14.3 第1课时 角平分线的性质 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦角的平分线，核心内容包括尺规作图及性质探究。课堂导入通过复习全等三角形判定、三角形线段等旧知，以OM=ON时PM=PN的问题情境搭建学习支架，引导学生从已有知识自然过渡到新知。 其亮点在于采用“动手操作—大胆猜想—严谨验证”模式，如折叠实验、角平分仪器分析培养几何直观（数学眼光），通过AAS全等证明性质发展推理能力（数学思维），用符号语言规范表达性质结论强化模型意识（数学语言）。学生能提升逻辑推理与应用能力，教师可借助结构化探究活动高效教学。

14.3 角的平分线 (第1课时) 第十四章 全等三角形 学习目标 学会用尺规作一个角的平分线；亲手探索并证明角平分线的重要性质；能够运用角平分线的性质解决简单的几何问题。 一 经历“动手操作—大胆猜想—严谨验证”的几何探究过程，感受数学思维魅力；在解决问题中，体会转化与建模的数学思想方法。 二 三 在探究角平分线的过程中，提升逻辑推理能力和有条理地思考与表达的能力；在运用性质解决问题时，培养数学应用意识与核心素养。 1.7.2013 这节课我们有三个主要目标。首先，我们要学会一项新技能——用尺规画出角的平分线。其次，我们将像小科学家一样，通过动手操作去发现角平分线的一个重要性质，并且证明它的正确性。最后，我们要把学到的知识应用到实际问题中去。希望通过这节课，大家不仅能学会知识，更能体会到数学探究的乐趣，提升自己的逻辑思维能力。 ‹#› （1）判定两个三角形全等的方法有哪些？ SSS、ASA、ASA、AAS、HL （2）三角形中有哪些重要的线段？ 三角形的高、三角形的中线、三角形的角的平分线 （3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做 _________________. 点到直线的距离 探究与应用 问题1　如图14-3-1,OC是∠AOB的平分线,P是OC上的任意一点,M,N分别是OA,OB上的点,若OM=ON,请说明:PM=PN; 活动1　会利用尺规作已知角的平分线 问题情境 图14-3-1 图14-3-1 解:∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上的任意一点, ∴∠POM=∠PON. 在△POM和△PON中, ∴△POM≌△PON(SAS).∴PM=PN. 解:在△POM和△PON中, ∴△POM≌△PON(SSS). ∴∠POM=∠PON. ∴OP平分∠AOB. 问题2　如图14-3-1,若M,N分别是∠AOB的边OA,OB上的点,OM= ON,点P在∠AOB的内部,PM=PN,作射线OP,请说明:OP平分∠AOB. 图14-3-1 结论：当OM=ON时，PM=PN。理由如下： 在△OPM和△OPN中， ∵ OM = ON (已知) ∠POM = ∠PON (角平分线定义) OP = OP (公共边) ∴ △OPM≌△OPN(SAS) ∴PM=PN(全等三角形对应边相等) 合作探究 探究1：寻找作图的灵感如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点。我们在OA和OB上取OM=ON，连接PM和PN。观察图形，你能发现PM与PN之间有什么数量关系吗？ 思考：利用全等三角形的判定，如何证明PM与PN相等？关键条件是什么？ 1.7.2013 在学习新方法之前，我们先来探究一个问题。看这个图，OC是角平分线，P是上面一点。如果我们在角的两边取相等的线段OM和ON，然后连接PM和PN，大家猜一猜，PM和PN的长度有什么关系？没错，它们是相等的。我们可以通过证明△OPM和△OPN全等（SAS）来得出这个结论。这个发现将是我们找到尺规作图方法的关键！ ‹#› 结论：点P在∠AOB的平分线上。 理由如下： 连接OP。在△OPM和△OPN中， OM = ON（已知），PM = PN（已知），OP = OP（公共边）， ∴ △OPM ≌ △OPN (SSS)。 ∴ ∠POM = ∠PON（全等三角形对应角相等），即点P在∠AOB的平分线上。 合作探究 探究1（反过来想）：如果我们反过来，先知道OM=ON，并且PM=PN，那么点P的位置有什么特点呢？ 1.7.2013 现在我们把问题反过来想一下。如果我们先在角的两边取了两个点M和N，使得OM=ON，然后在角的内部找到了一个点P，使得PM=PN。那么，这个点P会在哪里呢？通过刚才类似的证明，我们发现△OPM和△OPN也是全等的（SSS），所以∠POM=∠PON。这说明，点P正好就在∠AOB的平分线上！这个结论给了我们一个重要的提示。 ‹#› 情境探究 ：拿出一个小三角形纸，按照如图所示的步骤，动手折叠. 问题1：折痕 BD 平分∠ABC 吗？为什么呢？ B D A C M ② B A M ① 问题2：在如图所示的折叠过程中，按照先后顺序保证了哪些条件相等，使得折痕平分∠ABC ？ 先 AB = BC，后 AD = DC. 探究点一： 角平分线的作法 情境探究：如图是一个平分角的仪器，其中 AB = AD，BC = DC. 将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是这个角的平分线. 你能说明它的道理吗？ A B D C E 分析：在△ACD 和△ACB 中， AC = AC， AD = AB， CD = CB， ∴△ACD≌△ACB(SSS). ∴∠DAC =∠BAC. ∴AE 平分∠DAB. 探究点一： 角平分线的作法 根据问题2,你能想到如何作一个角的平分线吗? 引发思考 解:可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点,再在角的内部作出与这两点距离相等的点,以角的顶点为端点,作过这个点的射线,就能得到角的平分线了. 根据上述方法填空. 已知:如图14-3-2,∠AOB. 求作:∠AOB的平分线. 作法:如图14-3-3,①以点O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于点M,交OB于点N. ②分别以点　　　　,　　　　为圆心,　　　 MN的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部相交于点C.  ③作射线　　　　.射线　　　　为∠AOB的平分线.  操作思考 M 图14-3-2　 图14-3-3 　N　 大于　 OC OC 合作探究 思考：结合探究结论，如何作出一个角的平分线？ 01 找点：在角的两边OA和OB上，取两点M、N，使它们到顶点O的距离相等，即 OM = ON。 02 定点：在角的内部找一点P，使点P到M、N两点的距离相等，即 PM = PN。 03 连线：连接顶点O与点P，作射线OP，这条射线OP就是∠AOB的角平分线。 OM=ON PM=PN 1.7.2013 刚才的探究给了我们一个完美的作图方案！要画出角平分线，我们只需要三步：第一步，在角的两边找到两个到顶点距离相等的点M和N；第二步，在角的内部找到一个到M和N距离相等的点P。最后，连接O和P，这条射线就是我们要找的角平分线！这个方法听起来是不是很清晰？接下来，我们就用尺规来实现它。 ‹#› 作法：已知∠AOB，按以下步骤操作： 1. 画弧：以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2. 再画弧：分别以点M、N为圆心，大于1/2 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C。 3. 作射线：作射线OC，射线OC即为∠AOB的角平分线。 合作探究 思考：第二步半径为何大于1/2MN？为确保两弧相交，若过小则无法交于点C。 角平分线作图 1.7.2013 现在，见证奇迹的时刻到了！请大家拿出尺规，跟我一起操作。第一步，把圆规尖放在顶点O，画一个弧，与角的两边交于M和N。第二步，分别以M和N为圆心，用一个足够大的半径（大于MN长度的一半）在角内部画弧，让它们相交于点C。最后，用直尺连接O和C。看！射线OC就是∠AOB的平分线！大家思考一下，为什么第二步的半径要足够大呢？对啦，是为了保证两条弧线能顺利相交！ ‹#› 思考：你能想到如何作一个角的平分线吗? A B O M C (1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N． (3) 画射线 OC. 射线 OC 即为所求. (2) 分别以点 M，N 为圆心． 大于　MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点 C. 作法： 探究点一： 角平分线的作法 N 问题1 为什么以大于 MN 的长为半径作弧？ 答：如果以小于 MN 的长为半径作弧，所作的两弧可能没有交点，就找不到角的平分线. A B O M N 探究点一： 角平分线的作法 问题2 两弧的交点一定在∠AOB 的内部吗？ 答：两弧的交点可能在∠AOB 的内部，也可能在∠AOB 的外部，而我们要找的是∠AOB 内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB 的平分线了. A B O M N C 探究点一： 角平分线的作法 用尺规作角平分线的注意事项 (1)以适当长为半径,不能太长或太短; (2)在角的内部找所作弧的交点; (3)画射线OC,不能说成连接OC. 记 警示 解:P1D1=P1E1,P2D2=P2E2,P3D3=P3E3,…. 性质:角的平分线上的点到角两边的距离相等. 如图14-3-4,OC是∠AOB的平分线.点P1,P2,P3,…在OC上,过点P1,P2,P3,…分别画OA与OB的垂线,垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3…….分别比较P1D1与P1E1、P2D2与P2E2、P3D3与P3E3……,你发现角的平分线有什么性质? 活动2　探究并证明角的平分线的性质定理 问题情境 图14-3-4 相等 角的平分线的性质:角的平分线上的点到角两边的距离　　　　.  归纳性质 合作探究 用尺规作角平分线 这是数学中最精确、最经典的作法。仅用圆规和直尺，严格遵循几何公理，就能画出任意角的平分线，是几何作图的基础核心方法。 用角尺平分角 生活中木工、钳工常用的实用技巧。利用角尺的直角或特定角度刻度，可快速定位角的中线，无需复杂作图，效率高且贴合手工操作需求。 用角平分仪平分角 专为角平分设计的精密工具。结构巧妙，能直接卡合于角的两边，快速显示平分线位置，广泛应用于工程测绘、机械加工等专业场景。 1.7.2013 除了我们刚刚学会的尺规作图，在生活和工作中，人们还发明了各种工具来平分角。比如，木匠师傅常用的角尺，还有专门的角平分仪。这些工具都是基于我们今天所学的几何原理设计的。数学知识是不是非常有用？它就在我们身边！ ‹#› 实验发现： P₁D₁ = P₁E₁，P₂D₂ = P₂E₂，P₃D₃ = P₃E₃ …… 大胆猜想： 角的平分线上的任意一点，到角的两边的距离存在着相等的数量关系。 合作探究 探究2：角平分线的“超能力” 我们已经学会了用尺规画角平分线，那它到底隐藏着什么特别的数学性质呢？请大家在角平分线OC上任意选取P₁、P₂、P₃等若干个点，分别过这些点向角的两边OA和OB作垂线，测量每组垂线段的长度，观察并比较这些数据，你能发现其中的规律吗？ 结论：角的平分线上的点到角两边的距离相等。 1.7.2013 学会了画角平分线，我们来探索一下它的“超能力”。请大家在自己画的角平分线上任意取几个点，然后从这些点向角的两边作垂线。现在，请量一量每组垂线段的长度。你发现了什么惊人的规律？是不是每一组垂线段的长度都相等？这就是角平分线的一个非常重要的性质：角平分线上的任意一点，到角两边的距离都相等！ ‹#› 在刚才折叠的基础上(在折叠状态，未展开)将BC 自身重合对折(点 B 与点 C 重合)观察折叠后的展开图，你发现了什么? B D A C M ② B D A C M P ③ 探究点二：角的平分线的性质 纸上又多了两条折痕，设为 PE 和 PF (如图)，两条折痕相交于点 P，并且点 P 在角平分线 BD上； 观察折痕与边的关系得到： B D A C M P E F PE⊥BC，PF⊥AB，PE = PF. 对于任意角的平分线是否都有这样的结论？ 探究点二：角的平分线的性质 证明性质 一个点在一个角的平分线上 (教材补充例题)证明:角的平分线上的点到角两边的距离相等. 步骤:(1)这个命题的题设是　　　　　　　　　　　　　　,结论是 　　　　　　　　　　　　　　.  (2)已知:如图14-3-5,OC是∠AOB的平分线,点P在 OC上,　　　　　　　　　 　　　　.求证: PD=PE.  例 1 图14-3-5 这个点到这个角两边的距离相等 PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E 解:(3)∵OC是∠AOB的平分线, ∴∠AOC=∠BOC. ∵PD⊥OA,PE⊥OB, ∴∠PDO=∠PEO=90°. 在△OPD和△OPE中, ∴△OPD≌△OPE(AAS).∴PD=PE. (3)证明: 图14-3-5 已知 求证 合作探究 角的平分线上的点到角两边的距离相等. OC是∠AOB的平分线，点P在OC上。 PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E。 角的平分线上的点 到角两边的距离 相等 PD=PE 1.7.2013 当然，数学的魅力在于严谨的证明。我们不能只靠测量，必须用逻辑来说话。现在，我们就来证明这个性质。首先，明确已知条件：OC是角平分线，P在OC上，PD和PE分别是P到两边的距离。我们要证明的就是PD=PE。 ‹#› 已知 求证 合作探究 OC是∠AOB的平分线，点P在OC上 PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为D、E PD = PE 证明思路：要证PD=PE，核心思路是证明包含这两条线段的△OPD和△OPE全等。 关键条件分析：① 直角：∵ PD⊥OA, PE⊥OB ∴ ∠PDO=∠PEO=90°；② 等角：∵ OC平分∠AOB ∴ ∠POD=∠POE；③ 公共边：OP=OP。 结论：△OPD和△OPE满足“角角边”（AAS）全等判定条件，故两三角形全等，即得PD=PE。 1.7.2013 证明的思路是什么呢？要证明两条线段相等，最常用的方法就是证明包含它们的两个三角形全等。在这里，PD和PE分别在△OPD和△OPE中。我们来看看这两个三角形是否全等。首先，它们都是直角三角形。其次，它们有一个锐角相等（因为OC是角平分线）。最后，它们还有一条公共边OP。所以，根据“角角边”（AAS）定理，这两个三角形一定是全等的！ ‹#› 证明几何命题的一般步骤 1. 明确命题中的已知和求证； 2. 根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； 3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 探究点二：角的平分线的性质 归纳总结 角的平分线 作一个角的平分线 角的平分线的性质 图示 尺规作图：以角顶点为圆心画弧交两边，再分别以交点为圆心画弧交于一点，连线即为角平分线 角平分线上的点到角的两边的距离相等 作图关键 利用圆规截取等长线段，构造全等三角形的三边条件，确保作图的准确性。 性质核心 点在平分线上 ⇒ 点到两边距离相等。需过点作两边垂线，距离是垂线段的长度，非点到顶点距离。 依据 SSS（证△OMC ≌ △ONC，三边对应相等） 依据与符号 依据：AAS（证△OPD ≌ △OPE，角角边相等） 符号：∵OP平分∠AOB, PD⊥OA, PE⊥OB ∴PD=PE 尺规作图法 性质应用 ∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE. 依据：SSS 全等判定 1.7.2013 这一页我们对“角的平分线”进行系统归纳。首先是角平分线的尺规作图，其核心依据是“SSS”全等判定定理，通过构造两个三边相等的三角形（△OMC和△ONC）来确保所画射线是角的平分线。其次是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，这一性质的证明依据是“AAS”全等判定（△OPD和△OPE）。最后要重点掌握性质的符号语言表达，这是解决几何证明题和计算题的关键工具，要注意必须强调“点在平分线上”和“到两边的垂线段”这两个条件。 ‹#› 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 角平分线 性质定理 一个点：________________； 二距离：________________； 两相等：____________________ 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线 尺规作图 属于基本作图，必须熟练掌握 角平分线上的点 点到角两边的距离 两条垂线段(距离)相等 $