广西贺州市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

2025－2026学年度下学期高一年级期末考试试卷 数学 （时间：120分钟 赋分：150分） 注意事项： 1.本试卷分为选择题和非选择题两部分，共150分。 2.答卷前，考生务必将自己的班别、学号、姓名写在答题卡对应位置上。 3.所有答案均写到答题卡上，不写到答题卡指定的区域的答案无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的4个选项当中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2.复数z满足，则（ ） A.1 B. C.2 D. 3.已知单位向量，则是“存在实数，使得”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若、、，则 5.已知圆台的上底面半径为1，母线长为4，表面积为，则该圆台的高为（ ） A.3 B. C. D. 6.已知，若，则（ ） A. B. C. D. 7.如图所示，边长为2的正三角形ABC中，若，，则关于的说法正确的是（ ） A.当且仅当时，取到最大值 B.当且仅当或1时，取到最小值 C.为定值 D.，使得 8.已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，且，则（ ） A. B. C.0 D.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9.下列命题正确的是（ ） A.数据的上四分位数是6 B.数据的方差是1，则的方差是9 C.若，则A和B是对立事件 D.若事件与相互独立，且，则 10.下列关于函数的说法正确的是（ ） A.直线是函数图象的一条对称轴 B.在区间上单调递增 C.的图象可通过的图象上所有点向右移个单位长度得到 D.若函数在区间上恰有三个零点，则实数m的取值范围为 11.如图，在长方体中，，分别，中点，则（ ） A.四点共面 B.平面平面 C.直线与所成的角为 D.平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.（5分）定义在R上的奇函数满足：当，则______． 13.（5分）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为______． 14.（5分）已知中，角、、所对的边分别为、、，，的角平分线交AC于点D，且，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明步骤或演算步骤． 15.（13分）已知k为实数，向量． （1）若，求k的值； （2）若，求的值． 16.（15分）如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，是PD的中点． （1）求证：平面EAC； （2）求证：平面平面PAD． 17.（15分）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在［20，45］内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一一六组区间分别为［20，25），［25，30），［30，35），［35，40），［40，45），［40，45］）． （1）求选取的市民年龄在［40，45］内的人数及a的值； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 18.（17分）在中，角的对边分别为，且满足 （1）求角的大小； （2）若的面积，内切圆的半径为，求b； （3）若为锐角三角形，且，求面积的范围． 19.（17分）如图，三棱柱的所有棱长均为2，为等边三角形． （1）求证：平面； （2）求点C到平面的距离； （3）求二面角的正弦值． 2026年春季学期高一期末试卷数学答案解析 一、单选题 1.【答案】B 【详解】由题设，，所以． 2.B 【分析】根据复数的除法运算求出复数，根据复数模的计算公式，即得答案． 【详解】由，得，故，故选：B 3.【答案】A 【详解】已知是单位向量，故． 对两边平方得， 代入，解得． 由数量积定义得（为两向量夹角）， 得，即同向共线，存在使，充分性成立； 若存在使，由， 得．当时，，此时，必要性不成立． 因此是“存在实数，使得”的充分不必要条件． 4.【答案】D 【详解】对于A，由，得直线与可能平行、也可能是异面直线，A错误； 对于B，可能平行，也可能相交，B错误； 对于C，由线面平行的判定定理可知C错误； 对于D，过直线作平面，且， 因为，所以， 过直线作平面，且， 同理可得，所以， 因为（若，则与重合） 所以， 因为，且， 所以，故D正确． 5.【答案】C 【详解】设圆台的下底面半径为，则该圆台的表面积为， 整理可得，因为，解得． 故该圆台的高为． 6.【答案】D 【详解】因为，所以， 已知，所以， 因此， 已知，所以， 则 ． 7.【答案】C 【详解】因为， 所以， 所以， 因为为边长为2的等边三角形， 所以，， 所以， 所以为定值，C正确：A，B，D错误．故选：C． 8.【答案】B 【详解】因为是奇函数，所以．又因为是偶函数，所以，即．所以．即． 所以，所以的周期为8．所以，，所以． 二、多选题 9.【答案】ABD 【详解】上四分位数即分位数，因为，所以数据的分位数是6，A正确： 设数据的均值为，记，则， ，故方差是9，B正确； 虽然，但是不能判断出是否为0，不能判断出是否对立，C错误； 因为事件与相互独立，且，所以， ，D正确． 10.【答案】ABC 【详解】 ． 选项A：令，解得，当时，，A正确． 选项B：即，令， 因为，所以在区间上单调递增，B正确． 选项C：应右移，C正确． 选项D：令，得，函数在区间上恰有三个零点， 则三个零点只能为：，故，D错误． 11.【答案】BC 【详解】对于A中，直线是异面直线，故四点不共面，故A错误； 对于B中，在长方体中，可得平面， 平面，所以平面平面，故B正确： 对于C中，取的中点，连接，则， 所以直线与所成的角为．， ， ，所以三角形为等边三角形， 所以，故C正确； 对于D中，取的中点，连接，则易得，因为平面， 显然与平面不平行，故D错误．故选：BC． 三、填空题 12.【答案】 【详解】是定义在上的奇函数， ，则， ．故答案为： 13.【答案】 【详解】共有36种选择方式，其中满足条件的共16种，故答案为 14.【答案】4 【详解】由题意得：， 可得：，由基本不等式，可得，解得． 当且仅当时取等号，即当时，的最小值为4故答案为：4． 四、解答题 15.解：（1）若，则， 即． 即或： （2）因为，则，则， 所以， 得． 16.（1）证明：连接BD，设连接OE，则 ∵四边形ABCD是矩形， 平分BD，即O为BD中点． 是的中点，是的中位线． ． 平面平面EAC， 平面EAC． （2）平面平面ABCD， ． ∵在矩形中，． 平面平面PAD， ，平面． 平面PCD，∴平面平面． 17.解：（1）由题意可知，年龄在［40，45］内的频率为， 故年龄在［40，45］内的市民人数为． 由图可得：，解得； （2）平均数为： ． 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为． （3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人． 记第3组的3名分别为，第4组的2名分别为， 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，共有10种． 其中第4组的2名至少有一名被选中的有：，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为． 18.解：（1）由， 可得， 由于，故，（没有写角的范围扣1分） （2）由题可知，化简得， 由余弦定理知，即， 所以，解得． （3）在中， 由正弦定理得 ． 于是得， 因为是锐角三角形，则，且，于是有， 则， 即，则， 从而得， 所以面积的取值范围是． 19.（1）证明：设，连接， 因为四边形为菱形，所以， 又因为为等边三角形，所以． 因为平面， 所以平面． （2）解法1：设点到平面的距离为， 在中，， 可得点到的距离为， 由（1）知，平面， 所以， 又因为，所以． 解法2：过作，垂足为， 由（1）知，平面平面， 所以平面平面， 因为平面平面， 所以平面， 则即为点到平面的距离， 在中，， 可得点到的距离为， 所以， 则，所以点到平面的距离为． （3）由（2）知，， 在中，，则， 在中，由余弦定理得， 解得， 又，则，所以， 故四边形为矩形，， 又为等边三角形，故，又， 则，所以， 设，连接， 所以， 又，所以即为二面角的平面角， 因为，所以， 由勾股定理逆定理得， 所以，所以二面角的正弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $