5.4 课时1 和差倍分问题 教案 2026-2027学年青岛版七年级数学上册

该教案聚焦用一元一次方程解决和差倍分问题，通过科普知识竞赛情境导入，衔接前序方程解法，以表格分析法为支架，帮助学生梳理数量关系，构建从实际问题到方程的转化路径。 该资料以情境教学法和表格分析法为特色，通过粮仓调运、零件配套等生活实例抽象数学模型，发展数学抽象与建模素养。分类型讲解和差、比例、配套问题，结合“审设列解答”步骤培养逻辑推理能力，助力教师高效教学，提升学生解决实际问题的能力。

课题 5.4 和差倍分问题（第1课时） 课型 新授课 课时 1课时 教材版本 青岛版数学七年级上册 教学方法 情境教学法、启发引导法、讲练结合法、探究发现法 教学用具 多媒体课件、投影 一、核心素养目标 • 【数学抽象】通过科普知识竞赛、粮仓调运等生活情境，抽象出和差倍分问题的数学模型，发展数学抽象能力 • 【逻辑推理】通过分析实际问题中的数量关系，借助表格梳理已知量和未知量，培养逻辑推理和分析问题的能力 • 【数学建模】学会用一元一次方程解决和差倍分问题，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，发展数学建模素养 • 【数学运算】能正确列出方程并求解，检验解的合理性，提高运算能力和严谨的数学思维习惯 二、教学重难点 教学重点：借助表格分析实际问题中的数量关系；列一元一次方程解决简单的和差倍分问题 教学难点：正确分析问题中的等量关系，特别是配套问题中数量之间的倍数关系；用含未知数的代数式表示其他未知量 三、教学过程 【情境导入：科普知识竞赛】（4分钟） 【教师活动】同学们，前几节课我们学习了一元一次方程的解法，那么方程在生活中有哪些实际应用呢？今天我们就来学习如何用一元一次方程解决实际问题。 【教师活动】请看大屏幕：某中学正在举办科普知识竞赛，规则如下：每次答题前需要先按响抢答器，获得抢答权，答对一次得20分，答错、答不出均扣10分。小亮按响抢答器12次，最后得120分。他答对的次数是多少？ 【学生活动】认真阅读题目，思考题目中的已知条件和未知量分别是什么。 【教师活动】请同学们思考：这道题中已知哪些量？未知量是什么？等量关系又是什么？ 【学生活动】分析并回答：已知条件是答对一次得20分、答错或答不出扣10分、共按响12次、最后得120分。未知量是答对的次数。等量关系应该是所得的分数减去扣掉的分数等于最后得分。 【教师活动】非常好！我们找到了等量关系：所得的分数－扣掉的分数＝120。但如何把答对次数和答错次数用数学式子表示出来呢？我们可以借助表格来分析。 【知识点】解决实际问题的关键步骤：①审题，明确已知量和未知量；②找等量关系；③设未知数，用含未知数的代数式表示其他未知量；④列方程；⑤解方程；⑥检验并作答。 理解要点：分析实际问题时，首先要仔细读题，找出已知条件和未知量，再寻找等量关系。等量关系是列方程的依据，是解决问题的核心。 【过渡语】下面我们借助表格来具体分析这个问题中的数量关系。 【探究一：借助表格分析数量关系】（4分钟） 【教师活动】设小亮答对的次数为x，请同学们思考：答错、答不出的次数怎么用x表示？答对得分怎么表示？答错扣分怎么表示？ 【学生活动】思考并回答：因为总共按响12次，所以答错、答不出的次数为（12－x）次。答对得分是20x分，答错扣分是10(12－x)分。 【教师活动】很好！现在我们把分析结果填入表格。表格中，横向有'答对'和'答错、答不出'两列，纵向有'次数/次'和'得(扣)分/分'两行。请大家完成表格填写。 【学生活动】填写表格：答对次数为x，答错、答不出次数为12－x；答对得分为20x，答错扣分为10(12－x)。 【教师活动】表格分析法的优势在于能够清晰地展示各个量之间的关系，不容易遗漏或混淆。同学们在今后的学习中要善于使用表格这一工具。 【知识点】表格分析法：通过列表格，将实际问题中的已知量、未知量以及它们之间的关系直观地呈现出来。设未知数后，用含未知数的代数式依次填入表格，有助于理清数量关系。 判断技巧：填表时要注意：先确定未知数，然后根据题目中的数量关系，用未知数表示其他量。如'共12次'，则答错次数＝总次数－答对次数＝12－x。 【过渡语】表格填好后，等量关系就很清楚了，接下来我们根据等量关系列出方程。 【探究二：根据等量关系列方程求解】（3分钟） 【教师活动】根据题目中的等量关系：所得的分数－扣掉的分数＝120，请同学们列出方程。 【学生活动】列出方程：20x－10(12－x)＝120。 【教师活动】正确！现在我们来解这个方程。20x－10(12－x)＝120，先去括号得20x－120＋10x＝120，合并同类项得30x－120＝120，移项得30x＝240，解得x＝8。 【学生活动】跟随老师一起解方程，理解每一步的依据。 【教师活动】x＝8表示小亮答对了8次。我们还需要检验：答对8次得160分，答错4次扣40分，160－40＝120，符合题意。所以，小亮答对8次。 【知识点】列方程的关键是找到等量关系。本题中等量关系为：答对得分－答错扣分＝最后得分。即20x－10(12－x)＝120。 易错提示：列方程时要注意：答错扣分是减去10(12－x)，不是加上。有些同学容易把'扣分'理解为加分，导致符号错误。另外，解方程后一定要检验，看结果是否符合实际意义。 【过渡语】通过刚才的探究，我们对列方程解决实际问题有了初步的体验。下面我们来总结一下列方程解决实际问题的一般步骤。 【概括总结：列方程解决实际问题的一般步骤】（5分钟） 【教师活动】请同学们回顾刚才的解题过程，思考：列方程解决实际问题经过了哪些步骤？ 【学生活动】回顾并回答：先读题审题，然后设未知数，再列方程，解方程，最后答。 【教师活动】总结得很好！列方程解决实际问题的一般步骤可以概括为五个字：审、设、列、解、答。 【教师活动】第一步审：理解题意，明确问题中的已知量、未知量。第二步设：用字母表示问题中的一个未知量，并根据问题中的数量关系用含该字母的代数式表示其他未知量。第三步列：根据等量关系，列出方程。第四步解：解方程，求出未知数的值。第五步答：写出答案。 【学生活动】认真记录五个步骤，理解每一步的含义和作用。 【教师活动】这五个步骤可以用一个框图来表示：实际问题→（设未知数、寻找等量关系）→一元一次方程→（解方程）→一元一次方程的解（x＝c）→（解释）→实际问题的解。这个框图清晰地展示了从实际问题到方程再到解的完整过程。 【知识点】列方程解决实际问题的一般步骤：①审——理解题意，明确已知量、未知量；②设——用字母表示未知量，用含该字母的代数式表示其他未知量；③列——根据等量关系列出方程；④解——解方程，求出未知数的值；⑤答——检验并写出答案。 重点强调：五个步骤中，'审'是基础，'设'是关键，'列'是核心。审题不清会导致方向错误，设元不当会增加解题难度，等量关系找不准就列不出正确的方程。每个步骤都要认真对待。 理解要点：列方程解应用题的核心思想是：将实际问题转化为数学问题（方程），用数学方法求解，再将数学解还原为实际问题的答案。这体现了数学建模的基本思想。 【过渡语】掌握了列方程解决实际问题的一般步骤，接下来我们通过例题来巩固和运用这些方法。 【例题1：粮仓问题——分析填表】（4分钟） 【教师活动】请看例1：粮仓在保障粮食安全方面发挥着重要作用。甲、乙两个粮仓共存小麦400t。如果甲粮仓运进小麦30t，乙粮仓运出小麦50t，两个粮仓所存小麦质量恰好相等，那么原来两个粮仓各存小麦多少吨？ 【教师活动】请同学们先独立审题，找出已知量和未知量，然后设甲粮仓原来存小麦x t，试通过表格用x表示问题中的其他变量。 【学生活动】审题分析：已知两仓共存400t，甲运进30t，乙运出50t后相等。未知量是原来甲、乙各存多少。设甲原来存x t，则乙原来存(400－x)t。 【教师活动】现在我们来填写表格。表格的行是'原来'和'现在'，列是'甲粮仓存小麦质量/t'和'乙粮仓存小麦质量/t'。请同学们思考每个格子应该填什么。 【学生活动】填写表格：原来甲存x t，原来乙存(400－x)t；现在甲存(x＋30)t，现在乙存(400－x)－50 t。 【教师活动】很好！根据'两个粮仓所存小麦质量恰好相等'，我们可以列出什么等量关系？ 【学生活动】回答：甲粮仓现存小麦质量＝乙粮仓现存小麦质量。 【知识点】对于含'和'的实际问题：设其中一个量为x，利用'和'的关系用含x的代数式表示另一个量。如甲、乙共存400t，设甲为x，则乙为400－x。 判断技巧：遇到'共存''共''合计'等词语时，通常可以利用'和'的关系来设未知数：设其中一个量为x，另一个量用总和减去x表示。这样可以用一个未知数表示两个量，减少未知数的个数。 【过渡语】表格填好了，等量关系也找到了，下面我们完整地写出解答过程。 【例题1：完整解答】（4分钟） 【教师活动】现在请大家跟随老师一起写出例1的完整解答过程。 【教师活动】解：设原来甲粮仓存小麦x t，则乙粮仓存小麦(400－x)t。根据题意，得x＋30＝(400－x)－50。解方程，得x＝160。此时，400－x＝240。所以，原来甲、乙两粮仓分别存有小麦160t和240t。 【学生活动】认真抄写规范的解答过程，学习解题格式。 【教师活动】请同学们注意解题的书写规范：先写'解'，然后写'设'，接着写'根据题意，得'列出方程，再写'解方程，得'，最后写'所以'或'答'。每一步都要清晰、完整。 【学生活动】理解并记忆解题格式：设→列→解→答。特别注意'根据题意，得'和'解方程，得'的规范表述。 【教师活动】我们还需要检验结果是否正确：甲原有160t，运进30t后为190t；乙原有240t，运出50t后为190t。两者相等，符合题意。检验是解题的重要环节，能帮助我们及时发现错误。 【知识点】规范的解题书写格式：设未知数→根据题意列方程→解方程→检验→作答。每一步都要有明确的文字说明，如'根据题意，得''解方程，得'等。 易错提示：列方程时要注意运算符号：乙运出50t，是(400－x)－50，不是(400－x)＋50。'运进'是加，'运出'是减。另外，解方程后务必代入原题检验，确保结果合理。 【过渡语】例1是和差问题的典型代表。接下来我们看例2，这是一个配套问题，等量关系的处理有所不同。 【例题2：零件配套问题】（5分钟） 【教师活动】请看例2：某小型企业每天能生产100个A零件或50个B零件，A、B两种零件各一个可配成一套产品。该企业在30天内最多可生产多少套产品？ 【教师活动】这道题和前面的题有什么不同？请同学们思考：题中的等量关系是什么？ 【学生活动】思考并回答：这道题涉及配套问题。A、B两种零件各一个配成一套，所以等量关系是A零件总数＝B零件总数。 【教师活动】分析得很对！设生产A零件x天，则生产B零件(30－x)天。A零件总数为100x个，B零件总数为50(30－x)个。根据'A、B两种零件各一个可配成一套产品'，可得100x＝50(30－x)。 【学生活动】理解配套问题的等量关系：配套意味着两种零件的数量满足一定的比例关系。本题中1个A配1个B，所以A的数量＝B的数量。 【教师活动】解方程：100x＝50(30－x)，去括号得100x＝1500－50x，移项得150x＝1500，解得x＝10。30－10＝20（天）。10×100＝1000（套）。答：该企业在30天内最多可生产1000套产品。 【学生活动】跟随老师完成解题过程，注意配套问题中等量关系的建立方法。 【教师活动】请同学们注意：求出x＝10天后，还需要计算产品套数。10天生产A零件1000个，20天生产B零件1000个，正好配成1000套。所以最终答案是1000套，不是10天。 【知识点】配套问题的等量关系：当A、B按1:1配套时，A的数量＝B的数量；当A、B按m:n配套时，n×A的数量＝m×B的数量。本题中1个A配1个B，所以A的产量＝B的产量。 重点强调：配套问题的关键是理解'配套'的含义。'各一个配成一套'意味着A和B的数量必须相等。如果是一个螺丝配两个螺母，则螺母数量＝螺丝数量×2。配套关系不同，等量关系也不同。 【过渡语】两个例题我们就讲到这里。下面我们通过几道练习题来检验同学们对本节课知识的掌握情况。 【随堂练习：基础巩固】（4分钟） 【教师活动】请同学们完成以下练习题。先独立完成，然后我们一起来核对答案。 【教师活动】练习1：某市中学生足球联赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分。某校中学足球代表队共比赛了8场，其中平场数是负场数的2倍，共得17分，该队胜了多少场？ 【学生活动】独立分析：设负场数为x，则平场数为2x，胜场数为8－x－2x＝8－3x。根据得分列方程：3(8－3x)＋1×2x＝17。 【教师活动】求解：3(8－3x)＋2x＝17，24－9x＋2x＝17，24－7x＝17，7x＝7，x＝1。所以负1场，平2场，胜5场。答案为5场。 【学生活动】核对答案，有错误的及时订正。注意：本题设负场数为x比设胜场数为x更方便，因为'平场数是负场数的2倍'给出了直接的倍数关系。 【教师活动】练习2：甲煤场有煤432吨，乙煤场有煤96吨，现从别的煤场调煤240吨，要使甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍，设调配到甲煤场x吨，依题意，列出的方程是什么？ 【学生活动】分析：调配到甲x吨，则调配到乙(240－x)吨。调配后甲有(432＋x)吨，乙有(96＋240－x)吨。根据'甲是乙的2倍'列方程：432＋x＝2(96＋240－x)。 【教师活动】正确！方程为432＋x＝2(336－x)，即432＋x＝672－2x。注意这里'2倍'关系是甲＝2×乙，不是乙＝2×甲，要仔细审题。 易错提示：涉及'倍'的关系时，要特别注意是谁是谁的几倍。'甲是乙的2倍'表示甲＝2×乙，列方程时不要把2乘错位置。另外，调配问题中，调给甲的增加甲的量，调给乙的增加乙的量。 【过渡语】基础练习我们就做到这里，下面我们来看两道综合性更强的练习。 【综合练习：比例与配套】（5分钟） 【教师活动】练习4：第31届夏季奥运会中国代表团共获得70枚奖牌，金、银、铜奖牌数之比为13:9:13。请问中国代表团获得金、银、铜奖牌各多少枚？ 【学生活动】分析：已知总数和比例，设每份为x枚，则金牌13x枚，银牌9x枚，铜牌13x枚。 【教师活动】很好！遇到比例问题，通常设每份为x，然后根据总数列方程。13x＋9x＋13x＝70，35x＝70，x＝2。所以金牌13×2＝26枚，银牌9×2＝18枚，铜牌13×2＝26枚。 【学生活动】理解比例问题的设元方法：设每份为x，各量按比例用x表示，利用总和列方程。 【知识点】比例问题的设元方法：当已知各量之比为a:b:c时，可设各量分别为ax、bx、cx，利用总量或某个等量关系列方程求解。 理解要点：比例问题的关键是设'每份'为x。如13:9:13，设每份为x，则三个量分别为13x、9x、13x。这样设既简洁又能保证比例关系不变。注意13x＋9x＋13x＝35x，不是直接加13＋9＋13。 【过渡语】最后我们来看一道综合性较强的螺丝螺母问题，这道题有两个小问，考查了两种不同的数量关系。 【综合练习：螺丝螺母问题】（5分钟） 【教师活动】练习5：工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44名，其中女生人数比男生人数的2倍少10，每名工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个。 【教师活动】第（1）问：该车间有男生、女生各多少名？请同学们先独立思考解答。 【学生活动】分析（1）：设男生有x名，则女生有(2x－10)名。根据总人数44列方程：x＋(2x－10)＝44，3x＝54，x＝18。所以男生18名，女生26名。 【教师活动】正确！第（2）问：已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝与螺母恰好配套，应该分配多少名工人负责生产螺丝，多少名工人负责生产螺母？ 【学生活动】分析（2）：设分配y名工人生产螺丝，则(44－y)名工人生产螺母。螺丝总产量为50y个，螺母总产量为120(44－y)个。一个螺丝配两个螺母，所以螺母数量＝螺丝数量×2，即120(44－y)＝50y×2。 【教师活动】解方程：120(44－y)＝100y，5280－120y＝100y，5280＝220y，y＝24。所以分配24人生产螺丝，20人生产螺母。答：应分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母。 【学生活动】对照答案，理解配套关系：一个螺丝配两个螺母，所以螺母数量是螺丝数量的2倍。 【知识点】配套问题的等量关系：当A与B按1:n配套时，B的数量＝n×A的数量。本题中一个螺丝配两个螺母，所以螺母数量＝2×螺丝数量，即120(44－y)＝2×50y。 重点强调：配套问题列方程时最容易出错的地方是等号两边谁乘倍数。记住口诀：'一个A配n个B，B的数量等于n倍的A'。例如一个螺丝配两个螺母，则螺母数＝2×螺丝数。千万不要把倍数乘反了。 【过渡语】练习题我们就做到这里。下面我们一起来回顾一下本节课所学的内容。 【课堂小结】（2分钟） 【教师活动】针对本节课所学内容，你能说一说你都学到了哪些知识吗？ 【学生活动】回顾本节课内容：学会了列方程解决实际问题的一般步骤——审、设、列、解、答；学会了借助表格分析实际问题中的数量关系；掌握了和差倍分问题的解题方法，包括比例问题和配套问题。 【教师活动】总结得很好！本节课我们主要学习了两方面的内容：第一，列方程解决实际问题的一般步骤，包括审题、设未知数、列方程、解方程、检验作答五个环节；第二，借助表格分析实际问题中的数量关系，这是一个非常实用的方法，能帮助我们理清思路。 【教师活动】在具体问题类型上，我们学习了和差问题（利用'和'的关系设元）、倍分问题（利用倍数关系列方程）、比例问题（设每份为x）和配套问题（根据配套关系找等量关系）。这些问题的核心都是找到正确的等量关系，列出方程求解。 【学生活动】记录本节课的知识要点，梳理各类问题的解题思路。 【知识点】本节课主要内容：列方程解决实际问题的一般步骤（审、设、列、解、答）；表格分析法；和差问题（利用'和'设元）；倍分问题（利用倍数关系列方程）；比例问题（设每份为x）；配套问题（根据配套比例找等量关系）。 理解要点：列方程解决实际问题的核心是找等量关系。不同类型的实际问题有不同的问题特征，但解题思路是相通的：审题→设元→列方程→求解→检验。表格分析法是辅助审题和设元的有力工具，建议同学们养成画表分析的习惯。 四、板书设计 5.4 和差倍分问题（第1课时） 一、列方程解决实际问题的一般步骤 审（理解题意）→ 设（设未知数）→ 列（列方程）→ 解（解方程）→ 答（检验作答） 二、表格分析法 借助表格梳理已知量和未知量，用含未知数的代数式依次填入 三、常见问题类型 1. 和差问题：利用'和'设元，如甲＋乙＝总量，设甲＝x，则乙＝总量－x 2. 倍分问题：利用倍数关系列方程 3. 比例问题：设每份为x，如a:b:c → ax, bx, cx 4. 配套问题：根据配套比例找等量关系 如1个A配n个B，则B的数量＝n×A的数量 五、教学反思 1. 本节课学生哪些地方容易出错？ 2. 哪些学生需要特别关注？ 3. 教学时间分配是否合理？ 4. 实验/探究环节是否达到预期效果？ 5. 有哪些生成性问题？如何处理？ 6. 下节课如何改进？ 学科网（北京）股份有限公司 $