5.1认识方程 教案 2026-2027学年青岛版数学七年级上册

该教案聚焦方程与一元一次方程的概念、列方程方法及方程的解等核心知识点。课堂以古诗宝塔问题导入，引导学生设未知数、找等量关系列出方程，通过对比列算式与列方程的思维差异，搭建从算术到代数的学习支架，衔接小学知识与初中方程学习。 该资料以情境教学法和探究发现法为主，通过古诗、购物、紫砂茶具制作、花坛扩建等多领域实际问题，引导学生抽象方程模型，发展数学抽象与模型意识。合作交流中对比等式归纳定义，培养逻辑推理能力，讲练结合通过检验方程的解巩固运算能力。既帮助学生建立方程思维，又为教师提供清晰的教学流程与实例，提升课堂效率。

课题 5.1 认识方程 课型 新授课 课时 1课时 教材版本 青岛版数学七年级上册 教学方法 情境教学法、探究发现法、讲练结合法、归纳类比法 教学用具 多媒体课件、投影 一、核心素养目标 • 【数学抽象】通过古诗宝塔、购物方案、花坛扩建等实际问题，抽象出方程模型，理解方程是刻画现实世界数量关系的重要数学模型，发展数学抽象能力 • 【逻辑推理】通过对比四个等式①②③④的异同，归纳概括出方程和一元一次方程的定义，培养归纳推理和逻辑思维能力 • 【直观想象】借助实际问题情境，建立文字语言与符号语言之间的联系，直观理解方程中等量关系的含义，发展几何直观 • 【数学运算】通过代入检验方程的解，巩固代数式求值运算，能判断未知数的值是否是方程的解，提高运算能力 二、教学重难点 教学重点：一元一次方程的概念；根据实际问题中的等量关系列出方程；方程的解的概念 教学难点：从实际问题中准确找出等量关系并列出方程；理解方程的解的含义，掌握检验方程的解的方法 三、教学过程 【情境导入：古诗宝塔问题】（4分钟） 【教师活动】同学们，小学时我们学过列算式解决实际问题。在学习了用字母表示数后，我们可以用含字母的式子解决实际问题。今天，我们先来看一首古诗中的数学问题。 【教师活动】我国明代数学著作《九章详注比类算法大全》中记载了一首诗：'远望嵬嵬塔七层，红光点点倍加增。共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？'这首诗描述了一个宝塔共有七层，从上到下每层红灯盏数加倍，总共381盏灯，问顶层有几盏灯？ 【教师活动】请同学们观察这首诗的插图，思考如何解决这个问题。 【学生活动】阅读古诗，理解题意：宝塔七层，每层灯数加倍，共381盏，求顶层灯数。 【教师活动】如果设宝塔顶层有x盏红灯，那么其余各层自上而下依次有多少盏？请同学们想一想。 【学生活动】思考：如果顶层有x盏，由于每层加倍，那么第二层有2x盏，第三层有4x盏，第四层有8x盏，第五层有16x盏，第六层有32x盏，第七层有64x盏。 【教师活动】非常好！下面我们根据问题中的等量关系：各层红灯盏数的和＝红灯的总盏数，来列出方程。 【知识点】列方程的关键步骤：①设未知数——用字母表示未知量；②找等量关系——分析问题中的相等关系；③列方程——将等量关系用含未知数的等式表示出来。 理解要点：从实际问题到方程，核心是'翻译'——把文字语言翻译成数学符号语言。找等量关系是关键，通常题目中的'共''等于''是'等词语暗示了等量关系。 【过渡语】刚才我们用设未知数的方法列出了方程，那么列方程与列算式有什么不同呢？我们继续探究。 【探究一：列出方程——宝塔问题】（3分钟） 【教师活动】根据各层红灯盏数，我们可以写出方程：x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x＝381。这说明：设未知数解决问题时，可以直接用含已知数和未知数的等式表示等量关系。 【教师活动】而列算式解决问题时，算式中只含已知数。这就是列方程与列算式的一个重要区别——列方程可以把未知数直接参与运算，使思路更清晰。 【学生活动】理解：方程中含有未知数，未知数可以参与运算；算式中只含已知数。方程使解题思路更直接。 【知识点】列方程vs列算式：列方程时，未知数用字母表示，可以直接参与运算；列算式时，只能用已知数进行运算。列方程往往使解题思路更加直接、清晰。 对比理解：列算式是'逆向思维'（从结果倒推），列方程是'顺向思维'（直接表达等量关系）。对于复杂问题，列方程的方法更简便。 【过渡语】除了古诗中的宝塔问题，生活中还有很多实际问题都可以用方程来解决。下面我们来看几个例子。 【探究二：列出方程——练习本购买方案】（4分钟） 【教师活动】问题(1)：顾客购买某种练习本时有两种方案。方案一：直接按每册10元购买。方案二：先交会员费20元，之后按照每册8元购买。请问购买多少册练习本时两种方案的费用相等？ 【教师活动】请同学们先独立思考：设购买x册练习本，则方案一的费用是多少？方案二的费用是多少？ 【学生活动】思考并回答：方案一的费用是10x元，方案二的费用是(8x＋20)元。 【教师活动】很好！根据问题中的等量关系：方案一的费用＝方案二的费用，我们可以列出方程：10x＝8x＋20。 【学生活动】理解等量关系的建立过程，在练习本上记录方程。 【知识点】列方程的基本步骤：①设未知数x；②用含x的代数式表示各量；③根据等量关系列出方程。 易错提示：列方程时务必注意：方案二的费用是8x＋20，不是8(x＋20)！要先明确每册8元是购买x册的费用，再加上固定会员费20元。 【过渡语】刚才我们处理了购物中的方程问题，下面我们来看一个生产中的实际问题。 【探究三：列出方程——紫砂茶具制作】（4分钟） 【教师活动】问题(2)：某工厂生产紫砂茶具套装，每套茶具包含1把茶壶和6只茶杯。已知1kg紫砂泥可制作2把茶壶或8只茶杯。现要用15kg紫砂泥制作茶具套装，工厂应各分配多少千克的紫砂泥制作茶壶和茶杯？ 【教师活动】请同学们思考：设制作茶壶的紫砂泥为x kg，则制作茶杯的紫砂泥为多少kg？茶壶和茶杯的数量各是多少？ 【学生活动】思考并回答：制作茶杯的紫砂泥为(15－x)kg。1kg紫砂泥可做2把茶壶，所以x kg可做2x把茶壶；1kg可做8只茶杯，所以(15－x)kg可做8(15－x)只茶杯。 【教师活动】非常好！根据等量关系：茶杯数量＝茶壶数量的6倍（因为每套茶具1壶配6杯），我们可以列出方程：8(15－x)＝6×2x。 【学生活动】理解配套问题中的等量关系：茶杯数量必须是茶壶数量的6倍，才能配套。 【知识点】配套问题的等量关系：茶杯数量＝茶壶数量×6，或写成茶杯数量÷茶壶数量＝6。配套问题中，关键是找到两种物品数量之间的倍数关系。 重点强调：配套问题中，等量关系来自'一套包含几件'的具体要求。本例中1壶配6杯，所以茶杯总数＝茶壶总数×6。注意不要将倍数关系搞反！ 【过渡语】下面我们来看一个几何图形中的方程问题。 【探究四：列出方程——花坛扩建】（4分钟） 【教师活动】问题(3)：如图，将一个正方形花坛的两边分别延长2m，扩建成一个长方形花坛，扩建后整个花坛的面积为35m²。原正方形花坛的边长为多少？ 【教师活动】请同学们观察图中的花坛扩建示意图。设原正方形花坛的边长为x m，请思考扩建后花坛的面积由哪几部分组成？ 【学生活动】观察图形并思考：原花坛的面积为x² m²，扩建部分为一个宽为2m的长方形，面积为2x m²。扩建后花坛总面积＝x²＋2x。 【教师活动】根据等量关系：原花坛的面积＋扩建部分的面积＝扩建后花坛的面积，我们可以列出方程：x²＋2x＝35。 【学生活动】在练习本上画出示意图，理解面积关系，记录方程。 【知识点】几何问题中的等量关系：通常根据面积公式、周长公式或图形之间的数量关系建立方程。本例利用了面积的可加性。 解题技巧：几何问题列方程时，画出示意图非常关键。把图形分割成几个部分，分别用含x的代数式表示各部分的面积，然后根据总面积关系列出方程。 【过渡语】现在我们已经列出了四个不同的方程，接下来我们比较一下这些方程，看看它们有什么共同特征。 【合作交流：比较四个等式的异同】（3分钟） 【教师活动】请同学们观察刚才我们列出的四个等式：①x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x＝381；②10x＝8x＋20；③8(15－x)＝6×2x；④x²＋2x＝35。这些等式有什么相同点和不同点？ 【学生活动】小组讨论，比较四个等式。相同点：都含有未知数，都是等式，都是用等号连接的。不同点：①②③中含有未知数的项的次数都是1次，④中含有未知数x²（次数为2）；①②③的未知数只有一个，④也只有一个未知数但次数不同。 【教师活动】同学们观察得很仔细！这四个等式都含有未知数，都是等式。但①②③中未知数的次数都是1，而④中未知数的最高次数是2。数学家们把①②③这类方程称为一元一次方程。 【知识点】方程的两个基本要素：①含有未知数；②是等式。两者缺一不可。一元一次方程还要满足：①只含一个未知数（一元）；②未知数的次数都是1（一次）；③等号两边都是整式。 理解要点：判断是否为一元一次方程，看三个条件：一、只含一个未知数；二、未知数的最高次数为1；三、等号两边都是整式（分母中不含未知数）。三个条件缺一不可。 【过渡语】下面我们正式来学习方程和一元一次方程的概念。 【新知归纳：方程与一元一次方程的概念】（5分钟） 【教师活动】为了求出问题中的未知数，可以引入字母表示未知数，再根据等量关系建立含有未知数的等式，这样的等式叫作方程。 【教师活动】方程中只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程。 【学生活动】在课本上勾画方程和一元一次方程的定义，理解关键词：'含有未知数''等式''一个未知数''次数都是1''整式'。 【教师活动】请同学们注意：'一元'指的是方程中只含有一个未知数，'一次'指的是未知数的最高次数是1，'方程'指的是含有未知数的等式。这三个条件合起来就是一元一次方程。 【教师活动】例如，方程10x＝8x＋20中，只含有一个未知数x，x的次数都是1，等号两边都是整式，所以它是一元一次方程。而方程x²＋2x＝35中，含有x²项，未知数的最高次数是2，所以它不是一元一次方程。 【学生活动】理解并记忆：方程必须同时满足'有未知数'和'是等式'两个条件。一元一次方程在此基础上还要满足'一元''一次''整式'三个条件。 【知识点】方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。一元一次方程的定义：方程中只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。 重点强调：一元一次方程的三个条件：①只含一个未知数（一元）；②未知数的次数都是1（一次）；③等号两边都是整式（分母不含未知数）。三个条件缺一不可！x²＋2x＝35不是一元一次方程，因为x²的次数是2。 【过渡语】学习了方程和一元一次方程的概念后，我们来练一练如何判断一个式子是否是一元一次方程。 【概念辨析：判断一元一次方程】（3分钟） 【教师活动】请同学们判断：下列选项中，哪些是一元一次方程？A. 2x＋y＝5 B. x²－4＝0 C. 3x＋1＝7 D. 1/x＝2 【学生活动】独立思考并判断：A选项含有两个未知数x和y，不是一元；B选项未知数x的次数为2，不是一次；C选项只含有一个未知数x，次数为1，等号两边都是整式，是一元一次方程；D选项分母中含有未知数x，不是整式方程。所以选C。 【教师活动】正确答案是C。我们来逐一分析：A有两个未知数，违反'一元'；B中x²次数为2，违反'一次'；D中1/x不是整式，违反'整式'。只有C同时满足三个条件。大家都判断对了吗？ 【学生活动】对照答案检查自己的判断，理解每个选项不符合一元一次方程定义的具体原因。 【知识点】判断一元一次方程的方法：一看未知数个数（是否只有一个），二看未知数最高次数（是否为1），三看等号两边是否都是整式。 易错提示：分母中含有未知数的式子不是整式方程，所以不是一元一次方程。例如1/x＝2、3/(x－1)＝5等都不是一元一次方程。另外，含有两个未知数如x＋y＝5的也不是一元一次方程。 【过渡语】了解了方程的概念，我们自然会想：方程中的未知数到底是多少呢？这就引出了方程的解的概念。 【新知探究：方程的解】（5分钟） 【教师活动】我们来看方程10x＝8x＋20。当x＝10时，左边＝10×10＝100，右边＝8×10＋20＝100。因为左边＝右边，所以x＝10就是方程10x＝8x＋20的解。 【教师活动】再看方程8(15－x)＝6×2x。当x＝6时，左边＝8×(15－6)＝72，右边＝6×2×6＝72。因为左边＝右边，所以x＝6就是方程8(15－x)＝6×2x的解。 【学生活动】跟随教师的讲解，理解检验方程的解的方法：将未知数的值代入方程两边，分别计算左右两边的值，看是否相等。 【教师活动】使方程的等号两边相等的未知数的值叫作方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫作方程的根。请同学们记住这个定义。 【教师活动】检验一个数是否是方程的解的方法：第一步，将这个数代入方程左边，计算左边的值；第二步，将这个数代入方程右边，计算右边的值；第三步，比较左右两边是否相等。如果相等，这个数就是方程的解；如果不相等，就不是。 【学生活动】在课本上标注方程的解的定义，记录检验方法的三步流程。 【知识点】方程的解的定义：使方程的等号两边相等的未知数的值叫做方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫作方程的根。检验方法：代入→计算→比较。 理解要点：方程的解是一个数值，不是方程本身。检验方程的解的方法是'代入检验法'：将数值代入方程，看看左右两边是否相等。相等则是解，不等则不是解。 【过渡语】下面我们通过例题来巩固检验方程的解的方法。 【课堂检测】（5分钟） 【教师活动】下面我们来做几道课堂检测题，检验同学们对本节课知识的掌握情况。 【教师活动】1. 根据题意列出方程：(1) x的2倍与18的和等于54；(2) 27与x的差的一半等于x的4倍。 【学生活动】独立完成，列出方程：(1) 2x＋18＝54；(2) (27－x)/2＝4x。 【教师活动】核对答案：(1) 2x＋18＝54，正确。注意'x的2倍'是2x，'与18的和'是＋18，'等于54'是＝54。(2) (27－x)/2＝4x，正确。注意'27与x的差'是27－x，'的一半'是除以2，'等于x的4倍'是＝4x。 【教师活动】2. 根据题意列出方程：(3) 一个长方形的宽为x cm，长比宽多5cm，面积为36 cm²；(4) 书包的单价为128元，文具盒的单价为x元，购买2个书包和5个文具盒共需351元。 【学生活动】独立完成：(3) x(x＋5)＝36；(4) 2×128＋5x＝351。 【教师活动】核对答案：(3) x(x＋5)＝36，因为长＝宽＋5＝(x＋5)cm，面积＝长×宽＝x(x＋5)＝36。(4) 2×128＋5x＝351，两个书包共2×128＝256元，五个文具盒共5x元，合计351元。 【教师活动】3. 检验下列方程后面括号里的数是不是方程的解：(1) 2x＋18＝54（x＝3）；(2) x(x＋5)＝36（x＝3） 【学生活动】检验：当x＝3时，(1)左边＝2×3＋18＝24，右边＝54，左边≠右边，所以x＝3不是方程2x＋18＝54的解。(2)左边＝3×(3＋5)＝24，右边＝36，左边≠右边，所以x＝3不是方程x(x＋5)＝36的解。 【教师活动】正确！x＝3既不是方程(1)的解，也不是方程(3)的解。大家都做对了吗？要注意检验时必须分别计算左右两边的值再比较。 【知识点】列方程的关键：准确翻译文字语言为数学符号语言。'倍'→乘法，'和'→加法，'差'→减法，'一半'→除以2，'等于'→等号。检验方程的解的关键：代入→计算→比较，三步缺一不可。 解题技巧：列方程时，养成先找'等于'关键词的习惯，等号两边分别写代数式。检验时，左边和右边分别计算，不要合并计算，以免出错。 【过渡语】课堂检测就到这里。下面我们来看一道能力提升题，挑战一下自己。 【能力提升】（3分钟） 【教师活动】甲、乙两班共有学生95人，甲班人数比乙班人数的2倍还多5人，求甲、乙两班各有多少人？设乙班有x人，请列出方程。 【学生活动】思考并解答：设乙班有x人，则甲班有(2x＋5)人。根据等量关系'甲班人数＋乙班人数＝95'，列出方程：x＋(2x＋5)＝95。 【教师活动】很好！现在我们检验乙班、甲班人数是不是分别为25人和35人。将x＝25代入方程：左边＝25＋(2×25＋5)＝25＋55＝80，右边＝95，左边≠右边，所以x＝25不是方程的解，即乙班不是25人、甲班不是35人。 【学生活动】理解检验过程，体会方程的解必须是使方程两边相等的未知数的值。 【知识点】检验方程的解时，不能只凭感觉，必须通过代入计算来验证。方程的解是确定的数值，不同的未知数值代入方程，结果可能不同。 重点强调：检验方程的解时，要把未知数的值代入原方程，而不是代入变形后的式子。同时，检验结果只说明这个值是不是方程的解，不能说明方程的解是多少。 【过渡语】同学们，通过这节课的学习，我们认识了方程。下面我们一起来总结一下本节课的收获。 【课堂小结】（2分钟） 【教师活动】针对本节课所学内容，你能说一说你都学到了哪些知识吗？ 【学生活动】回顾本节课内容：我学会了方程和一元一次方程的定义，知道了方程必须满足'含有未知数'和'是等式'两个条件。一元一次方程还要满足'一元''一次''整式'三个条件。我还学会了从实际问题中找等量关系列方程，以及检验方程的解的方法。 【教师活动】很好！我们来梳理一下本节课的主要内容： 【教师活动】1. 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。 【教师活动】2. 一元一次方程的定义：方程中只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。 【教师活动】3. 列方程的方法：设未知数→找等量关系→列方程。 【教师活动】4. 方程的解的定义：使方程的等号两边相等的未知数的值叫做方程的解。 【教师活动】5. 检验方程的解的方法：代入→计算→比较。 【知识点】本节课核心内容：方程的定义（两个要素）、一元一次方程的定义（三个条件）、列方程的方法（三步）、方程的解的定义及检验方法（三步）。 理解要点：方程是解决实际问题的重要工具，它把未知数引入运算，使解题思路更直接。本节课是后续学习解一元一次方程的基础，务必掌握方程的概念和列方程的方法。 四、板书设计 5.1 认识方程 一、方程 1. 定义：含有未知数的等式叫做方程 2. 两个要素：①含有未知数 ②是等式 二、一元一次方程 1. 定义：只含一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式 2. 三个条件：①一元 ②一次 ③整式 三、列方程的方法 ①设未知数 → ②找等量关系 → ③列方程 四、方程的解 1. 定义：使方程两边相等的未知数的值 2. 检验方法：①代入 → ②计算 → ③比较 五、教学反思 1. 本节课学生哪些地方容易出错？ 2. 哪些学生需要特别关注？ 3. 教学时间分配是否合理？ 4. 实验/探究环节是否达到预期效果？ 5. 有哪些生成性问题？如何处理？ 6. 下节课如何改进？ 学科网（北京）股份有限公司 $