第5章 一元一次方程（复习讲义）数学新教材青岛版七年级上册

该初中数学一元一次方程复习讲义通过系统梳理知识点构建知识体系，将方程概念、等式性质、解法步骤及实际应用分块呈现，形成清晰知识脉络，突出一元一次方程定义、解法步骤等重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础判定方程到能力提升的参数问题，如“配套问题”应用题培养模型意识，解方程步骤强调运算能力。基础题巩固知识，提升题发展思维，助力学生自主复习，教师可精准分层教学。

第5章 一元一次方程（复习讲义） 1．理解方程及其相关概念，并能利用其概念解决问题。 ①明确含有未知数的等式叫做方程，能准确判断一个式子是否为方程；②明确一元一次方程的概念，可对给定方程进行分类和识别；③知晓使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，能判断某个值是否为特定方程的解。 2．明确等式的基本性质，能运用其进行变形。 ①知道等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式，并能运用该性质对等式进行变形；②了解等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式，且能利用此性质对等式进行化简与求解。 3．能够熟练求解一元一次方程，能够利用一元一次方程解决实际应用问题，体会方程的应用价值。 ①能够按照步骤熟练求解各类一元一次方程；②面对实际应用问题，能够分析其中的等量关系，列出一元一次方程来表示问题中的数量关系；③正确求解所列的一元一次方程，并将其代入原问题进行检验，确保答案符合实际情境。。 知识点01 一元一次方程的相关概念 1）方程：为了求出问题中的未知数，可以引入字母表示未知数，再根据等量关系建立含有未知数的等式，这样的等式叫作方程。 2）一元一次方程：方程只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程。 3）方程的解：使方程的等号两边相等的未知数的值叫做方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫作方程的根。 知识点02 等式的基本性质 1)等式的基本性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个代数式，结果仍是等式，即 如果a=b，那么a±c=a±c 2)等式的基本性质2：等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍是等式，即 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b，c≠0，那么 = 知识点03 解一元一次方程 1）解方程：求方程的解的过程叫作解方程。 解一个以x为未知数的方程，就是把方程转化为x=c（c为常数）的形式。 2） 移项：把方程的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项。 3） 解一元一次方程的一般步骤： ①去分母：不要漏乘不含分母的项； 当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 如果分子是多项式，去分母后要加括号. ②去括号：去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 不要弄错符号. ③移项：移项时不要丢项; 将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号. ④合并同类项：系数的符号处理要得当； 字母及其指数不变. ⑤系数化为1：未知数的系数为整数或小数时,方程两边同除以该系数; 未知数的系数为分数时,方程两边同乘该系数的倒数. 知识点04 一元一次方程与实际应用 1）列方程解决实际问题的一般步骤： ①理解题意，明确问题中的已知量、未知量; ②用字母表示问题中的一个未知量，并根据问题中的数量关系用含该字母的代数式表示其他未知量; ③根据等量关系，列出方程; ④解方程，求出未知数的值; ⑤写出答案。 2）一元一次方程的应用的常见类型：配套问题、工程问题、行程问题、销售问题、方案选择等。 题型一 判定各式是否是方程 【例1】下列各式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列属于一元一次方程的是（　  ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知下列各式：①；②；③；④；⑤，其中是方程的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式1-3】式子，，，，，，，，中是一元一次方程的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 题型二 判断是否是方程的解 【例2】下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列方程中，解是的方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【变式2-3】判断和是不是方程的解． 题型三 等式的基本性质 【例3】如果，那么下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 【变式3-1】下列等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3-2】下列运用等式的基本性质变形，错误的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3-3】下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型四 解一元一次方程 【例4】一元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】解下列方程： (1)； (2)． 【变式4-2】解方程： 【变式4-3】解方程： (1) (2)． 题型五 已知一元一次方程的解，求参数 【例5】小明同学在解方程时，把数字看错了，解得，则小明把看成了（   ） A． B．8 C． D．3 【变式5-1】若是的解，则的值为（    ） A． B．2 C．1 D．3 【变式5-2】小明在解方程：去分母时，方程右边的1没有乘6，因而得到方程的解为，方程正确解为 ． 【变式5-3】如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是．求的值． 题型六 一元一次方程解的关系 【例6】若关于的方程的解是关于的方程的解的倍，求关于的方程的解． 【变式6-1】关于x的一元一次方程的解与方程的解互为相反数，则满足条件的a的值为 ． 【变式6-2】已知关于x的方程与它们的解互为倒数，求m的值． 【变式6-3】已知关于x的方程的解比方程的解大5，求a的值． 题型七 一元一次方程与实际问题 【例7】某工艺品车间有20名工人，平均每人每天可制作12个大花瓶或10个小饰品，已知2个大花瓶与5个小饰品配成一套，则要安排x名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套，方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】阳光村在进行新农村建设中，准备修一条村级公路．村委会请来了一个工程队修一段公路，第一天修了全长的，第二天修了150米，第三天修了前两天总和的一半，三天正好完成任务．这条公路长多少米？ 【变式7-2】小区旁边的联家超市“双十一”当天对顾客实行优惠购物，规定如下： （1）若一次购物少于200元，则不予优惠； （2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠； （3）若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠． 李明两次去该超市购物，分别付款198元和554元．若张亮现在去一次购买李明分两次购买的同样多的物品，他比李明少付款多少元？ 【变式7-3】某面粉加工厂现有面粉吨，若在市场上直接销售面粉，每吨可获取利润元：若制成面包销售，每吨可获取利润元；制成蛋糕销售，每吨可获取利润元．该工厂的生产能力是：若制成面包，每天可加工吨；制成蛋糕每天可加工吨．受人员限制，两种加工方式不可同时进行；受空气湿度条件限制，这批面粉必须在天内全部销售或加工完毕，为此，该厂设计了两种可行方案： 方案一：尽可能多的制成蛋糕，其余直接销售面粉． 方案二：将一部分制成面包，其余制成蛋糕销售，并恰好天完成． 你认为选择哪种方案获利最多，为什么？ 基础巩固通关测 1、 单选题 1．下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法不一定成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知是关于x的方程的解，则m的值是（　　） A． B．3 C． D．5 5．如图，在周长为的长方形窗户上钉一块宽为的长方形遮阳布，使透光部分正好是一正方形，则钉好后透光面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．由等式变形为是依据第 条等式的基本性质得到的． 7．已知关于 的方程是一元一次方程，则 ． 8．若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是，则 ． 9．在加固某段河坝时，需要动用15台挖土、运土机械，每台机械每小时能挖土或运土，挖出的土要及时运走，若安排x台机械挖土，则可列方程 ． 10．小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了6，因而求得方程的解为，则 ． 三、解答题 11．解方程： (1) (2) 12．已知：， 试比较和的大小，并说明理由． 将下面的解题过程补充完整． 解：_______， 理由如下： ， _______（不等式的基本性质2）． _______（不等式的基本性质1）． 13．若方程与关于x的方程的解相同，求的值． 14．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 15．某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． (1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ (2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ (3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 能力提升进阶练 一、单选题 1．下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次方程的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．以上答案都不是 2．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 3．下列方程变形正确的是（   ） A．方程，去括号，得 B．方程，移项，得 C．方程，未知数的系数化为1，得 D．方程，去分母，得 4．一名同学把“等式①”按照如图所示的程序做了变形： 小明认为：等式①②③依次为；；． 以上等式中，符合题意的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．若关于的方程的解为大于4的整数 ，则整数的值为（　　） A．3或5 B．3或7 C．5或7 D．以上答案都不对 二、填空题 6．已知方程，则在，，中， 是方程的解． 7．请你写出一个同时满足以下两个条件的单项式： ①系数是方程的解．②次数是方程解的绝对值． 这个单项式可以是： ． 8．下列变形：①如果，那么；②如果，那么；③如果那么；④如果，那么．其中正确的是 ．（填序号） 9．若关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 10．用一根米长的绳子围出一个长方形，使它的长是宽的倍，长方形的长和宽各应是多少米？在这个问题中，如果设长方形的宽为米，根据题意，可列出方程 ． 三、解答题 11．解方程． (1)； (2)． 12．在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为，所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因，并改正． 13．（1）已知是方程的解，求m的值； （2）方程的解与方程的解相同，求m的值． 14．下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 (1)观察积分榜，请直接写出球队胜一场积 分，负一场积 分； (2)根据积分规则，请求出E队已经进行了的11场比赛中胜、负各多少场？ (3)若此次篮球比赛共18轮（每个球队各有18场比赛），D队希望最终积分达到32分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 15．秋风起，桂花飘香，也就进入了吃螃蟹的最好季节，清代文人李渔把秋天称作“蟹秋”，意为错过了螃蟹，便是错过了整个秋季，小贤去水产市场采购大闸蟹，每只极品母蟹标价比至尊公蟹标价高出20元，在不优惠时花260元可购买4只极品母蟹和2只至尊公蟹． (1)极品母蟹和至尊公蟹的单价分别为多少元？ (2)商家在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：极品母蟹和至尊公蟹都按定价的8折销售； 方案二：买一只极品母蟹送一只至尊公蟹． 现小贤要购买极品母蟹40只，至尊公蟹a（）只． ①按方案一购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款_______元（用含a的式子表示）；按方案二购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款_______元（用含a的式子表示）． ②当时，通过计算，说明此时按那种方案购买比较合算？你能给出一种更省钱的方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 一元一次方程（复习讲义） 1．理解方程及其相关概念，并能利用其概念解决问题。 ①明确含有未知数的等式叫做方程，能准确判断一个式子是否为方程；②明确一元一次方程的概念，可对给定方程进行分类和识别；③知晓使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，能判断某个值是否为特定方程的解。 2．明确等式的基本性质，能运用其进行变形。 ①知道等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式，并能运用该性质对等式进行变形；②了解等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式，且能利用此性质对等式进行化简与求解。 3．能够熟练求解一元一次方程，能够利用一元一次方程解决实际应用问题，体会方程的应用价值。 ①能够按照步骤熟练求解各类一元一次方程；②面对实际应用问题，能够分析其中的等量关系，列出一元一次方程来表示问题中的数量关系；③正确求解所列的一元一次方程，并将其代入原问题进行检验，确保答案符合实际情境。。 知识点01 一元一次方程的相关概念 1）方程：为了求出问题中的未知数，可以引入字母表示未知数，再根据等量关系建立含有未知数的等式，这样的等式叫作方程。 2）一元一次方程：方程只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程。 3）方程的解：使方程的等号两边相等的未知数的值叫做方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫作方程的根。 知识点02 等式的基本性质 1)等式的基本性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个代数式，结果仍是等式，即 如果a=b，那么a±c=a±c 2)等式的基本性质2：等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍是等式，即 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b，c≠0，那么 = 知识点03 解一元一次方程 1）解方程：求方程的解的过程叫作解方程。 解一个以x为未知数的方程，就是把方程转化为x=c（c为常数）的形式。 2） 移项：把方程的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项。 3） 解一元一次方程的一般步骤： ①去分母：不要漏乘不含分母的项； 当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 如果分子是多项式，去分母后要加括号. ②去括号：去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 不要弄错符号. ③移项：移项时不要丢项; 将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号. ④合并同类项：系数的符号处理要得当； 字母及其指数不变. ⑤系数化为1：未知数的系数为整数或小数时,方程两边同除以该系数; 未知数的系数为分数时,方程两边同乘该系数的倒数. 知识点04 一元一次方程与实际应用 1）列方程解决实际问题的一般步骤： ①理解题意，明确问题中的已知量、未知量; ②用字母表示问题中的一个未知量，并根据问题中的数量关系用含该字母的代数式表示其他未知量; ③根据等量关系，列出方程; ④解方程，求出未知数的值; ⑤写出答案。 2）一元一次方程的应用的常见类型：配套问题、工程问题、行程问题、销售问题、方案选择等。 题型一 判定各式是否是方程 【例1】下列各式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A．选项式子不是等式，不符合题意； B．选项式子是方程，故符合题意； C．选项式子没有未知数，不符合题意； D．选项式子不是等式，故不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】下列属于一元一次方程的是（　  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A．含有2个未知数，不是一元一次方程； B．是一元一次方程； C．等号左边不是整式，不是一元一次方程； D．未知数的最高次数不是1，不是一元一次方程； 故选B． 【变式1-2】已知下列各式：①；②；③；④；⑤，其中是方程的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【解析】①：是等式且含有未知数x，属于方程． ②：是等式且含有未知数x和y，属于方程． ③：是等式，但无未知数，仅为算术式，不是方程． ④：不是等式，仅为代数式，不是方程． ⑤：是等式且含有未知数x，属于方程． 综上，①、②、⑤是方程，共3个，故选． 【变式1-3】式子，，，，，，，，中是一元一次方程的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】解：中，不是整式，则不是一元一次方程； 中，不含有未知数，则不是一元一次方程； 中，的次数是2，则不是一元一次方程； 不是等式，则不是一元一次方程； 中，不含有未知数，则不是一元一次方程； 中，含有两个未知数，则不是一元一次方程； 中，含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两边都是整式，则是一元一次方程； 中，含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两边都是整式，则是一元一次方程； 不是等式，则不是一元一次方程； 综上，在这些式子中，是一元一次方程的有2个， 故选：A． 题型二 判断是否是方程的解 【例2】下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、把代入，左边为，右边为，，所以不是该方程的解，故该选项不符合题意； B、把代入，左边为，右边为，，所以不是该方程的解，故该选项不符合题意； C、把代入，左边为，右边为，，所以不是该方程的解，故该选项不符合题意； D、把代入，左边为，右边为，左边等于右边，所以是该方程的解，故该选项符合题意； 故选D． 【变式2-1】下列方程中，解是的方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：把分别代入A，B，C，D四个选项． A中，左边，右边，左边右边，错误； B中，左边，右边，左边=右边，正确； C中，左边，右边，左边右边，错误； D中，左边，右边，左边右边，错误． 答案：B． 【变式2-2】已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】 【解析】解∶∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】判断和是不是方程的解． 【答案】见解析 【解析】解：将代入方程的左边，得左边， 则左边右边， ∴不是方程的解； 将代入方程的左边，得左边， 则左边右边， ∴是方程的解； 题型三 等式的基本性质 【例3】如果，那么下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：根据等式的性质1，等式的左右两边同时减去同一个数，等式仍然成立，可知A、B正确； 根据等式的性质2，等式的左右两边同时乘以或者除以同一个非零的数，等式仍然成立，可知D正确； 故选：C． 【变式3-1】下列等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】解：A. 如果，那么，变形错误，不符合题意； B. 如果，那么，时，无意义，故原变形错误，不符合题意； C. 如果，那么，正确，符合题意；     D. 如果，那么，故原变形错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3-2】下列运用等式的基本性质变形，错误的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】解：A、根据等式的性质可知原变形正确，故此选项不符合题意； B、根据等式的性质可知原变形正确，故此选项不符合题意； C、根据等式的性质可知原变形正确，故此选项不符合题意； D、根据等式的性质可知原变形错误，正确的结果是，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式3-3】下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】解：A．根据等式两边加上或减去同一个数，等式仍然成立，那么由，得或，故A不符合题意． B．若，则或，故B不符合题意． C．当时不成立，故C不符合题意． D．等式两边乘以得：，故D符合题意． 故选：D． 题型四 解一元一次方程 【例4】一元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解： 移项，得 合并同类项，得 故选：B 【变式4-1】解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：移项得， 合并同类项得， 解得． （2）解：去分母得 ， 解得． 【变式4-2】解方程： 【答案】 【解析】解： 去括号得：， 移项得：， 系数化为1：． 【变式4-3】解方程： (1) (2)． 【答案】(1)； (2)； 【解析】（1）解： ； （2）解： ； 题型五 已知一元一次方程的解，求参数 【例5】小明同学在解方程时，把数字看错了，解得，则小明把看成了（   ） A． B．8 C． D．3 【答案】B 【解析】解：将代入方程，得： ∴， 解得：， 因此，小明将看成了8， 故选：B． 【变式5-1】若是的解，则的值为（    ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】D 【解析】解：把代入关于x的方程中， 得， 解得， 故选：D． 【变式5-2】小明在解方程：去分母时，方程右边的1没有乘6，因而得到方程的解为，方程正确解为 ． 【答案】 【解析】解：小明的做法是：， ， ， ， ， ， 小明得到方程的解为， ， ， ∴方程为， ， ， ， ， ， ∴方程的正确解为， 故答案为：． 【变式5-3】如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是．求的值． 【答案】 【解析】解：将代入方程， 得， ， ， ， 由题意可知：，， ，， ． 题型六 一元一次方程解的关系 【例6】若关于的方程的解是关于的方程的解的倍，求关于的方程的解． 【答案】 【解析】解： ， ， ， ， 方程的解是关于x的方程的解的2倍， ， 解得：， 将代入方程得 ， 解得：． 【变式6-1】关于x的一元一次方程的解与方程的解互为相反数，则满足条件的a的值为 ． 【答案】 【解析】解：， 去分母得：， 去括号得：， ∴， 解得：， ∵关于x的一元一次方程的解与方程的解互为相反数， ∴关于x的一元一次方程的解是， 把代入方程得： ， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式6-2】已知关于x的方程与它们的解互为倒数，求m的值． 【答案】 【解析】解：解得：， 是方程的解， 由得：， ， 解得：， 则m的值为． 【变式6-3】已知关于x的方程的解比方程的解大5，求a的值． 【答案】 【解析】解：由 由 ∵的解比方程的解大5 ∴ 解得： . 题型七 一元一次方程与实际问题 【例7】某工艺品车间有20名工人，平均每人每天可制作12个大花瓶或10个小饰品，已知2个大花瓶与5个小饰品配成一套，则要安排x名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套，方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：根据题意，得， 故选：D． 【变式7-1】阳光村在进行新农村建设中，准备修一条村级公路．村委会请来了一个工程队修一段公路，第一天修了全长的，第二天修了150米，第三天修了前两天总和的一半，三天正好完成任务．这条公路长多少米？ 【答案】360 【解析】设这条公路长x米， 由题意知，， 解得． 答：这条公路长360米． 【变式7-2】小区旁边的联家超市“双十一”当天对顾客实行优惠购物，规定如下： （1）若一次购物少于200元，则不予优惠； （2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠； （3）若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠． 李明两次去该超市购物，分别付款198元和554元．若张亮现在去一次购买李明分两次购买的同样多的物品，他比李明少付款多少元？ 【答案】少付款39.6元或22元 【解析】解：因为，所以李明付款元所购商品原价有两种情况： 原价为元，原价为元． 因为，设李明付款元购买的实际价格为元，则： ， 张亮一次购买的实际价值为元或元． 当实际价值为元时，付款： （元）， 少付款：（元） 当实际价值为元时，付款： （元）， 少付款：（元）， 答：张亮决定一次去购买李明分两次购买的同样多的物品，比原来少付款39.6元或22元 【变式7-3】某面粉加工厂现有面粉吨，若在市场上直接销售面粉，每吨可获取利润元：若制成面包销售，每吨可获取利润元；制成蛋糕销售，每吨可获取利润元．该工厂的生产能力是：若制成面包，每天可加工吨；制成蛋糕每天可加工吨．受人员限制，两种加工方式不可同时进行；受空气湿度条件限制，这批面粉必须在天内全部销售或加工完毕，为此，该厂设计了两种可行方案： 方案一：尽可能多的制成蛋糕，其余直接销售面粉． 方案二：将一部分制成面包，其余制成蛋糕销售，并恰好天完成． 你认为选择哪种方案获利最多，为什么？ 【答案】方案二获利最多，理由见解析． 【解析】解：方案一：最多生产制成蛋糕（吨），其余的直接销售面粉，即直接销售面粉（吨）， 则利润为：（元）； 方案二：设生产天制成面包，则天制成蛋糕， 根据题意得：， 解得：， ∴天制成面包，共（吨），天制成蛋糕，共（吨）， 则利润为：（元）， ∵， ∴方案二获利最多． 基础巩固通关测 1、 单选题 1．下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、不含未知数，不是方程，不符合题意； B、，是方程，符合题意； C、不是等式，故不是方程，不符合题意； D、不是等式，故不是方程，不符合题意． 故选：B． 2．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A：代入，左边，右边，等式不成立。 B：代入，左边，右边，等式不成立。 C：代入，左边=，右边，等式成立。 D：代入，左边=，右边，，等式不成立。 综上，只有选项C的解为。 故选：C 3．下列说法不一定成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】解：A．若，两边同时减，则，成立； B．若，两边同时乘，则，成立； C．若，两边同时除以，则，成立； D．当时，不成立． 故选：D． 4．已知是关于x的方程的解，则m的值是（　　） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【解析】解：把代入方程，得， 解得：． 故选：A． 5．如图，在周长为的长方形窗户上钉一块宽为的长方形遮阳布，使透光部分正好是一正方形，则钉好后透光面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：设正方形的边长为， 则有， 解得， 故正方形的面积为，即透光面积为． 故选：A． 二、填空题 6．由等式变形为是依据第 条等式的基本性质得到的． 【答案】2 【解析】解：由等式变形为，其依据是等式的性质2， 故答案为：2． 7．已知关于 的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【解析】解：是一元一次方程， ， ． 故答案为：． 8．若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是，则 ． 【答案】 【解析】解： 把代入得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．在加固某段河坝时，需要动用15台挖土、运土机械，每台机械每小时能挖土或运土，挖出的土要及时运走，若安排x台机械挖土，则可列方程 ． 【答案】 【解析】解：设安排台机械挖土，则有台机械运土，台机械挖土的总量为，则台机械运土总量为， 根据挖出的土要及时运走，得：． 故答案为：． 10．小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了6，因而求得方程的解为，则 ． 【答案】 【解析】解：方程右边的漏乘了 6 ，方程化为，， 把代入，得， 解得， 故答案为：． 三、解答题 11．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解： ； （2）解： ． 12．已知：， 试比较和的大小，并说明理由． 将下面的解题过程补充完整． 解：_______， 理由如下： ， _______（不等式的基本性质2）． _______（不等式的基本性质1）． 【答案】＜；； 【解析】解：，理由如下： ， （不等式的基本性质2）． （不等式的基本性质1）． 13．若方程与关于x的方程的解相同，求的值． 【答案】27 【解析】解：解第一个方程 两边同乘（分母最小公倍数），得： 去括号： 合并同类项： 移项得：， 解得． 将代入，得： 两边同乘6消分母： 去括号： 合并同类项： 移项得：， 解得． ∴． 14．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【答案】客人共有30位，盘子共有13个． 【解析】解：设共有x位客人． 依题意，得，解得， 所以． 答：客人共有30位，盘子共有13个． 15．某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． (1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ (2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ (3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 【答案】(1)30天 (2)60天 (3)先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元 【解析】（1）解：设甲、乙两个工程队一起合作天就可以完成此项工程， 则， 解得， 答：甲、乙两个工程队一起合作30天就可以完成此项工程． （2）解：设共需y天才能完成此项工程， 则． 解得． 答：共需60天才能完成此项工程． （3）解：甲完成工程所需费用为（万元）， 乙完成工程所需费用为（万元）． 甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做， 由题意得． 解得． 所需费用为：万元． 答：先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元． 能力提升进阶练 一、单选题 1．下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次方程的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．以上答案都不是 【答案】B 【解析】解：①中未知数最高次数是2，不是一元一次方程； ②中含2个未知数，不是一元一次方程； ③是一元一次方程； ④中左边不是整式，不是一元一次方程； ⑤是一元一次方程； ⑥是一元一次方程； 综上可知，一元一次方程有3个， 故选B． 2．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、当时，左边，右边，则左边右边，即该方程的解不是，故本选项不符合题意； B、当时，左边，右边，则左边右边，即该方程的解是，故本选项符合题意； C、当时，左边，右边，则左边右边，即该方程的解不是，故本选项不符合题意； D、当时，左边，右边，则左边右边，即该方程的解不是，故本选项不符合题意； 故选：B 3．下列方程变形正确的是（   ） A．方程，去括号，得 B．方程，移项，得 C．方程，未知数的系数化为1，得 D．方程，去分母，得 【答案】D 【解析】解：A、方程，去括号，得，故此选项不符合题意； B、方程，移项，得，故此选项不符合题意； C、方程，未知数的系数化为1，得，故此选项不符合题意； D、方程，去分母，得，故此选项符合题意． 故选：D． 4．一名同学把“等式①”按照如图所示的程序做了变形： 小明认为：等式①②③依次为；；． 以上等式中，符合题意的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【解析】解：由题知等式①两边都乘5，得， 等式两边都除以5，即得等式①为； 等式①两边都减2，得等式②为， 把与的两边分别相加，得等式③为； 综上分析可知：符合题意的个数为3个． 故选：A． 5．若关于的方程的解为大于4的整数 ，则整数的值为（　　） A．3或5 B．3或7 C．5或7 D．以上答案都不对 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， ∵都是整数， ∴为15的因数． ． 又，∴=1或3， ∴或5． 故选A． 二、填空题 6．已知方程，则在，，中， 是方程的解． 【答案】，， 【解析】解：将代入方程，，等式成立，因此是方程的解． 将代入方程，得到，等式同样成立，故也是方程的解． 将代入方程，得到，等式成立，所以同样是方程的解． 故答案为：，，． 7．请你写出一个同时满足以下两个条件的单项式： ①系数是方程的解．②次数是方程解的绝对值． 这个单项式可以是： ． 【答案】 【解析】解：解方程得，， 解方程得，， ∴， ∴该单项式为：， 故答案为： ． 8．下列变形：①如果，那么；②如果，那么；③如果那么；④如果，那么．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】②③④ 【解析】解：①如果，那么当时，，故①不正确； ②如果，那么，故②正确； ③如果那么，故③正确； ④如果，那么，故④正确． 故答案为：②③④． 9．若关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴的解为：； ∴； 故答案为：． 10．用一根米长的绳子围出一个长方形，使它的长是宽的倍，长方形的长和宽各应是多少米？在这个问题中，如果设长方形的宽为米，根据题意，可列出方程 ． 【答案】 【解析】解：∵长方形的宽为米，长是宽的倍， ∴长为米， ∵用一根米长的绳子围出一个长方形， ， 故答案为： 三、解答题 11．解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 12．在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为，所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因，并改正． 【答案】(1)等式的性质1 (2)小明第二步的结论不正确，理由见解析 【解析】（1）∵ ∴根据等式的性质1，两边都减去 得 ∴第一步的依据是：等式的性质1； （2）小明第二步的结论不正确， ∵根据等式的性质2，等式两边同时除以不为0的一个数，等式仍然成立， ∴当时，等式的两边都除以a，等式不成立， 当时，两边都除以a，得不成立， ∴小明第二步的结论不正确． 13．（1）已知是方程的解，求m的值； （2）方程的解与方程的解相同，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】解：（1）把代入，得：， ∴， 解得：； （2）∵， ∴， 解得：， 把代入，得：， ∴， 解得：． 14．下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 (1)观察积分榜，请直接写出球队胜一场积 分，负一场积 分； (2)根据积分规则，请求出E队已经进行了的11场比赛中胜、负各多少场？ (3)若此次篮球比赛共18轮（每个球队各有18场比赛），D队希望最终积分达到32分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)胜2场，负9场 (3)不可能实现，理由见解析 【解析】（1）解：观察C队和D队积分可知，球队胜一场积分， 负一场积分， 球队胜一场积2分，负一场积1分． 故答案为：2；1． （2）解：设E队胜场，则负场， 由题意得，， 解得：， ， 答：E队已经进行了11场比赛中胜2场，负9场． （3）解：不可能实现，理由如下： 每个球队各有18场比赛，D队已经进行了11场比赛， D队还有场比赛， 假设D队剩下7场全胜，则最终积分， 又， D队不可能实现最终积分达到32分． 15．秋风起，桂花飘香，也就进入了吃螃蟹的最好季节，清代文人李渔把秋天称作“蟹秋”，意为错过了螃蟹，便是错过了整个秋季，小贤去水产市场采购大闸蟹，每只极品母蟹标价比至尊公蟹标价高出20元，在不优惠时花260元可购买4只极品母蟹和2只至尊公蟹． (1)极品母蟹和至尊公蟹的单价分别为多少元？ (2)商家在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：极品母蟹和至尊公蟹都按定价的8折销售； 方案二：买一只极品母蟹送一只至尊公蟹． 现小贤要购买极品母蟹40只，至尊公蟹a（）只． ①按方案一购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款_______元（用含a的式子表示）；按方案二购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款_______元（用含a的式子表示）． ②当时，通过计算，说明此时按那种方案购买比较合算？你能给出一种更省钱的方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 【答案】(1)至尊公蟹的单价为元，则极品母蟹的单价为元. (2)①； ；②按方案二购买较为合算，见解析；最为省钱的购买方案是：先按方案二购买极品母蟹，再送只至尊公蟹，然后按方案一购买只至尊公蟹，付款元． 【解析】（1）解：设至尊公蟹的单价为元，则极品母蟹的单价为元，则 ， 解得：， ∴， 答：至尊公蟹的单价为元，则极品母蟹的单价为元． （2）解：①由题意得：按方案一购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款 元， 按方案二购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款 元， 按方案一购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款元；按方案二购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款元； ②当时， 按方案一购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款 （元）， 按方案二购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款 （元）， ， 按方案二购买较为合算； 若两种优惠方案可同时使用，则可先按方案二购买只极品母蟹，再送只至尊公蟹，然后按方案一购买只至尊公蟹， 理由： （元）， ， 最为省钱的购买方案是：先按方案二购买只极品母蟹，再送只至尊公蟹，然后按方案一购买只至尊公蟹． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $