11.5.1 提公因式法-课件-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦八年级上册“提公因式法”核心知识点，通过回顾整式乘法公式引导学生逆向思考，建立因式分解与整式乘法的互逆关系，构建从定义理解到公因式确定的学习支架，帮助学生逐步掌握提公因式法的规范步骤。 其亮点在于分层递进的习题设计与典型错误案例分析，通过基础填空、选择及拓展应用培养学生抽象能力和运算能力，结合“首项有负常提负”等核心总结强化模型意识。详细解析与易错点归纳助力学生巩固知识，教师可直接用于随堂检测与课后巩固，提升教学效率。

华东师大版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月10日 11.5.1 提公因式法 第11章 整式的乘除 华东师大版八年级上册11.5.1 提公因式法练习题 本次练习题紧扣华东师大版八年级上册11.5.1提公因式法核心知识点，是因式分解的第一种基础方法，与之前的整式乘法互为逆运算，是后续公式法因式分解、分式运算、解方程的重要铺垫。本节重点考查因式分解的定义判断、公因式的寻找方法、单项式公因式、多项式公因式的提取、符号变形及化简应用，针对性解决找不全公因式、漏提常数项、符号变换错误、分解不彻底等高频易错问题。习题分层递进、题型贴合课本考点，适配课后巩固与随堂检测，所有题目均配有详细解析，帮助学生熟练掌握提公因式法的规范解题步骤。 一、基础填空题（每空3分，共30分） 1. 把一个多项式化为几个整式的________的形式，叫做因式分解；提公因式法的关键是找出多项式各项的________。 2. 多项式$$3x^2+6x$$的公因式是________；多项式$$4a^2b-6ab^2$$的公因式是________。 3. 分解因式：$$5x^2-10x=$$________。 4. 分解因式：$$3a^2b-9ab^2+12ab=$$________。 5. $$-2x^2+4x=$$$$-2x($$________$$)$$。 6. 分解因式：$$(x-y)^2+(x-y)=$$________。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列变形属于因式分解的是（） A. $$x^2+2x=x(x+2)$$ B. $$x(x+2)=x^2+2x$$ C. $$x^2+2x=x^2(1+\dfrac{2}{x})$$ D. $$x^2+2x=x(x+2)+0$$ 2. 多项式$$6m^3n-9m^2n^2$$的公因式是（） A. $$3mn$$ B. $$3m^2n$$ C. $$6m^2n$$ D. $$9m^2n^2$$ 3. 分解因式$$4x^2-8xy$$的结果正确的是（） A. $$4x(x-2y)$$ B.$$4x^2(1-2xy)$$ C. $$2x(2x-4y)$$ D. $$4xy(x-2)$$ 4. 多项式$$a(x-y)-b(x-y)$$分解因式的结果是（） A. $$(a-b)(x-y)$$ B. $$(a+b)(x-y)$$ C. $$(x-y)(a-b)$$ D. $$a(x-y-b)$$ 5. 分解因式$$-3a^2+6a$$的结果是（） A. $$-3a(a-2)$$ B. $$-3a(a+2)$$ C. $$3a(a-2)$$ D. $$-3(a^2-2a)$$ 三、基础解答题（每题10分，共30分） 1. 用提公因式法分解下列因式： （1）$$8x^3-12x^2$$ （2）$$5a^2b-15ab^2+20abc$$ 2. 分解因式（含负号公因式）：$$-6x^3+9x^2-3x$$ 3. 整体提公因式分解：$$2(m-n)^2-4(n-m)$$ 四、拓展应用题（20分） 利用因式分解简便计算：$$2025\times45-2025\times35$$。 参考答案与详细解析 一、填空题 1. 积；公因式 解析：因式分解是整式乘法的逆运算，提公因式法的核心是提取各项公共因式。 2. $$3x$$；$$2ab$$ 解析：公因式取各项系数最大公因数、相同字母最低次幂。 3. $$5x(x-2)$$ 解析：提取公因式$$5x$$，剩余部分逐项化简。 4. $$3ab(a-3b+4)$$ 解析：完整提取各项公因式$$3ab$$，保证每一项均化简彻底。 5. $$x-2$$ 解析：提取负公因式，括号内各项全部变号。 6. $$(x-y)(x-y+1)$$ 解析：把$$x-y$$看作整体，提取整体公因式。 二、选择题 1. A 解析：因式分解是和差化积，B是整式乘法，C出现分式不是整式，D未化成积的形式。 2. B 解析：系数最大公因数为3，相同字母最低次幂为$$m^2n$$，公因式为$$3m^2n$$。 3. A 解析：提取最大公因式$$4x$$，分解彻底，其余选项分解不彻底或因式错误。 4. A 解析：整体提取公因式$$x-y$$，合并剩余因式即可。 5. A 解析：首项为负先提负号，括号内各项变号，结果为$$-3a(a-2)$$。 三、解答题 1. 解析：（1）原式$$=4x^2(2x-3)$$；（2）原式$$=5ab(a-3b+4c)$$，提取最大公因式，分解彻底。 2. 解析：原式$$=-3x(2x^2-3x+1)$$，首项为负提取负公因式，括号内全部变号。 3. 解析：原式$$=2(m-n)^2+4(m-n)=2(m-n)(m-n+2)$$，先统一整体形式，再提取公因式分解。 四、拓展应用题 解：原式$$=2025\times(45-35)=2025\times10=20250$$。答：计算结果为20250。利用提公因式法可快速简化大数运算，避免复杂计算。 核心易错总结：本节高频易错点为公因式找不完整、分解不彻底、提负号不变号、漏提常数项1；牢记公因式取值规则：系数取最大公因数，字母取最低次幂；首项为负必提负号，括号内各项变号；整体因式要统一形式，分解结果必须为整式积的形式，且分解彻底不能再提取因式。 运用前面所学的知识填空： (1) m(a + b + c) = ； (2) (a + b)(a - b) = ； (3) (a + b)2 = . ma + mb + mc a2 - b a2 + 2ab + b2 把下列多项式写成乘积的形式，观察结果有什么特点. 都是多项式化为几个整式的积的形式 (1) ma + mb + mc = ( )( ) (2) a2 - b2 = ( )( ) (3) a2 + 2ab + b2 = ( )2 m a + b + c a + b a - b a + b 因式分解 1 定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式因式分解，也叫做这个多项式分解因式. 知识要点 x2 - 1 (x + 1)(x - 1) 因式分解 整式乘法 x2 - 1 = (x + 1)(x - 1) 等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积 想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？ 是互为相反的变形，即 x2 + x = x2(1 + ) 在下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的有 ；不是因式分解的，请说明为什么. ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ③ ⑥ 辨一辨： am + bm + c = m(a + b) + c 24x2y = 3x ·8xy x2－ 1 = (x + 1)(x－ 1) (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1 2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z) 最后不是积的运算 因式分解的对象是多项式 是整式乘法 每个因式必须是整式 pa + pb + pc 多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式. 相同因式 p 这个多项式有什么特点？ 因式分解之基本方法 — 提公因式法 2 找 3 x 2 – 6 xy 的公因式. 系数： 最大公约数 3 字母： 相同的字母 x 所以公因式是 3x 指数： 相同字母的最低次数 1 例1 如何确定一个多项式的公因式？ 典例精析 提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. ( a + b + c ) pa+ pb +pc p = 知识要点 正确找出多项式各项公因式的关键是： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂. 找一找：下列各多项式的公因式是什么？ 3 a a2 3mn -2xy (1) 3x + 6y (2) ab - 2ac (3) a2 - a3 (4) 9m2n - 6mn (5) - 6x2y - 8xy2 (1) 8a3b2 + 12ab3c； 例2 把下列各式分解因式： 分析：提公因式法的步骤 (分两步)： 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积. (2) 2a(b + c) - 3(b + c). 公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式 整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法. 典例精析 解：（1） 8a3b2 + 12ab3c = 4ab2 · 2a2 + 4ab2 · 3bc = 4ab2(2a2 + 3bc). 如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公式？ 另一个因式将是 2a2b + 3b2c， 它还有公因式是 b. （2）2a(b + c) - 3(b + c) = (b + c)(2a - 3). 如何检查因式分解是否正确？ 做整式乘法运算去检验. 例3 把下列多项式分解因式： (1) －5a² + 25a； (2) 3a²－9ab； (2) 3a²－9ab = 3a(а－3b). 解：(1) －5a² + 25a = －5a(a－5). 典例精析 1.因式分解： (1) 3a3c2＋12ab3c； (2) (a＋b)(a－b)－a－b. (2)原式＝(a＋b)(a－b－1). 解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3). 练一练 因式分解：12x2y + 18xy2. 解：原式 = 3xy(4x + 6y). 错误 公因式没有提尽，还可以提出公因式 2 注意：公因式要提尽. 正确解：原式 = 6xy(2x + 3y). 小明的解法有误吗？ 小明 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是 1. 错误 注意：某项提出莫漏 1. 解：原式 = x(3x - 6y). 因式分解：3x2 - 6xy + x. 正确解：原式 = 3x·x - 6y·x + 1·x = x(3x - 6y + 1) 小亮的解法有误吗？ 小亮 提出负号时括号里的项没变号 错误 因式分解：- x2 + xy - xz. 解：原式 = - x(x + y - z). 注意：首项有负常提负. 正确解：原式 = - (x2 - xy + xz) = - x(x - y + z). 小华的解法有误吗？ 小华 1．[知识初练]下列各式从左到右的变形中：①x2－16＝(x＋4)(x－4)；②(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；③a2b－ab2＝ab(a－b)，________的等号右边是整式的积的形式，左边是多项式，所以属于因式分解的有________．(均填序号) 1星题 夯实四基 ①③ ①③ 中考考法 2. 【思维生长】下列各式从左到右的变形中是因式分解的是(　　) A．(a＋1)(a－2)＝a2－a－2 B．3a2－5a－2＝a(3a－5)－2 C 中考考法 向“逆向思维”生长：若x－5和x＋3都是多项式x2－kx－15的因式，则k＝________． 2 中考考法 3．[安徽合肥期中]多项式a2＋3ab的公因式是(　　) A．a B．a2 C．3a D．ab A 中考考法 4．下列多项式中，不能用提公因式法因式分解的是(　　) A．6x2－3y B．x2y－xy2 C．x2＋2xy＋y2 D．16x3y2z＋8x2y3 C 中考考法 5．多项式x2＋x6提取公因式后，剩下的因式是(　　) A．x4 B．1＋x3 C．1＋x4 D．x3－1 C 中考考法 6．[长沙中考]分解因式：mx－2my＝______________. m(x－2y) 中考考法 7．填空： (1)－7a2＋21a＝－7a________； (2)6x3－18x2＝________(x－3)． (a－3) 6x2 中考考法 8. 【新趋势·开放性问题】请写出一个能用提公因式法进行因式分解的多项式：__________________. xy＋x(答案不唯一) 中考考法 9．用提公因式法分解因式： (1)6m2n－15mn2＋30m2n2； 解：原式＝3mn(2m－5n＋10mn)． (2)－4x3＋16x2－26x； 解：原式＝－2x(2x2－8x＋13)． 中考考法 (3)2x(a－b)＋4y(b－a)； (4)(2m－3n)2－2m＋3n. 解：原式＝2(a－b)(x－2y)． 解：原式＝(2m－3n)2－(2m－3n)＝(2m－3n)(2m－3n－1)． 中考考法 10．计算：(－2)11＋(－2)10的值是________． －210 2星题 提升四能 中考考法 11. 【思维生长】若mn＝2，m－n＝1，则代数式m2n－mn2的值等于________． 向“数形结合思想”生长：已知长和宽分别为a，b的长方形，其面积等于15，周长等于16，则2a2b＋2ab2＝________． 向“代数推理”生长：已知a，b，c为三角形ABC的三边， 且满足ab－ac＝b2－bc，则三角形ABC是_______三角形． 2 240 等腰 中考考法 12．若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等于______________． 3a(x－y)2 中考考法 13．利用提公因式法进行简便计算： 解：原式＝3.2×302.4＋4.7×302.4＋2.1×302.4 ＝302.4×(3.2＋4.7＋2.1)＝302.4×10＝3 024. (2)3.2×302.4＋4.7×302.4＋21×30.24. 中考考法 14. 【新趋势·代数推理】已知a是正整数，请说明a2＋a一定是2的倍数． 解：a2＋a＝a(a＋1)． 因为a为正整数，所以a与a＋1是两个连续的正整数． 因为连续的两个正整数中必有一个为偶数， 所以a(a＋1)为偶数，所以a2＋a一定是2的倍数． 中考考法 15.(运算能力)阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 　1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2 ＝(1＋x)[1＋x＋x(1＋x)] ＝(1＋x)2(1＋x) ＝(1＋x)3. (1)上述因式分解的方法是____________； 3星题 发展素养 提公因式法 中考考法 (2)请用上述方法分解因式：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋x(1＋x)3； 解：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋x(1＋x)3 ＝(1＋x)[1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2] ＝(1＋x)2[1＋x＋x(1＋x)] ＝(1＋x)3(1＋x)＝(1＋x)4. 中考考法 (3)请用上述方法分解因式：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n(n为正整数)． 解：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n ＝(1＋x)[1＋x＋x(1＋x)＋…＋x(1＋x)n－1] ＝(1＋x)2[1＋x＋…＋x(1＋x)n－2] ＝…＝(1＋x)n＋1. 中考考法 【元认知·反思】在第(3)问中，请统计上述方法共运用了________次． n 中考考法 因式 分解 定义 am + bm + mc = m(a + b + c) 提公因式法 确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数 分两步：第一步找公因式；第二步提公因式 注意：①分解因式是一种恒等变形；②公因式：要提尽；③不要漏项；④提负号，要注意变号 课堂小结 C．2a2－＝(2a－1)(2a＋1) D．2a－4＝2a 解：原式＝×(36.8＋20.2－2)＝×55＝13. (1)36.8×＋20.2×－2×； $