精品解析：重庆市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

高二数学 数学共4页，满分150分.时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.2 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质求解即可. 【详解】由题意知，正态曲线关于对称，所以. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】令，解得，则， 而恒成立，故，可得，故C正确. 3. 已知集合，若命题：，是上的增函数，则为（ ） A. ，不是上的增函数 B. ，是上的增函数 C. ，是上的减函数 D. ，不是上的增函数 【答案】A 【解析】 【详解】命题 为：“，函数 是 上的增函数”. 其否定形式为：“，函数 不是上的增函数”. 4. 某科考小组推算出某种树的高度（单位：）关于树的胸径（树的主干在地面以上处的直径）（单位：）的经验回归方程为，已知某棵树的胸径为，高度为，则该样本点的残差为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【详解】由经验回归方程当胸径时，预测值为 已知该树的实际高度为样本点的残差为 5. 某种玩具有A，B两种款式，厂商将玩具放入盲盒，已知盲盒开出A款的概率是开出B款概率的168倍，用随机变量表示1次抽盲盒开出B款的次数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设开出A款的概率为，那么开出B款的概率为. ，解得. 所以. 6. 设函数（且），若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以在处的导数为. ，所以， 解得. 7. 若，则（ ） A. -5 B. -1 C. 1 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】， 所以取得. 8. 若函数对任意的，有恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知函数在内单调递增，结合导数可知在内恒成立，进而分析求解. 【详解】由题意可知：函数在内单调递增， 则在内恒成立， 即在内恒成立， 因为，则，可得， 则，即， 所以实数的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错误选项得0分. 9. 现有5位同学集合站队，以下说法正确的是（ ） A. 若站成一行，则有种不同的方法 B. 若站成两行，则有种不同的方法 C. 若站成一行且甲乙相邻，则有种不同的方法 D. 若站成一行且甲乙不相邻，则有种不同的方法 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，若站成一行，则有种不同的方法，故A正确； 对于B，若站成两行，可能出现前1后4，前2后3，前3后2，前4后1， 每种情况都可看作将排成的两排“拉直”，实际上就是将5人排成一排的问题，有种不同的方法，种不同的方法，故B错误； 对于C，若站成一行且甲乙相邻，可将甲乙捆绑看作一个整体（甲乙可以交换顺序）， 再与剩下的3位同学进行排列，则共有种不同的方法，故C正确； 对于D，若站成一行且甲乙不相邻，可先将剩下的3位同学进行排列， 在其前后留下4个空位，再将甲、乙插入其中2个空位， 则共有种不同的方法，而，故D错误. 10. 已知，为正实数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A，通过均值不等式求解；B，D，将用表示后代入原式求解范围；C，利用乘上原式不改变式子大小来求解范围. 【详解】选项A，因为，所以，解得， ，所以，故A错误； 选项B，，所以，且等号在时成立，故B正确； 选项C，，等号在时成立，故C正确； 选项D，，等号在时成立，故D正确； 11. 某外卖平台从、、三个商家随机接单，接到商家订单的概率为0.5，接到商家订单的概率为0.25，接到商家订单的概率为0.25，其中商家超时的概率为0.1，商家超时的概率为0.2，商家超时的概率为0.4，则下列选项正确的是（ ） A. 外卖超时的概率为0.2 B. 如果外卖超时，则该外卖来自商家的概率为0.25 C. 如果外卖超时，则该外卖来自商家的概率为0.3 D. 如果外卖超时，则该外卖来自商家的概率为0.5 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据全概率公式及贝叶斯公式计算即可. 【详解】设事件：接到商家订单，事件：接到商家订单，事件：接到商家订单，事件：外卖超时， 则，，，，，. 对于A，由全概率公式得 ，A正确. 对于B，由贝叶斯公式得，B正确. 对于C，由贝叶斯公式得，C错误. 对于D，由贝叶斯公式得，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知不等式的解集为，则__________． 【答案】5 【解析】 【分析】由题意可知，1和2是对应方程的两个实根，由根与系数的关系解得的值即可． 【详解】由已知不等式的解集为， 则对应方程的两个根分别为1和2，则， 所以. 13. 若函数在点处的切线方程为，则实数的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】求导，根据题意可得，，列方程求解即可. 【详解】因为的定义域为，且， 由题意可得：，， 由可得，即， 把代入可得， 且，可得，解得， 所以. 14. 某乒乓球训练馆有两台发球机：机器发上旋球和下旋球的概率分别为和；机器发上旋球和下旋球的概率分别为和.为提高运动员的训练水平，设定发球规则如下：每次由一台发球机发球，若发出上旋球，则下一次从机器发球；若发出下旋球，则下一次从机器发球.若第一次从机器发球，记第次发出下旋球的概率为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】结合题意得到，再构造等比数列求出，最后求解即可. 【详解】由题意得第次发出下旋球的概率为， 则第次发出上旋球的概率为，且机器发上旋球和下旋球的概率分别为和； 机器发上旋球和下旋球的概率分别为和.， 结合题意得，即， 设，可得， 得到，解得，可得， 而，得到是首项为，公比为的等比数列， 则，故， 可得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为调研学生选科的情况，某学校随机调查了100名学生的高一数学期末成绩的及格情况和他们的选科情况，调查结果如下表. 选择物理 选择历史 合计 数学成绩及格 48 20 68 数学成绩未及格 16 16 32 合计 64 36 100 （1）估计数学成绩及格的学生选择物理的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩及格与否与选科是否有关联. 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）有关联 【解析】 【小问1详解】 设数学成绩及格的学生中选择物理为事件， 由题意得事件发生的概率为. 【小问2详解】 由题意得零假设为：数学成绩及格与否与选科之间无关联， 根据列联表中的数据， 计算可得， 根据小概率值的独立性检验， 我们推断不成立，数学成绩及格与否与选科有关联. 16. 已知函数. （1）求函数的极大值与极小值； （2）证明：当时，. 【答案】（1）， （2）若证当时，， 即要证当时，， 即，又， 则要求在上恒成立即可， 而，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，所以，得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，进而求解极值即可. （2）将目标不等式合理转化，再结合导数证明不等式即可. 【小问1详解】 由题意得， 当，或，当，， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减，当时，单调递增， 则，. 【小问2详解】 略 17. 某农学研究所开发了一种可在沙化严重的土壤上种植的粮食作物，在大规模推广之前，需要进行育种试验.若每一颗试验种子的成苗率为，且种子是否成苗相互独立. （1）若有10颗试验种子，且成苗率，求： （i）恰有7颗成苗的概率； （ii）成苗种子数量的平均值和方差. （2）每100颗试验种子为一个实验组，若有一个实验组恰有70颗成苗的概率最大，求的取值范围. 【答案】（1）（i）（ii）5，2.5 （2） 【解析】 【分析】（1）（i）先判断出二项分布，再利用概率公式求解即可，（ii）利用二项分布的期望和方差公式求解即可. （2）结合题意建立不等式组求解参数范围即可. 【小问1详解】 （ⅰ）设事件“一颗试验种子成苗”，则， 用表示事件发生的次数，则， 由二项分布概率公式得； （ⅱ）由二项分布期望公式得， 由二项分布方差公式得. 【小问2详解】 由题意得，记， 则， 由题意最大，所以有，， 得到，解得，故. 18. 已知函数（）. （1）讨论函数的单调性； （2）若在上恒成立. （i）求； （ii）求证：对于任意整数（），. 【答案】（1）当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增 （2）（i） （ii）由(i)知，当时，，函数， 所以，当时，等号成立. 当时，令，则， 于是，，……，， 则， 而，所以，得证. 【解析】 【分析】（1）对范围分类讨论求解单调性. （2）(i)通过单调性讨论与函数恒成立的性质求解. (ii)通过前两题的前提条件求证. 【小问1详解】 函数，求导得， 当时，对任意恒成立，所以在单调递减， 当时，，，单调递减， ，，单调递增. 【小问2详解】 (i)当时，不满足恒成立，舍去. 当时，由（1）可知，，若恒成立， 则，设，， 则，，单调递增， ，，单调递减. 故，则，所以； (ii)略 19. 在展销会上，某企业的展示台将（）件使用环保材料的新产品，（，）件使用非环保材料的旧产品放置在同一排，所有排列结果等可能，从左至右依次编号为1号展柜，2号展柜，……，号展柜. （1）若，. （i）求5号展柜内放的是新产品的概率； （ii）用表示最右边的新产品所在展柜编号，求的数学期望. （2）若表示最右边的新产品所在展柜编号的倒数，证明：. 【答案】（1）（i）（ii） （2）由题意随机变量的取值为（从取到），且， 则的期望为， 所以 . 【解析】 【分析】(1)(i)通过组合数计算. (ii)分别计算不同编号的可能性，最后得出数学期望. (2)表示出后通过组合数的性质证明不等式. 【小问1详解】 （ⅰ）当，时，5号展柜内放的是新产品的概率为. （ⅱ）最右边的新产品所在展柜编号只可能为4和5， ，， 所以. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 数学共4页，满分150分.时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.2 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，若命题：，是上的增函数，则为（ ） A. ，不是上的增函数 B. ，是上的增函数 C. ，是上的减函数 D. ，不是上的增函数 4. 某科考小组推算出某种树的高度（单位：）关于树的胸径（树的主干在地面以上处的直径）（单位：）的经验回归方程为，已知某棵树的胸径为，高度为，则该样本点的残差为（ ） A. B. C. D. 0 5. 某种玩具有A，B两种款式，厂商将玩具放入盲盒，已知盲盒开出A款的概率是开出B款概率的168倍，用随机变量表示1次抽盲盒开出B款的次数，则（ ） A. B. C. D. 6. 设函数（且），若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. -5 B. -1 C. 1 D. 5 8. 若函数对任意的，有恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错误选项得0分. 9. 现有5位同学集合站队，以下说法正确的是（ ） A. 若站成一行，则有种不同的方法 B. 若站成两行，则有种不同的方法 C. 若站成一行且甲乙相邻，则有种不同的方法 D. 若站成一行且甲乙不相邻，则有种不同的方法 10. 已知，为正实数，，则（ ） A. B. C. D. 11. 某外卖平台从、、三个商家随机接单，接到商家订单的概率为0.5，接到商家订单的概率为0.25，接到商家订单的概率为0.25，其中商家超时的概率为0.1，商家超时的概率为0.2，商家超时的概率为0.4，则下列选项正确的是（ ） A. 外卖超时的概率为0.2 B. 如果外卖超时，则该外卖来自商家的概率为0.25 C. 如果外卖超时，则该外卖来自商家的概率为0.3 D. 如果外卖超时，则该外卖来自商家的概率为0.5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知不等式的解集为，则__________． 13. 若函数在点处的切线方程为，则实数的值为______. 14. 某乒乓球训练馆有两台发球机：机器发上旋球和下旋球的概率分别为和；机器发上旋球和下旋球的概率分别为和.为提高运动员的训练水平，设定发球规则如下：每次由一台发球机发球，若发出上旋球，则下一次从机器发球；若发出下旋球，则下一次从机器发球.若第一次从机器发球，记第次发出下旋球的概率为，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为调研学生选科的情况，某学校随机调查了100名学生的高一数学期末成绩的及格情况和他们的选科情况，调查结果如下表. 选择物理 选择历史 合计 数学成绩及格 48 20 68 数学成绩未及格 16 16 32 合计 64 36 100 （1）估计数学成绩及格的学生选择物理的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩及格与否与选科是否有关联. 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知函数. （1）求函数的极大值与极小值； （2）证明：当时，. 17. 某农学研究所开发了一种可在沙化严重的土壤上种植的粮食作物，在大规模推广之前，需要进行育种试验.若每一颗试验种子的成苗率为，且种子是否成苗相互独立. （1）若有10颗试验种子，且成苗率，求： （i）恰有7颗成苗的概率； （ii）成苗种子数量的平均值和方差. （2）每100颗试验种子为一个实验组，若有一个实验组恰有70颗成苗的概率最大，求的取值范围. 18. 已知函数（）. （1）讨论函数的单调性； （2）若在上恒成立. （i）求； （ii）求证：对于任意整数（），. 19. 在展销会上，某企业的展示台将（）件使用环保材料的新产品，（，）件使用非环保材料的旧产品放置在同一排，所有排列结果等可能，从左至右依次编号为1号展柜，2号展柜，……，号展柜. （1）若，. （i）求5号展柜内放的是新产品的概率； （ii）用表示最右边的新产品所在展柜编号，求的数学期望. （2）若表示最右边的新产品所在展柜编号的倒数，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $