1.1.1 空间向量及其运算（讲义）数学人教B版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量与立体几何基础，系统梳理从平面向量推广到空间向量的概念、线性运算（加减、数乘）、数量积及投影，构建“概念-运算-应用”的学习支架，涵盖定义、表示、特殊向量、运算法则及性质。 资料以“随学随练”即时巩固知识，题型分类（如异面直线夹角的向量求法）强化应用，分层练习（基础到迁移创新）适配不同需求。通过平面到空间的抽象培养数学眼光，用数量积解决立体几何问题发展数学思维，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺。

第一章 空间向量与立体几何 1.1.1　空间向量及其运算 课标要点 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算． 4.掌握空间向量的数量积.5.了解空间向量投影的概念以及投影的意义． 学习重难点 重点： 1.空间向量的加减、数乘运算． 2.空间向量夹角的概念. 3.空间向量数量积的概念、性质及计算方法． 难点： 1. 空间几何体中向量的线性运算 2. 投影的概念及利用向量的数量积解决立体几何问题． 知识点 空间向量的概念 1.空间向量的概念与表示 (1)空间向量的定义:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量. (2)空间向量的长度:空间向量的大小叫做向量的长度或模. (3)表示法 ①字母表示法:用字母a,b,c,…表示; ②几何表示法:空间向量用有向线段表示.若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作,其模记为|a|或||. 2.特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量,记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量,记为-a 共线(平行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 随学随练特别提醒 (1)单位向量、零向量都只规定了向量的大小而没有规定方向,单位向量有无数多个,它们的方向并不一定相同,故不一定相等,而零向量的方向是任意的,且所有的零向量都相等. (2)两个空间向量相等,则它们的方向相同,模相等,但起点和终点未必相同. (3)空间两向量不能比较大小. 1．（25-26高二下·江苏连云港·期中）（多选）已知向量，，则下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．不存在实数，使得 D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于A，，解得，A错误； 对于B，由，得，解得，B正确； 对于C，假设存在实数，使得，则， 由第一个式子得，代入第二个式子得，很显然不满足，C正确； 对于D，，解得， 所以，，所以，D正确． 2．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）与向量共线的单位向量可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接求解，再结合选项即可求解. 【详解】由题知， 所以与向量共线的单位向量为，即或， 所以，选项中只有满足. 知识点空间向量的加减运算 加法 运算 三角形 法则 语言 叙述 首尾顺次相接,首指向尾为和 图形 叙述 平行 四边形 法则 语言 叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形,共起点对角线为和 图形 叙述 减法 运算 三角形 法则 语言 叙述 共起点,连终点,方向指向被减向量 图形 叙述 加法 运算 交换律 a+b=b+a 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 特别提醒 　(1)求向量的和时,可以首尾相接(三角形法则),也可以共起点(平行四边形法则);求向量的差时,可以共起点或共终点(三角形法则). (2)空间向量加减运算的运算法则,所满足的运算律与平面向量完全相同. (3)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形,则++…+=或++…+=0. 随学随练 1．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】由题意知，为等边三角形，所以. 所以 . 2．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解 . 【详解】由已知， . 故选：A 知识点 空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样,实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量,称为空间向量的数乘 几何 意义 λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 λa与向量a的方向相反 λ=0 λa=0,其方向是任意的 运算 律　 结合律 λ(μa)=(λμ)a 分配律 (λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb 随学随练 1．（25-26高二下·甘肃天水·期中）（多选）（多选题）如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由空间向量的线性运算进行求解即可． 【详解】对于A，四边形是平行四边形，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 故选：ACD． 2．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知向量，向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据两向量夹角为锐角得向量数量积大于0且两向量不共线，列出不等式组，进而求出结果. 【详解】由题意得，则，解得； 当，则，此时，舍去. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 知识点 空间向量的夹角 空间中，给定两个非零向量a，b，在空间中任选一点O，作＝a，＝b，则大小在[0，π]内的∠AOB称为a与b的夹角，记作〈a，b〉．特别地，如果〈a，b〉＝，则称向量a与b垂直，记作a⊥b；约定零向量与任意向量都垂直． 特别提醒 　(1)两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时夹角为0，反向时夹角为π，即〈a，b〉＝0或π⇔a∥b(a，b为非零向量)． (2)零向量与其他向量之间不定义夹角，并规定0与任意向量平行，约定0与任意向量都垂直．两非零向量的夹角是唯一确定的． (3)对空间任意两向量a，b有： ①〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉＝〈－b，－a〉； ②〈a，－b〉＝〈－a，b〉＝π－〈a，b〉； ③〈，〉＝〈，〉＝π－〈，〉． 随学随练 1．（25-26高二下·江苏南京·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可判断A. 【详解】对于A，若，则且，不一定成立，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，若，且，则， 则，无法得出，故C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量， 所以与不一定相等，故D错误. 故选：B. 2．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】空间向量在向量方向上的投影向量为， 因为为单位向量，，， 所以， 所以， 故选：B 知识点 空间向量的数量积 (1)定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定零向量与任意向量的数量积为0． (2)投影：空间向量a在向量b上的投影a′，可以过a的始点和终点分别作与b所在直线垂直的平面得到．如图，向量b在棱AB上，a＝，因为＝，BC⊥AB，所以a在向量b上的投影a′＝． (3)几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积．特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量． 随学随练特别提醒 　(1)a·b是数量而不是向量，a·b的正负由cos〈a，b〉确定． (2)a·b是两向量之间的一种乘法，与数的乘法不同．书写时应写成a·b，而不能写成ab，也不能写成a×b. (3)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝. 1．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知向量，，则等于（    ） A．0 B．－1 C．1 D．2 【答案】D 【详解】，故选项D正确. 12．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】记的中点为，因为正四面体，棱长， 所以，所以， 又因为，所以是以为球心，为半径的球面上的点，所以 所以， 所以， 所以的最大值是. 知识点6 空间向量数量积的性质 (1)a⊥b⇔a·b＝0． (2)a·a＝|a|2＝a2． (3)|a·b|≤|a||b|. (4)(λa)·b＝λ(a·b)． (5)a·b＝b·a(交换律)． (6)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 随学随练 1．（25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用直棱柱的结构特征及空间向量数量积求解. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. 2．（25-26高二上·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得正三角形，过点作，垂足为，从而得到向量在上的投影向量为. 【详解】因为在正方体中，, 所以正三角形，过点作，垂足为. 则，所以向量在上的投影向量为. 故选：B 题型异面直线夹角的向量求法 ▌例1 25-26高二上·山东济南·期中）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 【答案】ABD 【分析】根据单位向量、相等向量、共线向量、向量的数量积等逐项进行分析判断即可. 【详解】选项A：单位向量的模长均为1，但方向任意，而相等向量需要模长和方向都相同，因此空间任意两个单位向量不一定相等，A错误. 选项B：因为为非零向量，所以可化为，故，无法推出，B错误. 选项C：若，则，即， 所以，说明反向共线； 当共线时，①同向时，，②反向时，， 所以不一定等于. 因此是共线的充分不必要条件，C正确. 选项D：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，故D错误. 故选：ABD. ▌对点练1-1．（24-25高二上·广东广州·期中）（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【分析】根据空间向量的概念可判断A选项；利用相反向量的概念可判断B选项；利用相等向量的概念可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. 题型已知线线角求其他量 ▌例1（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间四边形中，，，，若，，则_____（用向量，，表示）． 【答案】 【分析】借助空间向量线性运算法则计算即可得. 【详解】由，则，即， 则. ▌对点练1-1（25-26高二上·云南曲靖·期末）在正方体中，E，F分别是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的加法法则和数乘运算可得． 【详解】． 故选：B. 题型 空间向量的数乘运算 ▌例1（25-26高二上·内蒙古包头·期中）如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】， 故选：B. ▌对点练1-1（25-26高二上·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将所求向量转化为以为起点的向量，利用向量的运算规则进行计算即可得出答案. 【详解】连接，由向量的加减和数乘运算规则可知 . 故选：D. 题型 空间向量数量积 ▌例1（25-26高二上·新疆伊犁·期末）（多选）若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 【答案】ABD 【分析】根据向量的数量积、平行关系以及向量相等的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，根据数量积定义可得，当时，对于任意的向量和都有，但不一定，故A错误. 对于B，当时，与任意向量平行，故对于任意的向量和，都有，，但此时不一定有，故B错误. 对于C，根据向量相等的定义可知，若，，则和大小相等，方向相同，即，故C正确. 对于D，表示与共线的向量，表示与共线的向量， 和不一定共线，不一定等于，故D错误. 故选：ABD. ▌对点练1-1（24-25高二下·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量的定义可得结果. 【详解】如下图所示： 因为平面，是棱上任意一点， 所以在平面上的投影向量为. 故选：A. 基础通关 1．（25-26高二下·江苏·期中）如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，， 则. 2．（25-26高二下·河南新乡·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减法及数乘运算计算求解. 【详解】因为为的中点，所以， 因为， 所以． 3．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知，，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题意可设，即， 所以，解得， 所以. 4．（25-26高二下·河南平顶山·期中）如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】为正八面体，四边形为正方形； ； 是的中点，，则， 为的中点，四边形为平行四边形， ， . 5．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知点，向量，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题，，， 所以，，， 因此点的坐标为. 6．（25-26高二下·江苏苏州·期中）线段在平面内，，且，则两点间的距离为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，，即得，又，再由，利用数量积的运算即可求解. 【详解】由，，，得，， 得到，又所以， ， ，∴. 7．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】已知不共面，逐一判断： A：，故，，共面. B：，故，，共面. C：假设，整理得. 即，因不共面，不存在这样的，故，，不共面. D：，故，，共面. 8．（23-24高二下·江苏泰州·期末）设m是实数，已知，，若，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】利用空间向量平行的坐标运算求解答案． 【详解】由，设，即． 9．（25-26高二下·江苏镇江·期中）已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量共面的推论求出，再根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】根据空间向量共面定理：若点在平面内，且， 则系数和满足，解得： , 已知正三棱锥侧棱长，底面边长, 在中，，故，得, 同理在中，，故，得, 展开： 因此结果为. 10．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）正四面体（四个面都是正三角形）中，分别是的中点，直线与夹角的余弦值为__________. 【答案】 【分析】用表示，并求出其数量积，利用数量积求出与的夹角的余弦值，即可得到直线与夹角的余弦值. 【详解】设正四面体的棱长为因为分别是的中点， 所以， 所以. 则，，. . . 所以直线与DM夹角的余弦值为. 11．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，且， 根据向量平行的充要条件，存在实数，使得， 所以，解得. 12．（25-26高二上·上海·期末）如图，在棱长为1的正方体中，______． 【答案】2 【详解】因为，， 所以， ， . 13．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可知，即，解得. 素养提升 14．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 15．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】 在直四棱柱中，，， , . 16．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 【答案】D 【分析】根据三点共线得，进而结合①得，再结合②得，最后求和即可得答案. 【详解】因为三点共线，所以存在实数，满足， 因为为空间任一点，所以，即， 因为，所以，解得， 因为存在三个不为的实数，使， 所以，所以，即， 所以. 综上，， 17．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 又因为分别是棱的中点，所以. 迁移创新 18．（25-26高二上·河南郑州·期末）在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ， ，，， , ． 19．（25-26高二上·湖南长沙·期末）三棱锥中，，点是的重心，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，平方后求解即可． 【详解】点是的重心，以为起点，则 ， ，， 故选：D． 20．（25-26高二上·北京顺义·期末）如图所示，四面体所有棱长均为2，则（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的运算及几何意义可求答案. 【详解】取的中点,连接，因为四面体所有棱长均为2，所以， 所以. 故选：D 21．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，，若，则实数x的值为（    ） A． B．10 C． D．2 【答案】A 【分析】由空间向量的数量积的坐标运算计算即可. 【详解】由于，则， 即， 解得. 故选：A 22．（25-26高二上·山东潍坊·期末）已知二面角的棱上有两点，，若二面角的大小为，且，则__________. 【答案】 【分析】将向量分解为，利用向量模长公式展开计算，结合二面角的大小得到向量夹角，进而求出的长度. 【详解】由题意可知，且，，二面角的大小为， 故与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为. 所以 因此. 故答案为： 23．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】 如图所示，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设点，即， 可得，即， 所以， 则， 根据二次函数性质可知当时取得最小值，此时最小值为. 所以的最小值为. 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何 1.1.1　空间向量及其运算 课标要点 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算． 4.掌握空间向量的数量积.5.了解空间向量投影的概念以及投影的意义． 学习重难点 重点： 1.空间向量的加减、数乘运算． 2.空间向量夹角的概念. 3.空间向量数量积的概念、性质及计算方法． 难点： 1. 空间几何体中向量的线性运算 2. 投影的概念及利用向量的数量积解决立体几何问题． 知识点 空间向量的概念 1.空间向量的概念与表示 (1)空间向量的定义:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量. (2)空间向量的长度:空间向量的大小叫做向量的长度或模. (3)表示法 ①字母表示法:用字母a,b,c,…表示; ②几何表示法:空间向量用有向线段表示.若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作,其模记为|a|或||. 2.特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量,记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量,记为-a 共线(平行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 随学随练特别提醒 (1)单位向量、零向量都只规定了向量的大小而没有规定方向,单位向量有无数多个,它们的方向并不一定相同,故不一定相等,而零向量的方向是任意的,且所有的零向量都相等. (2)两个空间向量相等,则它们的方向相同,模相等,但起点和终点未必相同. (3)空间两向量不能比较大小. 1．（25-26高二下·江苏连云港·期中）（多选）已知向量，，则下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．不存在实数，使得 D．若，则 2．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）与向量共线的单位向量可以为（    ） A． B． C． D． 知识点空间向量的加减运算 加法 运算 三角形 法则 语言 叙述 首尾顺次相接,首指向尾为和 图形 叙述 平行 四边形 法则 语言 叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形,共起点对角线为和 图形 叙述 减法 运算 三角形 法则 语言 叙述 共起点,连终点,方向指向被减向量 图形 叙述 加法 运算 交换律 a+b=b+a 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 特别提醒 　(1)求向量的和时,可以首尾相接(三角形法则),也可以共起点(平行四边形法则);求向量的差时,可以共起点或共终点(三角形法则). (2)空间向量加减运算的运算法则,所满足的运算律与平面向量完全相同. (3)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形,则++…+=或++…+=0. 随学随练 1．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 知识点 空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样,实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量,称为空间向量的数乘 几何 意义 λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 λa与向量a的方向相反 λ=0 λa=0,其方向是任意的 运算 律　 结合律 λ(μa)=(λμ)a 分配律 (λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb 随学随练 1．（25-26高二下·甘肃天水·期中）（多选）（多选题）如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（    ）．    A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知向量，向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______. 知识点 空间向量的夹角 空间中，给定两个非零向量a，b，在空间中任选一点O，作＝a，＝b，则大小在[0，π]内的∠AOB称为a与b的夹角，记作〈a，b〉．特别地，如果〈a，b〉＝，则称向量a与b垂直，记作a⊥b；约定零向量与任意向量都垂直． 特别提醒 　(1)两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时夹角为0，反向时夹角为π，即〈a，b〉＝0或π⇔a∥b(a，b为非零向量)． (2)零向量与其他向量之间不定义夹角，并规定0与任意向量平行，约定0与任意向量都垂直．两非零向量的夹角是唯一确定的． (3)对空间任意两向量a，b有： ①〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉＝〈－b，－a〉； ②〈a，－b〉＝〈－a，b〉＝π－〈a，b〉； ③〈，〉＝〈，〉＝π－〈，〉． 随学随练 1．（25-26高二下·江苏南京·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 2．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（    ） A．2 B． C． D． 知识点 空间向量的数量积 (1)定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定零向量与任意向量的数量积为0． (2)投影：空间向量a在向量b上的投影a′，可以过a的始点和终点分别作与b所在直线垂直的平面得到．如图，向量b在棱AB上，a＝，因为＝，BC⊥AB，所以a在向量b上的投影a′＝． (3)几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积．特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量． 随学随练特别提醒 　(1)a·b是数量而不是向量，a·b的正负由cos〈a，b〉确定． (2)a·b是两向量之间的一种乘法，与数的乘法不同．书写时应写成a·b，而不能写成ab，也不能写成a×b. (3)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝. 1．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知向量，，则等于（    ） A．0 B．－1 C．1 D．2 2．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 知识点6 空间向量数量积的性质 (1)a⊥b⇔a·b＝0． (2)a·a＝|a|2＝a2． (3)|a·b|≤|a||b|. (4)(λa)·b＝λ(a·b)． (5)a·b＝b·a(交换律)． (6)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 随学随练 1．（25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第2页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 题型异面直线夹角的向量求法 ▌例1 25-26高二上·山东济南·期中）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 ▌对点练1-1．（24-25高二上·广东广州·期中）（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 题型已知线线角求其他量 ▌例1（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间四边形中，，，，若，，则_____（用向量，，表示）． ▌对点练1-1（25-26高二上·云南曲靖·期末）在正方体中，E，F分别是的中点，则（   ） A． B． C． D． 题型 空间向量的数乘运算 ▌例1（25-26高二上·内蒙古包头·期中）如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高二上·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 题型 空间向量数量积 ▌例1（25-26高二上·新疆伊犁·期末）（多选）若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． ▌对点练1-1（24-25高二下·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 基础通关 1．（25-26高二下·江苏·期中）如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南新乡·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知，，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26高二下·河南平顶山·期中）如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知点，向量，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·江苏苏州·期中）线段在平面内，，且，则两点间的距离为（   ） A．5 B． C． D． 7．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．（23-24高二下·江苏泰州·期末）设m是实数，已知，，若，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．6 9．（25-26高二下·江苏镇江·期中）已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（   ） A．0 B． C． D． 10．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）正四面体（四个面都是正三角形）中，分别是的中点，直线与夹角的余弦值为__________. 11．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·上海·期末）如图，在棱长为1的正方体中，______． 13．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 素养提升 14．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 15．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 16．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 17．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 迁移创新 18．（25-26高二上·河南郑州·期末）在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·湖南长沙·期末）三棱锥中，，点是的重心，则等于（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·北京顺义·期末）如图所示，四面体所有棱长均为2，则（   ） A．6 B． C． D． 21．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，，若，则实数x的值为（    ） A． B．10 C． D．2 22．（25-26高二上·山东潍坊·期末）已知二面角的棱上有两点，，若二面角的大小为，且，则__________. 23．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为__________． 14 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $