与的大小，再判断的大小. 【详解】，，， 所以. 3. 已知函数的图象大致如下，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由奇偶性排除BD，由特殊点函数值排除A，得到答案 【详解】由的图象关于轴对称，可知是偶函数， 对于A，定义域为R，， 故为偶函数，但与图象不吻合，A错误. 对于B，，故不为偶函数，B错误； 对于D，，不为偶函数，D错误； 对于C，定义域为R，且， 故为偶函数，且，故C满足要求； 4. 对于数列，定义其“交错和”为，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2026 【答案】A 【解析】 【分析】根据，得到通项公式，进而得到答案. 【详解】由和两式相减得， 故，因此. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合重要不等式和赋值法，根据充分条件和必要条件的定义直接判断即可. 【详解】若，则， 所以，故必要性成立. 取，，则， 但，充分性不成立. 因此“”是“”的必要不充分条件. 6. 已知公比大于1的正项等比数列满足．设，数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】因为是等比数列，，则， 故，即， 所以是等差数列， 由得， 由等差数列的性质得， 因此， 已知，故． 7. 已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造，求导得到其单调性，从而得到不等式，得到答案 【详解】设，则， 所以在上单调递增. 于是，即，解得. 8. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造可得是周期为2的周期函数，并求出，从而求出答案 【详解】因为，所以， 设，则， 所以是周期为2的周期函数， 中，令得， 因为，联立可得. 因为，所以，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】应用作差法比较大小判断A，由对应函数的单调性判断BC，应用特殊值法，举反例判断D. 【详解】对于A，. 由，得，，故，故A正确； 对于B，由及函数在区间上单调递增，得，故B正确； 对于C，由及函数在区间上单调递减，得，故C正确； 对于D，取，，则，，故D错误. 10. （多选题）已知函数的定义域为，在处取到极小值，则下列结论一定正确的是（ ） A. 在处取到极大值 B. 在处取到极大值 C. 在处取到极小值 D. 在处取到极小值 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项A，可取函数，即可判断正误；对于选项B，根据函数与函数图象的对称性判断；对于选项C，可取函数，即可判断正误；对于选项D，根据函数为偶函数判断. 【详解】对于选项A，取，易知在处取到极小值，，在处取到极小值，故A错误； 对于选项B，与的图象关于原点对称，所以在处取到极大值，故B正确； 对于选项C，取，，不是该函数的极值点，故C错误； 对于选项D，是偶函数，且时，.由于在处取到极小值，由偶函数的对称性，在处也取到极小值，故D正确. 11. 已知数列中，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 满足，且的所有的和为1225 C. 满足的的取值集合为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，变形得到，因为，所以，A正确；B选项，得到，，所以当或时，，从而求出所有的和；C选项，的奇数项为1，偶数项为0，求出C正确；D选项，当为偶数时，，当为奇数时，，求和即可 【详解】A选项，中取，得， 所以，因为，，……，所以，故A正确； B选项，取，，结合A选项的分析，得， 因为，所以，，所以当或时，， 所以满足，且的所有的和为 ，故B错误； C选项，的奇数项为1，偶数项为0， 所以满足的的取值集合为，故C正确； D选项，当为偶数时，.当为奇数时，， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则________. 【答案】3 【解析】 【详解】由已知，， 则. 13. 已知全集，若集合，，则的元素个数为________. 【答案】2 【解析】 【详解】依题意，，而，故，即有2个元素. 14. 已知一元二次方程的两个根为和，若数列满足，则________. 【答案】11 【解析】 【分析】先由根和系数的关系得到，，再结合变形得到，代入计算出结果； 【详解】由根与系数的关系得，. 则. 又，， 所以，，. 故答案为：11. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上存在极值点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）根据极值点的定义，把原问题转化为在区间内有解，利用零点存在定理求解即可. 【小问1详解】 当时，，求导得， 所以，. 故所求切线方程为，即. 【小问2详解】 由，得，. 因为，所以的符号由分子决定， 又在区间上存在极值点， 等价于在区间内有解，且在该解左右两侧变号. 所以，即， 解得，所以的取值范围为. 16. 已知数列满足，且对任意，有. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据累乘法得到时，，结合时，符合上式，得到答案； （2）裂项相消法求和即可 【小问1详解】 由，得， 所以时，. 当时，，符合上式.， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得. 所以. 17. 已知函数的图象关于点对称，函数. （1）求的值； （2）若命题“，”是假命题，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用对称性有求参数值，再验证函数定义域是否关于点对称，即可得； （2）问题化为“，”是真命题，即，结合指数函数、二次函数及分式型函数的性质求右侧的最小值，即可得. 【小问1详解】 由题意得，，即， 所以，恒成立， 所以恒成立，则，解得，或（舍去）， 所以，此时， 由，得定义域为，满足关于点对称，故； 【小问2详解】 因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 即“，”是真命题， 即， 又，令，则， 所以，， 因为在区间上单调递增， 当，即时，， 易知函数在区间上单调递减， 所以， 所以时，取得最小值6， 所以，即的取值范围是. 18. 已知数列满足：，且对任意，有. （1）求，，并比较大小； （2）证明：数列是等比数列； （3）记数列的前项和为，证明：. 【答案】（1），，； （2）证明：由， 又， 故数列是以为首项、为公比的等比数列. （3）证明：由（2）得，故. 所以， 则 【解析】 【分析】（1）依次计算出，作差法比较大小； （2）计算出，证明出结论； （3）由（2）得，故，由等比数列求和公式可得. 【小问1详解】 ，由题意，， ， 则，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 给出函数，，我们把称为，的平方差函数. （1）若，均为可导函数，函数在处取得极值，且，证明：； （2）已知. （i）若，且在区间上单调递减，求的取值范围； （ii）若，判断的零点个数. 【答案】（1）证明：因为， 所以， 由题意， 即， 因为，所以， 由可得， 所以. （2）（i）；（ii）当时，有1个零点；当时，有3个零点 【解析】 【分析】（1）求导，利用极值点的定义得到方程，变形得到结论； （2）（i）根据单调性可得，参变分离可得，构造函数，得到其最值，从而求出的取值范围； （ii）换元得到或，判断出有唯一的根为1，方程也有1个根为1，设，求导，分和两种情况，得到单调性，求出的零点情况. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为，， 所以， 因为在区间上单调递减， 所以， 即. 设，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，又，所以的取值范围是. （ii）由得或， 即或. 设，则或， 因为，单调递增，且时， 所以方程有唯一的根为1. 方程也有1个根为1， 设，则， 当时，，单调递增， 方程有唯一的根1，只有1个零点； 当时，令，得， 则在区间，上单调递增，在区间上单调递减， 且，，， 所以，， 令，，则恒成立， 所以在上单调递增，故， 所以， 易得，，且，， 所以在区间，上各有1个零点， 综上得，当时，有1个零点；当时，有3个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级下学期期末考试 数学 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：选择性必修第二册，集合与常用逻辑用语，不等式，函数. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ，使得 C. ，使得 D. ， 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的图象大致如下，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 4. 对于数列，定义其“交错和”为，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2026 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知公比大于1的正项等比数列满足．设，数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 6 D. 5 7. 已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. （多选题）已知函数的定义域为，在处取到极小值，则下列结论一定正确的是（ ） A. 在处取到极大值 B. 在处取到极大值 C. 在处取到极小值 D. 在处取到极小值 11. 已知数列中，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 满足，且的所有的和为1225 C. 满足的的取值集合为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则________. 13. 已知全集，若集合，，则的元素个数为________. 14. 已知一元二次方程的两个根为和，若数列满足，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上存在极值点，求的取值范围. 16. 已知数列满足，且对任意，有. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 已知函数的图象关于点对称，函数. （1）求的值； （2）若命题“，”是假命题，求的取值范围. 18. 已知数列满足：，且对任意，有. （1）求，，并比较大小； （2）证明：数列是等比数列； （3）记数列的前项和为，证明：. 19. 给出函数，，我们把称为，的平方差函数. （1）若，均为可导函数，函数在处取得极值，且，证明：； （2）已知. （i）若，且在区间上单调递减，求的取值范围； （ii）若，判断的零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $