5.3解一元一次方程 课时3 教案 2026-2027学年青岛版数学七年级上册

该教案聚焦解含有括号或分母的一元一次方程这一核心知识点，通过回顾转化思想和移项法则导入，搭建新旧知识联系的学习支架，为新知探究奠定基础。 资料以启发式探究和讲练结合为特色，通过含括号方程去括号的引导性提问培养逻辑推理，结合去分母时每一项乘最小公倍数的实例强化数学运算，用步骤表格和口诀归纳解题方法，助力学生掌握技巧，教师使用时重难点突出，能有效提升教学效率。

课题 5.3 解含有括号或分母的一元一次方程（第3课时） 课型 新授课 课时 1课时 教材版本 青岛版数学七年级上册 教学方法 启发式教学法、讲练结合法、探究发现法、对比归纳法 教学用具 多媒体课件、黑板、直尺 一、核心素养目标 • 【数学抽象】通过探究含括号和含分母方程的去括号、去分母变形，理解等价转化的数学思想，发展数学抽象能力 • 【逻辑推理】通过归纳解一元一次方程的一般步骤，经历从特殊到一般的推理过程，培养逻辑推理能力 • 【数学运算】掌握去括号和去分母的运算技巧，能正确解含有括号或分母的一元一次方程，提高运算能力 • 【直观想象】借助流程图和步骤表格，直观感受解方程的变形过程，深化转化思想，发展几何直观 二、教学重难点 教学重点：解含有括号和含有分母的一元一次方程的方法；掌握去括号和去分母的运算技巧 教学难点：去分母时各项都要乘以分母的最小公倍数（尤其注意不含分母的项和常数项也要乘）；去括号时正确运用乘法分配律和符号法则 三、教学过程 【回顾旧知，温故导入】（3分钟） 【教师活动】同学们，在前面的学习中，我们已经掌握了解一元一次方程的基本方法——移项、合并同类项、系数化为1。今天我们将继续学习更复杂的方程——含有括号或分母的一元一次方程的解法。首先，让我们回顾一下之前学过的核心知识。 【教师活动】请同学们思考并回答：解方程的基本思想是什么？ 【学生活动】思考后回答：解方程的基本思想是转化思想。依据等式的基本性质，把方程转化为 x=c （c为常数）的形式。 【教师活动】非常好！转化思想是解方程的核心。那么，什么叫移项？移项应注意什么？ 【学生活动】回答：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。移项时应注意：移的项要变号，不移的项不能变号。 【教师活动】很好！移项是解方程的重要步骤。移项要变号，这是最容易出错的地方，大家一定要牢记。今天我们就来学习，当方程中含有括号或分母时，我们该如何处理。 【知识点】解方程的基本思想：依据等式的基本性质，把方程转化为 x=c （c为常数）的形式。移项：方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，移项要变号，不移的项不能变号。 理解要点：转化思想是解方程的核心思想——无论方程多么复杂，最终目标都是转化为最简单的形式 x=c。所有变形步骤都服务于这个目标。 【过渡语】回顾了基础知识后，让我们先来探究含有括号的方程如何求解。 【思考与交流：探究含括号方程的解法】（6分钟） 【教师活动】请同学们观察方程：5x-10=3(x+2)。这个方程和我们之前学的有什么不同？ 【学生活动】观察并回答：这个方程右边含有括号，括号里是x+2，前面有系数3。 【教师活动】对！这个方程右边有括号。想想看，我们之前学过的解方程步骤中，有没有哪一步能处理括号？ 【学生活动】思考后回答：可以用乘法分配律把括号去掉。 【教师活动】非常好！我们可以先去括号，然后按照前面学过的步骤继续求解。请同学们跟着老师一起完成这个方程的求解过程。 【教师活动】第一步：去括号。利用乘法分配律，3(x+2)=3x+6。所以方程变为：5x-10=3x+6。 【学生活动】跟随教师推导，记录去括号的过程。 【教师活动】第二步：移项。把含x的项移到左边，常数项移到右边。注意移项要变号！5x-3x=6+10。 【学生活动】跟随推导：5x-3x=6+10。注意-10移到右边变成+10，3x移到左边变成-3x。 【教师活动】第三步：合并同类项。左边：5x-3x=2x；右边：6+10=16。得2x=16。 【学生活动】计算：2x=16。 【教师活动】第四步：系数化为1。两边同时除以2，得x=8。 【学生活动】得出最终答案：x=8。 【教师活动】如果遇到括号前面是负号的情况，比如-(2+x)，去括号时括号内的每一项都要变号，即-(2+x)=-2-x。这一点大家一定要注意！ 【知识点】解含括号方程的关键步骤是去括号：利用乘法分配律，将括号外的系数与括号内的每一项相乘，注意符号变化。去括号后，方程变为之前学过的形式，再用移项、合并同类项、系数化为1求解。 易错提示：去括号时最容易出错的两种情况：1.括号前是负号时，括号内每一项都要变号，如-(x-3)=-x+3（不是-x-3！）；2.括号前有系数时，系数要与括号内的每一项相乘，不要漏乘。 【过渡语】刚才我们学会了去括号解方程，但如果方程中含有分母呢？我们继续探究。 【探究新知：含分母方程的解法——去分母】（5分钟） 【教师活动】请同学们看这个方程：5(x-8)+20=2x。这个方程中既有括号，又可以通过去括号来处理。我们来看完整解法：去括号，利用乘法分配律得5x-40+20=2x。 【学生活动】跟随推导，理解去括号的过程。 【教师活动】然后合并常数项：-40+20=-20，所以5x-20=2x。接着移项：5x-2x=20，得3x=20。 【学生活动】计算：3x=20，系数化为1得x=20/3。 【教师活动】现在我们来重点学习去分母。当方程中含有分母时，我们可以在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数，将分母去掉。这样就把含分母的方程转化为了我们熟悉的含括号或整式方程。 【教师活动】去分母的依据是什么？是等式的性质2。即等式两边同时乘以同一个不为0的数，等式仍然成立。 【学生活动】理解去分母的依据：等式的性质2。去分母后，方程中的分母被消去，变为整式方程。 【知识点】去分母的方法：方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数。依据是等式的性质2。去分母后，方程变为不含分母的整式方程，再按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解。 重点强调：去分母时必须注意：方程两边的每一项都要乘以最小公倍数，包括不含分母的项和常数项！这是最容易遗漏的地方。例如，方程两边乘以最小公倍数时，常数项也要乘。 【过渡语】掌握了去括号和去分母的方法后，我们通过例题来巩固这些技巧。 【例题精讲：例1——含括号方程】（5分钟） 【教师活动】下面我们来看例1（1）：解方程 7x-(2+x)=4(x-3)。请同学们先观察这个方程有什么特点？ 【学生活动】观察并回答：左边有括号，括号前是负号；右边也有括号，括号前有系数4。 【教师活动】分析得很到位！这道题有两个括号，左边括号前有负号，右边括号前有系数4。解题的关键是正确去括号。我们一起来写解题过程。 【教师活动】解：去括号，得 7x-2-x=4x-12。注意：左边-(2+x)=-2-x；右边4(x-3)=4x-12。 【学生活动】跟随记录：7x-2-x=4x-12。核对去括号的正确性。 【教师活动】移项，得 7x-x-4x=-12+2。注意：把含x的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号。 【学生活动】跟随推导：7x-x-4x=-12+2。原来的常数项是左边的-2和右边的-12，把-2从左边移到右边变成+2，右边-12不动。 【教师活动】合并同类项，得 2x=-10。左边：7x-x-4x=(7-1-4)x=2x；右边：-12+2=-10。 【学生活动】计算合并同类项，得到2x=-10。 【教师活动】系数化为1，得 x=-5。两边同时除以2。 【学生活动】得出最终答案：x=-5。 【教师活动】请同学们注意，这道题中有两个易错点：第一，去括号时负号的处理；第二，移项时符号的变化。我们总结一下含括号方程的解题步骤：去括号-移项-合并同类项-系数化为1。 【知识点】含括号方程的解法：去括号（利用乘法分配律和去括号法则）-移项（变号）-合并同类项-系数化为1。特别注意括号前有负号时，括号内各项都要变号。 易错提示：去括号时，括号前是负号，括号内每个项都要变号。例如：-(a+b-c)=-a-b+c。另外，括号前有系数时，系数要与括号内每一项相乘，不要漏乘。 【过渡语】刚才我们解决了含括号的方程，接下来挑战更复杂的含分母方程。 【例题精讲：例1——含分母方程】（7分钟） 【教师活动】现在来看例1（2）：解方程 (2x-5)/3 = (x-3)/4 - 1/12。这个方程含有分母，我们该如何处理？ 【学生活动】思考后回答：可以先去分母，方程两边同时乘以分母的最小公倍数。 【教师活动】对！分母3、4、12的最小公倍数是12。我们把方程两边同时乘以12。注意：方程两边的每一项都要乘以12！ 【教师活动】去分母，得 4(2x-5)=3(x-3)-1。左边(2x-5)/3乘以12得4(2x-5)；右边(x-3)/4乘以12得3(x-3)，-1/12乘以12得-1。 【学生活动】跟随记录：4(2x-5)=3(x-3)-1。 【教师活动】去括号，得 8x-20=3x-9-1。4(2x-5)=8x-20；3(x-3)=3x-9。 【学生活动】跟随推导：8x-20=3x-9-1。 【教师活动】移项，得 8x-3x=-9-1+20。把含x的项移到左边，常数项移到右边。 【学生活动】跟随推导：8x-3x=-9-1+20。 【教师活动】合并同类项，得 5x=10。左边8x-3x=5x；右边-9-1+20=10。 【学生活动】计算：5x=10。 【教师活动】系数化为1，得 x=2。两边同时除以5。 【学生活动】得出最终答案：x=2。 【教师活动】让我们来验证一下：把x=2代入原方程，左边=(2x2-5)/3=(4-5)/3=-1/3；右边=(2-3)/4-1/12=(-1)/4-1/12=-3/12-1/12=-4/12=-1/3。左边=右边，所以x=2是原方程的解。 【学生活动】验证了答案的正确性。 【教师活动】这道题的关键是去分母的正确操作。去分母时，方程两边每一项都要乘以最小公倍数，包括常数项。另外，去分母后如果分子是多项式，要加括号。 【知识点】含分母方程的解法：去分母（方程两边乘以各分母的最小公倍数，每一项都要乘）-去括号-移项-合并同类项-系数化为1。去分母后分子如果是多项式，需要加括号。 易错提示：去分母的经典错误：1.忘记乘不含分母的项（常数项也要乘！）；2.去分母后分子是多项式时忘记加括号，如(2x-5)/3乘以12应得4(2x-5)，不是4x2x-5。 【过渡语】通过两道例题，我们学习了含括号和含分母方程的解法。下面我们来系统归纳解一元一次方程的一般步骤。 【归纳与总结：解一元一次方程的一般步骤】（5分钟） 【教师活动】通过前面的学习，我们一起来归纳解一元一次方程的一般步骤。请同学们完成下面的表格。 【教师活动】解一元一次方程一般有五个步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。每个步骤都有具体做法和注意事项。 【学生活动】跟随教师归纳，填写表格。 【教师活动】第一步：去分母。具体做法是方程两边同时乘以分母的最小公倍数。注意事项是防止漏乘（尤其没有分母的项），注意添括号。 【教师活动】第二步：去括号。具体做法是利用乘法分配律和去括号法则。注意事项是注意符号，防止漏乘。 【教师活动】第三步：移项。具体做法是某些项改变符号后从方程的一边移到另一边。注意事项是移项要变号，防止漏项。 【教师活动】第四步：合并同类项。具体做法是利用合并同类项法则。注意事项是系数为1或-1时，记得省略1。 【教师活动】第五步：系数化为1。具体做法是方程两边同时除以未知数的系数。注意事项是分子、分母不要写倒了。 【学生活动】记录并理解每一步的做法和注意事项。 【教师活动】下面我们来看每一步的依据。去分母的依据是等式的性质2；去括号的依据是去括号法则；移项的依据是等式的性质1；合并同类项的依据是分配律；系数化为1的依据是等式的性质2。 【知识点】解一元一次方程的一般步骤：去分母（等式性质2）-去括号（去括号法则）-移项（等式性质1）-合并同类项（分配律）-系数化为1（等式性质2）。注意：具体解题时，可根据方程特点灵活选择步骤顺序。 理解要点：解一元一次方程的五个步骤可以概括为：分母-括号-移项-合并-系数化1。记住口诀：分母括号先去掉，移项合并要细心，最后系数化为1。每一步都有对应的等式性质和运算法则作为依据。 【过渡语】掌握了完整的解题步骤后，我们通过课堂练习来检验学习效果。 【课堂练习：A组 基础巩固】（5分钟） 【教师活动】下面我们来做几道练习题，巩固今天所学的知识。先看练习1（1）：解方程 6x-3(11-2x)=-1。 【学生活动】独立尝试解方程。 【教师活动】请一位同学来说说你的解题思路。 【学生活动】回答：先去括号，利用乘法分配律。-3(11-2x)=-33+6x。注意，括号前是负号，-3乘以11得-33，-3乘以-2x得+6x。所以方程变为6x-33+6x=-1。 【教师活动】非常好！继续。 【学生活动】继续回答：移项得6x+6x=-1+33，合并同类项得12x=32，系数化为1得x=8/3。 【教师活动】完全正确！答案是x=8/3。这道题的关键是去括号时符号的处理，特别是括号前有负系数的情况。 【教师活动】现在看练习1（2）：解方程 (x+5)/3 = (3-2x)/5。这道题需要先去分母。 【学生活动】思考并解方程：分母3和5的最小公倍数是15。去分母，得5(x+5)=3(3-2x)。注意：左边除以3，乘以15得5倍；右边除以5，乘以15得3倍。去括号，得5x+25=9-6x。移项，得5x+6x=9-25。合并同类项，得11x=-16。系数化为1，得x=-16/11。 【教师活动】非常棒！我们来验证：左边=(-16/11+5)/3=(39/11)/3=13/11；右边=(3-2x(-16/11))/5=(3+32/11)/5=(65/11)/5=13/11。左边=右边，正确！ 易错提示：去分母时，方程两边乘以最小公倍数后，每个分母都会被消去。注意：分子是多项式时，消去分母后要加括号。例如，(x+5)/3乘以15，分母3消去后得5(x+5)，不是5x+5。 【过渡语】A组练习让我们巩固了基础，接下来做B组提高题。 【课堂练习：B组 能力提升】（5分钟） 【教师活动】现在看B组练习2（2）：解方程 (3x-1)/2 - (5x-2)/3 = 1。这道题有两个分母，难度更大一些。 【学生活动】独立分析：分母2和3的最小公倍数是6。去分母，方程两边乘以6。 【教师活动】请一位同学来说说解题过程。 【学生活动】回答：去分母，得 3(3x-1)-2(5x-2)=6。注意右边1也要乘以6，得6。去括号，得 9x-3-10x+4=6。移项，得 9x-10x=6+3-4。合并同类项，得 -x=5。系数化为1，得 x=-5。 【教师活动】完全正确！答案是x=-5。这道题有两个难点：一是去分母时有多个分母，需要正确分配；二是去括号时符号的处理。大家做得非常好！ 【教师活动】最后看练习3：当m取什么值时，代数式4m+1与3(m-1)的差等于5？这道题需要先列方程。 【学生活动】思考：根据题意，4m+1与3(m-1)的差等于5，可以列方程：(4m+1)-3(m-1)=5。注意是差，所以用减法，而且要注意顺序。 【教师活动】分析得很对！列方程为(4m+1)-3(m-1)=5。去括号：4m+1-3m+3=5。移项：4m-3m=5-1-3。合并同类项：m=1。所以当m=1时，代数式4m+1与3(m-1)的差等于5。 【学生活动】验证：当m=1时，4m+1=5，3(m-1)=0，差为5-0=5，正确！ 【教师活动】这道题是文字应用题，关键是要正确理解题意，把文字语言转化为数学语言（方程）。注意：差对应减法，差等于5对应方程等于5。 【知识点】解文字应用题：1.理解题意，找出等量关系；2.设未知数，列出方程；3.解方程；4.检验答案。关键是把文字语言转化为数学语言。 判断技巧：解文字应用题时，遇到差就用减法，遇到和就用加法，遇到积就用乘法，遇到商就用除法。注意运算顺序，必要时加括号。 【过渡语】通过练习，大家对解方程的步骤更加熟练了。下面我们一起来回顾本节课所学的内容。 【课堂小结】（4分钟） 【教师活动】针对本节课所学内容，你能说一说你都学到了哪些知识吗？ 【学生活动】回顾并回答：我学会了去括号解方程的方法，利用乘法分配律和去括号法则；学会了去分母的方法，方程两边乘以分母的最小公倍数；掌握了完整的解一元一次方程的五个步骤。 【教师活动】很好！我们一起来梳理本节课的主要内容： 【教师活动】第一，去括号。利用乘法分配律，注意括号前是负号时各项要变号，括号前有系数时要与每一项相乘。 【教师活动】第二，去分母。方程两边乘以所有分母的最小公倍数，每一项都要乘，包括不含分母的项和常数项。 【教师活动】第三，解一元一次方程的一般步骤：去分母-去括号-移项-合并同类项-系数化为1。每一步都有对应的依据和注意事项。 【教师活动】第四，转化思想贯穿始终。无论方程多复杂，我们的目标都是将它转化为x=c的形式。 【学生活动】整理笔记，巩固所学知识。 【知识点】本节课核心内容：去括号法则、去分母方法、解一元一次方程的一般步骤（五步法）、每一步的依据和注意事项。转化思想是解方程的基本思想。 重点强调：解方程最终要检验！把求出的解代入原方程，检查左边是否等于右边。这是确保答案正确的重要步骤，也是考试中容易得分的地方。 【布置作业】（0分钟） 【教师活动】今天的作业是：1.完成课本课后习题第1-4题；2.完成学案中未完成的填空和练习；3.预习下一节课的内容。请同学们认真完成，下节课我们检查。 【学生活动】记录作业内容。 四、板书设计 五、教学反思 1. 本节课学生哪些地方容易出错？ 2. 哪些学生需要特别关注？ 3. 教学时间分配是否合理？ 4. 实验/探究环节是否达到预期效果？ 5. 有哪些生成性问题？如何处理？ 6. 下节课如何改进？ 学科网（北京）股份有限公司 $