11.5.2 公式法-课件-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦11.5.2公式法因式分解，核心知识点为平方差公式和完全平方公式的逆用。课堂导入通过回顾整式乘法公式，衔接之前的提公因式法，构建从乘法到因式分解的知识支架，帮助学生理解公式结构与应用逻辑。 其亮点在于分层递进的习题设计与核心易错总结，通过基础题巩固公式识别，综合题强化“先提后套”步骤，拓展题（如正方形面积问题）培养应用意识。结合抽象能力（公式结构辨析）和运算能力（分解步骤训练），学生能规范解题，教师可借助详细解析提升教学效率。

华东师大版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月10日 11.5.2 公式法 第11章 整式的乘除 华东师大版八年级上册11.5.2 公式法练习题 本次练习题紧扣华东师大版八年级上册11.5.2公式法核心知识点，是继提公因式法之后的第二种核心因式分解方法，依托之前所学的平方差、完全平方公式逆用解题，是因式分解的重点必考内容。本节重点考查平方差公式、完全平方公式的结构识别、基础公式分解、先提公因式再套公式的综合运算、公式变形应用，针对性解决公式混淆、结构判断错误、分解不彻底、漏提公因式、符号出错等高频易错问题。习题分层递进、题型贴合课本考点，适配课后巩固与随堂检测，所有题目均配有标准详细解析，帮助学生熟练掌握公式法因式分解的解题思路和规范步骤。 一、基础填空题（每空3分，共30分） 1. 因式分解平方差公式：$$a^2-b^2=$$________；完全平方和公式：$$a^2+2ab+b^2=$$________；完全平方差公式：$$a^2-2ab+b^2=$$________。 2. 分解因式：$$x^2-25=$$________。 3. $$4a^2-9b^2=$$________；$$x^2+4x+4=$$________。 4. 分解因式：$$m^2-6m+9=$$________。 5. $$2x^2-8=$$________（彻底分解）。 6. 若多项式$$x^2+kx+16$$是完全平方式，则k=________。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列多项式能用平方差公式因式分解的是（） A. $$x^2+4$$ B. $$x^2-2$$ C. $$-x^2+4$$ D. $$x^2-2x+1$$ 2. 下列多项式属于完全平方式的是（） A. $$a^2+2a-1$$ B. $$a^2-4a+4$$ C. $$a^2+ab+b^2$$ D. $$a^2-2a-1$$ 3. 分解因式$$9x^2-y^2$$的结果是（） A. $$(9x+y)(9x-y)$$ B. $$(3x+y)(3x-y)$$ C. $$(3x-y)^2$$ D. $$(3x+y)^2$$ 4. 分解因式$$x^2-8x+16$$的结果是（） A. $$(x-4)^2$$ B. $$(x+4)^2$$ C. $$(x-8)^2$$ D. $$(x+8)^2$$ 5. 多项式$$2a^2-8a+8$$分解彻底的结果是（） A. $$2(a^2-4a+4)$$ B. $$2(a-2)^2$$ C. $$(2a-4)^2$$ D. $$2(a-2)(a+2)$$ 三、基础解答题（每题10分，共30分） 1. 直接利用公式分解因式： （1）$$16x^2-25y^2$$ （2）$$a^2-12a+36$$ 2. 先提公因式再用公式分解： （1）$$3x^2-12$$ （2）$$-2a^3+8a^2-8a$$ 3. 综合分解因式：$$(x-1)^2-4$$ 四、拓展应用题（20分） 已知正方形的面积为$$x^2-10x+25$$（$$x>5$$），求该正方形的边长。 参考答案与详细解析 一、填空题 1. $$(a+b)(a-b)$$；$$(a+b)^2$$；$$(a-b)^2$$ 解析：公式法因式分解三大核心公式，是整式乘法公式的逆用，必须精准识记结构。 2. $$(x+5)(x-5)$$ 解析：直接套用平方差公式，两数平方相差，分解为两数和与差的积。 3. $$(2a+3b)(2a-3b)$$；$$(x+2)^2$$ 解析：分别运用平方差公式和完全平方和公式，准确识别公式中的对应项。 4. $$(m-3)^2$$ 解析：首尾平方、中间为两倍乘积，符合完全平方差公式结构。 5. $$2(x+2)(x-2)$$ 解析：先提取公因式2，再用平方差公式分解，保证分解彻底。 6. $$\pm8$$ 解析：完全平方式一次项系数有正负两种情况，$$k=\pm2\times4=\pm8$$。 二、选择题 1. C 解析：平方差公式需满足两项、平方、异号，$$-x^2+4=4-x^2$$符合结构特征。 2. B 解析：完全平方式为首尾平方、中间两倍乘积，只有B符合完整结构。 3. B 解析：$$9x^2=(3x)^2$$，直接套用平方差公式，结果为$$(3x+y)(3x-y)$$。 4. A 解析：原式符合完全平方差公式，分解得$$(x-4)^2$$。 5. B 解析：先提公因式2，剩余部分为完全平方式，分解至不能再分解为止。 三、解答题 1. 解析：（1）原式$$=(4x+5y)(4x-5y)$$；（2）原式$$=(a-6)^2$$，精准套用对应公式分解。 2. 解析：（1）原式$$=3(x^2-4)=3(x+2)(x-2)$$；（2）原式$$=-2a(a^2-4a+4)=-2a(a-2)^2$$，遵循“先提后套”的解题顺序。 3. 解析：原式$$=(x-1)^2-2^2=(x-1+2)(x-1-2)=(x+1)(x-3)$$，整体套用平方差公式分解。 四、拓展应用题 解：对面积多项式因式分解，$$x^2-10x+25=(x-5)^2$$。因为正方形边长为正数，且$$x>5$$，所以正方形边长为$$x-5$$。答：该正方形的边长为$$x-5$$。 核心易错总结：本节核心解题原则先提公因式，再套公式，分解要彻底；高频易错点为混淆平方差与完全平方公式、未提公因式直接套公式、分解不彻底、完全平方式漏正负两种情况；牢记公式结构：平方差是两项异号平方，完全平方是三项首尾平方、中间两倍交叉项，熟练区分、灵活运用。 还记得前面学过的乘法公式吗？ 平方差公式： 两数和（差）的平方公式： a2 - b2 = (a + b)(a - b) (a ± b)2 = a2 ±2ab + b2 有一位张大爷租了一块“十字形”土地(如图).为了便于种植，张大爷提出换一块同等面积的长方形土地耕种. a b b a b2 b2 b2 b2 由题意可得： 十字形土地面积＝a2－4b2， 长方形土地：长×宽＝a2－4b2 长方形土地的长和宽可以是多少？ 想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？ 是 a，b 两数的平方差的形式 ) )( ( b a b a - + = 2 2 b a - ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - 整式乘法 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： 运用平方差公式因式分解 1 √ √ × × 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ √ √ ★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2 - ( )2的形式. （1）x2 + y2 （2）x2 - y2 （3） - x2 - y2 - ( x2 + y2 ) y2 - x2 （4） - x2 + y2 （5）x2 - 25y2 ( x + 5y )( x - 5y ) （6）m2 - 1 ( m + 1 )( m - 1 ) ( x + y )( x - y ) ( y + x)( y - x ) = (5x+4y)(5x-4y). 例1 分解因式： a a b b ( + ) ( - ) a2 - b2 = 解：(1)原式 = 5x 4y 5x 5x 4y 4y (2)原式 a b 4y (5x)2 - (4y)2 典例精析 (1) 25x²－16y²； 方法总结：公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 方法总结 例2 分解因式： ………… 一提（公因式） …… 二套（公式） 三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止） 分解因式的一般步骤 解：(1)原式 = ( x2 )2 - ( y2 )2 = ( x2 + y2 )( x2 - y2 ) = ( x2 + y2 )( x - y )( x - y ). (1) x4－y4； (2) 3x3－12xy2. (2) 原式 = 3x(x²－4y2) = 3x[ x²－(2y)2 ] = 3x(x＋2y)(x－2y). 典例精析 两数和(或差)平方公式： 两数和(或差)平方公式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2 倍. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. =（a ± b）2 运用两数和(或差)平方公式因式分解 2 凡具备这些特点的三项式，就是两数和(或差)平方公式，将它写成两数和(或差)平方形式，便实现了因式分解. a2 2 a b b2 ± . + . = (a ± b)² 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，两数和(或差)平方公式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 3、x² + 4xy + 4y² = ( )² + 2·( )·( ) + ( )² = ( )² 2、m² - 6m + 9 = ( )² - 2·( )·( ) + ( )² = ( )² 1、a² + 4a + 4 = ( )² + 2·( )·( ) + ( )² = ( )² a 2 a + 2 x x 2y x + 2y 2y 对照公式 a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 进行因式分解，你会吗？ m m - 3 3 a 2 m 3 a2 2 a b b2 ± . + . = (a ± b)² 下列各式是不是两数和(或差)平方公式？ （1）a2 - 6a + 9； （2）1 + 4a²； （3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2； （5）x2 + x + 0.25. 是 （2）因为它只有两项. 不是 （3）4b² 与 - 1 的符号不统一. 不是 分析： 不是 是 （4）中间项缺 2 倍. 例3 分解因式： （1）16x2 + 24x + 9； （2）-x2 + 4xy - 4y2. 分析：(1)中，16x2 = (4x)2， 9 = 3²，24x = 2·4x·3， 所以 16x2 + 24x + 9 是一个两数和平方公式，即 16x2 + 24x + 9 = (4x)2 + 2×4x·3 + 32. 2 a b b2 a2 (2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 -(x2 - 4xy+ 4y2)，然后再利用公式分解因式. 解： (1) 16x2 + 24x + 9 = ( 4x + 3 )2. = ( 4x )2 + 2·4x·3 + ( 3 )2 (2) -x2 + 4xy - 4y2 = -( x2 - 4xy + 4y2 ) = -( x - 2y )2. 例4 把下列各式分解因式： （1）4x3y + 4x2y2 + xy3；（2）(a+b)2 - 12(a + b) + 36. 分析：（1）中有公因式 xy，应先提出公因式，再进一步分解因式； （2）中将 a + b 看成一个整体，设 a + b = m，则原式化为 m2 - 12m + 36. 解：(1)原式 = xy(4x2 - 4xy + y2) = xy(2x - y)2. (2)原式 = (a + b)2 - 2·(a + b)·6 + 62 = (a + b - 6)2. 15 例5 利用两数和(或差)平方公式简便计算： (1) 1002 - 2×100×99 + 99²； (2) 342 + 34×32 + 162. 解：(1) 原式 = (100 - 99)² (2) 原式 = (34 + 16)2 本题利用两数和(或差)平方公式分解因式，可以简化计算. = 1. = 2500. 1．[知识初练]因为(x＋9)(x－9)＝x2－81，所以x2－81可以因式分解为____________． 1星题 夯实四基 (x＋9)(x－9) 中考考法 2．分解因式：4a2－1＝(　　) A．(2a－1)(2a＋1) B．(a－2)(a＋2) C．(a－4)(a＋1) D．(4a－1)(a＋1) A 中考考法 3. 【新考法】课堂上老师在黑板上布置了如图所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？(　　) A ．第(1)道题 B．第(2)道题 C．第(3)道题 D．第(4)道题 C 用平方差公式分解因式： (1)a2－b2；(2)81x2－4y2z2； (3)－x2－y2；(4)36m2n2－9p2. 中考考法 4. (整体思想)已知x2－y2＝－1，x＋y＝ ，则x－y＝____． －2 中考考法 5．把下列各式分解因式： (1)1－25b2； 解：原式＝(1＋5b)(1－5b)． (2)a2b2－4. 解：原式＝(ab＋2)(ab－2)． 中考考法 6．[知识初练]因为(x＋6)2＝x2＋12x＋36，所以多项式x2＋12x＋36可以因式分解为________． (x＋6)2 中考考法 7．因式分解4－4a＋a2正确的是(　　) A．(2－a)2 B．(2＋a)2 C．(2－a)(2＋a) D．4(1－a)＋a2 A 中考考法 8．若多项式x2＋6x＋k能用两数和的平方公式进行因式分解，则正整数k的值等于________． 9 中考考法 9．在多项式：①x2＋2xy－y2；②－x2＋2xy－y2；③x2＋xy＋y2；④1＋x＋ 中，能用两数和(差)的平方公式分解因式的是________．(填序号) ②④ 中考考法 10．把下列各式分解因式： (1)x2＋18x＋81； 解：原式＝(x＋9)2. (2)3a2＋6ab＋3b2； (3)－x2＋4xy－4y2； (4)9(x＋y)2－6(x＋y)＋1. 解：原式＝3(a＋b)2. 解：原式＝－(x－2y)2. 解：原式＝(3x＋3y－1)2. 中考考法 11. 【新情境】数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是(　　) A．甲：M＋N B．乙：M－N C．丙：N＋P D．丁：N－P D 2星题 提升四能 中考考法 12.(整体思想)若ab＝2，b－a＝3，则－a3b＋2a2b2－ab3的值为________． －18 中考考法 13．把下列各式分解因式： (1)a4－81b4； 解：原式＝(a2＋9b2)(a2－9b2)＝(a2＋9b2)(a＋3b)(a－3b)． (2)a4－2a2＋1； 解：原式＝(a2)2－2a2＋1＝(a2－1)2＝[(a＋1)(a－1)]2＝(a＋1)2(a－1)2. 中考考法 (3)(x2－12)2＋6(x2－12)＋9. 解：原式＝(x2－12＋3)2＝(x2－9)2＝[(x＋3)(x－3)]2＝(x＋3)2(x－3)2. 中考考法 14. 【新趋势·代数推理】请通过计算说明：对于任意整数n，多项式(n＋6)2－(n－2)2的值都能被16整除． 解：(n＋6)2－(n－2)2＝[(n＋6)－(n－2)][(n＋6)＋(n－2)]＝8(2n＋4)＝16(n＋2)， 因为n为整数，所以n＋2为整数，所以对于任意整数n，多项式(n＋6)2－(n－2)2的值都能被16整除． 中考考法 15.(高阶思维·批判性思维)下面是某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程． 解：设x2－4x＝y，则 原式＝(y＋2)(y＋6)＋4(第一步) ＝y2＋8y＋16(第二步) ＝(y＋4)2(第三步) ＝(x2－4x＋4)2.(第四步) 3星题 发展素养 中考考法 (1)该同学第二步到第三步运用的方法是(　　) A．提公因式法 B．公式法 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？________．(填“彻底”或“不彻底”)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：____________； B 不彻底 (x－2)4 中考考法 (3)请你仿照以上方法尝试对多项式(x2＋2x)(x2＋2x＋2)＋1进行因式分解． 解：设x2＋2x＝y，则(x2＋2x)(x2＋2x＋2)＋1＝y(y＋2)＋1＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2＝(x2＋2x＋1)2＝(x＋1)4. 中考考法 公式法因式分解 公式 平方差公式：a2-b2 = (a + b)(a - b) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 两数和(或差)平方公式： a2±2ab＋b2 = (a±b)2 课堂小结 $