5.4 行程问题 课时2 教案 2026-2027学年青岛版七年级数学上册

该教案聚焦行程问题中的相遇、追及、航行问题，通过复习行程基本关系（路程=速度×时间）和列方程步骤导入，搭建新旧知识联系的学习支架，为新知学习奠定基础。 以列表法和线形示意图为核心分析工具，如追及问题中通过两种方法抽象数量关系，培养数学抽象和逻辑推理能力，航行问题中建立方程模型，提升数学建模素养，助力学生掌握等量关系分析，为教师提供结构化教学流程。

课题 5.4 行程问题（第2课时） 课型 新授课 课时 第2课时 教材版本 青岛版数学七年级上册 教学方法 情境教学法、讲练结合法、探究发现法、数形结合法 教学用具 多媒体课件、投影、直尺 一、核心素养目标 • 【数学抽象】从实际行程问题中抽象出数量关系，建立一元一次方程模型，发展数学抽象能力 • 【逻辑推理】通过线形示意图分析行程问题中的等量关系，培养逻辑推理和有条理的思维能力 • 【数学建模】能运用路程=速度×时间的基本关系，建立方程解决相遇问题、追及问题和航行问题，体会数学建模思想 • 【数学运算】能正确列出一元一次方程并求解，熟练进行时间单位换算，提高数学运算能力 二、教学重难点 教学重点：运用线形示意图分析行程问题中的数量关系，列一元一次方程解决行程问题 教学难点：行程问题中等量关系的分析与确定；线形示意图的绘制与运用；不同情境下（相遇、追及、航行）等量关系的灵活识别 三、教学过程 【复习回顾：行程问题基本关系】（5分钟） 【教师活动】同学们，上节课我们学习了一元一次方程的应用。在解决实际问题之前，我们先来回顾两个问题。第一个问题：列方程解决实际问题的一般步骤是什么？ 【学生活动】回顾并回答：审题（理解题意，找出已知量和未知量）→设未知数→找等量关系→列方程→解方程→检验→作答。 【教师活动】很好！第二个问题：行程问题中的基本关系量有哪些？它们之间有什么关系？ 【学生活动】回答：路程、速度、时间。路程＝速度×时间，速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度。 【知识点】行程问题基本关系：路程＝速度×时间；速度＝路程÷时间；时间＝路程÷速度。 【教师活动】除了基本关系，我们还需要掌握相遇问题、追及问题和航行问题中的特殊关系。请看下面的填空。 【教师活动】相遇问题中的关系：甲、乙两人的总行程＝甲的行程＋乙的行程。相遇公式：总路程＝速度和×时间。 【教师活动】追及问题中的关系：追及公式：路程差＝速度差×时间。两者相距的路程＝追者走的路程－前者走的路程。 【教师活动】航行问题中的关系：顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度。前往路程＝返回路程。 【学生活动】在笔记本上记录：相遇问题：总路程＝速度和×相遇时间；追及问题：路程差＝速度差×追及时间；航行问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水。 【知识点】相遇公式：总路程＝速度和×相遇时间。追及公式：路程差＝速度差×追及时间。航行问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水，往返路程相等。 理解要点：相遇问题中两人同时出发、相向而行，总路程等于两人路程之和，即速度和×相遇时间。追及问题中追者比被追者多走一段路程差，即速度差×追及时间。 【过渡语】复习了基本关系之后，我们来看今天的第一道例题。这是一道典型的追及问题变式，请同学们认真阅读题目。 【例题1：阅读与理解】（5分钟） 【教师活动】请同学们看例题1：小亮和小莹去青少年素质教育实践基地参加活动。小亮从学校出发，步行去基地，速度为5km/h，16min后，小莹从学校出发，骑自行车沿相同路线骑行，速度为15km/h，结果两人同时到达实践基地。学校到实践基地的路程是多少？ 【教师活动】请同学们仔细阅读题目，找出题目中的已知条件和未知量。已知条件有哪些？要求的未知量是什么？ 【学生活动】阅读题目，找出已知条件：小亮步行速度5km/h，小莹骑车速度15km/h，小莹比小亮晚出发16min，两人同时到达。未知量：学校到实践基地的路程。 【教师活动】非常好！这道题的情境是：两人从同一地点出发去同一目的地，但出发时间不同。小亮先走了16分钟，然后小莹才出发，最后两人同时到达。这本质上是什么类型的行程问题？ 【学生活动】思考并回答：这是追及问题。小莹追小亮，因为小莹速度快，能追上先出发的小亮，而且恰好在实践基地追上。 【教师活动】对！虽然两人同时到达，但小莹晚出发16分钟，所以小莹追上了小亮。这道题中，两人所走的路程相同，都是学校到实践基地的距离。但所用时间不同，小亮比小莹多用了16分钟。这就是我们找等量关系的关键！ 【知识点】同地异时出发、同时到达的行程问题，本质是追及问题。路程相同，时间不同，速度慢者用时更长。 易错提示：注意时间单位的统一！题目中速度单位是km/h，而时间差16min需要换算为小时：16min = 16/60 h = 4/15 h。单位不统一是行程问题中最常见的错误。 【过渡语】理解了题意之后，我们先用列表法来分析题中的数量关系。 【例题1：列表分析数量关系】（5分钟） 【教师活动】设学校到实践基地的路程为x km，我们填写下表来分析数量关系。 【教师活动】表格中有四个栏目：速度、时间、路程。步行：速度是5km/h，路程是x km，那么时间就是x/5 h。骑自行车：速度是15km/h，路程也是x km，时间就是x/15 h。 【学生活动】跟随教师填写表格，理解速度、时间、路程三者之间的换算关系。步行的速度5km/h，路程x km，时间=x/5 h；骑自行车的速度15km/h，路程x km，时间=x/15 h。 【教师活动】根据表格中的数据，我们可以找到什么等量关系？注意小亮比小莹多用了16分钟。 【学生活动】思考并回答：步行所用时间比骑自行车所用时间多16min，即步行时间－骑自行车时间＝16min。 【教师活动】正确！但要注意单位统一。速度单位是km/h，时间单位应该是小时。所以等量关系是：x/5 － x/15 ＝ 16/60。 【知识点】列表法：将速度、时间、路程填入表格，利用"同一行中路程＝速度×时间"的关系，用未知数表示时间，再根据等量关系列方程。 判断技巧：列表法是分析行程问题的有效工具。先填已知量，再用未知数表示未知量。注意：时间列中，如果已知路程和速度，则时间＝路程÷速度。 【过渡语】除了列表法，我们还可以用线形示意图来直观地表示数量关系。下面我们来看第二种方法。 【例题1：线形示意图分析】（5分钟） 【教师活动】如果设骑自行车从学校到实践基地需要y h，那么步行需要多少小时？我们可以用线形示意图来分析。 【教师活动】在线形示意图中，我们用一条线段表示小亮步行的总路程，包括两部分：先走的16min的路程和后面y h的路程。小莹骑自行车y h的路程与之相等。 【教师活动】观察线形示意图：小亮步行16min的路程是5×(16/60)=4/3 km。小亮步行y h的路程是5y km。小莹骑自行车y h的路程是15y km。 【学生活动】观察线形示意图，理解：小亮的总路程＝小亮16min走的路程＋小亮y h走的路程＝小莹骑自行车y h走的路程。 【教师活动】根据线形示意图，我们可以得到等量关系：骑自行车的路程＝步行的路程。即：15y ＝ 5×(16/60) ＋ 5y。 【学生活动】验证等量关系：左边是骑自行车y小时的路程(15y)，右边是步行16分钟的路程加上步行y小时的路程(5×16/60+5y)。两边相等。 【教师活动】解方程：15y＝5×(16/60)＋5y，即15y＝4/3＋5y，10y＝4/3，y＝2/15 h。然后路程＝15×(2/15)＝2 km。或者用第一种方法：x/5－x/15＝16/60，(3x－x)/15＝4/15，2x/15＝4/15，x＝2。 【知识点】线形示意图：用线段表示行程，将路程分解为不同部分，直观展示等量关系。设时间未知数时，16min需换算为4/15 h。 重点强调：线形示意图是解决行程问题的核心方法：先画一条线段表示总路程，再按时间或速度分段，标出各段的数量，最后根据"总路程相等"或"各部分之和等于总路程"列出方程。 【过渡语】通过列表法和线形示意图，我们都能解决这道题。下面我们来总结一下解决行程问题的方法步骤。 【方法总结：行程问题解题策略】（3分钟） 【教师活动】通过例题1的学习，我们来总结一下用一元一次方程解决行程问题的一般步骤。 【教师活动】第一步：审题，找出已知量和未知量，明确行程类型（相遇、追及还是航行）。第二步：设未知数，可以直接设路程，也可以间接设时间。第三步：借助列表法或线形示意图分析数量关系，找出等量关系。第四步：列方程并求解。第五步：检验并作答。 【学生活动】记录解题步骤：审题→设未知数→画图分析（列表或线形示意图）→找等量关系→列方程→解方程→检验→作答。 【教师活动】特别要注意的是：在行程问题中，一定要统一单位。速度单位是km/h时，时间单位必须是小时，路程单位必须是千米。 【知识点】行程问题解题策略：1.判断行程类型；2.设未知数（直接设或间接设）；3.用列表法或线形示意图分析；4.根据等量关系列方程；5.解方程并检验。 易错提示：时间单位必须统一！速度单位是km/h，时间差如果是min，必须先换算。16min＝16/60 h＝4/15 h。另外，列方程后要检验解是否符合实际，如时间不能为负数。 【过渡语】掌握了方法之后，我们来做几道练习题，检验一下大家的学习效果。 【课堂练习1：相遇问题】（5分钟） 【教师活动】请看练习第1题：甲、乙两人从相距1200m的两地同时出发，相向而行。甲、乙步行的速度分别为70m/min和50m/min。经过多长时间两人相遇？ 【教师活动】这是一道典型的相遇问题。请同学们判断：两人是同时出发，相向而行，要求的是相遇时间。应该用什么等量关系？ 【学生活动】思考并回答：相遇问题中，甲的路程＋乙的路程＝总路程，即速度和×相遇时间＝总路程。 【教师活动】很好！请同学们设未知数，画线形示意图，列出方程。 【学生活动】设经过x min两人相遇。甲走了70x m，乙走了50x m。根据题意得：(70＋50)x＝1200，即120x＝1200，解得x＝10。 【教师活动】解得x＝10后，我们要检验：10分钟后，甲走了70×10＝700m，乙走了50×10＝500m，两人共走了700＋500＝1200m，正好等于总路程，符合题意。答：经过10min两人相遇。 【知识点】相遇问题等量关系：甲的路程＋乙的路程＝总路程，即(甲速度＋乙速度)×相遇时间＝总路程。 判断技巧：判断相遇问题的方法：两人从两地同时出发、相向而行，最终在某处相遇。关键等量关系：两人路程之和＝总路程，即速度和×相遇时间＝总路程。 【过渡语】相遇问题同学们掌握得很好。接下来我们看一道与例题1类似的变式题。 【课堂练习2：追及问题变式】（5分钟） 【教师活动】请看练习第2题：为了锻炼身体，李老师将上下班的交通方式从乘坐公交车改为骑自行车，路线不变。李老师乘公交车的平均速度为40km/h，骑自行车的平均速度为15km/h。如果骑自行车上班的时间比乘公交车多15min，那么李老师家离学校有多远？ 【教师活动】请同学们仔细读题，这道题与例题1有什么异同？ 【学生活动】分析：这道题中路程相同，但交通工具的速度不同，导致时间不同。骑自行车速度慢，所以时间更长。与例题1不同的是，这里是同一人的两种交通方式，不是两人。但本质上都是路程相同、时间不同。 【教师活动】分析得很好！设李老师家离学校x km。乘公交车时间＝x/40 h，骑自行车时间＝x/15 h。根据题意，骑自行车时间比公交车多15min，即x/15－x/40＝15/60。 【学生活动】列方程：x/15－x/40＝1/4。通分得：(8x－3x)/120＝1/4，即5x/120＝1/4，x/24＝1/4，x＝6。 【教师活动】解得x＝6，检验：乘公交车时间6/40＝0.15h＝9min，骑自行车时间6/15＝0.4h＝24min，24－9＝15min，符合题意。答：李老师家离学校6km。 【知识点】路程相同、速度不同时，时间差与速度差的关系：路程一定时，速度越快，时间越短。等量关系：慢的时间－快的时间＝时间差。 理解要点：同一路程、不同速度的问题，关键是利用时间差建立等量关系。注意：慢速交通工具用的时间更长，所以是速度慢的时间减去速度快的时间等于时间差。 【过渡语】前两道题都是在陆地上的行程问题。接下来我们看一道水上的行程问题——航行问题。 【课堂练习3：航行问题】（5分钟） 【教师活动】请看练习第3题：一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2h，从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5h。已知水流的速度是3km/h，求船在静水中的平均速度。 【教师活动】这是一道航行问题。航行问题中，顺水速度和逆水速度与静水速度、水流速度有什么关系？ 【学生活动】回答：顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度。往返路程相等。 【教师活动】很好！设船在静水中的平均速度为x km/h。则顺水速度为(x＋3)km/h，逆水速度为(x－3)km/h。顺水行驶2h的路程是2(x＋3)km，逆水行驶2.5h的路程是2.5(x－3)km。往返路程相等，请列出方程。 【学生活动】列方程：2(x＋3)＝2.5(x－3)。展开：2x＋6＝2.5x－7.5。移项：2x－2.5x＝－7.5－6，即－0.5x＝－13.5，x＝27。 【教师活动】解得x＝27。检验：顺水速度＝27＋3＝30km/h，路程＝2×30＝60km；逆水速度＝27－3＝24km/h，路程＝2.5×24＝60km。往返路程相等，符合题意。答：船在静水中的速度为27km/h。 【知识点】航行问题关键关系：顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度。往返路程相等，即顺水路程＝逆水路程。 重点强调：航行问题中，往返路程相等是最常用的等量关系。注意：水流速度影响的是船的实际速度，顺水加速、逆水减速。另外，静水速度必须大于水流速度，否则逆水无法行驶。 【过渡语】三道练习题同学们都完成得很好。下面我们来回顾一下本节课的主要内容。 【课堂小结】（5分钟） 【教师活动】针对本节课所学内容，你能说一说你都学到了哪些知识吗？ 【学生活动】回顾本节课内容：学习了用列表法和线形示意图分析行程问题中的数量关系，掌握了相遇问题、追及问题和航行问题中列方程的方法。 【教师活动】很好！我们一起来梳理一下本节课的主要内容： 【教师活动】1. 行程问题基本关系：路程＝速度×时间，速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度。 【教师活动】2. 相遇问题：总路程＝速度和×相遇时间。两人同时相向而行，路程之和等于总路程。 【教师活动】3. 追及问题：路程差＝速度差×追及时间。同地不同时出发，路程相同但时间不同。 【教师活动】4. 航行问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度。往返路程相等。 【教师活动】5. 分析方法：列表法（将速度、时间、路程填入表格）和线形示意图（用线段表示路程，直观展示数量关系）。 【知识点】本节课核心知识：相遇问题（总路程＝速度和×时间）、追及问题（路程差＝速度差×时间）、航行问题（v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水）。分析方法：列表法和线形示意图。 理解要点：解决行程问题的关键是"找等量关系"。列表法适合数据规整的问题，线形示意图适合关系复杂的问题。两种方法可以互相验证。最重要的是：统一单位，检验答案。 【过渡语】本节课我们就学到这里。课后请同学们完成练习册的相关题目，巩固今天所学的知识。 【布置作业】（2分钟） 【教师活动】今天的课后作业：1. 课本课后习题第3、4、5题；2. 预习下一节内容；3. 思考：生活中还有哪些情境可以用行程问题来解决？ 【学生活动】记录作业内容，课后完成。 四、板书设计 5.4 行程问题（第2课时） 一、基本关系 路程＝速度×时间 速度＝路程÷时间 时间＝路程÷速度 二、三种类型 1.相遇问题：总路程＝速度和×时间 2.追及问题：路程差＝速度差×时间 3.航行问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水 三、分析方法 列表法：填速度、时间、路程表格 线形示意图：画线段，标数量，找等量 四、注意事项 统一单位（min→h），检验答案 五、教学反思 1. 本节课学生哪些地方容易出错？ 2. 哪些学生需要特别关注？ 3. 教学时间分配是否合理？ 4. 实验/探究环节是否达到预期效果？ 5. 有哪些生成性问题？如何处理？ 6. 下节课如何改进？ 学科网（北京）股份有限公司 $