14.3 课时1 角平分线的性质 教案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该教案聚焦角平分线的尺规作图（依据SSS）和性质定理（角平分线上的点到两边距离相等）。课堂导入通过度量法、折叠法过渡到不可折叠物品的作图需求，回顾定义与尺规工具，搭建新旧知识支架。 此资料以“探究-猜想-证明”为主线，如性质定理通过测量不同点到两边距离提出猜想，再用AAS证全等，培养逻辑推理与直观想象。结合货物中转站选址等实际问题抽象模型，发展数学抽象，练习覆盖多场景，助学生掌握应用，教师可直接使用提升教学效率。

14.3 角的平分线 课时1 角平分线的性质 课题 14.3 角的平分线（课时1） 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 教学方法 启发式教学、合作探究、讲练结合 教学用具 多媒体课件、直尺、圆规、量角器 教材分析：本节是人教版八年级上册第十四章第三节第1课时，核心内容是角平分线的作法和性质。本节分两个知识点：一是用尺规作图作已知角的平分线，二是角平分线的性质定理——角平分线上的点到角两边的距离相等。作图时用全等三角形（SSS）证明作法的正确性，性质定理的证明用全等三角形（AAS）。本节既巩固了全等三角形的判定方法，又为后续学习角平分线的判定做好铺垫。 学情分析：学生已经掌握了五种全等三角形的判定方法（SAS、ASA、AAS、SSS、HL），并有了尺规作图的基础。学生已经知道“点到直线的距离”的概念（垂线段的长度），这是理解角平分线性质定理的前提。学生对“从实验发现到提出猜想再到逻辑证明”的数学研究路径已有一定体验，但对“证明几何命题的一般步骤”还需要系统归纳。学生可能容易忽略“点到角两边”是“垂线段的长度”这一关键条件。 一、教材分析 本节是人教版八年级上册第十四章第三节第1课时，核心内容是作已知角的平分线和角平分线的性质。本节分二两个主要知识点：一是用尺规作图作已知角的平分线，二是角平分线的性质定理——角平分线上的点到角两边的距离相等。作图时用全等三角形（SSS）证明作法的正确性，性质定理用全等三角形（AAS）证明。本节既巩固了全等三角形的判定，又为后续学习角平分线的判定做好了铺垫。 二、学情分析 学生已经学习了全等三角形的各种判定方法（SAS、ASA、AAS、SSS、HL），并有了尺规作图的基础。学生已经知道“点到直线的距离”的概念，这是理解角平分线性质的前提。学生已有了从实验发现到提出猜想再到逻辑证明的完整探究铮程的体验，但对“距离”必须是“垂线段”这一关键条件容易忽略。 三、核心素养目标 1. 数学抽象 能从“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一实验现象中抽象出角平分线的性质定理，归纳出“角平分线上任意一点→到角两边距离相等”的数学模型。 能将实际问题（如货物中转站选址、作图问题）抽象为角平分线性质的数学模型。 2. 逻辑推理 能运用全等三角形的判定方法（SSS、AAS）证明角平分线作法的正确性和角平分线的性质定理。 能归纳证明几何命题的一般步骤：明确已知和求证、画出图形、写出证明过程。 3. 直观想象 通过作图探究和实验观察，直观感知角平分线的性质，培养几何直观感知能力。 能在复杂图形中识别角平分线并应用其性质解决问题。 4. 数学运算 能运用角平分线的性质计算线段的长度、三角形的周长等。 能综合运用角平分线的性质与全等三角形判定方法（如HL）解决多步证明问题。 四、教学重难点 教学重点：尺规作图作已知角的平分线；角平分线的性质定理及其应用。 教学难点：角平分线作法的探究过程；角平分线性质定理的证明；证明几何命题的一般步骤。 五、教学过程 环节一：情境导入（3分钟） 【教师活动】同学们，在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？请大家试一试。 【学生活动】可以用量角器测量角的度数，然后取一半的位置画射线。这就是度量法。 【教师活动】很好！还有其他方法吗？ 【学生活动】可以将角对折，使角的两边重合，折痕就是角平分线。这是折叠法。 【教师活动】两种方法都很好！但问题来了：如果把前面的纸片换成木板、钢板等不能折叠的物品，这时又怎样得到这个角的平分线呢？ 【学生活动】可以用量角器量，但量角器比较小，如果角很大就不方便了。应该有一种只用直尺和圆规就能作出角平分线的方法。 【教师活动】说得很好！今天我们就来学习用尺规作图作已知角的平分线，并探究角平分线的性质。 【教师活动】在开始之前，请同学们回顾：什么是角平分线？它有什么特点？ 【学生活动】从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做角平分线。角平分线在角的内部，它将一个角分成两个相等的角。 【教师活动】回答得很完整！那么，尺规作图中的“尺”指的是什么？“规”指的是什么？ 【学生活动】“尺”指的是无刻度的直尺，只能用来画直线或连线；“规”指的是圆规，可以用来作弧。 【教师活动】说得正确！接下来让我们开始探究。 【设计意图】通过“度量法→折叠法→不能折叠怎么办”的递进式提问，自然引出尺规作图的需求，激发学生的求知欲望。通过回顾角平分线定义和尺规作图工具，为新知探究做好铺垫。 环节二：探究一——作已知角的平分线（8分钟） 【过渡语】要用尺规作图作出角平分线，我们需要发现角平分线上点的特征。让我们通过一个探究来研究。 1. 探究角平分线上点的特征 【教师活动】如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M、N分别是OA、OB上的点。当OM、ON满足什么关系时，PM=PN？ 【教师活动】请同学们用全等三角形的知识来分析。 【学生活动】当OM=ON时，PM=PN。理由：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠POM=∠PON。在△OPM和△OPN中，OM=ON，∠POM=∠PON，OP=OP，∴△OPM≅△OPN（SAS）。∴PM=PN。 【教师活动】非常好！用SAS证全等得到PM=PN。那么反过来，若OM=ON，PM=PN，点P在∠AOB的内部，则点P的位置有什么特点？ 【学生活动】点P在∠AOB的平分线上。连接OP，在△OPM和△OPN中，OM=ON，PM=PN，OP=OP，∴△OPM≅△OPN（SSS）。∴∠POM=∠PON，即点P在∠AOB的平分线上。 【教师活动】很好！这就是说，到角两边距离相等的点在角平分线上。现在根据这个结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？ 【教师活动】分析思路：①在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点（OM=ON）。②在角的内部作出与这两点距离相等的点（PM=PN）。③以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了。 2. 尺规作图：作已知角的平分线 【教师活动】作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N。（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的一半的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。（3）作射线OC。射线OC即为∠AOB的平分线。 【教师活动】请同学们跟着我一起完成作图，并思考：为什么这样作出来的射线OC就是角平分线？作图依据是什么？ 【学生活动】（跟着教师一步步作图）。作图依据是SSS。由作法可知OM=ON，MC=NC，OC=OC，∴△OMC≅△ONC（SSS）。∴∠MOC=∠NOC，即OC是∠AOB的平分线。 【教师活动】非常漂亮！这就是用全等三角形的知识来证明作图的正确性。这是一种基本的尺规作图。 【知识点】尺规作图作已知角的平分线的作法：①以角顶点为圆心作弧交两边于两点；②以这两点为圆心作弧交于一点；③连接角顶点和这个交点。作图依据：SSS。 易错提示：第二步“大于MN的一半”不能省略——如果小于或等于MN的一半，两弧不会相交。另外，“两弧在角的内部相交”也是关键——确保交点在角的内部。 【设计意图】通过“探究特征→归纳方法→尺规作图”的递进式教学，让学生不仅学会作法，更理解作图依据，体现“实践与理论结合”的数学思想。 【过渡语】学会了作已知角的平分线，现在让我们来巩固一下，并学习它的延伸应用。 环节三：例1与练习1——尺规作图巩固（4分钟） 例1：作角的补角的平分线 【教师活动】例1：已知∠AOB，求作∠AOB的补角的平分线。（不写作法，保留作图痕迹） 【教师活动】请同学们思考：∠AOB的补角在哪里？如何作它的平分线？ 【学生活动】∠AOB的补角是∠AOB的一边的反向延长线与另一边所形成的角。先延长一条边（如延长AO），再用尺规作图作得到的角的平分线。 【教师活动】正确！射线OD就是∠AOB的补角的平分线。注意作图痕迹要保留清楚。 练习1：作平角的平分线 【教师活动】练习1：已知平角∠AOB，求作平角∠AOB的平分线。（不写作法，保留作图痕迹） 【学生活动】作法与作一般角的平分线相同。射线OC就是平角∠AOB的平分线。平角的平分线将平角分成两个直角。 【教师活动】很好！平角的平分线实际上就是过角的顶点且垂直于角的一边的直线，它将平角分成两个直角。 【设计意图】通过例1和练习1，巩固尺规作图作角平分线的技能，同时拓展到补角和平角的情况，培养学生的迁移应用能力。 【过渡语】学会了作角平分线，接下来让我们探究角平分线有什么重要的性质。 环节四：探究二——角平分线的性质（10分钟） 1. 实验探究，提出猜想 【教师活动】如图，OC是∠AOB的平分线。点P在OC上，过点P分别画OA与OB的垂线，垂足分别为D、E。请同学们在角平分线上取不同的点P1、P2、P3……，分别测量P1D与P1E、P2D与P2E、P3D与P3E……，你有什么发现？ 【学生活动】无论取角平分线上的哪一点，它到角两边的距离都相等！P1D=P1E，P2D=P2E，P3D=P3E…… 【教师活动】非常好！由此我们可以提出一个猜想：角的平分线上的点到角两边的距离相等。这只是猜想，需要证明。 【教师活动】在证明之前，请同学们先明确：“点到角两边的距离”是什么意思？为什么要做垂线？ 【学生活动】“点到直线的距离”是指从这个点向直线作垂线，垂线段的长度就是距离。所以要测量点到角两边的距离，就必须从这个点向角的两边作垂线。 【教师活动】说得很清楚！这也是为什么探究中强调“垂足”的原因。现在让我们来证明这个猜想。 2. 证明猜想 【教师活动】现在让我们来证明这个猜想。已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E。求证：PD=PE。 【教师活动】请同学们分析：要证明PD=PE，可以通过证明哪两个三角形全等？用哪种判定方法？ 【学生活动】证明△POD≅△POE。∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°。∵OC是∠AOB的平分线，∴∠DOP=∠EOP。又OP=OP，∴△POD≅△POE（AAS）。∴PD=PE。 【教师活动】非常漂亮！用AAS证全等，得到PD=PE。这就证明了角平分线的性质定理。 【知识点】角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等。 重点强调：“距离”是指点到直线的垂线段的长度，不是任意连线段。必须先证明垂直关系。定理有两个条件：①点在角平分线上；②点到角两边的距离（即垂线段）。结论：两条垂线段相等。 【设计意图】通过“实验观察→提出猜想→逻辑证明”的完整探究过程，培养学生科学的数学研究方法。 【过渡语】证明了性质定理，现在让我们学习它的几何语言表述和证明命题的一般步骤。 环节五：角平分线性质定理与证明步骤（4分钟） 1. 几何语言 【教师活动】角平分线的性质用几何语言表述如下： 【教师活动】注意书写顺序：先写“∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB”，再写“∴PD=PE”。三个条件缺一不可。 2. 证明几何命题的一般步骤 【教师活动】通过上面的证明过程，我们可以归纳出证明几何命题的一般步骤： 【教师活动】第一步：明确命题中的已知和求证。 【教师活动】第二步：根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证。 【教师活动】第三步：经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。 【知识点】证明几何命题的一般步骤：①明确已知和求证；②画出图形，用符号表示；③写出证明过程。 解题思路框架：角平分线的性质定理是证明两条线段相等的重要工具。使用时要注意：①确认有角平分线；②作垂线（得到“距离”）；③得出两条垂线段相等。 【设计意图】通过归纳证明几何命题的一般步骤，帮助学生建立规范的几何证明思维。 【过渡语】掌握了角平分线的性质，现在让我们用它来解决一些实际问题。 环节六：应用性质——三角形角平分线交点问题（3分钟） 【教师活动】练习2：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。 【教师活动】请同学们分析：要证点P到三边距离相等，需要作什么辅助线？ 【学生活动】过点P作PE⊥BC于点E，作PD⊥AB于点D，作PF⊥AC于点F。然后分别用角平分线的性质。 【教师活动】具体怎么证明呢？ 【学生活动】∵BM平分∠ABC，点P在BM上，∴PD=PE。∵CN平分∠ACB，点P在CN上，∴PD=PF。∴PD=PE=PF，即点P到三边的距离相等。 【教师活动】非常好！由此可知，三角形三条角平分线交于一点，这个点到三边的距离相等。这也是角平分线性质的一个重要推论。 【知识点】三角形三条角平分线交于一点，该点到三边的距离相等。 【设计意图】通过三角形角平分线交点问题，巩固角平分线性质定理的应用，同时引出一个重要结论。 【过渡语】知识已经学完，现在通过综合练习来检验大家的学习效果。 环节七：课堂练习（10分钟） 【教师活动】练习1：已知点M在∠AOB的平分线上，点M到OA的距离为20，N是OB上的任意一点，则MN的最小值是多少？ 【学生活动】点M到OA的距离为20，由角平分线的性质可知，点M到OB的距离也是20。而MN是点M到OB上任意一点N的连线段，垂线段最短，所以MN的最小值是20。 【教师活动】分析得很清楚！这道题考查了角平分线的性质和“垂线段最短”的综合应用。解题关键：先用角平分线性质得出点M到OB的距离也是20，再利用“垂线段最短”得出MN的最小值。 【教师活动】练习2：如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上。OD=6，△POD的面积为9，则PC的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【学生活动】选A。∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，∴点P到OB的距离等于PC。△POD的面积=OD×(PC)÷2=6×PC÷2=9，∴PC=3。 【教师活动】正确！这道题的关键是将角平分线的性质与三角形面积公式结合起来。 【教师活动】练习3：直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　） A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 【学生活动】选D。三条直线两两相交形成一个三角形。一处是三角形内部（三条角平分线的交点），另外三处是三角形外部（一个内角平分线与两个外角平分线的交点），共四处。 【教师活动】非常好！这道题我们将实际问题转化为数学模型——到三边距离相等的点就是三条角平分线的交点。不仅有三角形内部的一个，还有外部三个。 【教师活动】练习4：如图，在直线MN上求作一点P，使点P在∠AOB的内部，且点P到射线OA和OB的距离相等。（不写作法，保留作图痕迹） 【学生活动】要找到∠AOB内部到OA、OB距离相等的点，就是找∠AOB的平分线上的点。先用尺规作图作∠AOB的平分线，该平分线与直线MN的交点就是点P。 【教师活动】思路非常清晰！这是角平分线性质与尺规作图的综合应用。 【教师活动】练习5：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若AB=8cm，求△DEB的周长。 【教师活动】这是一道综合计算题，请同学们分析解题思路。 【学生活动】∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴DC=DE（角平分线的性质）。在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD，DC=DE，∴Rt△ACD≅Rt△AED（HL）。∴AE=AC。∵AC=BC，∴AE=BC。△DEB的周长=DE+EB+BD=DC+EB+BD=BC+EB=AE+EB=AB=8cm。 【教师活动】非常漂亮的证明！这道题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定（HL）和等量代换。关键是将DE+EB+BD转化为AB。 解题思路总结：本节练习题覆盖了角平分线性质的多种应用场景：①结合垂线段最短求最小值；②结合三角形面积求线段长；③实际应用中的选址问题；④与尺规作图结合；⑤与HL等判定方法综合运用。 【设计意图】五道练习题由浅入深，从基本性质应用到实际问题、尺规作图、综合计算，全面检验学生对角平分线性质的掌握程度。 环节八：课堂小结（3分钟） 【教师活动】同学们，今天我们学习了14.3角的平分线第1课时。让我们来回顾一下。 【教师活动】今天学习了哪两个主要知识点？ 【学生活动】第一，尺规作图作已知角的平分线，作图依据是SSS。第二，角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 【教师活动】很好！证明几何命题的一般步骤是什么？ 【学生活动】第一步，明确已知和求证；第二步，画出图形，用符号表示；第三步，写出证明过程。 【教师活动】非常好！使用角平分线的性质时，一定要注意“距离”是指垂线段的长度，不能忘记证明垂直关系。请同学们课后认真完成课本习题，巩固今天所学内容。 【设计意图】通过课堂小结，梳理本节知识框架，强化学生对角平分线作法和性质的理解，建立完整的知识体系。 六、板书设计 14.3 角的平分线（课时1） 角平分线的性质 一、作已知角的平分线 ①以O为圆心作弧交两边于M、N ②以M、N为圆心，大于MN的一半为半径作弧交于C ③作射线OC。作图依据：SSS 二、角平分线的性质 定理：角平分线上的点到角两边的距离相等 几何语言：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD=PE 三、证明几何命题的步骤 ①明确已知和求证 ②画图形，用符号表示 ③写出证明过程 四、应用与推论 三角形三条角平分线交于一点 该点到三边距离相等 综合应用：结合面积、垂线段最短、HL等 课题：人教版 八年级上册 14.3 课时1 角平分线的性质 七、教学反思 1. 学生从“度量法、折叠法”到“尺规作图”的过渡是否自然？“不能折叠的物品”这个问题情境是否有效激发了学生的探究动力？ 2. 探究一中学生对“先用SAS证明，再用SSS反推”的两步探究过程是否能理解？尺规作图作角平分线的操作是否每个学生都能独立完成？ 3. 角平分线性质的探究过程中，学生是否能自主从“测量发现”到“提出猜想”？证明过程中学生是否能独立想到用AAS证全等？ 4. “证明几何命题的一般步骤”这一知识点学生是否真正理解并能应用？是否能在后续的练习中规范操作？ 5. 学生在使用角平分线性质时，是否容易忽略“距离”必须是“垂线段”这一关键条件？是否知道要先证垂直再得结论？ 6. 练习5（综合计算题）的难度是否适中？学生能否独立完成“角平分线性质+HL+7b等量代换”的多步证明与计算？ 学科网（北京）股份有限公司 $