山东枣庄市台儿庄区2025-2026学年度第二学期阶段性诊断八年级数学试题

**基本信息** 八年级数学期末卷涵盖分式、几何变换等核心知识，通过基础题、探究题及实际应用题，考查抽象能力、推理意识与应用意识，适配期末综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|分式意义、因式分解、几何性质|基础概念辨析，如分式有意义条件、旋转性质| |填空题|6/18|方程根与系数、平行四边形、最短路径|综合应用，如18题等腰三角形中垂直平分线与最短路径| |解答题|7/66|方程求解、几何证明、实际应用、探究题|分层设计，23题帐篷购买（应用意识），25题旋转综合（创新意识）|

2025~2026学年度第二学期期末阶段性检测 八年级数学试题 亲爱的同学： 祝贺你完成了一个阶段的学习，现在是展示你的学习成果之时，你可以尽情地发挥， 祝你成功！ 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号涂在答题纸上。 1．要使分式有意义， 的取值应满足（　　） A． B． C． D． 为任意实数 2．下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．若，则下列各式中一定成立的是（　　） ( 第6题图 )A． B． C． D． 4．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，将点P（2，）向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的点P′的坐标是　　 A．（0，） B．（0，） C．（4，） D．（4，） 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D， ( 第7题图 )点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为（　　） A． B． C．2 D．3 7．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55° 得到△ADE， 若∠E=75°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 8．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 9．关于的分式方程有增根，则的值为　　 A．1 B．3 C．4 D．5 10．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 11．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 12．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线 与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（　　） ( 第18题图 )A．1 B．2 C．3 D．4 ( 第17题图 ) ( 第12题图 ) 二、填空题：每题3分，共18分,将答案填在答题纸上． 13．因式分解： 　 ． 14． 若，则________． 15．关于，的方程组的解中与的和不小于5，则的取值范围为_______． 16．已知，是一元二次方程的两个根，则＝ ． 17．如图，平行四边形ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3，若BA平分∠EBC， 则DE＝ ． 18．如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC， EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为　 ． 三、解答题：（满分66分） 19．（本题满分10分）解方程 （1）； （2）． 20．（本题满分11分） （1）解不等式组 （2）先化简,再求值: ,其中是（1）中不等式组的整数解 21．（本题满分8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上． （1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2； （3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，旋转中心的坐标为 　 　 ； ( 第21题图 )（4）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形且点D是y轴上一点，则点D的坐标是 　 　 ． ( 第22题图 ) 22．（本题满分6分）如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE． （1）求证：△DAC≌△ECB； （2）连接DE，若AB＝16，求DE的长． 23．（本题满分10分）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． （1）求A，B两种帐篷的单价各多少元？ （2）若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 24．（本题满分10分）阅读下列材料： 对于正数，规定，例如：（2）． （1）求值：（3）　　 ；（4）　　 ． （2）猜想　　 ，并证明你的猜想； （3）应用：请结合（2）的结论，计算下面式子的值： 　　 ． 25．（本题满分11分）综合与实践． 【初步探究】某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如图1的方式摆放，∠ACB＝∠ECD＝90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转（0°＜＜90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，交AC于点G，连接CF．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答： （1）如图2，当ED∥BC时： ①则 ； ②判断BD与AE的位置关系，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图3，当点E，F重合时，探究AF，BF，CF之间的数量关系，并说明理由． ( 第25题图 ) 2025-2026学年度第二学期期末阶段性检测 八年级数学试题 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末阶段性诊断 八年级数学试题 亲爱的同学： 祝贺你完成了一个阶段的学习，现在是展示你的学习成果之时，你可以尽情地发挥， 祝你成功！ 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号涂在答题纸上。 1．要使分式有意义， 的取值应满足（　　） ( 第6题图 )A． B． C． D． 为任意实数 2．下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A． B． ( 第7题图 )C． D． 3．若，则下列各式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，将点P（2，）向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的点P′的坐标是　　 A．（0，） B．（0，） C．（4，） D．（4，） 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为（　　） A． B． C．2 D．3 7．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55° 得到△ADE，若∠E=75°且AD⊥BC于点F， 则∠BAC的度数为（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 8．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 9．关于的分式方程有增根，则的值为　　 A．1 B．3 C．4 D．5 10．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 11．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 12．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线 与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（　　） ( 第18题图 )A．1 B．2 C．3 D．4 ( 第17题图 ) ( 第12题图 ) 二、填空题：每题3分，共18分,将答案填在答题纸上． 13．因式分解： 　 ． 14． 若，则________． 15．关于，的方程组的解中与的和不小于5， 则的取值范围为________． 16．已知，是一元二次方程的两个根，则＝ ． 17．如图，▱ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3，若BA平分∠EBC， 则DE＝ ． 18．如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC， EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为　 ． 三、解答题：（满分66分） 19．（本题满分10分）解方程 （1）； （2）． 20．（本题满分11分） （1）解不等式组 （2）先化简,再求值: ,其中是（1）中不等式组的整数解 21．（本题满分8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上． （1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2； （3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，旋转中心的坐标为 　 　 ； （4）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形且点D是y轴上一点，则点D的坐标是 　 　 ． ( 第21题图 ) ( 第22题图 ) 22．（2025•苏州）（本题满分6分）如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE． （1）求证：△DAC≌△ECB； （2）连接DE，若AB＝16，求DE的长． 23．（本题满分10分）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． （1）求A，B两种帐篷的单价各多少元？ （2）若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 24．（本题满分10分）阅读下列材料： 对于正数，规定，例如：（2）． （1）求值：（3）　　 ；（4）　　 ． （2）猜想　　 ，并证明你的猜想； （3）应用：请结合（2）的结论，计算下面式子的值： 　　 ． 25．（本题满分11分）综合与实践． 【初步探究】某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如图1的方式摆放，∠ACB＝∠ECD＝90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转（0°＜＜90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，交AC于点G，连接CF．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答： （1）如图2，当ED∥BC时： ①则 ； ②判断BD与AE的位置关系，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图3，当点E，F重合时，探究AF，BF，CF之间的数量关系，并说明理由． ( 第25题图 ) 改卷前校对一遍答案 八年级数学期末试题参考答案 一、选择题;下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来填在相应的表格里。每小题3分，共36分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B C A D C B C C  A B A 二、填空题（每题3分，共18分） 13．；14．；15． ；16．；17．；18. 18． 三、解答题：（满分66分） 19．（本题满分10分）解方程 （1）； （2）． 解： 解：∵，， ∴ ∴ 经检验：是原方程的根．……5分 ∴ ，……10分 注：没写检验扣1分 20．（本题满分11分） （1）解不等式组 解：解不等式①得：……2分 解不等式②得：……4分 ∴不等式组的解集为……5分 （2）先化简,再求值: ,其中是（1）中不等式组的整数解 解：原式 ……9分 ∵且取整数 ∴……10分 原式……11分 21．（本题满分8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上． （1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2； （3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，旋转中心的坐标为 　（﹣3，0）　 ； （4）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形且点D是y轴上一点，则点D的坐标是 　（0，6）　 ． 解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；……2分 （2）如图，△A2B2C2即为所求；……4分 （3）旋转中心M的坐标为（﹣3，0）； 故答案为：（﹣3，0）；……6分 （4）点D的坐标是（0，6）． 故答案为：（0，6）．……8分 22．（2025•苏州）（本题满分6分）如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE． （1）求证：△DAC≌△ECB； （2）连接DE，若AB＝16，求DE的长． 【解答】（1）证明：∵CD∥BE， ∴∠DCA＝∠B，……1分 ∵点C是线段AB的中点， ∴AC＝CBAB，……2分 在△DAC和△ECB中， ， ∴△DAC≌△ECB（ASA）；……3分 （2）解：∵AB＝16， ∴AC＝CBAB＝8， 由（1）可知：△DAC≌△ECB， ∴CD＝BE，……4分 又∵CD∥BE， ∴四边形BCDE是平行四边形．……5分 ∴DE＝BC＝8．……6分 23．（本题满分10分）（2025•广安）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． （1）求A，B两种帐篷的单价各多少元？ （2）若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 【解答】解：（1）设A种帐篷的单价为x元， 由题意得：，……1分 解得：x＝600．……2分 经检验：x＝600符合题意……3分 ∴x+400＝1000．……4分 答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元；……5分 （2）设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷（20﹣m）顶，总费用为W元． 由题意得：，……6分 解得：m≤15．……6分 又∵两种型号的帐篷均需购买， ∴0＜m≤15． W＝600m+1000（20﹣m）＝﹣400m+20000．……8分 ∵﹣400＜0， ∴W随m的增大而减小， ∴当m＝15时，W取最小值，W总小＝﹣400×15+20000＝14000．……9分 此时20﹣m＝5． 答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元． ……10分 24．（本题满分10分）阅读下列材料： 对于正数，规定，例如：（2）． （1）求值：（3）　　；（4）　　． （2）猜想　　 ，并证明你的猜想； （3）应用：请结合（2）的结论，计算下面式子的值： 　　 ． 解：（1）（3） ， （4） ， 故答案为：1，1；……4分 （2），……6分 ，……8分 故答案为：1； （3）原式 ．……10分 （填2026也对） 25．（本题满分11分）综合与实践． 【初步探究】某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如图1的方式摆放，∠ACB＝∠ECD＝90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，交AC于点G，连接CF．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答： （1）如图2，当ED∥BC时： ①则α＝ ； ②判断BD与AE的位置关系，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图3，当点E，F重合时，探究AF，BF，CF之间的数量关系，并说明理由． 解：（1）①∵△CED是等腰直角三角形， ∴∠CDE＝45°， ∵ED∥BC， ∴∠BCD＝∠CDE＝45°，即α＝45°， 故答案为：45°；……2分 ②BD⊥AE，……3分 理由：∵∠BCA＝∠ECD＝90°， ∴∠BCA﹣∠DCA＝∠ECD﹣∠DCA， ∴∠ECA＝∠BCD， ∵EC＝CD，AC＝CB， ∴△AEC≌△BDC（SAS）， ∴∠EAC＝∠DBC，……5分 ∵∠ACB＝90°， ∴∠BGC+∠GBC＝90°， ∴∠AGF+∠EAC＝90°， ∴∠AFG＝90°， ∴BD⊥AE；……7分 （2）BF＝AFCF，……8分 理由如下： ∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形， ∴∠DCE＝∠ACB，AC＝BC，CD＝CE，DFCF， ∴∠ACE＝∠BCD， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AF＝BD，……9分 ∵BF＝DF+BD， ∴BF＝AFCF；……11分 学科网（北京）股份有限公司 $