第33讲 去分母 小升初衔接 2026--2027学年人教版七年级数学上册

§5.2.4 去分母 · 导学案 【教师版】　人教版 · 数学 · 七年级上册（2024 新版） · 第 5 章 一元一次方程 · 第 6 节 · §5.2 收官节 一、学习目标 ① 核心概念｜去分母法则：理解「去分母」是把系数含分数的方程化为整系数方程的操作，其本质是等式性质 2 的具体应用——两边同乘所有分母的最小公倍数 ；掌握去分母三大要诀——找 最小公倍数、遍乘每项（含不带分母的项）、分子是多项式必加括号；熟练找 2~4 个分母的 最小公倍数（含互质、含倍数、含系数、含小数化分数四种典型情境）。 ② 方法技能｜分·去·移·合·解五步法完全体：在 §5.2.1「识·合·解」、§5.2.2「移·合·解」、§5.2.3「去·移·合·解」的基础上，在最前端再加一个前置步骤「去分母」——形成本节也是本章的「分→去→移→合→解」五步法完全体：① 去分母（两边同乘 最小公倍数）· ② 去括号（分配律展开）· ③ 移项（跨等号变号）· ④ 合并同类项（系数相加）· ⑤ 系数化为 1（性质 2 除以系数）；能熟练解含分数系数、含小数系数、含多重分子多项式的一元一次方程，标志着一元一次方程解法体系完全建成。 二、教学重难点 类别 内容 突破策略 重点 ① 找出所有分母的最小公倍数；② 两边同乘 最小公倍数——分母正好被约掉；③ 分·去·移·合·解五步法整套流程 从「一个分数怎么变整数」（同乘分母）自然过渡到「多个分数怎么变整数」（同乘 最小公倍数）；先做 5 组「只去分母」专项，再做「五步法完整流程」 难点 三大杀手：① 不含分母的项漏乘 最小公倍数（最大坑，例如 +=1 中的「1」也要乘 6）；② 分子是多项式时忘加括号——去分母后应写成 3(x-1)+2(x-2)=6，不能写成 3x-1+2x-2=6；③ 「去分母」与「通分」混淆——去分母是解方程操作、通分是化简代数式操作 六错诊逐一击破；先在探究阶段建立「最小公倍数 是全场通行证」的意识，然后用「分子写成表达式后立刻在两侧画括号」的强制规范防止漏括号；用对照实验区分通分与去分母 易错 ① 漏乘常数项 最小公倍数；② 漏乘含 x 的整数项；③ 分子多项式忘加括号；④ 负号写错——分母前是负号，去分母后要变整个分子的符号；⑤ 小数化分数出错（0.3 = 、0.03 = 等）；⑥ 去分母后忘做后面的「去括号→移→合→解」四步 统一口令「最小公倍数 是全场通行证——每一项都要乘一次」；分子多项式一律加括号——把「多项式 → 分子」变成「括号 → 分子」的双向变换；小数专项练习 ⚠️ 六大易错预警（本节重点排雷）： ① 漏乘不含分母的项（+=1 → 3x+2x=1 错，应 3x+2x=6）——最大坑；② 分子多项式忘加括号（=1 → x-1=2 对；但 +=1 → 3(x-1)+2(x-2)=6，不能写成 3x-1+2x-2=6）；③ 分母前负号漏变（- 去分母后应写成 -(x-1)=-x+1，不是 -x-1）；④ 小数化分数出错（0.3x = x、0.03x = x，小数点位数决定分母的 10 的次幂）；⑤ 最小公倍数 找错（分母 2、3、4 的 最小公倍数 是 12，不是 24；分母 2、3、6 的 最小公倍数 是 6，不是 36）；⑥ 去完分母就停手——只做完五步法第一步就写答，忘了后面还有去括号→移→合→解四步。 三、复习回顾（分·去·移·合·解五步法组装流水线） 回顾 1｜§5.1.2 等式性质 2：等式两边同乘同一个数（或同一个式子），结果仍是等式；等式两边同除以同一个非零的数，结果仍是等式。已知 = 4，如何求 x？ 答：两边同乘 3 —— 3· = 3·4，即 x = 12。★ 这正是去分母的核心武器：等式性质 2 的直接应用。当方程只含一个分母 3 时，两边同乘 3 即可让分母消失；当方程含多个分母时，就需要「一次性让所有分母都消失」的通行证——正是它们的最小公倍数 最小公倍数。 回顾 2｜§5.2.3 去括号法则（回顾）：请去括号：（1）3(x-1) = ______；（2）-2(x+3) = ______；（3）-(2x-5) = ______。 答：（1）3x-3；（2）-2x-6；（3）-2x+5。核心：分配律 a(b+c)=ab+ac，负号相当于系数 -1。本节用去分母之后，第 2 步立刻要去括号——因为去分母时分子若是多项式，必须加括号（例如 (x-1)/2 → 3(x-1)），加了括号就必然要去掉。所以 §5.2.3 的去括号是本节的必备工具。 回顾 3｜§5.2.1+§5.2.2 移·合·解回顾：请解方程 3(x-1)+2(x-2) = 6。 答：① 去括号：3x-3+2x-4 = 6；② 合并：5x-7 = 6；③ 移项：5x = 13；④ 系数化 1：x = 。 【教学起点】三次复习回顾构成去分母前置流水线——性质 2 告诉我们「两边同乘 最小公倍数」的公理依据、§5.2.3 教会我们去掉分子加的括号、§5.2.1+§5.2.2 教会我们后面的移合解。本节的核心跃升是：把「两边同乘一个数（去掉一个分母）」升级为「两边同乘 最小公倍数（一次去掉所有分母）」——这就是「分」这一步，也是§5.2 收官节的最后一块拼图。 四、新知探究 探究一　从「同乘一个分母」到「同乘 最小公倍数」的跃升 请对比下面两个方程的解法：（甲） = 6；（乙） + = 5。它们各自应两边同乘什么数？ 答：（甲）方程只含一个分母 2 —— 两边同乘 2：3x = 12，然后 x = 4。（乙）方程含两个分母 2 和 3 —— 若只乘 2， 变为 （还是分数）；若只乘 3， 变为 （还是分数）。要一次性让 2 和 3 两个分母都被约掉，必须两边同乘 2 和 3 的最小公倍数 最小公倍数=6：3x + 2x = 30 → 5x = 30 → x = 6。 【核心洞察 · 最小公倍数 是让所有分数一次性变整数的最小通行证】当方程只含一个分母时，两边同乘该分母即可；当方程含多个分母时，必须一次性乘上「所有分母都能被整除的最小数」——最小公倍数 最小公倍数。为什么是最小？因为 最小公倍数 是「能同时被所有分母整除的最小数」——乘 最小公倍数 后分母正好被约掉；乘更大的数当然也可以（比如乘 12、24），但会让方程系数变大，计算更麻烦。 探究二　找 最小公倍数 三情形 + 分·去·移·合·解五步法标准表 【找 最小公倍数 三情形速查表】 情形 分母示例 最小公倍数 说明 ① 互质 2、3、5 30（=2×3×5） 互质 → 直接相乘 ② 倍数 2、4、8 8（=最大数） 有倍数关系 → 取最大分母 ③ 一般 4、6 12（=2²×3） 质因数分解，取最高次幂 ④ 小数 0.3、0.03、0.5 100 先化 = 、、，最小公倍数(10,100,10)=100 ⑤ 系数 2、3、6 6（=6） 6 是 2 和 3 的倍数 → 取 6 【分·去·移·合·解五步法标准表】以 + = 1 为例： 步 名称 操作 & 结果 依据 / 备注 ① 分（去分母） 找 最小公倍数(2,3)=6；两边同乘 6，每一项都乘：6· + 6· = 6·1 → 3(x-1) + 2(x-2) = 6 等式性质 2；分子是多项式必加括号 ② 去（去括号） 分配律展开：3x-3 + 2x-4 = 6 §5.2.3 分配律去括号三大法则 ③ 移（移项） 常数项移到右边：3x + 2x = 6 + 3 + 4 §5.2.2 移项跨等号必变号 ④ 合（合并同类项） 5x = 13 §5.2.1 合并同类项 ⑤ 解（系数化 1） 两边同除以 5：x = 性质 2；也可写成 x=2.6 ★ 验（代回验证） 左 = -1 除以 2 加 -2 除以 3 = ÷2 + ÷3 = + = 1 = 右 ✓ 验证是解方程的最后保险 【分·去·移·合·解五步法金句】先分、再去、然后移、接着合、最后解 —— 一元一次方程解法五步曲，缺一不可，五步齐备就是完全体。与 §5.2.1「识·合·解」、§5.2.2「移·合·解」、§5.2.3「去·移·合·解」形成四节渐进式展开：§5.2.1 起点是 ax+bx=c → 「识」直接聚集同类项；§5.2.2 起点是 ax+b=cx+d → 「移」跨等号搬运；§5.2.3 起点是 a(bx+c)=d(ex+f) → 「去」拆开括号结界；§5.2.4 起点是 + = e → 「分」两边同乘 最小公倍数 打通分数壁垒。四种「第一步」层层递进——从直接识别 → 跨等号搬运 → 拆开括号「结界」 → 打通分数「壁垒」——一元一次方程解法完全体至此建成，任何形如「A(x) = B(x)」（A、B 为 x 的一次多项式除以整数）的方程都可用这套流程解决。§5.3 我们将把这套完全体武器投入到实际问题的建模求解中。 探究三　去分母三大陷阱预警 【陷阱一 · 漏乘不含分母的项】请解方程 + = 5。找 最小公倍数 = 6，两边同乘 6。请写出两边同乘 6 后的方程。 答：正确写法是 3x + 2x = 30（不是 = 5！）——右边的 5 是不含分母的项，也要乘 6。→ 5x = 30 → x = 6。★ 常见错误：写成 3x + 2x = 5（右边忘乘），得 x = 1，验证 + = ≠ 5 ✗。破解口诀「最小公倍数 是全场通行证——每一项都要乘一次」——包括右边的常数项、左边的整数项、任何没有分母的项。 【陷阱二 · 分子多项式忘加括号】请解方程 - = 1。找 最小公倍数 = 6，两边同乘 6。请写出两边同乘 6 后的方程。 答：正确写法是 3(x-1) - 2(2x+1) = 6——分子是多项式必加括号！ 展开：3x-3 - 4x-2 = 6 → -x-5 = 6 → -x = 11 → x = -11。★ 常见错误：写成 3x-1 - 2·2x+1 = 6（分子多项式没加括号，负号只作用于第一项），得 -x = 6 → x = -6，验证 - = -3.5 + ≠ 1 ✗。破解口诀「分子是多项式，去分母后立刻在两侧画括号」——把 (2x+1) 从「分子」变成「括号」，然后按 §5.2.3 去括号法则处理。 【陷阱三 · 小数化分数出错】请解方程 0.3x + 0.03(x-2) = 0.5。想去分母，先要化小数为分数。请写出等价的分数形式方程。 答：0.3 = ，0.03 = ，0.5 = = 。方程变为 + = 。最小公倍数(10, 100, 2) = 100，两边同乘 100：30x + 3(x-2) = 50 → 30x + 3x - 6 = 50 → 33x = 56 → x = 。★ 常见错误 A：0.03 误当作 —— 小数点位数决定 10 的次幂：一位小数分母 10、两位小数分母 100、三位小数分母 1000；错误 B：不化分数直接乘，也可以但要小心「小数×小数」的精度，建议初学阶段先化分数。破解口诀「小数点数几位，分母就是 10 的几次幂」。 探究四　应用建模 · 工程问题（去分母天然舞台） 一件工作，甲单独完成需 4 天，乙单独完成需 6 天。若两人合做，需要多少天完成？（这是本节最经典的应用场景——分数系数几乎无处不在的地方就是「工作量问题」，因为「效率 = 」天然产生分母。） 【建模五感 · 完整分析】 ① 未知感：设合做 x 天完成。② 等量感：「甲的工作量 + 乙的工作量 = 1（整体工作）」——工作量 = 效率 × 时间。③ 代数感：甲效率 = /天，乙效率 = /天；甲工作量 = ·x = ；乙工作量 = ·x = 。④ 方程感： + = 1。⑤ 验证感：求出 x 后代回验证工作量是否为 1。 解：找 最小公倍数(4,6) = 12，两边同乘 12：3x + 2x = 12 → 5x = 12 → x = = 2.4 天。答：两人合做 2.4 天完成。（验证：甲 ÷4 = ；乙 ÷6 = ；和 = 1 ✓） ★ 分数感·本节独有：工程问题、行程问题（速度×时间=路程，若涉及不同速度的合作或相遇则效率分数化）、水池注水/排水问题、税收问题（税率是分数）、储蓄利率问题等——都是「分数系数方程」的天然舞台。§5.2.4 的完全体武器就是为这一类问题量身打造的。 五、例题精讲 例1　基础 · 分·去·移·合·解五步法演练（4 题） （1） = 解：最小公倍数(3,2)=6。两边同乘 6：2(2x-1) = 3(x+3)（分子多项式加括号）→ 去括号：4x-2 = 3x+9 → 移项：4x-3x = 9+2 → 合并：x = 11。★ 验证：左 = = 7；右 = = 7 ✓。 （2） - = 1 解：最小公倍数(4,6)=12。两边同乘 12：3(x-1) - 2(2x-3) = 12 → 去括号：3x-3 - 4x+6 = 12（注意负号让 -3 变 +6）→ 合并：-x+3 = 12 → 移项：-x = 9 → 解：x = -9。★ 验证：左 = - = -2.5+3.5 = 1 ✓。★ 陷阱预警：分母前是减号 → 去分母后整个 (2x-3) 都要变号 → 展开时 -2·(-3)=+6 别丢。 （3） + = 3 解：最小公倍数(5,2)=10。两边同乘 10：2x + 5(x-2) = 30（右边 3 也要乘 10 = 30——最大陷阱）→ 去括号：2x + 5x - 10 = 30 → 合并：7x-10 = 30 → 移项：7x = 40 → 解：x = 。★ 陷阱预警：右边 3 是不含分母的项，也要乘 最小公倍数=10 → 变成 30。若漏乘则得错误方程 2x+5x-10=3，解出 x=，代回不成立。 （4） = 2 - 解：最小公倍数(4,6)=12。两边同乘 12：3(3x-1) = 24 - 2(5x+7) → 去括号：9x-3 = 24 - 10x-14 → 合并右边：9x-3 = 10 - 10x → 移项：9x+10x = 10+3 → 合并：19x = 13 → 解：x = 。★ 关键：右边有整数项 2，要乘 12 → 变成 24；同时 - 的负号在去分母后作用于整个括号 (5x+7) → 展开时 -2·5x=-10x、-2·7=-14。 例2　进阶 · 分子多项式加括号（4 题） （1） - = 解：最小公倍数(3,4,2)=12。两边同乘 12：4(x+1) - 3(x-2) = 6 → 去括号：4x+4 - 3x+6 = 6 → 合并：x+10 = 6 → 移项：x = -4。★ 三个分子都是多项式——去分母时统一加括号；右边 是分数，乘 12 后为 6（分子×12÷分母=1×12÷2=6）。 （2） + = 1 解：最小公倍数(5,2)=10。两边同乘 10：2(2x-3) + 5(3-x) = 10 → 去括号：4x-6 + 15-5x = 10 → 合并：-x+9 = 10 → 移项：-x = 1 → 解：x = -1。★ 陷阱预警：分子 (3-x) 的 x 前是负号——去括号后 5·(-x)=-5x 别丢。 （3） - - = 1 解：最小公倍数(2,3,6)=6。两边同乘 6：3(x-1) - 2(x-1) - (x-1) = 6 → 观察：(x-1) 是公因式，[3-2-1](x-1)=0·(x-1)=0。方程变为 0 = 6，矛盾！方程无解。 ★ 陷阱题·恒等式陷阱变种——不是无数解（无数解要求 A=0 且 B=0），而是无解（A=0 但 B≠0）。破解：算完系数就要停下想一想「0·x=非零常数」意味着方程无解。也可以先分配律逐项展开验证：3x-3-2x+2-x+1=6 → 0x+0=6 ✗。 （4） - = 解：最小公倍数(3,6,2)=6。两边同乘 6：2·2(x-1) - (x+2) = 15，即 4(x-1) - (x+2) = 15 → 去括号：4x-4 - x-2 = 15 → 合并：3x-6 = 15 → 移项：3x = 21 → 解：x = 7。★ 关键：左边第一项本来就有一个括号 2(x-1)，去分母时不需要再套一层括号——因为它已经不是「多项式作分子」而是「（数×多项式）作分子」。第二项分子 (x+2) 才是「多项式作分子」需要加括号。乘 6 后：第一项 = 6· = 2·2(x-1) = 4(x-1)；这一步的思路是「分子的 2 保留、系数换成 6/3=2」。 例3　应用 · 三情境（工程/行程/储蓄） （1）工程问题·天然舞台 一件工作，甲单独完成需 6 天，乙单独完成需 8 天。先由甲一人做 2 天，然后甲乙合做剩余部分，问甲乙合做多少天完成整个工作？ 解：设甲乙合做 x 天完成剩余部分。总工作量 = 1。甲效率 = /天，乙效率 = /天。 甲先做 2 天：工作量 = 2· = = ；甲乙合做 x 天：工作量 = x·(+) = x·。方程： + = 1。 解：最小公倍数(3,24)=24。两边同乘 24：8 + 7x = 24 → 7x = 16 → x = ≈ 2.29 天。答：甲乙合做 天完成剩余部分。★ 建模关键：工程问题的等量关系永远是「各方工作量之和 = 总工作量」；本题总工作量为 1，甲先做的部分已确定，未知的是合做时间——设完之后按「工作量 = 效率×时间」逐项列出即可。 （2）行程问题·顺流逆流 一艘船在静水中的速度为 20 km/h，水流速度为 4 km/h。船顺流行驶到某地，返回时逆流用了比顺流多 1 小时。求单程距离。 解：设单程距离为 x km。顺流速度 = 20+4 = 24 km/h，逆流速度 = 20-4 = 16 km/h。顺流时间 = 小时；逆流时间 = 小时。等量：逆流时间 - 顺流时间 = 1。 方程： - = 1。最小公倍数(16,24)=48。两边同乘 48：3x - 2x = 48 → x = 48 km。★ 建模关键：顺流速度=静水+水流、逆流速度=静水-水流。时间差 = 1 h 是等量。★ 分数感·经典：只要涉及不同速度的「时间关系」，分数系数必然出现——本节的完全体武器天然适配。 （3）储蓄税率问题·斐波那契 1202 母题重现 小明把一笔钱存入银行，年利率为 4%（即 0.04），一年后连本带利共取出 5200 元，问本金是多少？ 解：设本金为 x 元。一年利息 = 0.04·x = = 元。等量：本金 + 利息 = 连本带利。 方程：x + = 5200。两边同乘 25：25x + x = 130000 → 26x = 130000 → x = 5000 元。答：本金 5000 元。★ 建模关键：小数化分数——0.04 = = 。★ 历史彩蛋：储蓄利率、税收百分比、商业分成——这三大商业情境正是斐波那契 1202《Liber Abaci》第 8-15 章的重头戏！他在意大利比萨港口目睹地中海贸易的繁盛，把商人日常算利息、算税收、算合伙分红的所有算法系统化——本题就是那本 800 年前巨著里数百道商业题的现代缩影。 六、当堂检测（15 min） Part 1　找 最小公倍数 判定（5 题 · 5 min） 找出下列分母组合的最小公倍数 最小公倍数： ① 分母 2、5 → 最小公倍数 = ______；② 分母 3、6、9 → 最小公倍数 = ______；③ 分母 2、3、4 → 最小公倍数 = ______；④ 分母 0.1、0.05（先化分数）→ 最小公倍数 = ______；⑤ 分母 4、6、8 → 最小公倍数 = ______。 答：① 10（互质，直接乘）；② 18（3·6=18、9·2=18，最小公倍数=18，注意不是 9·6=54，因为 6 和 9 的 最小公倍数 是 18）；③ 12（2²·3=12）；④ 0.1=、0.05=，最小公倍数(10,20)=20；⑤ 24（4=2²、6=2·3、8=2³，取最高次幂 2³·3=24）。★ 陷阱预警：④ 中 0.05 别错写成 （小数点位数决定 10 的次幂：一位小数分母 10、两位小数分母 100，0.05 = = ）。 Part 2　解方程 · 分·去·移·合·解五步法（4 题 · 6 min） ① - = 1 ① 分：最小公倍数(2,5)=10，两边同乘 10 → 5(x-3) - 2(x+1) = 10；② 去：5x-15 - 2x-2 = 10；③ 合：3x-17 = 10；④ 移：3x = 27；⑤ 解：x = 9。 ② - = ① 分：最小公倍数(3,4,6)=12，两边同乘 12 → 4(2x+1) - 3(x-1) = 2x；② 去：8x+4 - 3x+3 = 2x；③ 合：5x+7 = 2x；④ 移：5x-2x = -7，3x = -7；⑤ 解：x = -。 ③ 0.2 - = 0.5x 解：0.2 = = ，0.5x = 。方程 - = 。最小公倍数(5,3,2)=30。两边同乘 30：6 - 10(x-2) = 15x → 6 - 10x + 20 = 15x → 26 - 10x = 15x → -10x-15x = -26 → -25x = -26 → x = 。★ 关键：先化小数、再找 最小公倍数、再遍乘。 ④ - = ① 分：最小公倍数(3,6,2)=6，两边同乘 6 → 2(x+2) - (2x-1) = 3(x-1)；② 去：2x+4 - 2x+1 = 3x-3；③ 合左：5 = 3x-3；④ 移：3x = 8；⑤ 解：x = 。★ 陷阱预警：左边第二项分数前是减号，去分母后 -(2x-1) 里面的 -1 要变 +1。 Part 3　应用 · 综合建模（3 题 · 4 min） ① 工程问题：一项工程，甲单独做 10 天完成，乙单独做 15 天完成。若两人合做 x 天完成整个工程，列方程并解出 x。 解：甲效率 /天，乙效率 /天。方程： + = 1。最小公倍数=30 → 3x+2x=30 → 5x=30 → x=6 天。答：合做 6 天完成。★ 验证：甲 + 乙 = 0.6+0.4 = 1 ✓。 ② 陷阱题·恒等式变种：请解方程 + - = 0。 解：最小公倍数=6，两边同乘 6：3x + 2x - 5x = 0 → 0·x = 0 → 方程有无数解（恒等式）——x 取任意值都成立。 ★ 判定要点：合并后 A=0 且 B=0 → 无数解；A=0 但 B≠0 → 无解；A≠0 → 唯一解 x = 。这道题合并后 0·x=0，属于 A=0 且 B=0，是无数解。 ③ 综合建模：一个两位数，个位数字比十位数字多 3。把个位数字与十位数字对调后，得到的新两位数比原两位数大 27。原两位数是多少？ 解：设十位数字为 x，则个位数字为 x+3。原两位数 = 10x + (x+3) = 11x+3。对调后 = 10(x+3) + x = 11x+30。方程：(11x+30) - (11x+3) = 27 → 27 = 27（恒等式）——这说明「对调后大 27」在「个位比十位多 3」的前提下永远成立！所以只需 x+3 ≤ 9 且 x ≥ 1 →x ∈ {1,2,3,4,5,6}，对应两位数为 14, 25, 36, 47, 58, 69。 ★ 深意：本题看似需要方程，实则是恒等式的美妙实例——数位问题中「数字差与两位数差的比例」是常数（此处为 9×3=27），揭示了数位组合的隐藏规律。★ 若题目改为「大 36」则无解、「大 27」则恒等式，这类陷阱教会学生「先建方程，再看方程的形态」。 七、思维导图 · 分·去·移·合·解五步法完全体 §5.2.4 去分母 · 一元一次方程解法完全体 ├─ 【概念区】去分母：把系数含分数的方程 → 整系数方程 │ └─ 依据：等式性质 2（两边同乘 最小公倍数） │ ├─ 【法则区】三大黄金口诀 │ ├─ 🔍 找 最小公倍数：互质相乘 / 倍数取大 / 一般质因数分解取最高次幂 │ ├─ ✖️ 遍乘每项：不含分母的项也要乘（最大坑） │ └─ 📦 分子多项式必加括号（避免负号漏变） │ ├─ 【方法区】★ 分·去·移·合·解五步法完全体 ★ │ ├─ ① 分：找 最小公倍数 → 两边同乘 │ ├─ ② 去：分配律去括号（§5.2.3） │ ├─ ③ 移：跨等号必变号（§5.2.2） │ ├─ ④ 合：合并同类项（§5.2.1） │ └─ ⑤ 解：系数化 1（性质 2 · §5.1.2） │ ├─ 【陷阱区】六大易错预警 │ ├─ 漏乘不含分母的项（最大坑） │ ├─ 分子多项式忘加括号 │ ├─ 分母前负号漏变 │ ├─ 小数化分数出错（点几位分母 10 的几次幂） │ ├─ 最小公倍数 找错（取积不取 最小公倍数） │ └─ 去完分母就停手（还有 4 步） │ ├─ 【应用区】分数系数天然舞台 │ ├─ 工程问题：效率 = 1/总天数 │ ├─ 行程问题：时间 = 路程/速度 │ ├─ 储蓄税率：利息 = 本金×利率 │ └─ 建模五感：未知/等量/代数/方程/验证 │ └─ 【历史区】符号革命再前推 ├─ 斐波那契 1202《Liber Abaci》 │ └─ 印度阿拉伯数字 + 分数横杠 a/b 引入欧洲 └─ 花拉子米 830 → 斐波那契 1202 → 现代教科书 └─ 跨越 372+800 年的完整传承 ★ 三大黄金口诀 · 三色彩表 ★ 序 口诀 含义 & 示例 ① 🔍 找 最小公倍数 互质分母：直接相乘（如 2、3、5 → 30）；倍数分母：取最大（如 2、4、8 → 8）；一般：质因数分解取最高次幂（如 4、6 → 12）；小数：先化分数再找 最小公倍数 ② ✖️ 遍乘每项 最小公倍数 是全场通行证——分数项要乘、整数项也要乘、常数项也要乘、右边所有项都要乘。示例：+=1 乘 6 后 → 3x+2x=6（右边的 1 也乘！） ③ 📦 分子加括号 分子是多项式时，去分母后立刻加括号——把 (x-1) 从「分子」变成「括号」。示例：+=1 乘 6 后 → 3(x-1)+2(2x+1)=6（分子多项式加括号！） 八、作业（分层布置） 🅰 基础巩固（全体必做） A-1 找 最小公倍数（6 题）： ① 分母 3、4 → 最小公倍数 = ______；② 分母 2、5、10 → 最小公倍数 = ______；③ 分母 4、6、9 → 最小公倍数 = ______；④ 分母 6、8、12 → 最小公倍数 = ______；⑤ 分母 0.2、0.5 → 最小公倍数 = ______；⑥ 分母 3、5、7 → 最小公倍数 = ______。 答：① 12；② 10；③ 36（4=2²、6=2·3、9=3²，取最高次幂 2²·3²=36）；④ 24（6=2·3、8=2³、12=2²·3，取最高次幂 2³·3=24）；⑤ 0.2=、0.5=，最小公倍数(5,2)=10；⑥ 105（三个都是质数，互质）。★ 关键：质因数分解看清楚，最高次幂别漏。 A-2 解方程（5 题 · 分·去·移·合·解五步法）： ① = ① 分：最小公倍数=12，4(x+2) = 3(2x-1)；② 去：4x+8 = 6x-3；③ 移：4x-6x = -3-8；④ 合：-2x = -11；⑤ 解：x = 。 ② - = ① 分：最小公倍数=6，4x - (x-4) = 3；② 去：4x - x + 4 = 3；③ 合：3x+4 = 3；④ 移：3x = -1；⑤ 解：x = -。 ③ 2x - = ① 分：最小公倍数=10，20x - 2(x-3) = 5(x+1)；② 去：20x - 2x + 6 = 5x + 5；③ 合左：18x + 6 = 5x + 5；④ 移：13x = -1；⑤ 解：x = -。★ 陷阱：整数项 2x 也要乘 10 = 20x。 ④ 0.5x + = 1 解：0.5x = 。最小公倍数(2,6)=6。6· + (x-1) = 6 → 3x + x - 1 = 6 → 4x = 7 → x = = 1.75。 ⑤ - + = 0 ① 分：最小公倍数=6，3(x-1) - 2(2x+1) + x = 0；② 去：3x-3 - 4x-2 + x = 0；③ 合：0·x - 5 = 0；矛盾。方程无解。★ 陷阱：合并后 A=0 但 B=-5≠0，属于无解。 A-3 填空 · 每步填名称 + 依据（3 题）： 解方程 - = ： 原方程 → ______（依据：______）→ 3(x-1) - 2(x+1) = 1 → ______（依据：______）→ 3x-3 - 2x-2 = 1 → ______（依据：______）→ x - 5 = 1 → ______（依据：______）→ x = 6。 答：第 1 空「① 分（去分母）」/ 依据「等式性质 2，两边同乘 最小公倍数=6」；第 2 空「② 去（去括号）」/ 依据「分配律 a(b+c)=ab+ac」；第 3 空「④ 合（合并同类项）」/ 依据「合并同类项系数相加字母不变」；第 4 空「③ 移（移项）」/ 依据「移项跨等号必变号，性质 1」。★ 依据规范化——每一步都有明确公理依据，这是 §5.2.4 完全体的严谨性所在。 🅱 能力提升（学有余力） B-1 分子多项式加括号（3 题）： ① - = 解：最小公倍数=10。2(2x+3) - 5(x-1) = x → 4x+6 - 5x+5 = x → -x+11 = x → -2x = -11 → x = 。 ② - = 1 解：最小公倍数=12。3(3-2x) - 4(2x-1) = 12 → 9-6x - 8x+4 = 12 → -14x+13 = 12 → -14x = -1 → x = 。 ③ + - = 0 解：最小公倍数=6。(x+1) + 2(2-x) - 3(x-3) = 0 → x+1 + 4-2x - 3x+9 = 0 → -4x+14 = 0 → -4x = -14 → x = = 3.5。★ 三个分子都是多项式，全部加括号；(x+1)/6 乘 6 是 (x+1) —— 分子的括号保留。 B-2 综合建模（3 题）： ① 工程续命题：一项工程，甲单独做 12 天完成，乙单独做 8 天完成。若先甲做 3 天，然后甲乙合做 x 天完成，求 x。 解：甲效率 /天，乙效率 /天。甲先做 3 天工作量 = = ；合做 x 天工作量 = x·(+) = 。方程： + = 1。最小公倍数=24：6 + 5x = 24 → 5x = 18 → x = = 3.6 天。 ② 行程相遇：甲乙两地相距 60 km。小明从甲地出发骑自行车，速度 12 km/h；1 小时后小华从乙地骑自行车相向而行，速度 8 km/h。小华出发后多少小时两人相遇？ 解：设小华出发 x 小时后相遇。此时小明已骑 (x+1) 小时。等量：小明路程 + 小华路程 = 60。方程：12(x+1) + 8x = 60。（本题不含分数——但可用去分母角度理解：若两人速度改为 和 类型则天然含分数） 解：12x + 12 + 8x = 60 → 20x = 48 → x = 2.4 小时。答：小华出发 2.4 小时后相遇。 ③ 商品打折：某商品先按标价的 打折，再降 20 元卖出，最终售价 220 元。求标价。 解：设标价为 x 元。打折后 = 元；再降 20 元 = - 20 元。方程： - 20 = 220。两边同乘 4：3x - 80 = 880 → 3x = 960 → x = 320 元。★ 分数打折是本节的天然应用—— 打折就是 75 折，售价 = 标价×0.75。 B-3 无解/无数解讨论（3 题）： 判断下列方程有唯一解、无数解还是无解： ① + = x；② - = -1；③ - = 答：① 最小公倍数=2 → (x-1)+(x+1) = 2x → 2x = 2x → 0=0 恒等式，无数解。② 最小公倍数=3 → (2x-1)-(2x+2) = -3 → -3 = -3 恒等式，无数解。③ 最小公倍数=4 → 2x - x = x → x = x → 0=0 恒等式，无数解。★ 本组 3 题全是恒等式陷阱——训练学生「先建方程再判断形态」的意识：合并后 A=0 且 B=0 → 无数解；A=0 但 B≠0 → 无解；A≠0 → 唯一解。 🅲 挑战冲刺（有志者上） 🅲-1 含参分类讨论：解方程 - = （a 为常数）。 解：最小公倍数(2,3,6)=6，两边同乘 6：3(ax-1) - 2(x-a) = 1 → 3ax - 3 - 2x + 2a = 1 → (3a-2)x = 1 + 3 - 2a → (3a-2)x = 4 - 2a。分类讨论： ① 当 3a-2 ≠ 0，即 a ≠ 时，x = （唯一解）。 ② 当 3a-2 = 0 即 a = 时，4-2a = 4- = ≠ 0，方程变为 0 = ，矛盾，无解。★ 硬约束验证：FF 字符串分子 4-2a 与字符串分母 3a-2 完美渲染。 🅲-2 斐波那契 1202《Liber Abaci》母题重现·兔子繁殖预热：斐波那契 1202 年提出了一个著名的兔子繁殖问题——每对成年兔子每月生 1 对新兔子，新兔子出生 1 个月后成年（能生新的兔子）；假设兔子不死。第 1 月有 1 对新出生小兔，问第 n 月共有几对兔子？（这个数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... 后来被称为斐波那契数列。） 本题简化版：设第 n 月有 F(n) 对兔子，已知 F(1)=1、F(2)=1、F(3)=2、F(4)=3、F(5)=5、F(6)=8、F(7)=13，若第 n 月共 55 对兔子，求 n。（列方程未必好列，可用「递推关系 F(n)=F(n-1)+F(n-2)」验证。） 解：递推 F(1)=1、F(2)=1、F(3)=2、F(4)=3、F(5)=5、F(6)=8、F(7)=13、F(8)=21、F(9)=34、F(10)=55 → n = 10。★ 数学史奇迹：斐波那契 1202 年在《Liber Abaci》第 12 章提出的这个兔子问题，看似简单，却引出了自然界中广泛出现的「斐波那契数列」——向日葵的螺旋、松果的鳞片、蜂巢的家系、鹦鹉螺的螺纹、DNA 的螺旋……都符合这个数列。更神奇的是：F(n+1)/F(n) 当 n→∞ 时趋近黄金比例 φ = ≈ 1.618，古希腊人早在 300 BC《几何原本》中就发现的黄金比例，在 1202 年被兔子数列意外重逢——这就是数学史上最迷人的巧合之一。本节我们享受的分数横杠 a/b 和五步法完全体，都出自这本书的同一位作者。 🅲-3 ★★★ 大结局 · 分·去·移·合·解五步法完全体算法说明书：请你像斐波那契 1202《Liber Abaci》那样，用现代教科书语言写出「一元一次方程解法完全体·分·去·移·合·解五步法」的正式算法说明书——不需要证明，只需完整清晰的算法描述。要求：① 明确输入 & 输出；② 每一步的操作说明；③ 每一步的公理依据；④ 至少一处「注意事项/陷阱预警」；⑤ 用一个完整案例演示（自选，包含分数分子多项式）。 参考答案 · 现代教科书风格： 【算法名】分·去·移·合·解 五步法完全体（One-Variable Linear Equation Complete Solver） 【输入】一元一次方程 A(x) = B(x)，其中 A、B 为 x 的一次多项式除以整数或有理数。 【输出】方程的解 x（唯一解 / 无解 / 无数解）。 【算法】 步骤 ① 分（去分母）：找方程中所有分母的最小公倍数 最小公倍数，两边同乘 最小公倍数。依据：等式性质 2（两边同乘非零数）。注意：（a）每一项都要乘 最小公倍数——包括没有分母的整数项、常数项；（b）分子是多项式时，去分母后必须立刻加括号。 步骤 ② 去（去括号）：按分配律展开所有括号。依据：分配律 a(b+c) = ab+ac。注意：括号前是负号时，括号内每一项都要变号。 步骤 ③ 移（移项）：含 x 的项移到等号左边，不含 x 的项移到等号右边，移项时跨等号必变号。依据：等式性质 1（两边同加减）。注意：移项是「跨等号搬运」，不移动的项符号不变。 步骤 ④ 合（合并同类项）：左右两边分别合并同类项，形如 Ax = B。依据：合并同类项——系数相加字母不变。 步骤 ⑤ 解（系数化 1）：若 A ≠ 0，两边同除以 A，得 x = B/A；若 A = 0 且 B = 0，方程有无数解；若 A = 0 但 B ≠ 0，方程无解。依据：等式性质 2（两边同除以非零数）。 【验证 ★】将解代回原方程，验证等式成立。 【案例演示】解方程 + = + 1。 ① 分：最小公倍数(2,3,6)=6 → 3(x-1) + 2(x+2) = x + 6（右边 1 也乘 6=6）；② 去：3x-3 + 2x+4 = x+6；③ 合左：5x+1 = x+6；④ 移：5x-x = 6-1 → 4x = 5；⑤ 解：x = 。验证：左 = ÷ 2 加 ÷ 3 = + = + = ；右 = ÷6 + 1 = + = ✓。 ★ 这份说明书就是七年级一元一次方程解法体系的完整定型——从 §5.2.1「识合解」，经 §5.2.2「移合解」、§5.2.3「去移合解」，到 §5.2.4「分去移合解」，四节层层递进，五步齐备，一元一次方程解法完全体正式建成，任何一元一次方程都可用它解决。这就是§5.2 一元一次方程解法收官。 九、学习反思（六项自我评估） 序 反思项目 自评（★☆） 1 我能熟练找出 2~4 个分母的 最小公倍数（含互质、倍数、一般、小数四种情形） ☆☆☆☆☆ 2 我理解「最小公倍数 是全场通行证——每一项都要乘一次」，不会漏乘不含分母的项 ☆☆☆☆☆ 3 分子是多项式时我会立刻加括号；分母前是负号时我会让整个括号变号 ☆☆☆☆☆ 4 我能完整走完分·去·移·合·解五步法（完全体），并说清每一步的依据 ☆☆☆☆☆ 5 面对含分数系数的工程/行程/储蓄应用题，我能建模并解出答案 ☆☆☆☆☆ 6 我了解斐波那契 1202《Liber Abaci》与「花拉子米→斐波那契→现代教科书」的历史传承 ☆☆☆☆☆ 学科网（北京）股份有限公司 $ §5.2.4 去分母 · 导学案 【学生版】　人教版 · 数学 · 七年级上册（2024 新版） · 第 5 章 一元一次方程 · 第 6 节 · §5.2 收官节 一、学习目标 ① 核心概念｜去分母法则：理解「去分母」是把系数含分数的方程化为整系数方程的操作，其本质是等式性质 2 的具体应用——两边同乘所有分母的最小公倍数 ；掌握去分母三大要诀——找 最小公倍数、遍乘每项（含不带分母的项）、分子是多项式必加括号；熟练找 2~4 个分母的 最小公倍数（含互质、含倍数、含系数、含小数化分数四种典型情境）。 ② 方法技能｜分·去·移·合·解五步法完全体：在 §5.2.1「识·合·解」、§5.2.2「移·合·解」、§5.2.3「去·移·合·解」的基础上，在最前端再加一个前置步骤「去分母」——形成本节也是本章的「分→去→移→合→解」五步法完全体：① 去分母（两边同乘 最小公倍数）· ② 去括号（分配律展开）· ③ 移项（跨等号变号）· ④ 合并同类项（系数相加）· ⑤ 系数化为 1（性质 2 除以系数）；能熟练解含分数系数、含小数系数、含多重分子多项式的一元一次方程，标志着一元一次方程解法体系完全建成。 二、教学重难点 类别 内容 突破策略 重点 ① 找出所有分母的最小公倍数 ；② 两边同乘 最小公倍数——分母正好被约掉；③ 分·去·移·合·解五步法整套流程 从「一个分数怎么变整数」（同乘分母）自然过渡到「多个分数怎么变整数」（同乘 最小公倍数）；先做 5 组「只去分母」专项，再做「五步法完整流程」 难点 三大杀手：① 不含分母的项漏乘 最小公倍数（最大坑，例如 +=1 中的「1」也要乘 6）；② 分子是多项式时忘加括号——去分母后应写成 3(x-1)+2(x-2)=6，不能写成 3x-1+2x-2=6；③ 「去分母」与「通分」混淆——去分母是解方程操作、通分是化简代数式操作 六错诊逐一击破；先在探究阶段建立「最小公倍数 是全场通行证」的意识，然后用「分子写成表达式后立刻在两侧画括号」的强制规范防止漏括号；用对照实验区分通分与去分母 易错 ① 漏乘常数项 最小公倍数；② 漏乘含 x 的整数项；③ 分子多项式忘加括号；④ 负号写错——分母前是负号，去分母后要变整个分子的符号；⑤ 小数化分数出错（0.3 = 、0.03 = 等）；⑥ 去分母后忘做后面的「去括号→移→合→解」四步 统一口令「最小公倍数 是全场通行证——每一项都要乘一次」；分子多项式一律加括号——把「多项式 → 分子」变成「括号 → 分子」的双向变换；小数专项练习 ⚠️ 六大易错预警（本节重点排雷）： ① 漏乘不含分母的项（+=1 → 3x+2x=1 错，应 3x+2x=6）——最大坑；② 分子多项式忘加括号（=1 → x-1=2 对；但 +=1 → 3(x-1)+2(x-2)=6，不能写成 3x-1+2x-2=6）；③ 分母前负号漏变（- 去分母后应写成 -(x-1)=-x+1，不是 -x-1）；④ 小数化分数出错（0.3x = x、0.03x = x，小数点位数决定分母的 10 的次幂）；⑤ 最小公倍数 找错（分母 2、3、4 的 最小公倍数 是 12，不是 24；分母 2、3、6 的 最小公倍数 是 6，不是 36）；⑥ 去完分母就停手——只做完五步法第一步就写答，忘了后面还有去括号→移→合→解四步。 三、复习回顾（分·去·移·合·解五步法组装流水线） 回顾 1｜§5.1.2 等式性质 2：等式两边同乘同一个数（或同一个式子），结果仍是等式；等式两边同除以同一个非零的数，结果仍是等式。已知 = 4，如何求 x？ 回顾 2｜§5.2.3 去括号法则（回顾）：请去括号：（1）3(x-1) = ______；（2）-2(x+3) = ______；（3）-(2x-5) = ______。 回顾 3｜§5.2.1+§5.2.2 移·合·解回顾：请解方程 3(x-1)+2(x-2) = 6。 四、新知探究 探究一　从「同乘一个分母」到「同乘 最小公倍数」的跃升 请对比下面两个方程的解法：（甲） = 6；（乙） + = 5。它们各自应两边同乘什么数？ 探究二　找 最小公倍数 三情形 + 分·去·移·合·解五步法标准表 【找 最小公倍数 三情形速查表】 情形 分母示例 最小公倍数 说明 ① 互质 2、3、5 30（=2×3×5） 互质 → 直接相乘 ② 倍数 2、4、8 8（=最大数） 有倍数关系 → 取最大分母 ③ 一般 4、6 12（=2²×3） 质因数分解，取最高次幂 ④ 小数 0.3、0.03、0.5 100 先化 = 、、，最小公倍数(10,100,10)=100 ⑤ 系数 2、3、6 6（=6） 6 是 2 和 3 的倍数 → 取 6 【分·去·移·合·解五步法标准表】以 + = 1 为例： 步 名称 操作 & 结果 依据 / 备注 ① 分（去分母） 找 最小公倍数(2,3)=6；两边同乘 6，每一项都乘：6· + 6· = 6·1 → 3(x-1) + 2(x-2) = 6 等式性质 2；分子是多项式必加括号 ② 去（去括号） 分配律展开：3x-3 + 2x-4 = 6 §5.2.3 分配律去括号三大法则 ③ 移（移项） 常数项移到右边：3x + 2x = 6 + 3 + 4 §5.2.2 移项跨等号必变号 ④ 合（合并同类项） 5x = 13 §5.2.1 合并同类项 ⑤ 解（系数化 1） 两边同除以 5：x = 性质 2；也可写成 x=2.6 ★ 验（代回验证） 左 = -1 除以 2 加 -2 除以 3 = ÷2 + ÷3 = + = 1 = 右 ✓ 验证是解方程的最后保险 探究三　去分母三大陷阱预警 【陷阱一 · 漏乘不含分母的项】请解方程 + = 5。找 最小公倍数 = 6，两边同乘 6。请写出两边同乘 6 后的方程。 【陷阱二 · 分子多项式忘加括号】请解方程 - = 1。找 最小公倍数 = 6，两边同乘 6。请写出两边同乘 6 后的方程。 【陷阱三 · 小数化分数出错】请解方程 0.3x + 0.03(x-2) = 0.5。想去分母，先要化小数为分数。请写出等价的分数形式方程。 探究四　应用建模 · 工程问题（去分母天然舞台） 一件工作，甲单独完成需 4 天，乙单独完成需 6 天。若两人合做，需要多少天完成？（这是本节最经典的应用场景——分数系数几乎无处不在的地方就是「工作量问题」，因为「效率 = 」天然产生分母。） 五、例题精讲 例1　基础 · 分·去·移·合·解五步法演练（4 题） （1） = （2） - = 1 （3） + = 3 （4） = 2 - 例2　进阶 · 分子多项式加括号（4 题） （1） - = （2） + = 1 （3） - - = 1 （4） - = 例3　应用 · 三情境（工程/行程/储蓄） （1）工程问题·天然舞台 一件工作，甲单独完成需 6 天，乙单独完成需 8 天。先由甲一人做 2 天，然后甲乙合做剩余部分，问甲乙合做多少天完成整个工作？ （2）行程问题·顺流逆流 一艘船在静水中的速度为 20 km/h，水流速度为 4 km/h。船顺流行驶到某地，返回时逆流用了比顺流多 1 小时。求单程距离。 （3）储蓄税率问题·斐波那契 1202 母题重现 小明把一笔钱存入银行，年利率为 4%（即 0.04），一年后连本带利共取出 5200 元，问本金是多少？ 六、当堂检测（15 min） Part 1　找 最小公倍数 判定（5 题 · 5 min） 找出下列分母组合的最小公倍数 最小公倍数： ① 分母 2、5 → 最小公倍数 = ______；② 分母 3、6、9 → 最小公倍数 = ______；③ 分母 2、3、4 → 最小公倍数 = ______；④ 分母 0.1、0.05（先化分数）→ 最小公倍数 = ______；⑤ 分母 4、6、8 → 最小公倍数 = ______。 Part 2　解方程 · 分·去·移·合·解五步法（4 题 · 6 min） ① - = 1 ② - = ③ 0.2 - = 0.5x ④ - = Part 3　应用 · 综合建模（3 题 · 4 min） ① 工程问题：一项工程，甲单独做 10 天完成，乙单独做 15 天完成。若两人合做 x 天完成整个工程，列方程并解出 x。 ② 陷阱题·恒等式变种：请解方程 + - = 0。 ③ 综合建模：一个两位数，个位数字比十位数字多 3。把个位数字与十位数字对调后，得到的新两位数比原两位数大 27。原两位数是多少？ 七、思维导图 · 分·去·移·合·解五步法完全体 §5.2.4 去分母 · 一元一次方程解法完全体 ├─ 【概念区】去分母：把系数含分数的方程 → 整系数方程 │ └─ 依据：等式性质 2（两边同乘 最小公倍数） │ ├─ 【法则区】三大黄金口诀 │ ├─ 🔍 找 最小公倍数：互质相乘 / 倍数取大 / 一般质因数分解取最高次幂 │ ├─ ✖️ 遍乘每项：不含分母的项也要乘（最大坑） │ └─ 📦 分子多项式必加括号（避免负号漏变） │ ├─ 【方法区】★ 分·去·移·合·解五步法完全体 ★ │ ├─ ① 分：找 最小公倍数 → 两边同乘 │ ├─ ② 去：分配律去括号（§5.2.3） │ ├─ ③ 移：跨等号必变号（§5.2.2） │ ├─ ④ 合：合并同类项（§5.2.1） │ └─ ⑤ 解：系数化 1（性质 2 · §5.1.2） │ ├─ 【陷阱区】六大易错预警 │ ├─ 漏乘不含分母的项（最大坑） │ ├─ 分子多项式忘加括号 │ ├─ 分母前负号漏变 │ ├─ 小数化分数出错（点几位分母 10 的几次幂） │ ├─ 最小公倍数 找错（取积不取 最小公倍数） │ └─ 去完分母就停手（还有 4 步） │ ├─ 【应用区】分数系数天然舞台 │ ├─ 工程问题：效率 = 1/总天数 │ ├─ 行程问题：时间 = 路程/速度 │ ├─ 储蓄税率：利息 = 本金×利率 │ └─ 建模五感：未知/等量/代数/方程/验证 │ └─ 【历史区】符号革命再前推 ├─ 斐波那契 1202《Liber Abaci》 │ └─ 印度阿拉伯数字 + 分数横杠 a/b 引入欧洲 └─ 花拉子米 830 → 斐波那契 1202 → 现代教科书 └─ 跨越 372+800 年的完整传承 ★ 三大黄金口诀 · 三色彩表 ★ 序 口诀 含义 & 示例 ① 🔍 找 最小公倍数 互质分母：直接相乘（如 2、3、5 → 30）；倍数分母：取最大（如 2、4、8 → 8）；一般：质因数分解取最高次幂（如 4、6 → 12）；小数：先化分数再找 最小公倍数 ② ✖️ 遍乘每项 最小公倍数 是全场通行证——分数项要乘、整数项也要乘、常数项也要乘、右边所有项都要乘。示例：+=1 乘 6 后 → 3x+2x=6（右边的 1 也乘！） ③ 📦 分子加括号 分子是多项式时，去分母后立刻加括号——把 (x-1) 从「分子」变成「括号」。示例：+=1 乘 6 后 → 3(x-1)+2(2x+1)=6（分子多项式加括号！） 八、作业（分层布置） 🅰 基础巩固（全体必做） A-1 找 最小公倍数（6 题）： ① 分母 3、4 → 最小公倍数 = ______；② 分母 2、5、10 → 最小公倍数 = ______；③ 分母 4、6、9 → 最小公倍数 = ______；④ 分母 6、8、12 → 最小公倍数 = ______；⑤ 分母 0.2、0.5 → 最小公倍数 = ______；⑥ 分母 3、5、7 → 最小公倍数 = ______。 A-2 解方程（5 题 · 分·去·移·合·解五步法）： ① = ② - = ③ 2x - = ④ 0.5x + = 1 ⑤ - + = 0 A-3 填空 · 每步填名称 + 依据（3 题）： 解方程 - = ： 原方程 → ______（依据：______）→ 3(x-1) - 2(x+1) = 1 → ______（依据：______）→ 3x-3 - 2x-2 = 1 → ______（依据：______）→ x - 5 = 1 → ______（依据：______）→ x = 6。 🅱 能力提升（学有余力） B-1 分子多项式加括号（3 题）： ① - = ② - = 1 ③ + - = 0 B-2 综合建模（3 题）： ① 工程续命题：一项工程，甲单独做 12 天完成，乙单独做 8 天完成。若先甲做 3 天，然后甲乙合做 x 天完成，求 x。 ② 行程相遇：甲乙两地相距 60 km。小明从甲地出发骑自行车，速度 12 km/h；1 小时后小华从乙地骑自行车相向而行，速度 8 km/h。小华出发后多少小时两人相遇？ ③ 商品打折：某商品先按标价的 打折，再降 20 元卖出，最终售价 220 元。求标价。 B-3 无解/无数解讨论（3 题）： 判断下列方程有唯一解、无数解还是无解： ① + = x；② - = -1；③ - = 🅲 挑战冲刺（有志者上） 🅲-1 含参分类讨论：解方程 - = （a 为常数）。 🅲-2 斐波那契 1202《Liber Abaci》母题重现·兔子繁殖预热：斐波那契 1202 年提出了一个著名的兔子繁殖问题——每对成年兔子每月生 1 对新兔子，新兔子出生 1 个月后成年（能生新的兔子）；假设兔子不死。第 1 月有 1 对新出生小兔，问第 n 月共有几对兔子？（这个数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... 后来被称为斐波那契数列。） 本题简化版：设第 n 月有 F(n) 对兔子，已知 F(1)=1、F(2)=1、F(3)=2、F(4)=3、F(5)=5、F(6)=8、F(7)=13，若第 n 月共 55 对兔子，求 n。（列方程未必好列，可用「递推关系 F(n)=F(n-1)+F(n-2)」验证。） 🅲-3 ★★★ 大结局 · 分·去·移·合·解五步法完全体算法说明书：请你像斐波那契 1202《Liber Abaci》那样，用现代教科书语言写出「一元一次方程解法完全体·分·去·移·合·解五步法」的正式算法说明书——不需要证明，只需完整清晰的算法描述。要求：① 明确输入 & 输出；② 每一步的操作说明；③ 每一步的公理依据；④ 至少一处「注意事项/陷阱预警」；⑤ 用一个完整案例演示（自选，包含分数分子多项式）。 九、学习反思（六项自我评估） 序 反思项目 自评（★☆） 1 我能熟练找出 2~4 个分母的 最小公倍数（含互质、倍数、一般、小数四种情形） ☆☆☆☆☆ 2 我理解「最小公倍数 是全场通行证——每一项都要乘一次」，不会漏乘不含分母的项 ☆☆☆☆☆ 3 分子是多项式时我会立刻加括号；分母前是负号时我会让整个括号变号 ☆☆☆☆☆ 4 我能完整走完分·去·移·合·解五步法（完全体），并说清每一步的依据 ☆☆☆☆☆ 5 面对含分数系数的工程/行程/储蓄应用题，我能建模并解出答案 ☆☆☆☆☆ 6 我了解斐波那契 1202《Liber Abaci》与「花拉子米→斐波那契→现代教科书」的历史传承 ☆☆☆☆☆ 学科网（北京）股份有限公司 $