精品解析：河南周口市第三高级中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

2025-2026学年下学期高一年级期末考试 数学试题 一、单选题（每题5分） 1. 已知为单位向量，当它们的夹角为时，在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，不共线，且则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则. B. 若，，则. C. 若，，，则 D. 若，，则 4. 已知长方体,,,,则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 5. 某校课外活动兴趣小组设计一控制模块，电路如右图所示，当且仅当电子元件A，B至少有一个正常工作，且电子元件C正常工作，控制模块才能正常工作．已知电子元件A，B，C正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.6，则该控制模块能正常工作的概率为（ ） A. 0.704 B. 0.644 C. 0.564 D. 0.336 6. 已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（ ） A. 甲的中位数高于乙的中位数 B. 若甲、乙两组数据的平均数分别为，则 C. 甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D. 甲成绩比乙成绩稳定 7. 某学习小组共5名同学，某次模拟考试的数学成绩平均分数为112，已知其中4名同学的成绩分别为96，109，120，126，则这5名同学成绩的第75百分位数是（ ） A. 112 B. 119 C. 120 D. 121 8. 不透明口袋中装有编号为1，2，3的三个小球，小球除编号外完全相同．现从中有放回的抽取次小球（每次取一个），记取出的个球的最小编号为2的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分） 9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 与可以作为所在平面的一组基底 C. D. 10. 若，，，则（ ） A. 事件与不互斥 B. 事件与对立 C. 事件与互相独立 D. 11. 如图所示，在棱长为1的正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ） A. ，，三点共线 B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 到平面的距离为 三、填空题（每题5分） 12. 在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2＋i，若点A关于虚轴的对称点为点B，则点B对应的复数是______. 13. 行知中学毛老师对高三年级数学“智力大冲浪”很有兴趣，现做了5套试卷，其分数分别为125､､121､､127（单位：分）.若该样本的中位数和平均数均为124，则此样本的标准差为__________.（用数字作答）. 14. 已知圆柱的轴截面是周长为的矩形，其上下底面的圆都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为_________. 四、解答题 15. 已知复数. （1）若复数是实数，求实数的值. （2）若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 17. 如图，圆锥SO的侧面展开图是半径为2的半圆，AB，CD为底面圆的两条直径，P为SB的中点. （1）求证：SA//平面PCD （2）求圆锥SO的表面积. 18. 周口市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在内的概率． 19. 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2. （1）证明:平面PBE⊥平面PAB； （2）求点D到平面PBE的距离； （3）求平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期高一年级期末考试 数学试题 一、单选题（每题5分） 1. 已知为单位向量，当它们的夹角为时，在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量定义计算即可. 【详解】因为为单位向量，则， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：B. 2. 已知向量，不共线，且则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的定义计算即可. 【详解】因为向量，不共线，且， 那么存在实数，使得， 则有，解得. 3. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则. B. 若，，则. C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系进行判断． 【详解】对于A，若，，则与可以平行或相交，故A项错误； 对于B，若，，则与可以平行，异面，相交，故B项错误； 对于C，若，，，则与可以平行，异面，相交，故C项错误； 对于D，若，由线面平行的定义，存在，使得， 由得，而，得，故D项正确． 4. 已知长方体,,,,则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出长方体,由长方体性质可知与所成的角即为异面直线与所成角,即为.根据线面垂直关系及线段长度,即可求得. 【详解】画出长方体如下图所示: 在长方体中，， 则与所成的角即为异面直线与所成角,即为或其补角， 因为平面，平面， 所以，即， 因为,， 所以， 故选:B 【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法,长方体的几何性质的应用,属于基础题. 5. 某校课外活动兴趣小组设计一控制模块，电路如右图所示，当且仅当电子元件A，B至少有一个正常工作，且电子元件C正常工作，控制模块才能正常工作．已知电子元件A，B，C正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.6，则该控制模块能正常工作的概率为（ ） A. 0.704 B. 0.644 C. 0.564 D. 0.336 【答案】C 【解析】 【分析】先根据互斥事件和对立事件的概率公式，求得元件A与B至少有一个正常工作的概率，再结合独立事件的概率乘法公式，即可求解. 【详解】由题意，电子元件A与B至少有一个正常工作的概率为： 所以该控制模块能正常工作的概率为. 故选：C. 6. 已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（ ） A. 甲的中位数高于乙的中位数 B. 若甲、乙两组数据的平均数分别为，则 C. 甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D. 甲成绩比乙成绩稳定 【答案】C 【解析】 【分析】根据甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图，根据中位数，平均数，极差和数据的波动性，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图， 对于A中，由统计的折线图知，甲同学的中位数大于，乙同学的中位数小于， 所以甲的中位数高于乙的中位数，所以A正确； 对于B中，由统计的折线图知，甲同学只有第2次的周测成绩低于乙同学， 其他次的周测成绩都高于乙同学，可得，所以B正确； 对于C中，因为极差为样本数据的最大值与最小值的差， 由统计的折线图知，甲同学的周测成绩的极差小于乙同学周测成绩的极差，所以C不正确； 对于D中，由统计的折线图知，甲同学周测成绩的波动性小于乙同学成绩的波动性， 所以甲同学的周测成绩比乙同学的周测成绩更稳定，所以D正确. 故选：C. 7. 某学习小组共5名同学，某次模拟考试的数学成绩平均分数为112，已知其中4名同学的成绩分别为96，109，120，126，则这5名同学成绩的第75百分位数是（ ） A. 112 B. 119 C. 120 D. 121 【答案】C 【解析】 【分析】先利用平均数得到另外一个学生的成绩为109，然后根据百分位数的求法可得. 【详解】依题意设另外一名同学的成绩为x，则，解得, 将这5名同学的成绩按从小到大的顺序排列为96，109，109，120，126， 则成绩的第75百分位数为即排序后的第4个数据， 所以这5名同学成绩的第75百分位数是120， 故选：C 8. 不透明口袋中装有编号为1，2，3的三个小球，小球除编号外完全相同．现从中有放回的抽取次小球（每次取一个），记取出的个球的最小编号为2的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列出事件包含的所有情况，再利用对立事件的概率公式计算求解. 【详解】每次取球，取到每个球的概率均为， 若取出的个球的最小编号为2，则所有球的编号均为或，且至少有个编号为， 取出的个球的编号均为或的概率为； 取出的个球编号全部为的概率为； 故取出的个球的最小编号为2的概率为. 故选：C 二、多选题（每题6分） 9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 与可以作为所在平面的一组基底 C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，因为，则，故A错误； 对于B，若两个向量可作为基底，则这两个向量不共线.因为，， 对于与，因为，所以与不共线，则与可以作为所在平面的一组基底，故B正确； 对于C，根据向量夹角余弦值的计算公式，所以，故C错误； 对于D，因为，， 根据两向量垂直，则它们的数量积为0.因为， 所以，故D正确. 10. 若，，，则（ ） A. 事件与不互斥 B. 事件与对立 C. 事件与互相独立 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念，以及积事件的概念，判断选项A，B正误；根据事件相互独立的概念，判断选项C的正误，根据和事件概率的求法，判断选项D的正误； 【详解】已知，即事件同时发生的概率不为，所以事件与不互斥，所以A正确； 已知事件与不互斥，则事件与不对立，所以B错误； 已知，则，因为，所以， 所以事件与互相独立，所以C正确； 可知，所以D正确； 故选：ACD. 11. 如图所示，在棱长为1的正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ） A. ，，三点共线 B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 到平面的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正方体的特征证得点在上可知项正确；利用线面垂直的判断定理可得平面，故项正确；首先找到线面角，然后利用三角函数值确定线面角的大小即可；由三棱锥的等体积法可得点面距离． 【详解】由于为正方体的体对角线， 在平面内，据此可得平面平面于， 又交平面于点，故点在上，故项正确； 很明显平面，平面，故， 同理，，于点，故平面，故项正确； 设正方体的棱长为1，直线与平面的夹角为，则， 点到平面的距离为，故，，故项正确； 设到平面的距离为，，，解得，故D项错误； 故选：ABC． 三、填空题（每题5分） 12. 在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2＋i，若点A关于虚轴的对称点为点B，则点B对应的复数是______. 【答案】－2＋i 【解析】 【分析】由题设可得点B对应坐标，据此可得B对应复数. 【详解】由题设可得对应坐标为，则，从而对应复数为. 13. 行知中学毛老师对高三年级数学“智力大冲浪”很有兴趣，现做了5套试卷，其分数分别为125､､121､､127（单位：分）.若该样本的中位数和平均数均为124，则此样本的标准差为__________.（用数字作答）. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意结合中位数、平均数和标准差的定义求的值，进而可求标准差. 【详解】因为125､､121､､127的中位数为124，可知中必有一个为124， 不妨设， 又因为平均数为：，解得：，符合题意， 可得该样本的标准差为：. 故答案为：2. 14. 已知圆柱的轴截面是周长为的矩形，其上下底面的圆都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用基本不等式，得到圆柱底面半径和高，进而求出外接球的半径，再利用球的体积公式，即可求解. 【详解】设圆柱底面半径为，高为，则轴截面周长为，即， 侧面积， 当，即，时等号成立，此时侧面积最大， 设圆柱外接球的半径为，又外接球直径等于轴截面对角线长， 所以，得到， 所以球的体积. 四、解答题 15. 已知复数. （1）若复数是实数，求实数的值. （2）若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的虚部为0求解即可； （2）根据复数的实部大于0，虚部小于0求解即可. 【小问1详解】 因为复数是实数，所以，即， 解得或；所以实数的值为或； 【小问2详解】 因为复数表示的点在第四象限， 所以，即， 解得或， 所以实数的取值范围为. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式即可求解； （2）利用三角形的面积公式可求得，利用余弦定理可得出的值，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以 即． 因为，所以， 所以，因为，所以． 【小问2详解】 由（1）可知，则． 因为的面积为，所以，解得 由余弦定理得， 则． 故的周长为． 17. 如图，圆锥SO的侧面展开图是半径为2的半圆，AB，CD为底面圆的两条直径，P为SB的中点. （1）求证：SA//平面PCD （2）求圆锥SO的表面积. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）连结OP，由中位线定理得到OP//SA，由线面平行判定定理得证； （2）分别计算侧面积和底面积，求和得表面积． 【详解】解∶ （1）连结OP， ∵O,P分别为AB,SB的中点， ∴OP//SA， 又∵SA⊄平面PCD,OP⊂平面PCD, //平面； （2）记底面圆的半径为r，侧面展开图扇形的半径为R，且R=2， 则， 得r=1，又侧面展开图为半圆， ∴S底=, S侧=, S表= 18. 周口市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在内的概率． 【答案】（1），众数为85，平均成绩为77.5 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质及众数、平均数定义求解即可. （2）结合分层抽样方法及古典概型的概率计算公式求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图得， ，解得． 由频率分布直方图可知初赛成绩的众数为85， 估计初赛成绩的平均数为：． 所以，众数为85，平均成绩为77.5． 【小问2详解】 由（1）知，成绩在，的频率之比为， 则在中随机抽取了人，记为，， 在中随机抽取了人，记为，，， 从5人中随机抽取2人的样本空间为： ，共10个样本点， 设事件“有1名或2名学生的成绩在内”， 则，有7个样本点， 因此， 所以有1名或2名学生的成绩在内的概率为． 19. 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2. （1）证明:平面PBE⊥平面PAB； （2）求点D到平面PBE的距离； （3）求平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】(1) 利用面面垂直的判定定理，转化为证明平面. (2) 在三棱锥中，利用等体积法求点到面的距离. (3) 先作出所求二面角并证明，再用解三角形知识求解. 【详解】(1)证明：连接BD，由四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60° ， 可知是正三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD， 又AB//CD，所以 因为PA⊥底面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥ BE. 又平面PAB，平面PAB， AB∩PA=A， 所以BE⊥ 平面PAB， 又平面PBE，所以平面 PBE⊥平面PAB. (2)因为PA⊥底面 ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AB. 又 PA=2， AB=1，所以. 因为正三角形BCD中，BC=1， E是CD的中点，所以. 因为BE⊥平面PAB，平面PAB，所以BE⊥PB， 所以 因为，PA⊥底面ABCD， 设点D到平面PBE的距离为d， 所以， 而 所以，即点D到平面PBE的距离为. (3)延长BE、AD，交于点F，连PF，则PF为平面PAD和平面PBE的交线. 取AD中点H，连BH，过B作，垂足为I，连HI. 由四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°， 可知是正三角形，因为H是AD的中点，所以 . 因为PA⊥底面ABCD，平面ABCD，所以.PA⊥ BH. 又平面PAD，平面PAD，AD∩PA=A， 所以BH⊥平面PAD，又平面PAD，所以.BH⊥PF， 又BI⊥PF，平面BHI，平面BHI， BH∩BI=B， 所以PF⊥平面BHI，而平面BHI，所以PF⊥HI， 则∠BIH为二面角B-PFA的一个平面角. 因为BH⊥平面PAD，平面PAD，所以BH⊥HI. 因为菱形ABCD中，DE//AB，， E为BF的中点，. 在中，，，PB⊥BF， BI⊥PF， 所以，，又， 所以中，，， 即平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $