精品解析：重庆市南开中学校2025-2026学年高二下学期期末学业水平检测数学试题

2025-2026学年高二（下）期末学业水平检测 数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟.第I卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，则命题为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】:，. 2. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若，则，又，所以， 所以“”是“”的充分条件； 若，又， 所以或，解得或， 所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件. 3. 已知函数的定义域为，则实数a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】函数有意义，则应满足，即， 又函数的定义域为， 所以为方程的两根，所以. 4. 值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用换元法结合对数函数值域及二次函数分段得出函数值域. 【详解】因为， 当时，设，， 当时，单调递增，所以， 所以函数的值域为 5. 以下是函数的大致图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数为奇函数，故BD错误； 当时，，所以，故C错误，A正确. 6. 2026年6月，某新能源车企销量榜前六名（按销量从高到低）为：，其中D和E销量相同，其余均不同，现从这六家车企中随机选取4家，并按销量从高到低排成一排（销量相同者互换位置视为不同排列）．则不同的排列结果共有（ ）种． A. 15 B. 20 C. 21 D. 28 【答案】C 【解析】 【详解】若D和E均不选，则从另外4家车企选择4家有1种选法，按销量从高到低排成一排有1种排法， 所以由分步乘法计数原理共有种排列； 若D和E选1家有种选法，则从另外4家车企选择3家有种选法， 按销量从高到低排成一排有1种排法， 所以由分步乘法计数原理共有种排列； 若D和E选2家有有选法，则从另外4家车企选择2家有种选法， 按销量从高到低排成一排有2种排法， 所以由分步乘法计数原理共有种排列； 由分类加法计数原理知不同的排列结果共有种． 7. 已知幂函数过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设幂函数解析式，再应用过点求参数得出，最后应用单调性列式计算求解. 【详解】设幂函数，代入点得，解得，故， 因为函数为偶函数，所以等价于， 因为函数在上单调递增，所以等价于， 平方化简得，解得解集为； 8. 已知函数，若方程有三个不等实根，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解方程得或，利用导数研究函数的单调性，作出示意图，数形结合可得，求解可得实数m的取值范围. 【详解】由，得， 解得或， 由求导得， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以，又，，，,, 作出函数的图象如下： 所由图知，有唯一根， 又因为方程有三个不等实根， 所以有两个不等正实根，由图知，，解得， 所以实数m的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 数据的上四分位数为34 B. 已知随机变量，若，则 C. 一组观测数据的经验回归方程为，则样本点处的残差为 D. 在线性回归分析中，决定系数用来刻画拟合的效果，若值越大，则模型的拟合效果越好 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用百分位数计算判断A，应用二项分布数学期望及方差公式计算判断B，应用残差定义计算判断C，结合决定系数定义判断D. 【详解】A选项，10个数据的75%分位数位置为，取第8个数据34，A正确； B选项，由二项分布期望、方差，解得，B正确； C选项，代入得，残差为，C错误； D选项，决定系数值越大模型拟合效果越好，D正确. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，因为，所以，即， 所以，所以，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，因为， 故C正确； 对于D，由，得，所以，所以， 所以， 当且仅当时取等号，故D正确. 11. 定义在R上的奇函数满足，且时，．则以下说法正确的有（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. C. D. 若函数恰有7个零点，则所有零点之和的范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得可判断A；求得周期，可求得，，，可求得判断B；利用周期性计算判断C；将问题转化为在有7个交点的问题，判断的对称性，进而可得交点的分布情况，即可判断D. 【详解】又为奇函数，所以， 由，得， 所以函数的图象关于点对称，故A正确； 由，得，所以函数是周期为4的周期函数， 因为，所以，又，所以， 所以，又， 所以，解得， 所以，故B正确； 由，得，又， 所以， 又， ， 所以，故C错误； 有7个零点，即在有7个交点： 因为，所以， 关于直线对称，区间中，靠右侧需有6个交点分布在内， 仅有最左侧的零点，无对称点（其对称点超出区间）， 其余6个零点分为3对，每对和为4，总和为, 因为，故，即所有零点和范围为，D正确, 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）. 12. 已知，若，则________． 【答案】## 【解析】 【详解】因为，所以，又， 所以， 所以. 13. 已知为偶函数，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数定义构造关于的恒等式，结合对数性质化简后，通过对比系数法求出参数并代入检验. 【详解】由题意得，即， 若，该等式恒成立， 若，则有， 即，可得， 即，整理得， 则，解得， 此时， 要使对数有意义，需满足，解得， 定义域关于原点对称，满足题意，故. 14. 近几年来无人机在生活中的应用越来越广泛，已知在海拔高度x（单位：）处，大气压强P（单位：）近似满足关系（为常数），已知海平面处大气压为，在海拔处大气压为，已知某款无人机飞行时，大气压强保持在以上才能保证设备安全．则该无人机最大飞行海拔高度约为________（精确到小数点后两位）． 参考数据：． 【答案】 【解析】 【分析】先利用已知的两组高度与压强数据求出关系式中的和，再将安全压强下限 代入关系式解出对应的高度不等式即可. 【详解】由题意得，解得，即， 则，即， ，即，， 若大气压强保持在以上，即， 即，即，因为单调递增，所以有， 代入得， 即， 所以该无人机最大飞行海拔高度约为. 四、解答题：本大题5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）. 15. 已知直三棱柱中各棱长均为为中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）连接，交于点，则为的中点. 连接，因为为中点，所以. 又平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，则.由线面平行的判定定理可证得平面； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 直三棱柱中平面， 三棱柱中各棱长均为，所以为正三角形， 又为中点，所以，且. 如图所示，以所在直线为轴，以过且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系， 则. 所以. 设平面的法向量为， 则， 令，则平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则， 令，则平面的一个法向量为. . 故二面角的余弦值为． 16. 为研究每日运动时长与夜间睡眠质量的相关性，某中学心理健康小组随机抽取本校高二50名学生进行问卷调查，统计每名学生日均运动时长（单位：h）与睡眠质量评分（满分10分），先抽取其中6名学生的样本数据进行线性回归分析，数据如下表所示： 学生编号 1 2 3 4 5 6 日均运动时长x 0.3 0.5 1.0 1.3 1.5 2.0 睡眠质量评分y 6.4 6.6 6.8 7.0 7.2 8 （1）求样本相关系数r（精确到0.01），并判断日均运动时长x与睡眠质量评分y是否有较强的线性相关关系（当时，可以认为两个变量有较强的线性相关关系；否则，没有较强的线性相关关系）； （2）整理50名学生的全部数据，以日均运动时长1小时为界限、睡眠质量评分7分为界限（评分分表示睡眠良好），得到如下列联表，已知运动达标的学生中睡眠一般的人数占比，请完成以下列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为日均运动时长与睡眠质量有关？ 睡眠良好 睡眠一般 合计 运动达标 8 运动不达标 6 合计 50 参考公式及数据①已知， 样本相关系数 ②，其中． 临界值表： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1），日均运动时长与睡眠质量评分有较强的线性相关关系 （2） 睡眠良好 睡眠一般 合计 运动达标 24 8 32 运动不达标 6 12 18 合计 30 20 50 依据小概率值的独立性检验，能认为日均运动时长与睡眠质量有关。 【解析】 【分析】（1）利用已知参考数据代入公式求出相关系数的值，再根据其绝对值是否处于区间内来判定两者是否具有较强的线性相关性. （2）根据已知条件推算出各项人数以补全列联表，接着代入公式求出的值，最后与对应的临界值比较得出结论. 【小问1详解】 由题意得， ， 则， ， 则， 因为，所以日均运动时长与睡眠质量评分有较强的线性相关关系. 【小问2详解】 已知在运动达标的学生中，睡眠一般的人数占比为， 设运动达标的总人数为，则，解得， 由此可得，运动达标且睡眠良好的人数为人， 运动不达标的总人数为人， 运动不达标且睡眠一般的人数为人， 则有列联表如下: 睡眠良好 睡眠一般 合计 运动达标 24 8 32 运动不达标 6 12 18 合计 30 20 50 零假设为:日均运动时长与睡眠质量无关， ， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为日均运动时长与睡眠质量有关， 该推断犯错误的概率不超过. 17. 已知抛物线的焦点为F，点在C上且直线的斜率为． （1）求抛物线C的标准方程； （2）已知直线l交抛物线于两点，且线段的中点Q在直线上，若直线的斜率之积为，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据直线斜率得到方程，求出或16，舍去不合要求的解，得到抛物线方程； （2）直线l的斜率不存在时，不合要求，设出直线l的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据中点Q在直线上，得到方程，求出，根据斜率之积得到，从而得到答案. 【小问1详解】 由题意得，点在C上，故， 直线的斜率为，即， 所以，解得或16， 当时，，满足要求，当时，，不合要求， 故抛物线C的标准方程为； 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，线段的中点Q在直线上，不合要求，舍去， 设直线l的方程为，联立得， 设，则， 则， 故中点Q的纵坐标为， 线段的中点Q在直线上，故，解得， 故，，解得， ，， ， 由（1）知，则， ， 化简得且，解得， 故直线l的方程为. 18. 某质点在如图所示的区域内随机游走，每轮质点进行一次移动，初始时在A区域．当质点在区域时，移动到每个有通道连接的相邻区域或留在本区域的概率均为（区域不互通）；当质点移动到D区域时结束游走． （1）设每轮游走结束后，质点位于B区域为事件M．记前两轮游走后，事件M发生的次数为X，求X的分布列及期望； （2）设表示第n轮游走结束后质点在A区域的概率，表示第n轮游走结束后质点在B区域的概率．已知初始状态：． （i）求； （ii）是否存在实数使得数列为等比数列？若存在，求出；若不存在，说明理由．并从概率的角度分析，质点是否可以在区域内无限次游走？ 【答案】（1）X的分布列为 0 1 2 所以的数学期望为. （2）（i）； （ii）存在，.从概率的角度分析，质点不能在区域无限次游走. 【解析】 【分析】（1）分别分析质点前两轮游走的结果，即可得到事件M发生次数对应的概率，从而得到X的分布列并求得其期望； （2）分析第轮游走结束后质点在各区域的概率与第n轮游走结束后质点所在区域概率的关系，假设存在实数使得数列为等比数列，即可求得的值.分析质点在区域的概率，即可得质点不能在区域无限次游走. 【小问1详解】 初始时质点在A区域，2轮游走的所有可能路径为： ， ， . 记前两轮游走后，事件M发生的次数为，则的可能取值为. ； ； . 所以X的分布列为 0 1 2 所以的数学期望为. 【小问2详解】 （i），. （ii）设第n轮游走结束后质点在C区域的概率为，则. 若第n轮游走结束后质点在A区域，则第轮游走结束后质点在区域的概率为，在区域的概率为，在区域的概率为，在区域的概率为； 若第n轮游走结束后质点在B区域，则第轮游走结束后质点在区域的概率为，在区域的概率为，在区域的概率为，在区域的概率为； 若第n轮游走结束后质点在C区域，则第轮游走结束后质点在区域的概率为，在区域的概率为，在区域的概率为，在区域的概率为； 若第n轮游走结束后质点在D区域，则结束游走. 所以， 所以. 假设存在实数使得数列为等比数列，则（为非零常数）， 所以.所以，所以，，解得. 所以或. 当时，， . 当，， . 综上所述，. 设第轮游走结束后质点在区域的概率，则， 因为，所以，即质点落在区域的概率会随着游走轮数的增加而增大，会逐渐趋近于1， 所以质点不能在区域无限次游走. 19. 已知函数． （1）求的最小值； （2）求证：； （3）求证：． 【答案】（1）0 （2）函数的定义域为， . ，，所以， 所以，单调递增. 所以. ，， 所以，所以. 因此. （3） 先证左边： 当时，， 所以， 所以当时，； 令，则. 令，则， 所以是增函数，所以， 所以是增函数，所以， 所以，即，， 令， 则， 令，则， 所以是增函数，， 所以是增函数，所以， 即，即. 所以当时， ． 综上． 再证右边： 由（2）知，， 当且仅当时等号成立. 所以， 令，则. 因为，所以，所以恒成立， 所以单调递增，所以， 即， 所以. 综上所述，． 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，即可求得其极小值即最小值； （2）利用导数求得函数的最小值为，利用不等式的性质及函数的单调性可得，从而证得； （3）结合（2）的结论对不等式进行放缩，结合常用不等式可证左边不等式，构造函数，通过分析函数的单调性及正负，可证右边不等式，即可证得原不等式成立. 【小问1详解】 函数的定义域为， . 令， 则恒成立，所以是增函数，. 又， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以函数在处取得极小值，即最小值，最小值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二（下）期末学业水平检测 数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟.第I卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，则命题为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的定义域为，则实数a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 值域为（ ） A. B. C. D. 5. 以下是函数的大致图象的是（ ） A. B. C. D. 6. 2026年6月，某新能源车企销量榜前六名（按销量从高到低）为：，其中D和E销量相同，其余均不同，现从这六家车企中随机选取4家，并按销量从高到低排成一排（销量相同者互换位置视为不同排列）．则不同的排列结果共有（ ）种． A. 15 B. 20 C. 21 D. 28 7. 已知幂函数过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若方程有三个不等实根，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 数据的上四分位数为34 B. 已知随机变量，若，则 C. 一组观测数据的经验回归方程为，则样本点处的残差为 D. 在线性回归分析中，决定系数用来刻画拟合的效果，若值越大，则模型的拟合效果越好 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 定义在R上的奇函数满足，且时，．则以下说法正确的有（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. C. D. 若函数恰有7个零点，则所有零点之和的范围是 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）. 12. 已知，若，则________． 13. 已知为偶函数，则实数________． 14. 近几年来无人机在生活中的应用越来越广泛，已知在海拔高度x（单位：）处，大气压强P（单位：）近似满足关系（为常数），已知海平面处大气压为，在海拔处大气压为，已知某款无人机飞行时，大气压强保持在以上才能保证设备安全．则该无人机最大飞行海拔高度约为________（精确到小数点后两位）． 参考数据：． 四、解答题：本大题5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）. 15. 已知直三棱柱中各棱长均为为中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 16. 为研究每日运动时长与夜间睡眠质量的相关性，某中学心理健康小组随机抽取本校高二50名学生进行问卷调查，统计每名学生日均运动时长（单位：h）与睡眠质量评分（满分10分），先抽取其中6名学生的样本数据进行线性回归分析，数据如下表所示： 学生编号 1 2 3 4 5 6 日均运动时长x 0.3 0.5 1.0 1.3 1.5 2.0 睡眠质量评分y 6.4 6.6 6.8 7.0 7.2 8 （1）求样本相关系数r（精确到0.01），并判断日均运动时长x与睡眠质量评分y是否有较强的线性相关关系（当时，可以认为两个变量有较强的线性相关关系；否则，没有较强的线性相关关系）； （2）整理50名学生的全部数据，以日均运动时长1小时为界限、睡眠质量评分7分为界限（评分分表示睡眠良好），得到如下列联表，已知运动达标的学生中睡眠一般的人数占比，请完成以下列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为日均运动时长与睡眠质量有关？ 睡眠良好 睡眠一般 合计 运动达标 8 运动不达标 6 合计 50 参考公式及数据①已知， 样本相关系数 ②，其中． 临界值表： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 17. 已知抛物线的焦点为F，点在C上且直线的斜率为． （1）求抛物线C的标准方程； （2）已知直线l交抛物线于两点，且线段的中点Q在直线上，若直线的斜率之积为，求直线l的方程． 18. 某质点在如图所示的区域内随机游走，每轮质点进行一次移动，初始时在A区域．当质点在区域时，移动到每个有通道连接的相邻区域或留在本区域的概率均为（区域不互通）；当质点移动到D区域时结束游走． （1）设每轮游走结束后，质点位于B区域为事件M．记前两轮游走后，事件M发生的次数为X，求X的分布列及期望； （2）设表示第n轮游走结束后质点在A区域的概率，表示第n轮游走结束后质点在B区域的概率．已知初始状态：． （i）求； （ii）是否存在实数使得数列为等比数列？若存在，求出；若不存在，说明理由．并从概率的角度分析，质点是否可以在区域内无限次游走？ 19. 已知函数． （1）求的最小值； （2）求证：； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $