5.4课时3 工程问题 教案 2026-2027学年青岛版数学七年级上册

该教案聚焦工程问题中工作量、工作效率、工作时间的关系，通过回顾一元一次方程解应用题步骤，结合水泵抽水等实际情境引入，梳理基本公式搭建学习支架，引导学生掌握列一元一次方程解决工程问题。 特色在于用情境教学法抽象数学模型（数学抽象），一题多解与列表法培养逻辑推理，分层练习巩固建模能力。如例1从同时抽水分阶段抽水，例2涉及人数变化，提升学生分析与运算能力，为教师提供清晰教学流程和实用方法。

课题 5.4 工程问题（第3课时） 课型 新授课 课时 1课时 教材版本 青岛版数学七年级上册 教学方法 情境教学法、讲练结合法、探究发现法、启发式教学法 教学用具 多媒体课件、投影 一、核心素养目标 • 【数学抽象】通过水泵抽水、图书整理、管道维修等实际情境，抽象出工程问题的数学模型，理解工作量、工作效率、工作时间三个基本量之间的关系，发展数学抽象能力 • 【逻辑推理】通过分析工程问题中的等量关系，运用列表法或线段图理清各部分工作量之间的关系，培养逻辑推理和有条理思考的能力 • 【数学建模】经历将实际问题转化为方程模型的过程，掌握根据等量关系列一元一次方程解决工程问题的方法，体会方程模型在解决实际问题中的价值 • 【数学运算】能熟练解一元一次方程，并正确检验解的合理性，提高运算能力和解题规范 二、教学重难点 教学重点：理解工程问题中工作量、工作效率、工作时间的关系；能根据等量关系列一元一次方程解决工程问题 教学难点：分析工程问题中涉及几部分工作量的等量关系，特别是当工作总量未知时，合理设工作总量为1的方法 三、教学过程 【情境导入：回顾旧知，引入新课】（3分钟） 【教师活动】同学们，在前面的学习中，我们已经掌握了一元一次方程解应用题的一般步骤。今天，我们要运用这些知识来解决一类特殊的实际问题——工程问题。在日常生活中，工程问题随处可见，比如修路、抽水、整理图书等。 【教师活动】首先，请同学们回忆一下：工程问题中涉及的基本关系量有哪些？它们之间有什么关系？ 【学生活动】思考并回答：工程问题中的基本量有工作量、工作效率、工作时间。工作量=工作效率×工作时间。 【教师活动】很好！今天我们就来深入学习如何列一元一次方程解决与工程有关的实际问题。本节课的学习目标是：学会列一元一次方程解决与工程有关的实际问题。 【过渡语】在正式学习例题之前，我们先来系统回顾一下工程问题中涉及的所有公式。请同学们看屏幕，完成填空。 【知识回顾：工程问题基本关系式】（4分钟） 【教师活动】请同学们完成以下工程问题公式的填空。 【学生活动】思考并填写：工作总量＝工作效率×工作时间；工作效率＝工作总量÷工作时间；工作时间＝工作总量÷工作效率。 【教师活动】非常好！在工程问题中，当有多个人或机器同时工作时，总工作总量等于各部分工作量之和。而合作效率等于各单独做的效率和。 【知识点】工程问题基本公式：工作量＝工作效率×工作时间；工作效率＝工作量÷工作时间；工作时间＝工作量÷工作效率。总工作量＝各部分工作量之和。合作效率＝各单独做的效率和。 【教师活动】此外，当涉及人数时，工作总量＝人均效率×人数×工作时间。这个公式在多人合作的问题中非常有用。 【知识点】涉及人数时的公式：工作总量＝人均效率×人数×工作时间。 理解要点：在工程问题中，当工作总量没有给出具体数值时，通常把工作总量设为1。此时，工作效率＝1÷工作时间（即单位时间内完成的工作量占总量的几分之几）。 【学生活动】记录并理解：当工作总量未知时，把工作总量看作单位"1"，则工作效率＝1/工作时间。 【过渡语】掌握了这些基本公式，下面我们通过一道典型例题来学习如何应用它们解决实际问题。 【例题1探究：水泵抽水问题（第1问）】（7分钟） 【教师活动】例1 用两台水泵从同一池塘向外抽水。单独用甲水泵5 h可以把水抽完，单独用乙水泵2.5 h可以把水抽完。 【教师活动】（1）如果用两台水泵同时抽水，多长时间能把水抽完？ 【教师活动】请同学们思考：这个问题中数量关系是什么？ 【学生活动】思考分析：抽水的工作总量是池塘里的全部水，设为1。甲水泵的工作效率是1/5，乙水泵的工作效率是1/2.5。 【教师活动】很好！我们用列表法来整理信息。设同时抽水需要x h。甲水泵的工作效率是1/5，乙水泵的工作效率是1/2.5。甲水泵的工作量是(1/5)x，乙水泵的工作量是(1/2.5)x。 【教师活动】单独用甲水泵1 h的抽水量是多少？单独用乙水泵呢？ 【学生活动】回答：甲水泵1 h抽水1/5，乙水泵1 h抽水1/2.5。 【教师活动】题目中的等量关系是什么？ 【学生活动】思考并回答：甲水泵的抽水量＋乙水泵的抽水量＝1（全部水）。 【知识点】等量关系：甲水泵的抽水量＋乙水泵的抽水量＝1。即(1/5)x＋(1/2.5)x＝1。 【教师活动】列方程：(1/5)x＋(1/2.5)x＝1。化简得：(1/5)x＋(2/5)x＝1，即(3/5)x＝1，解得x＝5/3。 【教师活动】所以，两台水泵同时抽水，需要5/3小时（即1小时40分钟）能把水抽完。 易错提示：注意：当工作总量没有给出具体数值时，要把工作总量设为1。工作效率用分数表示，如甲水泵的效率为1/5，表示1小时能完成总工作量的1/5。 【过渡语】第（1）问是同时工作的简单情形，下面我们来看第（2）问，情况更复杂一些。 【例题1探究：水泵抽水问题（第2问）】（6分钟） 【教师活动】（2）如果先用甲水泵抽水2 h，剩下的部分由两台水泵同时抽，还需要多长时间才能把水抽完？ 【教师活动】请同学们先独立思考：这个问题与第（1）问有什么不同？增加了哪部分工作？ 【学生活动】思考并回答：第（2）问中，工作分成了两部分——先由甲水泵单独抽水2 h，然后两台水泵同时抽水。等量关系是：甲单独抽的水量＋两台同时抽的水量＝1。 【教师活动】分析得很到位！设还需要y h才能把水抽完。甲单独抽水2 h的工作量是(1/5)×2＝2/5。两台水泵同时抽水y h的工作量是(1/5＋1/2.5)y＝(3/5)y。 【知识点】等量关系：甲先做的工作量＋两台合做的工作量＝1。即2/5＋(3/5)y＝1。 【教师活动】列方程：2/5＋(3/5)y＝1。解得：(3/5)y＝3/5，y＝1。 【教师活动】所以，还需要1小时才能把水抽完。 【学生活动】理解解题过程：先分别求出各部分的工作量，再根据总工作量＝各部分工作量之和列出方程。 判断技巧：解决工程问题的关键步骤：①设工作总量为1；②求出各对象的工作效率；③明确各部分工作量；④根据等量关系列方程；⑤解方程并检验。其中，找准等量关系是核心。 【过渡语】对于这道例题，我们用了"甲的工作量＋乙的工作量＝总工作量"这个等量关系。其实，还可以根据其他数量关系列方程，大家想试试吗？ 【一题多解：探究其他数量关系】（4分钟） 【教师活动】对于例1，我们还可以根据其他数量关系列方程吗？请同学们思考：除了用工作量之和等于总工作量，还有什么等量关系？ 【学生活动】思考讨论：还可以考虑剩余工作量。例如第（2）问，可以先求出甲单独抽水2 h后剩余的工作量，再根据剩余工作量＝两台水泵同时抽水的工作量来列方程。 【教师活动】非常好！甲抽水2 h后剩余工作量为1－2/5＝3/5。两台水泵同时抽水，每小时完成3/5。设还需要y小时，则(3/5)y＝3/5，解得y＝1。 【教师活动】两种方法殊途同归，都得到了y＝1。这说明，在工程问题中，可以从不同角度寻找等量关系，但本质都是建立在"工作量＝工作效率×工作时间"这个基本公式之上的。 【知识点】工程问题中常见的等量关系：①各部分工作量之和＝总工作量；②剩余工作量＝后续各部分工作量之和；③甲的工作量＝乙的工作量（两人完成相同工作量时）。 重点强调：一题多解是培养数学思维的重要方法。面对工程问题，可以尝试从不同角度找出等量关系，选择最简便的方法列方程。但无论哪种方法，都必须建立在正确理解题意的基础之上。 【过渡语】例1是两个人或两台机器合作的问题。下面我们来看例2，它涉及人数变化的情况，情况更复杂一些。 【例题2讲解：图书整理问题】（6分钟） 【教师活动】例2 某学校要整理一批图书，如果由一位图书管理员整理需要40 h完成。现由一部分管理员先整理4 h，然后再增加两人和他们一起整理8 h完成了任务。若这些管理员的工作效率是相同的，则有多少人先整理了4 h？ 【教师活动】请同学们仔细读题，这道题与例1有什么不同？ 【学生活动】思考并回答：这道题涉及人数变化的问题。先有一部分人整理，后来增加了2人。而且每个人的工作效率相同。 【教师活动】很好！设每人每小时的工作效率为1/40（因为1人需40 h完成）。设有x人先整理图书4 h。则先整理部分的工作量为(x/40)×4＝x/10。 【教师活动】后来增加2人，共有(x＋2)人，再整理8 h。这部分工作量为((x＋2)/40)×8＝(x＋2)/5。 【知识点】等量关系：先整理的工作量＋后整理的工作量＝1。即x/10＋(x＋2)/5＝1。 【教师活动】列方程：x/10＋(x＋2)/5＝1。去分母得：x＋2(x＋2)＝10，即x＋2x＋4＝10，3x＝6，解得x＝2。 【学生活动】跟随教师的讲解，理解解题过程。注意：设未知数时，设的是"先整理4 h的人数"，而不是总人数。 【教师活动】解方程，得x＝2。答：有2人先整理图书4 h。 易错提示：在涉及人数的工程问题中，一定要看清问题问的是什么。设未知数时要明确：是设先整理的人数，还是设总人数？两个概念不同。另外，每个人的工作效率要注意表达的准确性，不要与工作总量混淆。 【过渡语】通过两个例题的学习，我们对工程问题有了更深入的理解。下面来归纳总结一下工程问题的基本解题思路。 【归纳总结：工程问题解题方法】（3分钟） 【教师活动】通过以上两个例题的学习，请同学们归纳一下，解决工程问题的一般步骤是什么？ 【学生活动】归纳总结：①审题，明确已知量和未知量；②设工作总量为1（当工作总量未知时）；③求出各对象的工作效率；④设未知数，用含未知数的式子表示各部分工作量；⑤根据等量关系列方程；⑥解方程，检验，作答。 【知识点】工程问题中的基本数量关系：工作量＝工作效率×工作时间；合作的效率＝各单独做的效率和；总工作量＝各部分工作量之和。 【教师活动】总结得非常好！工程问题的核心是三个基本量之间的关系，以及找准等量关系。用列表法可以帮助我们理清思路。 理解要点：用列表法解工程问题的步骤：①列表，列出各对象的工作效率、工作时间、工作量；②用代数式表示各部分工作量；③根据等量关系列方程。列表法能使问题一目了然，是解决复杂工程问题的有效方法。 【过渡语】方法掌握了，还需要通过练习来巩固。下面我们来做几道练习题，检验一下同学们对本节课知识的掌握情况。 【课堂练习：基础过关（A组）】（5分钟） 【教师活动】下面我们来做基础过关练习。第1题是一道选择题，请同学们认真思考。 【教师活动】1．学校要制作一块广告牌，请来两名工人，已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，若先由乙做1天，再两人合作，完成任务后共得到报酬900元，若按各人的工作量计算报酬，则分配方案为（ ） 【教师活动】A．甲360元，乙540元 B．甲450元，乙450元 C．甲300元，乙600元 D．甲540元，乙360元 【学生活动】思考分析：设工作总量为1。甲效率1/4，乙效率1/6。乙先做1天：工作量1/6。剩余5/6由两人合作，合作效率1/4＋1/6＝5/12，合作时间(5/6)÷(5/12)＝2天。甲做2天，工作量(1/4)×2＝1/2；乙做1＋2＝3天，工作量(1/6)×3＝1/2。两人工作量相等，所以报酬各450元。选B。 【教师活动】正确答案是B。甲和乙的工作量相同，都是1/2，所以报酬各450元。 【教师活动】2. 维修一段管道，师傅单独维修需要4 h完成，徒弟单独维修需要6 h完成。如果徒弟先维修1 h，再与师傅一块维修，还需要多长时间完成？ 【学生活动】思考并解答：设工作总量为1，师傅效率1/4，徒弟效率1/6。徒弟先做1 h，工作量1/6，剩余5/6。合作效率1/4＋1/6＝5/12。设还需要x h，则(5/12)x＝5/6，解得x＝2。答：还需要2 h完成。 【教师活动】很好！第2题的解题思路与例1第（2）问类似，都是先做一部分，再合作完成。 【教师活动】3. 爱迪生曾设计了一个注水装置，将它与家里的大门相连，推开大门的同时，带动注水装置往水槽中注水。最初每次推门只能往水槽里注入20 L水，后来经过改进，每次推门能往水槽里注入25 L水。这样比原来少推门12次就能把水槽注满水。爱迪生家的水槽能盛多少升水？ 【学生活动】思考并解答：设水槽能盛x L水。原来需要推门x/20次，改进后需要推门x/25次。根据题意：x/20－x/25＝12。通分得(5x－4x)/100＝12，即x/100＝12，解得x＝1200。答：水槽能盛1200 L水。 【教师活动】第3题虽然与前面的工程问题不同，但本质上也是利用工作量（任务量）与效率的关系来列方程。 判断技巧：第3题的关键是理解"少推门12次"的含义，即改进前推门次数减去改进后推门次数等于12。这类问题虽然不是典型的工程问题，但解题思路相似——都是寻找等量关系。 【课堂练习：巩固提高（B组）】（5分钟） 【教师活动】下面我们来做两道提高题，检验一下同学们的综合应用能力。 【教师活动】4. 甲、乙两班同学参加"绿化家乡，植树造林"活动，已知甲班同学单独完成学校分配给的植树任务需7小时，乙班同学单独完成该任务需5小时，现由甲、乙两班同学共同来完成此项任务，并在植树过程中开展劳动竞赛，甲班的工作效率提高了40%，乙班的工作效率提高了50%，求两班同学合做几小时就可把树全部植完。 【学生活动】思考分析：设工作总量为1。甲班原效率1/7，提高后效率(1/7)×(1＋40%)＝(1/7)×1.4＝0.2＝1/5。乙班原效率1/5，提高后效率(1/5)×(1＋50%)＝(1/5)×1.5＝0.3＝3/10。合作效率1/5＋3/10＝2/10＋3/10＝5/10＝1/2。设合做x小时，则(1/2)x＝1，解得x＝2。答：合做2小时可把树全部植完。 【教师活动】非常好！这道题的关键是正确计算提高后的工作效率。注意：提高40%的意思是效率变为原来的140%，即乘以(1＋40%)。 【教师活动】5. 一项道路工程，甲队单独做9天完成，乙队单独做12天完成。现在甲、乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，则乙队还需几天才能完成？ 【学生活动】思考并解答：设工作总量为1。甲队效率1/9，乙队效率1/12。两队合作3天的工作量：(1/9＋1/12)×3＝(4/36＋3/36)×3＝(7/36)×3＝7/12。剩余工作量1－7/12＝5/12。乙队还需时间：(5/12)÷(1/12)＝5（天）。答：乙队还需5天才能完成。 【教师活动】正确！这道题的特点是有合作也有单独做，需要分步计算工作量。 重点强调：解决工程问题的核心是：①设工作总量为1（无具体数值时）；②工作效率＝1÷单独完成所需时间；③找等量关系，列出方程。遇到效率变化的题目，要注意正确计算变化后的效率。 【过渡语】练习题我们就做到这里。下面我们一起来回顾一下本节课所学的内容。 【课堂小结与反思】（2分钟） 【教师活动】针对本节课所学内容，你能说一说你都学到了哪些知识吗？ 【学生活动】回顾本节课内容：学习了工程问题中工作量、工作效率、工作时间的关系；掌握了把工作总量设为1的方法；学会了根据等量关系列一元一次方程解决工程问题；会用列表法整理信息。 【教师活动】很好！我们一起来梳理一下本节课的主要内容。 【教师活动】1. 工程问题的基本量：工作量、工作效率、工作时间。它们的关系是：工作量＝工作效率×工作时间。 【教师活动】2. 当工作总量未知时，通常把工作总量设为1，工作效率用分数表示。 【教师活动】3. 总工作量＝各部分工作量之和，合作效率＝各单独做的效率和。 【教师活动】4. 解题步骤：审题→设总量→求效率→设未知数→列方程→解方程→检验→作答。 【教师活动】5. 列表法是解决工程问题的有效辅助方法，特别适用于涉及多个对象和分阶段工作的情况。 【知识点】本节课主要内容：工程问题的基本关系式；设工作总量为1的方法；一元一次方程在工程问题中的应用；列表法辅助解题。 理解要点：工程问题是一元一次方程应用的重要题型。掌握好工程问题的解题方法，不仅能解决数学问题，还能帮助我们处理生活中的实际问题，如分配任务、安排工期等。课后要多加练习，熟能生巧。 四、板书设计 5.4 工程问题（第3课时） 一、基本关系式 工作量＝工作效率×工作时间 工作效率＝工作量÷工作时间 工作时间＝工作量÷工作效率 总工作量＝各部分工作量之和 合作效率＝各单独做的效率和 二、解题关键 当工作总量未知时，设工作总量为1 工作效率＝1÷单独完成所需时间 三、解题步骤 审题→设总量→求效率→设未知数→ 列方程→解方程→检验→作答 四、例1 水泵抽水问题 甲效率1/5，乙效率1/2.5 (1)(1/5＋1/2.5)x＝1，x＝5/3 (2)2/5＋(3/5)y＝1，y＝1 五、例2 图书整理问题 设x人先整理，x/10＋(x＋2)/5＝1 解得x＝2 五、教学反思 1. 本节课学生哪些地方容易出错？ 2. 哪些学生需要特别关注？ 3. 教学时间分配是否合理？ 4. 实验/探究环节是否达到预期效果？ 5. 有哪些生成性问题？如何处理？ 6. 下节课如何改进？ 学科网（北京）股份有限公司 $