1.1.1 空间向量及其运算（第一课时）导学案——2026-2027学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修一

该高中数学导学案聚焦空间向量的概念、线性运算及几何意义，通过“温故”环节复习平面向量定义、零向量等知识，“知新”环节自然推广到空间向量，构建从平面到空间的学习支架，衔接前后知识脉络。 导学案以预习提要明确目标，温故知新建立知识联系，课前自测结合几何体应用。融入数学史增强文化认同，通过对比培养抽象能力和几何直观（数学眼光），符号表达与推理训练提升数学思维和语言能力，助力学生自主学习与核心素养发展。

1.1.1 空间向量及其运算（第一课时） 预习提要 1.了解由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念； 2.掌握空间向量的线性运算，并理解其几何意义； 3.阅读课本P3—P8内容，掌握内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故：课前知识链接 1.向量的定义：在平面内，既有大小又有方向的量称为 (也称矢量)，向量的大小也称为向量的模(或长度). 2.零向量：始点和终点相同的向量，记为0，模为0，即 . 3.单位向量：模等于1的向量，e是单位向量的充要条件是 . 4.相等向量：大小相等， 的向量. 5.向量平行(向量共线)：两个非零向量的方向 ，称为两个向量平行. 规定：0与任意向量共线. 二、知新：课本研习梳理 1.空间向量的概念：空间中 的量称为空间向量（简称为向量），向量的大小也称为向量的模（或长度）. 2.相等向量： 的向量称为相等的向量. 向量a和b相等，记作a=b. 3.平行向量或共线向量：如果两个非零向量的 ，则称这两个向量平行．通常规定零向量与任意向量平行． 4.共面向量的概念：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在 ，则称这些向量 ；否则，称这些向量不共面． 5.空间向量加法的三角形法则：给定两个空间向量a，b，在该空间内任取一点A，作，，作出向量，则是向量a与b的 （也称为向量a与b的和向量）. 向量a与b的和向量记作 ，因此. 6.空间向量加法的平行四边形法则：任意给定两个不共线的向量a，b，在空间中任取一点A，作，，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，则 . 7.空间向量减法的概念：空间向量的减法也可以看成向量的 ，即 ，也就是：一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量. 8.空间向量的数乘的概念：给定一个实数λ与任意一个空间向量a，规定它们的乘积是一个空间向量，记作λa，其中： (1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向： ①当λ>0时，与a的 ； ②当λ<0时，与a的 . (2)当λ=0或a=0时， . 上述实数λ与空间向量a相乘的运算简称为数乘向量. 9.空间向量的三点共线的概念：数乘向量的定义说明，如果存在实数，使得，则 .而且，如果存在实数，使得 ，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线. 10.空间向量线性运算的概念：空间向量的 ，以及它们的混合运算，统称为空间向量的线性运算. 对于实数λ与μ，向量a与b，有如下运算律： ， . 课前自测 1.在四面体中，E，F分别为棱，的中点，则( ) A. B. C. D. 2.下列说法正确的是( ) A.零向量没有方向 B.空间向量不可以平行移动 C.如果两个向量不相等，那么它们的长度不相等 D.同向且等长的有向线段表示同一向量 3.在三棱柱中，设，，，N为的中点，则( ) A. B. C. D. 4.已知空间向量，则( ) A. B. C. D. 5.在直三棱柱中，若，，，则________.(用表示) 预习反思 早期向量运算只停留在平面，无法适配立体空间.德国数学家格拉斯曼补齐了空间向量的运算短板. 他突破二维局限，证明：无论是平面还是三维空间，向量首尾相加、反向相减、实数伸缩的规则完全通用.他严谨梳理了三维空间中：向量加法的平行四边形法则、减法的反向运算、数乘改变模长与方向的核心性质. 答案及解析 温故：课前知识链接 1.向量 2.|0|=0 3.|e|=1 4.方向相同 5.相同或相反 知新：课本研习梳理 1.既有大小又有方向 2.大小相等、方向相同 3.方向相同或者相反 4.同一平面内 共面 5.和 6. 7.加法 8.方向相同 方向相反 λa=0 9. 10.加法、减法与数乘运算 λa+μa=(λ+μ)a λ(a+b)=λa+λb 课前自测 1.答案：B 解析：如图所示，因为E是CD的中点，所以，也即，因此.故选：B. 2.答案：D 解析：对于A，零向量的方向是任意的，A错误. 对于B，空间向量是自由向量，可以平移，B错误. 对于C，D，大小相等、方向相同的两个向量为相等向量，即同一向量，所以向量的大小可以相等，只要方向不同，即为不同向量，C错误，D正确.故选D. 3.答案：A 解析：如图，取的中点M，连接，所以.故选：A. 4.答案：C 解析：.故选：C. 5.答案： 解析：连接则.故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $