广东省深圳市(龙岗区、宝安区)2024-2025学年高二下学期期末调研测试数学试卷

2025年深圳市(龙岗区、宝安区)普通高中高二年级调研考试 公式：185 时间：2025-07-03 18:44 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线和圆的位置关系为( ) A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 【答案】A 【解析】方法1（几何法）：圆，配方得，可知圆心，半径，，故直线和圆的位置关系为相交； 方法2（代数法）：联立方程，消去得，，得交点为，，故直线和圆的位置关系为相交；选A 2．已知等差数列公差为 2 ，和等比数列,,,，则数列的前 4 项和为( ) A． 16 B． 120 C． 168 D． 192 【答案】B 【解析】由等差数列公差为 2，则，等比数列，知成等比， 于是，，解得，则，，，数列的前 4 项依次为：，和为，选B 3．设曲线,在处的切线与垂直，则( ) A． B． 2 C． D． 【答案】C 【解析】，，则曲线,在处的切线的斜率， 与直线垂直，故，解得，选C 4．已知变量和的统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为， 则时的残差为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，则样本的中心的为在回归直线方程为上，代入得，则回归直线方程为，则当时的观测值为，产生的预测值为，于是残差，选C 5．的展开式中的系数为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 的展开式通项为， 的展开式通项为， 令，，解得，，得，，于是的展开式中的系数为，选D 6．小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公汽，自己开车．他记录了 100 次用这四种方式上班所花费的时间，分别用随机变量,,,来表示用这四种方式上班所用时间(分钟)．经数据分析，,，,， 如果某天有 70 分钟可用，他该选择哪种方式上班不迟到的概率最大( ) ,， A．步行 B．骑自行车 C．乘坐公汽 D．自己开车 【答案】B 【解析】根据题意： ，， ， ， 从上面的四个数据可以看出：骑自行车上班不迟到的概率最大 7．某学校一名学生参加体育和 两个兴趣小组，该同学每周只能选择其中一个兴趣小组学习，第一周选择体育兴趣小组的概率是，如果第一周选择兴趣小组，那么第二周去 兴趣小组的概率为；如果第一周去体育兴趣小组，那么第二周去 兴趣小组的概率为．已知该同学第二周去 兴趣小组，则第一周去兴趣小组的概率为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：设“第一周选择兴趣小组，“第一周选择体育兴趣小组”， “第二周选择 兴趣小组”，则.，且与互斥，根据题意得 ，，. 由全概率公式：， 则由贝叶斯公式：； 因此，该同学第二周去 兴趣小组，则第一周去兴趣小组的概率为; 8．已知函数，当时，则( ) A．有两个极值点 B．有极大值 C．可以是负数 D．一定是正数 【答案】D 【解析】，，，, ， 令，，在上递增，， 当时，于是由零点定理，存在，使得， 即，则在上递减，上递增， 则为函数的唯一的极小值点，选项AB错误， 的极小值即为在最小值 由于，知，得， 于是,由基本不等式，当且仅当时取得等号， ，但是若，，故等号是取不到的，于是，则一定是正数，选项C错误，选项D正确； 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．则下列说法正确的是( ) A．用可组成没有重复数字的位偶数有个． B．若二项展开式，则 C．样本相关系数为正数，越接近于，则成对样本数据正相关且线性相关程度越强 D．用残差来比较两个模型的拟合效果时，残差和越小，模型的拟合效果越好 【答案】ABC 【解析】A：分无和有两种情况讨论：①无有个，②有：有 根据分类加法原理：没有重复数字的位偶数有个；选项A正确； B：二项展开式，将式子两边求导：，令，，选项B正确； C:样本相关系数为正数，越接近于，则成对样本数据正相关且线性相关程度越强,C正确； D:用残差来比较两个模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，D错误； 10．设 ，已知随机变量 的分布列如下表，则下列结论正确的是( ) A． B．的值最大 C．随着的增大而增大 D．当时， 【答案】AD 【解析】A:，,则，A正确； B：，， 由于不能确定的符号，故无法推断的符号，选项B错误； C：在上递减，故随着的增大而减小，选项C错误； D:当时,,,,选项D正确； 11．已知直线分别与函数和的图象交于点,， 下列结论正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】 由题意：， A:方法1：（反函数法）显然函数和关于直线对称，于是它们的交点和关于对称，，得，选项A正确； 方法2：（同构），，即，显然单调递增，可得：，则，选项A正确； B:由选项A可知：，当且仅当时等号成立，显然，则，选项B错误； 选项C：，由于，可知 （因为）则，设函数，，当时，，故在上递增，由于，则， 故，选项C正确； 选项D：由选项C：，在上递减，上递增， 构造函数，显然在上递增，，，根据零点存在性定理可得，故在上递增，则 ，可得，选项D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数在处有极大值，则的单增区间为_______． 【答案】和 【解析】，，在处有极大值， 于是，解得，或者； ①当时，，此时，，随的变化如下： 此时函数在处有极小值，舍去； ②当时，，此时，，随的变化如下： 此时函数在处有极大值，单增区间为：和； 13．将某体育场馆分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中 6 个区域，统计这些区域内的综合配套指数和使用人数分布的数量,,…,，得到样本，且其相关系数，记关于的经验回归方程为．经计算可知：,,，则_______． 参考公式： , 【答案】 【解析】根据参考公式可知：， 知； 14．一只蚂蚁从平面直角坐标系上的原点处出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一单位长度，移动 4 次，则蚂蚁移动到圆内部的概率为_______． 【答案】; 【解析】 如图：圆内部的整点为,,,,,,,,,由于蚂蚁从原点处出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一单位长度，移动 4 次，样本空间，移动四次，可以达到的点为，，，，五种情形； （1）当移动 4 次运动到时， ①轴向左，向右各移动次有种； ②轴向左，向右各移动次有种； ③上下左右各一次，有种； 由分类加法原理，此时有种， （2）由于，，，四个点位置对称，考虑一点即可，考虑点， ①四次移动中，轴向右移动一次，上移动次（往下移动1格，往上移动2格）有, ①四次移动中，轴上向上移动一次，上移动次（往左移动1格，往右移动2格）有, 由分类加法原理，此时有种， 此类情况共有种， 于是设“蚂蚁移动到圆内部”的事件，种， ; 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本题 13 分)已知椭圆,,,为该椭圆的左、右两个焦点，为该椭圆上的动点，椭圆离心率,面积的最大值为． (1)求椭圆的方程． (2)已知,为该椭圆的上顶点和下顶点，，在直线上是否存在一点，使直线 和直线的交点在该椭圆上，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 【解析】(1)由题：当点在椭圆上、下顶点时，面积最大， 故可得,故椭圆方程为： （2）由题，所以直线的方程为， 设，则直线的方程为：， 两直线的交点为，代入椭圆方程可得： 故直线上存在点满足题意且坐标为; 16．(本题 15 分)为研究某市居民的身体素质与锻炼时间的关系，对该市某社区 100 名居民平均每天的锻炼时间进行了调查，统计数据如下表： 若将平均每天锻炼时间在分钟内的居民评价为＂锻炼不达标＂，在分钟内的居民评价为＂锻炼达标＂． (1) 请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验， 能否认为性别与锻炼是否达标有关联？ (2)从上述＂锻炼不达标＂的居民中，按性别用分层抽样的方法抽取 5 名居民，再从这 5 名居民中随机抽取 3 人了解他们锻炼时间偏少的原因，记所抽取的 3 人中男性居民的人数为随机变量，求的分布列和数学期望； (3)将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有居民中随机抽取 3 人， 求其中恰好有 2人＂锻炼达标＂的概率． 参考公式：，其中． 参考数据：(独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值) 【解析】补全列联表： 零假设为：性别与锻炼是否达标无关联． 根据列联表中的数据，经计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为性别与锻炼是否达标无关联． （2）易知，所抽取的 5 名居民中男性为名，女性为名． 的所有可能取值为， ，， 所以的分布列为： （3）设所抽取的 3 名居民中＂锻炼达标＂的人数为， 列联表中居民＂锻炼达标＂的频率为，将频率视为概率则， 所以， 所以从该市所有居民中随机抽取 3 人，其中恰有 2 人＂锻炼达标＂的概率为; 17．(本题 15 分)已知等比数列的前项和为，且,4 (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在 3 项,,(其中,,成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的 3 项；若不存在请说明理由． 【解析】（1）由题意可知，当时，，当时，， 联立解得，所以的通项公式为 （2）由（1）可知，所以， 假设数列中存在 3 项（其中成等差数列）成等比数列，则， 所以．即， 又因为成等差数列，所以，故, 即．所以，与已知矛盾， 所以在数列中不存在 3 项等比数列; 18．(本题 17 分)已知函数 (1)令，若对恒成立，求的最大值． (2)若有两个零点,，求的范围，并证明： 【解析】（1）由题：故，即，令，故在上单调递增，在上单调递减减，减所以 （2）由题： ①当时，在上单调递减，故不可能有两个零点，不成立 ②当时，在上单调递减，在上单调递增当时，，当时，， 若有两个零点只只，即：，∵在上单调递增，且，故 所以的取值范围是 由题：不妨设：，欲证,只需证 而：故只需证明 令 则 ，令 故 故在单调递增，则 所以在上单调递增，故 故原结论成立 19．(本题 17 分)通过抛掷骰子产生随机数列，具体产生方式为：若第次抛掷得到的点数,,,,,，则．记数列的前项和为，记除以 4 的余数为 (1)若，求和 (2)甲乙丙丁四人玩游戏：在一局中，由第五个人(裁判)投一个䯘子 2 次，若为 0 则甲在本局胜出，若为 1 则乙在本局胜出，若为 2 则丙在本局胜出，若为 3 则丁在本局胜出，比赛开始前， 4 名选手自由两两组合，组成小队和小队，组队后进行比赛．比赛采用 5 局 3 胜制，每局比赛中只要小队内有成员胜出即该小队在此局中获胜，请问：甲和哪位选手组成小队，使小队在比赛中有最大概率获胜，并说明原因． (3)若，设， 试确定该展开式中各项系数与事件的联系，并求的概率． 【解析】（1）因为，所以 的情形有：种,，（种），，（种）， 合计种,因此， （2）由（1）可知：, 的情形有：，种，（种），合计 8 种 因此， 的情形有：，种，，（种），种, 合计 种，因此，， 的情形有：（种）种），（种） 合计种 因此，， 设小队每局获胜概率为，比赛获胜概率为 ,所以， 故越大越大，所以甲和丁组成队在每局比赛中获胜概率为，在比赛中获胜概率最大; （3） 事件件表示个式子相乘后得到的组合方式的数量， 其，其中， 令，得到， 令，得到，因此，， 令，得到 又因为，所以， 因此，，所以． 第页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年深圳市(龙岗区、宝安区)普通高中高二年级调研考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线和圆的位置关系为( ) A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 2．已知等差数列公差为 2 ，和等比数列,,,，则数列的前 4 项和为( ) A． 16 B． 120 C． 168 D． 192 3．设曲线,在处的切线与垂直，则( ) A． B． 2 C． D． 4．已知变量和的统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为， 则时的残差为( ) A． B． C． D． 5．的展开式中的系数为( ) A． B． C． D． 6．小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公汽，自己开车．他记录了 100 次用这四种方式上班所花费的时间，分别用随机变量,,,来表示用这四种方式上班所用时间(分钟)．经数据分析，,，,， 如果某天有 70 分钟可用，他该选择哪种方式上班不迟到的概率最大( ) ,， A．步行 B．骑自行车 C．乘坐公汽 D．自己开车 7．某学校一名学生参加体育和 两个兴趣小组，该同学每周只能选择其中一个兴趣小组学习，第一周选择体育兴趣小组的概率是，如果第一周选择兴趣小组，那么第二周去 兴趣小组的概率为；如果第一周去体育兴趣小组，那么第二周去 兴趣小组的概率为．已知该同学第二周去 兴趣小组，则第一周去兴趣小组的概率为( ) A． B． C． D． 8．已知函数，当时，则( ) A．有两个极值点 B．有极大值 C．可以是负数 D．一定是正数 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．则下列说法正确的是( ) A．用可组成没有重复数字的位偶数有个． B．若二项展开式，则 C．样本相关系数为正数，越接近于，则成对样本数据正相关且线性相关程度越强 D．用残差来比较两个模型的拟合效果时，残差和越小，模型的拟合效果越好 10．设 ，已知随机变量 的分布列如下表，则下列结论正确的是( ) A． B．的值最大 C．随着的增大而增大 D．当时， 11．已知直线分别与函数和的图象交于点,， 下列结论正确的是( ) A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数在处有极大值，则的单增区间为_______． 13．将某体育场馆分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中 6 个区域，统计这些区域内的综合配套指数和使用人数分布的数量,,…,，得到样本，且其相关系数，记关于的经验回归方程为．经计算可知：,,，则_______． 参考公式： , 14．一只蚂蚁从平面直角坐标系上的原点处出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一单位长度，移动 4 次，则蚂蚁移动到圆内部的概率为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本题 13 分)已知椭圆,,,为该椭圆的左、右两个焦点，为该椭圆上的动点，椭圆离心率,面积的最大值为． (1)求椭圆的方程． (2)已知,为该椭圆的上顶点和下顶点，，在直线上是否存在一点，使直线 和直线的交点在该椭圆上，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 16．(本题 15 分)为研究某市居民的身体素质与锻炼时间的关系，对该市某社区 100 名居民平均每天的锻炼时间进行了调查，统计数据如下表： 若将平均每天锻炼时间在分钟内的居民评价为＂锻炼不达标＂，在分钟内的居民评价为＂锻炼达标＂． (1) 请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验， 能否认为性别与锻炼是否达标有关联？ (2)从上述＂锻炼不达标＂的居民中，按性别用分层抽样的方法抽取 5 名居民，再从这 5 名居民中随机抽取 3 人了解他们锻炼时间偏少的原因，记所抽取的 3 人中男性居民的人数为随机变量，求的分布列和数学期望； (3)将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有居民中随机抽取 3 人， 求其中恰好有 2人＂锻炼达标＂的概率． 参考公式：，其中． 参考数据：(独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值) 17．(本题 15 分)已知等比数列的前项和为，且,4 (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在 3 项,,(其中,,成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的 3 项；若不存在请说明理由． 18．(本题 17 分)已知函数 (1)令，若对恒成立，求的最大值． (2)若有两个零点,，求的范围，并证明： 19．(本题 17 分)通过抛掷骰子产生随机数列，具体产生方式为：若第次抛掷得到的点数,,,,,，则．记数列的前项和为，记除以 4 的余数为 (1)若，求和 (2)甲乙丙丁四人玩游戏：在一局中，由第五个人(裁判)投一个䯘子 2 次，若为 0 则甲在本局胜出，若为 1 则乙在本局胜出，若为 2 则丙在本局胜出，若为 3 则丁在本局胜出，比赛开始前， 4 名选手自由两两组合，组成小队和小队，组队后进行比赛．比赛采用 5 局 3 胜制，每局比赛中只要小队内有成员胜出即该小队在此局中获胜，请问：甲和哪位选手组成小队，使小队在比赛中有最大概率获胜，并说明原因． (3)若，设， 试确定该展开式中各项系数与事件的联系，并求的概率． 第页 学科网（北京）股份有限公司 $$