第14章 全等三角形 数学活动：利用全等设计图案、证明拼图猜想-培优课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦全等三角形的判定（SSS、SAS等）与性质，通过观察生活中地砖、装饰图案导入，衔接已学全等知识，为图案设计和拼图证明搭建学习支架，含“简易风筝制作过程”视频链接。 其亮点是融合动手操作与几何推理，学生制作拼接全等三角形设计图案，通过证明“两全等三角形拼成平行四边形”等猜想，结合平移、一线三等角等模型，培养创新意识、推理能力与应用意识。学生提升实践与思维能力，教师可借活动与模型优化教学。

人教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 14数学活动：利用全等设计图案、证明拼图猜想 第十四章 全等三角形 数学活动：利用全等设计图案、证明拼图猜想 一、活动主题 利用全等三角形的性质与判定进行图案设计、拼图操作，并通过几何推理证明拼图中的数学猜想。 二、活动目的 1. 巩固全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）和对应边、对应角相等的性质。 2. 体会利用全等图形可以无缝、无重叠拼接的特点，感受几何图形的对称美、拼接美。 3. 学会动手拼图、观察猜想、推理证明的数学探究流程，提升动手能力与几何推理能力。 三、活动原理 1. 能够完全重合的三角形是全等三角形，全等三角形形状相同、大小相等。 2. 多个全等三角形通过平移、旋转、翻折变换后，可以拼接成规则图案（三角形、四边形、对称花纹等）。 3. 拼图后产生的边角相等、线段重合、面积相等的猜想，均可通过三角形全等完成严格证明。 四、活动准备 直尺、圆规、剪刀、硬卡纸、铅笔。 五、活动过程 活动一：利用全等三角形设计美丽图案 步骤1：制作全等三角形 利用尺规作图（SSS或SAS）在硬卡纸上画出多个完全相同的三角形，并用剪刀剪下，得到若干全等三角形纸片。 步骤2：变换拼接图案 将全等三角形通过平移、旋转、翻折的方式自由拼接： 1. 用两个全等直角三角形可拼成长方形、等腰三角形、平行四边形； 2. 用多个全等任意三角形可拼接出中心对称、轴对称花纹图案； 3. 拼接原则：利用全等三角形对应边相等，做到无缝隙、无重叠拼接。 步骤3：固定图案 选择一幅对称、美观的拼接图案，整理固定，作为本次活动的设计成果。 活动二：拼图猜想与证明 猜想1：用两个全等的三角形一定可以拼成一个平行四边形。 证明： 设△ABC≌△CDA，则AB=CD，BC=AD（全等三角形对应边相等）。 根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”， 可得由两个全等三角形拼成的四边形为平行四边形，猜想成立。 猜想2：全等三角形拼接后，重合边以外的对应边、对应角仍然相等。 证明： 根据全等三角形性质，全等三角形对应边相等、对应角相等。 拼接只是图形位置变换（平移、旋转、翻折），不改变图形的形状和大小， 因此拼接后各对应边、对应角大小保持不变，猜想成立。 猜想3：若干全等三角形拼接而成的图案，总面积等于所有小三角形面积之和。 证明： 全等三角形面积相等，拼接过程无重叠、无空隙， 因此拼接图案总面积 = 单个三角形面积 × 三角形个数，猜想成立。 六、活动发现与总结 1. 图形变换不改变全等关系：三角形经过平移、旋转、翻折后，与原图形仍然全等。 2. 全等是拼图的核心依据：只有边长、角度完全相等的三角形，才能无缝拼接出规则、对称的几何图案。 3. 猜想→验证→证明是重要的数学探究方法：通过拼图观察提出猜想，再利用全等三角形的性质完成严谨证明。 4. 生活中的地砖花纹、装饰图案、剪纸纹样，大多利用全等图形拼接设计，体现了数学的实用性与美感。 七、活动感悟 本次数学活动让我体会到几何知识并非抽象公式，而是可以动手操作、可视化呈现的实用知识。全等三角形不仅是考试中的考点，更是图形设计、图案拼接的数学原理。通过亲手拼图、自主猜想、推理证明，我更加熟练地掌握了全等三角形的性质，提升了几何推理思维和动手实践能力，也感受到了几何图形的对称之美与数学魅力。 1. 能够深入理解全等图形的概念与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理.(重点) 2. 运用全等图形的知识进行图案设计，能够准确识别和利用全等关系完成复杂图案的创作.(重点) 3. 掌握通过全等证明拼图猜想的方法，能够运用严谨的逻辑推理对拼图相关的数学猜想进行验证.(难点) 学习目标 同学们，前面我们探究学习了关于全等的相关知识，当你看到这些漂亮的图案，你们能发现其中全等图形的奥秘吗？想不想自已动手用全等图形设计出独特的图案呢？今天，我们就一起走进利用全等设计图案和证明拼图猜想的奇妙数学世界. 简易风筝制作过程(点击视频观看) 活动探究一：利用全等设计图案 讨论：教材图中是两个根据全等设计的图案，仔细观察每个图案中有哪些全等形？有哪些全等三角形？ 操作：试着找一些利用全等拼接的图案，与同学讨论交流，看看哪些是全等形，哪些是全等三角形. 如图： 尝试：你能利用全等形类似地设计一些图案吗？试一试. 活动探究二：利用全等证明拼图猜想 情境探究：如图，△ABC≌△A'B'C'，把△ABC，△A'B'C' 剪下来，用它们拼图. A B C A' B' C' 拼图操作：使边 BC 与边 B'C' 重合，顶点 A 与顶点 A' 不重合，画出你拼出的图形. 提出猜想：在你画出的图形中，连接 AA' ，用测量、折纸等方法猜想 BC，AA' 有什么关系. ①图1 中 BC，AA' 互相平行； ②图2 中 BC，AA' 互相平分；③ BC 垂直平分 AA'. A B C A' (C') (B') A' B C A (C') (B') A B C A' (C') (B') 图① 图② 图③ 证明①：设 AC，A'C' 交于点 O，∵△ABC≌△AB'C'， ∴∠ACB = ∠A'C'B'，∠3 = ∠1，∠CAB = ∠C'A'B' AB = A'B'，AC = A'C'. ∴∠2 = ∠4. ∴△AC'A'≌△A'CA(SAS). ∴∠C'AA' = ∠CA'A.∴∠5 = ∠6. ∵∠AOA' = ∠COC'， ∴∠5 = ∠6 = ∠3 = ∠1. ∴BC∥AA'. 证明结论：用全等三角形的知识证明你的猜想. A C' C A' (B) (B') O 图① 1 2 3 4 5 6 ② 连接 AA' 交 BC 于点 O， ∵ △ABC≌△A'B'C'， ∴∠ABC =∠A'B'C'， AB = A'B'. 在△ABO 与△A'B'O 中， ∠AOB =∠A'OB'， ∠ABC =∠A'B'C'， AB = A'B'， ∴△ABO≌△A'B'O(AAS)， ∴ AO = A'O,BO = B'O.∴ BC，AA' 互相平分. A' B C A (C') (B') O 图② ③ 连接 AA'，AA' 交 BC 于点 O， ∵ △ABC≌△A'B'C'， ∴∠ACB =∠A'C'B'，AC = A'C'， 在△AOC 与△A'OC' 中， CO = C'O，∠ACO =∠A'C'O，AC = A'C'， ∴△AOC≌△A'OC' (SAS). ∴ AO = A'O，∠AOC =∠A'OC'， ∵∠AOC +∠A'OC' = 180°， ∴∠AOC = 90°，即 BC⊥AA'. ∴ BC 垂直平分 AA'. A B C A' (C') (B') 图③ O 模型1 平移模型 模型归纳 1.如图，是的中点， ，，求证： . 中考考法 13 证明： 点为 的中点， . ， . 在与 中， ， ， . 返回 中考考法 14 模型2 对称模型 模型归纳 有公共边： 有公共顶点： 中考考法 15 2.如图，已知，，求证： . 证明：，，， ， . 又，，， . 返回 中考考法 16 模型3 一线三等角模型 模型归纳 条件：已知<m></m>，<m></m>，<m></m>三点共线，<m></m>，且<m></m> 图示：同侧型 中考考法 17 图示：异侧型 结论： 中考考法 18 3.如图，在中， ，，直线经过点 ，且 于点，于点 . （1）①当直线绕点旋转到图①的位置时，求证： ； 中考考法 19 证明： ， ， ， ， . 在与 中， , ， . . 中考考法 20 ②当直线绕点旋转到图②的位置时，直接写出线段，， 的数量关系：_______________. （2）如图③，将条件改为：在中，，，， 三点都 在直线上，且有 ，其中 ，请直接写出线段，， 存在的数量关系： _______________. 返回 中考考法 21 模型4 手拉手模型 模型归纳 中考考法 22 4.在和 中， ， ， ，与 相 交于点 . （1）如图①，当 时，求证： ① ； 证明： ， ，即 . 又， ， . 中考考法 23 ② . 设，交于点 ， ， . ， ， ， ，即 . 中考考法 24 （2）如图②，当 时， _____. （3）如图③，直接写出的度数：__________（用含 的式子表示）. 返回 中考考法 25 利用全等设计图案与证明拼图 证明拼图 全等图形基础 利用全等设计图案 课堂小结 $