3.2.1 单调性与最大（小）值（第2课时）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数最大（小）值的定义、几何意义及利用单调性求最值，通过谷爱凌滑雪轨迹类比函数图象的最高点/最低点引入，衔接单调性知识，以问题链引导从具体图象到抽象定义，搭建认知支架。 其亮点在于以时事情境导入培养数学眼光，通过问题驱动和符号化定义形成过程发展数学思维，例题结合烟花高度计算等实际应用强化数学语言表达。学生能提升抽象能力与应用意识，教师可借助结构化问题链和实例提高教学效率。

3.2.1 单调性与最大（小）值（第2课时） 《普通高中教科书数学必修第一册（人教A版2019）》 中国自由式滑雪运动员，谷爱凌在2022年夺得2022年北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台金牌、自由式滑雪坡面障碍技巧银牌、自由式滑雪女子U型场地技巧金牌。 谷爱凌在大跳台和U型场滑行时，出现了最高点和最低点，那我们函数是否也有类似的性质呢？ 新课引入 问题1 我们把谷爱凌在女子大跳台金牌、和自由式滑雪女子U型场地技巧的比赛滑行轨迹看作是曲线f(x)=-x²和g(x)=x². 画出并观察f(x)=-x²和g(x)=x²的图象，找出函数图象上的最高点或最低点的坐标？ 形成定义 问题2 当一个函数的图象有最高点时，我们就说函数有最大值.函数f(x)=-x²图象的最高点的纵坐标与图象上所有点的纵坐标有怎样的大小关系？你能用语言来描述函数f(x)=-x2的这个性质吗？ 问题3 你能用符号语言来描述一下最大值的定义吗？ 形成定义 函数最大值 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: （1）∀x∈I,都有  f(x)≤M    （2）∃x0∈I,使得 f (x0)=M  那么,称M是函数y=f(x)的最大值. 形成定义 函数最小值 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: （1）∀x∈I,都有  f(x)≥m    （2）∃x0∈I,使得    f(x0)=m    那么,称m是函数y=f(x)的最小值 问题4 你能仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值定义吗？ 形成定义 最值 条件(I是函数f(x)的定义域) 几何意义 最大值(M) 最小值(m) 函数y=f(x)最大(小)值的定义 ①对于任意x∈I，都有f(x)≤M ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上 最高点的纵坐标 ①对于任意x∈I，都有f(x)≥m ②存在x0∈I，使得f(x0)＝m 函数y＝f(x)图象上 最低点的纵坐标 问题5 最大值与最小值反映了函数的什么性质？他们相同点与不同点是什么？它们有怎么的几何意义？ 形成定义 例4 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它在达到最高点爆裂.如果烟花离地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为 h(t)=-4.9t2+14.7t+18 ,那么烟花冲出后什么时刻爆裂是最佳时刻？这时离地面的高度是多少(精确到1 m)？ 分析：烟花的高度是时间的二次函数，根据题意就是求出这个二次函数在什么时刻达到最大值，以及这个最大值是多少. 例题讲解 显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,顶点的纵坐标就是距地面的高度. 根据二次函数的知识,对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18我们有： 解：画出这个函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18 于是，烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此时距地面的高度约为29m. (或者h(t)=-4.9×(1.5)2+14.7×1.5+18≈29) 18 1.5 例题讲解 例5 已知函数 ,求这个函数的最大值和最小值。 【分析】这个函数在区间[2,6]上，显然解析式的分母是正值且随着自变量的增大而增大，因此函数值随着自变量的增大而减少，也就是说这个函数在区间[2，6]上单调递减，因此这个函数在定义的左端点上取得最大值，右端点取最小值. 6 2 1 例题讲解 解：∀x1,x2∈[2,6]，且x1<x2 ，则 例题讲解 解：1.f(x)的图象如图所示，所以f(x)max=2. 例题讲解 解：∀x1,x2∈[2,6]，且x1<x2 ，则 当堂检测 通过本节课的学习，你有什么收获？ 课堂小结 必做题：练习题第3题；习题3.2第7题； 选做题：习题3.2第10题. 课后思考：求函数f(x)=2x²-2ax+4在区间[-1,1]上的最小值？ 布置作业 Lavf58.33.100 $