第28讲 从算式到方程 小升初衔接 2026--2027学年人教版七年级数学上册

人教版·数学·七年级上册（2024 新版） §5.1.1 从算式到方程 · 导学案 【学生版】　·　第五章 一元一次方程 · 第一节 · 第一课时 ★ 未知与已知之间架起桥梁·从「算式思维」跃升到「方程思维」 ★ 一、学习目标 🎯 目标一 · 核心概念 理解方程的定义 —— 含有未知数的等式；掌握一元一次方程的三大判定标准：一元（一个未知数）· 一次（未知数次数为 1）· 整式方程（等式两边都是整式）。 🎯 目标二 · 核心方法 掌握从算式到方程的三步法 —— 设·找·列：设未知数 → 找等量关系 → 列出方程；理解方程的解的含义，并能代入检验方程的解。 🎯 目标三 · 数学史素养 感受从算式思维（顺向计算）到方程思维（逆向等量）的历史性飞跃。 二、重难点 类别 内容 典型例子 重点 ① 方程与一元一次方程的判定 3x+2=5 是；x²+1=0 不是（次数≠1） 重点 ② 从生活情境列方程 买苹果 x 元/斤，5 斤 30 元 → 5x=30 重点 ③ 方程的解 及其检验 x=3 是 2x-1=5 的解吗？代入验证 难点 ① 从算式思维 到 方程思维 的转变 小学：15+8=? · 中学：x+8=23，求 x 难点 ② 找准等量关系 总量 = 各部分之和 / 相遇路程之和 = 总距离 难点 ③ 区分方程 与 代数式 / 等式 3x+2 是代数式；3=3 是等式非方程 ⚠️ 六大易错预警 ① 误把「等式」当「方程」 —— 等式不一定含未知数（如 3+2=5 是等式，不是方程） ② 误把「代数式」当「方程」 —— 代数式没有「=」号（如 3x+2 是代数式，不是方程） ③ 忽略「一元」 —— x+y=5 有两个未知数，是「二元」不是「一元」 ④ 忽略「一次」 —— x²-1=0 未知数次数是 2，不是「一次」 ⑤ 忽略「整式」 —— +2=3 中 是分式，不是一元一次方程 ⑥ 列方程时找错等量关系 —— 例如「多3倍」和「是3倍」表达不同 三、复习回顾 回顾第 3-4 章的核心工具，为本节从算式到方程的跃升做好准备。 回顾一 · 代数式（§3.1）：用字母表示数 用字母表示下列量：（1）某数a的 3 倍再加 5：____　（2）比 x 少 2 的数：____　（3）速度 v，行驶 t 小时的路程：____ 回顾二 · 代数式的值（§3.2）：代入求值 当 x=5 时，2x-1 的值 = ____；当 x=____ 时，2x-1 的值 = 9。 回顾三 · 等式 vs 代数式 下列各式，哪些是等式？哪些是代数式？（1） 3+2=5　（2） 3x+2　（3） 2x-1=5　（4） a+b=b+a 四、新知探究 ★ 探究一 · 算式思维 vs 方程思维（本节最大跃升） 情境：小明去文具店买本子和笔，1 个本子 3 元，1 支笔 2 元，他买了 5 个本子和 4 支笔，一共花了 ____ 元。 小学·算式思维（顺向）： 直接计算 → 3×5 + 2×4 = 23 元。（从已知一步步算到未知） 换一个问法（逆向）： 小明买了 5 个本子和 4 支笔共花了 23 元，若每支笔 2 元，则每个本子 x 元。 请列出关系式：　　5x + 8 = 23 中学·方程思维（逆向等量）： 设未知数 x，用等式表达未知与已知的关系——这就是方程！ 对比维度 算式思维（小学） 方程思维（中学） 方向 顺向：已知 → 未知 逆向：未知 → 建立等量 表达 代数式：3×5 + 2×4 等式：5x + 8 = 23 威力 只解得结果 可解复杂逆向问题 代表人物 古埃及·中国古算 丢番图（250）·代数学之父 ★ 探究二 · 方程的判定 · 一元一次方程的三大标准 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。（缺一不可） 判定表 · 判断下列各式是否为方程： 式子 含未知数? 是等式? 是方程? ① 3+2=5 ✗ ✓ ✗ ② 3x+2 ✓ ✗ ✗ ③ 2x-1=5 ✓ ✓ ✓ ④ x+y=10 ✓ ✓ ✓ ⑤ x² = 9 ✓ ✓ ✓ ★ 一元一次方程的三大标准 ★ 标准 含义 满足 不满足 一元 只含一个未知数 3x-1=5 (只有 x) x+y=10 (有 x、y) 一次 未知数次数最高是 1 2x+3=7 (x 的次数=1) x²-1=0 (x 的次数=2) 整式 等式两边都是整式（单项式+多项式） 3x-1=5 (两边都是整式) +2=3 ( 是分式) 演练 · 判断哪些是一元一次方程： （1）3x-2=7　　（2）x²+1=0　　（3）x+y=5　　（4）=1　　（5）5x=0　　（6）3x-1 ★ 探究三 · 三步法·设·找·列（列方程的黄金流程） 列方程解应用题的核心三步： 步骤 动作 要点 第 1 步 · 设 设未知数 用字母 x 表示所求量；注意单位；一般设直接所求的量 第 2 步 · 找 找等量关系 题目中的关键句往往就是等量关系（如「是」「比」「共」「相等」「比…多/少」等） 第 3 步 · 列 列出方程 把等量关系翻译成含 x 的等式；写完后回读单位是否一致 演练 1 · 简单情境 一本书 x 元，买 5 本共 40 元。请列方程。 演练 2 · 年龄问题 爸爸今年比小明大 30 岁，5 年后爸爸的年龄是小明的 3 倍。设小明今年 x 岁，列方程。 演练 3 · 行程问题 小华骑车从家到学校，速度 15 千米/时，用了 x 小时；返回时步行，速度 5 千米/时，用了 (x+2) 小时。往返路程相同，列方程。 ★ 探究四 · 方程的解 · 代入检验 定义：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 检验方法：把值代入方程，如果左边 = 右边，则该值是方程的解；否则不是。 演练 · 判断哪个是方程 2x-1=5 的解： A. x=2　　B. x=3　　C. x=-3 五、例题精讲 例 1 · 方程与一元一次方程的判定（5 题） 判断下列各式是等式、代数式、方程还是一元一次方程？（多选可） （1） 5x-2 = 8　　（2） 3(a+b) = 3a+3b （3） x² + 3 = 5　　（4） = 6 （5） 2x + 5 例 2 · 列方程（4 题）· 三步法·设·找·列 (1) 甲种糖每千克 20 元，乙种糖每千克 15 元。用 x 千克甲糖与 3 千克乙糖混合后，总价 105 元。列方程。 (2) 一个长方形的长比宽多 4 cm，周长为 32 cm。设宽为 x cm，列方程。 (3) 打完折后，一件衣服的价格是原价的 ，比原价便宜 40 元。设原价 x 元，列方程。 (4) 一件工程，甲队独做 10 天完成，乙队独做 15 天完成。设两队合作 x 天完成，列方程。 例 3 · 三合一综合：判定 + 列方程 + 检验（丢番图墓志铭） ★★★ 千年经典·丢番图墓志铭 ★★★ 古希腊数学家丢番图（250-330）的墓志铭是历史上最著名的一元一次方程应用题： 　　『过路人啊，此处埋葬着丢番图。请数一数下面这些数字： 　　　他的一生的 是幸福的童年； 　　　再活了一生的 后，他长出了胡须； 　　　又过了一生的 ，他结婚了； 　　　5 年后，他有了一个儿子； 　　　儿子活了他寿命的一半后死去； 　　　4 年后，丢番图也追随儿子离世。』 　　　请问：丢番图活了多少岁？(只列式) 六、当堂检测 Part 1 · 基础判定（5 题） 判断下列是否为一元一次方程（是打 ✓，不是打 ✗ 并说明原因）： (1) 3x-5=0　(__)原因： (2) 5-2y=y+1　(__)原因： (3) x+2y=3　(__)原因：　　 (4) -1=0　(__)原因： (5) 3x²+2x-1=0　(__)原因： Part 2 · 列方程（4 题） (1) 某数的 3 倍加 4 等于该数的 2 倍减 5，设该数为 x，列方程。 (2) 一根铁丝长 60 cm，把它剪成两段，一段是另一段的 2 倍。设短的一段 x cm，列方程。 (3) 小明用 100 元买了 x 支笔，每支 5 元，剩 25 元。列方程。 (4) 学校图书馆共有书 1200 本，其中文学类占 ，其余为科普类。设文学类 x 本，列方程。 Part 3 · 检验方程的解（3 题） (1) 判断 x=4 是否为方程 3x-5=7 的解。 (2) 判断 x=-2 是否为方程 2(x+3)=x+4 的解。 (3) 已知 x=3 是方程 ax-5=1 的解，求 a 的值。 七、思维导图 & 三大黄金口诀 ★ 从算式到方程 · 全景思维导图 ★ §5.1.1 从算式到方程 　├── 【概念区】 　│ ├── 等式：含「=」的式子（3+2=5 也是等式） 　│ ├── 代数式：字母与数用运算符连接的式子（无「=」） 　│ └── 方程：含未知数的等式（等式 + 未知数 = 方程） 　├── 【判定区】一元一次方程 · 三大标准 　│ ├── ① 一元：只含一个未知数 　│ ├── ② 一次：未知数最高次为 1 　│ └── ③ 整式：等式两边都是整式（分母不含未知数） 　├── 【方法区】列方程·三步法 　│ ├── 第 1 步 · 设：设未知数 x 　│ ├── 第 2 步 · 找：找等量关系（关键句） 　│ └── 第 3 步 · 列：翻译成含 x 的等式 　├── 【解的区】方程的解 　│ ├── 定义：使左=右的未知数的值 　│ └── 检验：代入验证（负数加括号！） 　└── 【历史区】丢番图 250-330 · 代数学之父 　　　　└── 墓志铭 · 一元一次方程 → x = 84 岁 ★ 三大黄金口诀 ★ 口诀 内容 场景 🎯 未知先设 看到问题先设 x，别急着算 从算式思维转到方程思维 🔑 等量为魂 找到等量关系是列方程的灵魂 行程/工程/年龄/购物题通用 💎 三查三验 判定：一查元 · 二查次 · 三查整式 检验：代入、护身符加括号、左右相等 八、分层作业 🅰 基础层·必做（掌握概念·会判定·会列简单方程） A-1 · 判定（6 题） 判断下列各式是否为一元一次方程： ① 5x-3=2　② 2x²+1=5　③ x+2y=7　④ +3=5　⑤ -3x=6　⑥ 4x+1 A-2 · 简单列方程（4 题） ① 某数的 4 倍与 6 的差等于 10，设该数为 x。 ② 一件商品原价 x 元，打八折后售价 240 元。 ③ 甲比乙多 5 岁，两人年龄和是 35 岁。设乙 x 岁。 ④ 汽车以 60 km/h 的速度行驶 x 小时，共走 180 km。 A-3 · 检验方程的解（3 题） ① x=5 是不是方程 2x-3=7 的解？ ② x=-1 是不是方程 3x+5=2 的解？ ③ x=2 是不是方程 x+3=4 的解？ 🅱 提高层·选做（综合应用·多情境列方程） B-1 · 已知解求参数（3 题） ① 已知 x=2 是方程 3x-a=5 的解，求 a。 ② 已知 x=-3 是方程 mx+2=8 的解，求 m。 ③ 已知 x=1 是方程 (k-1)x + 2k = 5 的解，求 k。 B-2 · 综合列方程（3 题） ① 一辆汽车从 A 到 B 用了 3 小时，回程速度提高 20 km/h，用了 2 小时。设去时速度 x km/h，列方程。 ② 一件商品，第一次降价 10 元后，又降价 20% 卖出，售价 72 元。设原价 x 元，列方程。 ③ 学校甲、乙两个书架共 200 本，甲书架书数是乙书架的 3 倍。设乙书架 x 本，列方程。 B-3 · 情境理解（3 题） ① 某工程队修一条 300 米的路，先用 x 天每天修 25 米，然后加快到每天修 30 米，剩余 5 天完成。列方程。 ② 甲、乙两地相距 240 km，一辆车从甲往乙走，用 x 小时到达；同时另一辆车从乙往甲走，速度是前者的 。两车在中途相遇。设第一辆车速度 v km/h，列方程。 ③ 有一群鸽子，飞走 后又来了 12 只，此时鸽子共有 30 只。设原有 x 只，列方程。 🅲 挑战层·选做（★★★ 千年经典 · 数学史穿越） 🅲-1 · 一元一次方程判定深化题 ★★ 关于 x 的方程 (m-2)+ 3 = 0 是一元一次方程，求 m 的值。 🅲-2 · 数字游戏 · 阿基米德家养群题 ★★ 古希腊阿基米德时代有一道题：一群牛，白色的比黑色的多 群，黑色的比黄色的多 群。已知白色的比黄色的多 21 头。设黄色的有 x 头，列方程并求 x。（提示：把三种颜色都用 x 表示） 🅲-3 ★★★ 大结局 · 丢番图墓志铭一元一次方程自主命题 请仿照丢番图墓志铭的模式，为一位虚构人物撰写一段包含至少 3 个分数系数的墓志铭，要求： 　① 只含一个未知数 x（代表寿命）；② 方程能求出正整数解；③ 至少包含 、、 三种分数；④ 至少一处整体代入；⑤ 写出你的方程和 x 的值。 九、学习反思 反思项 完全掌握 😃 基本掌握 🙂 需要复习 😐 ① 我能说清楚什么是方程/一元一次方程 □ □ □ ② 我能用三大标准判定一元一次方程 □ □ □ ③ 我能用「设·找·列」三步法列方程 □ □ □ ④ 我能验证方程的解并加括号防错 □ □ □ ⑤ 我理解从算式思维到方程思维的跃升 □ □ □ ⑥ 我能说出丢番图墓志铭并求解 x=84 □ □ □ 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版·数学·七年级上册（2024 新版） §5.1.1 从算式到方程 · 导学案 【教师版】　·　第五章 一元一次方程 · 第一节 · 第一课时 ★ 未知与已知之间架起桥梁·从「算式思维」跃升到「方程思维」 ★ 一、学习目标 🎯 目标一 · 核心概念 理解方程的定义 —— 含有未知数的等式；掌握一元一次方程的三大判定标准：一元（一个未知数）· 一次（未知数次数为 1）· 整式方程（等式两边都是整式）。 🎯 目标二 · 核心方法 掌握从算式到方程的三步法 —— 设·找·列：设未知数 → 找等量关系 → 列出方程；理解方程的解的含义，并能代入检验方程的解。 🎯 目标三 · 数学史素养 感受从算式思维（顺向计算）到方程思维（逆向等量）的历史性飞跃。 二、重难点 类别 内容 典型例子 重点 ① 方程与一元一次方程的判定 3x+2=5 是；x²+1=0 不是（次数≠1） 重点 ② 从生活情境列方程 买苹果 x 元/斤，5 斤 30 元 → 5x=30 重点 ③ 方程的解 及其检验 x=3 是 2x-1=5 的解吗？代入验证 难点 ① 从算式思维 到 方程思维 的转变 小学：15+8=? · 中学：x+8=23，求 x 难点 ② 找准等量关系 总量 = 各部分之和 / 相遇路程之和 = 总距离 难点 ③ 区分方程 与 代数式 / 等式 3x+2 是代数式；3=3 是等式非方程 ⚠️ 六大易错预警 ① 误把「等式」当「方程」 —— 等式不一定含未知数（如 3+2=5 是等式，不是方程） ② 误把「代数式」当「方程」 —— 代数式没有「=」号（如 3x+2 是代数式，不是方程） ③ 忽略「一元」 —— x+y=5 有两个未知数，是「二元」不是「一元」 ④ 忽略「一次」 —— x²-1=0 未知数次数是 2，不是「一次」 ⑤ 忽略「整式」 —— +2=3 中 是分式，不是一元一次方程 ⑥ 列方程时找错等量关系 —— 例如「多3倍」和「是3倍」表达不同 三、复习回顾 回顾第 3-4 章的核心工具，为本节从算式到方程的跃升做好准备。 回顾一 · 代数式（§3.1）：用字母表示数 用字母表示下列量：（1）某数a的 3 倍再加 5：____　（2）比 x 少 2 的数：____　（3）速度 v，行驶 t 小时的路程：____ 答案：（1）3a+5　（2）x-2　（3）vt 回顾二 · 代数式的值（§3.2）：代入求值 当 x=5 时，2x-1 的值 = ____；当 x=____ 时，2x-1 的值 = 9。 答案：前空 = 9（代入计算：2×5-1=9）；后空 = 5（此处是逆推——已知式子的值，求 x —— 这就是方程的雏形！） 回顾三 · 等式 vs 代数式 下列各式，哪些是等式？哪些是代数式？（1） 3+2=5　（2） 3x+2　（3） 2x-1=5　（4） a+b=b+a 答案：等式：(1)(3)(4)；代数式：(2)。 延伸思考：(1)(4) 是恒等式——不含未知数或对任意值成立；(3) 含未知数 x —— 这就是我们今天要学的方程！ 四、新知探究 ★ 探究一 · 算式思维 vs 方程思维（本节最大跃升） 情境：小明去文具店买本子和笔，1 个本子 3 元，1 支笔 2 元，他买了 5 个本子和 4 支笔，一共花了 ____ 元。 小学·算式思维（顺向）： 直接计算 → 3×5 + 2×4 = 23 元。（从已知一步步算到未知） 换一个问法（逆向）： 小明买了 5 个本子和 4 支笔共花了 23 元，若每支笔 2 元，则每个本子 x 元。 请列出关系式：　　5x + 8 = 23 中学·方程思维（逆向等量）： 设未知数 x，用等式表达未知与已知的关系——这就是方程！ 对比维度 算式思维（小学） 方程思维（中学） 方向 顺向：已知 → 未知 逆向：未知 → 建立等量 表达 代数式：3×5 + 2×4 等式：5x + 8 = 23 威力 只解得结果 可解复杂逆向问题 代表人物 古埃及·中国古算 丢番图（250）·代数学之父 💡 教学关键：这是七年级最大的一次思维跃升！小学 6 年都在训练顺向计算，突然要求逆向设未知数，学生会不适应。要用大量情境让学生体会——方程是刻画未知与已知关系的语言。 ★ 探究二 · 方程的判定 · 一元一次方程的三大标准 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。（缺一不可） 判定表 · 判断下列各式是否为方程： 式子 含未知数? 是等式? 是方程? ① 3+2=5 ✗ ✓ ✗ ② 3x+2 ✓ ✗ ✗ ③ 2x-1=5 ✓ ✓ ✓ ④ x+y=10 ✓ ✓ ✓ ⑤ x² = 9 ✓ ✓ ✓ ★ 一元一次方程的三大标准 ★ 标准 含义 满足 不满足 一元 只含一个未知数 3x-1=5 (只有 x) x+y=10 (有 x、y) 一次 未知数次数最高是 1 2x+3=7 (x 的次数=1) x²-1=0 (x 的次数=2) 整式 等式两边都是整式（单项式+多项式） 3x-1=5 (两边都是整式) +2=3 ( 是分式) 演练 · 判断哪些是一元一次方程： （1）3x-2=7　　（2）x²+1=0　　（3）x+y=5　　（4）=1　　（5）5x=0　　（6）3x-1 答案：是一元一次方程的有 (1)、(5) 解析：(2) 次数为 2 ✗；(3) 二元 ✗；(4) 是分式 ✗；(6) 无「=」，是代数式 ✗。 三查诀：一查未知数个数（要=1）→ 二查最高次数（要=1）→ 三查是否整式（分母不含 x） ★ 探究三 · 三步法·设·找·列（列方程的黄金流程） 列方程解应用题的核心三步： 步骤 动作 要点 第 1 步 · 设 设未知数 用字母 x 表示所求量；注意单位；一般设直接所求的量 第 2 步 · 找 找等量关系 题目中的关键句往往就是等量关系（如「是」「比」「共」「相等」「比…多/少」等） 第 3 步 · 列 列出方程 把等量关系翻译成含 x 的等式；写完后回读单位是否一致 演练 1 · 简单情境 一本书 x 元，买 5 本共 40 元。请列方程。 设：已设：每本 x 元 找：5 本总价 = 40 元 列：5x = 40 演练 2 · 年龄问题 爸爸今年比小明大 30 岁，5 年后爸爸的年龄是小明的 3 倍。设小明今年 x 岁，列方程。 设：小明今年 x 岁，则爸爸今年 (x+30) 岁 找：5 年后爸爸年龄 = 5 年后小明年龄 × 3 列：(x+30) + 5 = 3(x+5)　即 x+35 = 3x+15 💡 关键：题目中的「是…的 3 倍」就是等量关系的信号词！ 演练 3 · 行程问题 小华骑车从家到学校，速度 15 千米/时，用了 x 小时；返回时步行，速度 5 千米/时，用了 (x+2) 小时。往返路程相同，列方程。 设：已设：去时用 x 小时 找：去时路程 = 返回路程 列：15x = 5(x+2) 💡 行程题的等量关系：① 路程相等　② 时间相等　③ 速度和×时间=总路程（相遇） ★ 探究四 · 方程的解 · 代入检验 定义：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 检验方法：把值代入方程，如果左边 = 右边，则该值是方程的解；否则不是。 演练 · 判断哪个是方程 2x-1=5 的解： A. x=2　　B. x=3　　C. x=-3 检验：代入 x=2：左=2×2-1=3，右=5，左≠右 ✗ 　　　　代入 x=3：左=2×3-1=5，右=5，左=右 ✓ 　　　　代入 x=-3：左=2×(-3)-1=-7，右=5，左≠右 ✗ 答案：B · x=3 是方程的解。 💡 检验的护身符：代入负数一定要加括号——延续 §3.2 三大护身符！ 五、例题精讲 例 1 · 方程与一元一次方程的判定（5 题） 判断下列各式是等式、代数式、方程还是一元一次方程？（多选可） （1） 5x-2 = 8　　（2） 3(a+b) = 3a+3b （3） x² + 3 = 5　　（4） = 6 （5） 2x + 5 (1) 5x-2=8：含未知数 x 的等式 → 方程 · 一元一次方程 ✓ (2) 3(a+b)=3a+3b：含未知数但是恒等式（对任意值恒成立） → 等式，不是通常意义方程 (3) x²+3=5：含未知数的等式 → 方程，但次数=2 → 不是一元一次方程 ✗ (4) =6：含未知数的等式 → 方程，但 是分式 → 不是一元一次方程 ✗ (5) 2x+5：无「=」 → 代数式，不是方程 ✗ 💡 三查诀：一查未知数 · 二查次数 · 三查整式 例 2 · 列方程（4 题）· 三步法·设·找·列 (1) 甲种糖每千克 20 元，乙种糖每千克 15 元。用 x 千克甲糖与 3 千克乙糖混合后，总价 105 元。列方程。 设：已设：甲糖用 x 千克 找：甲糖总价 + 乙糖总价 = 105 列：20x + 15×3 = 105　即 20x + 45 = 105 (2) 一个长方形的长比宽多 4 cm，周长为 32 cm。设宽为 x cm，列方程。 设：宽 x cm，则长 (x+4) cm 找：周长 = 2(长+宽) = 32 列：2[(x+4) + x] = 32　即 2(2x+4) = 32 或 4x+8=32 (3) 打完折后，一件衣服的价格是原价的 ，比原价便宜 40 元。设原价 x 元，列方程。 设：已设：原价 x 元 找：原价 - 打折后价 = 40 列：x - x = 40　或 () x = 40 💡 提示：分数系数题延续 §3.2 燃油车 + + = 1 的思路 (4) 一件工程，甲队独做 10 天完成，乙队独做 15 天完成。设两队合作 x 天完成，列方程。 设：已设：合作 x 天完成 找：甲的工作量 + 乙的工作量 = 1（总工程量） 列： x + x = 1 💡 工程题的等量关系：工作效率 × 工作时间 = 工作总量；甲效率 = ，乙效率 = 例 3 · 三合一综合：判定 + 列方程 + 检验（丢番图墓志铭） ★★★ 千年经典·丢番图墓志铭 ★★★ 古希腊数学家丢番图（250-330）的墓志铭是历史上最著名的一元一次方程应用题： 　　『过路人啊，此处埋葬着丢番图。请数一数下面这些数字： 　　　他的一生的 是幸福的童年； 　　　再活了一生的 后，他长出了胡须； 　　　又过了一生的 ，他结婚了； 　　　5 年后，他有了一个儿子； 　　　儿子活了他寿命的一半后死去； 　　　4 年后，丢番图也追随儿子离世。』 　　　请问：丢番图活了多少岁？ 设：丢番图活了 x 岁。 找：童年 + 少年 + 结婚前 + 儿子出生前 + 儿子寿命 + 儿子死后 = 一生 x 列： x + x + x + 5 + x + 4 = x 💡 提示 · 求解过程（超前预览，本节仅列方程）：通分（分母 6、12、7、2 的最小公倍数 = 84） → 　左边 = + 9 = + 9 　方程 → + 9 = x → = 9 → x = 84 答：丢番图活了 84 岁 ✓（这就是数学史上留下的第一份一元一次方程应用经典！） 六、当堂检测 Part 1 · 基础判定（5 题） 判断下列是否为一元一次方程（是打 ✓，不是打 ✗ 并说明原因）： (1) 3x-5=0　(__)　　(2) 5-2y=y+1　(__) (3) x+2y=3　(__)　　(4) -1=0　(__) (5) 3x²+2x-1=0　(__) 答案：(1) ✓ 一元一次；(2) ✓ 一元一次（含 y 也是一元）；(3) ✗ 二元；(4) ✗ 是分式；(5) ✗ 次数=2 Part 2 · 列方程（4 题） (1) 某数的 3 倍加 4 等于该数的 2 倍减 5，设该数为 x，列方程。 (2) 一根铁丝长 60 cm，把它剪成两段，一段是另一段的 2 倍。设短的一段 x cm，列方程。 (3) 小明用 100 元买了 x 支笔，每支 5 元，剩 25 元。列方程。 (4) 学校图书馆共有书 1200 本，其中文学类占 ，其余为科普类。设文学类 x 本，列方程。 (1) 3x+4 = 2x-5 (2) x + 2x = 60　即 3x=60 (3) 5x + 25 = 100　（或 100-5x=25） (4) x = ×1200 Part 3 · 检验方程的解（3 题） (1) 判断 x=4 是否为方程 3x-5=7 的解。 (2) 判断 x=-2 是否为方程 2(x+3)=x+4 的解。 (3) 已知 x=3 是方程 ax-5=1 的解，求 a 的值。 (1) 代入 x=4：左=3×4-5=7=右 → 是解 ✓ (2) 代入 x=-2：左=2×(-2+3)=2，右=(-2)+4=2，左=右 → 是解 ✓ (3) 代入 x=3：3a-5=1 → 3a=6 → a=2 💡 (3) 是逆向应用：已知解求参数，这是初二解题的常见套路！ 七、思维导图 & 三大黄金口诀 ★ 从算式到方程 · 全景思维导图 ★ §5.1.1 从算式到方程 　├── 【概念区】 　│ ├── 等式：含「=」的式子（3+2=5 也是等式） 　│ ├── 代数式：字母与数用运算符连接的式子（无「=」） 　│ └── 方程：含未知数的等式（等式 + 未知数 = 方程） 　├── 【判定区】一元一次方程 · 三大标准 　│ ├── ① 一元：只含一个未知数 　│ ├── ② 一次：未知数最高次为 1 　│ └── ③ 整式：等式两边都是整式（分母不含未知数） 　├── 【方法区】列方程·三步法 　│ ├── 第 1 步 · 设：设未知数 x 　│ ├── 第 2 步 · 找：找等量关系（关键句） 　│ └── 第 3 步 · 列：翻译成含 x 的等式 　├── 【解的区】方程的解 　│ ├── 定义：使左=右的未知数的值 　│ └── 检验：代入验证（负数加括号！） 　└── 【历史区】丢番图 250-330 · 代数学之父 　　　　└── 墓志铭 · 一元一次方程 → x = 84 岁 ★ 三大黄金口诀 ★ 口诀 内容 场景 🎯 未知先设 看到问题先设 x，别急着算 从算式思维转到方程思维 🔑 等量为魂 找到等量关系是列方程的灵魂 行程/工程/年龄/购物题通用 💎 三查三验 判定：一查元 · 二查次 · 三查整式 检验：代入、护身符加括号、左右相等 八、分层作业 🅰 基础层·必做（掌握概念·会判定·会列简单方程） A-1 · 判定（6 题） 判断下列各式是否为一元一次方程： ① 5x-3=2　② 2x²+1=5　③ x+2y=7　④ +3=5　⑤ -3x=6　⑥ 4x+1 答案：是一元一次的：①、⑤；② 次数=2；③ 二元；④ 分式；⑥ 无「=」 A-2 · 简单列方程（4 题） ① 某数的 4 倍与 6 的差等于 10，设该数为 x。 ② 一件商品原价 x 元，打八折后售价 240 元。 ③ 甲比乙多 5 岁，两人年龄和是 35 岁。设乙 x 岁。 ④ 汽车以 60 km/h 的速度行驶 x 小时，共走 180 km。 ① 4x-6=10 ② 0.8x=240　或　 x=240 ③ x + (x+5) = 35 ④ 60x=180 A-3 · 检验方程的解（3 题） ① x=5 是不是方程 2x-3=7 的解？ ② x=-1 是不是方程 3x+5=2 的解？ ③ x=2 是不是方程 x+3=4 的解？ ① 2×5-3=7 ✓，是 ② 3×(-1)+5=2 ✓，是 ③ ×2+3=4 ✓，是 🅱 提高层·选做（综合应用·多情境列方程） B-1 · 已知解求参数（3 题） ① 已知 x=2 是方程 3x-a=5 的解，求 a。 ② 已知 x=-3 是方程 mx+2=8 的解，求 m。 ③ 已知 x=1 是方程 (k-1)x + 2k = 5 的解，求 k。 ① 3×2-a=5 → 6-a=5 → a=1 ② m×(-3)+2=8 → -3m=6 → m=-2 ③ (k-1)×1 + 2k=5 → k-1+2k=5 → 3k=6 → k=2 B-2 · 综合列方程（3 题） ① 一辆汽车从 A 到 B 用了 3 小时，回程速度提高 20 km/h，用了 2 小时。设去时速度 x km/h，列方程。 ② 一件商品，第一次降价 10 元后，又降价 20% 卖出，售价 72 元。设原价 x 元，列方程。 ③ 学校甲、乙两个书架共 200 本，甲书架书数是乙书架的 3 倍。设乙书架 x 本，列方程。 ① 3x = 2(x+20) ② (x-10)×(1-20%) = 72　即　0.8(x-10)=72 ③ 3x + x = 200 B-3 · 情境理解（3 题） ① 某工程队修一条 300 米的路，先用 x 天每天修 25 米，然后加快到每天修 30 米，剩余 5 天完成。列方程。 ② 甲、乙两地相距 240 km，一辆车从甲往乙走，用 x 小时到达；同时另一辆车从乙往甲走，速度是前者的 。两车在中途相遇。设第一辆车速度 v km/h，列方程。 ③ 有一群鸽子，飞走 后又来了 12 只，此时鸽子共有 30 只。设原有 x 只，列方程。 ① 25x + 30×5 = 300　即　25x + 150 = 300 ② vx + v·x = 240　或　v·x(1 + ) = 240 ③ x - x + 12 = 30 🅲 挑战层·选做（★★★ 千年经典 · 数学史穿越） 🅲-1 · 一元一次方程判定深化题 ★★ 关于 x 的方程 (m-2)+ 3 = 0 是一元一次方程，求 m 的值。 分析：要求同时满足：① 次数 |m-1| = 1；② 系数 (m-2) ≠ 0 由 ① |m-1|=1 → m-1=±1 → m=2 或 m=0 由 ② m-2≠0 → m≠2 答：m = 0 💡 陷阱：m=2 会让系数为 0，方程变成 0·x + 3 = 0，不再是一元一次方程！ 🅲-2 · 数字游戏 · 阿基米德家养群题 ★★ 古希腊阿基米德时代有一道题：一群牛，白色的比黑色的多 群，黑色的比黄色的多 群。已知白色的比黄色的多 21 头。设黄色的有 x 头，列方程并求 x。（提示：把三种颜色都用 x 表示） 设：黄色 x 头 找：黑色 = 黄色 + 群 → 但「群」的定义不清，本题按连锁比例： 黑色 = x（比黄色多 ）；白色 = · x = x 列方程： x - x = 21 → x = 21 → x = 31.5 💡 感受：此题为古典数学游戏，重在体验多层比例的方程转化；本节仅列方程，求解详见 §5.2。 🅲-3 ★★★ 大结局 · 丢番图墓志铭一元一次方程自主命题 请仿照丢番图墓志铭的模式，为一位虚构人物撰写一段包含至少 3 个分数系数的墓志铭，要求： 　① 只含一个未知数 x（代表寿命）；② 方程能求出正整数解；③ 至少包含 、、 三种分数；④ 至少一处整体代入；⑤ 写出你的方程和 x 的值。 参考范例（教师版参考·学生可自由发挥）：『某人一生的 学习， 工作， 隐居，10 年在旅行，然后离世。』 列方程： x + x + x + 10 = x 通分（12）：2x + 3x + 4x + 120 = 12x → 9x + 120 = 12x → 3x = 120 → x = 40 岁 💡 命题标准：① 分数系数之和 < 1（否则解为负）；② 剩余常数项 ÷ (1 - 分数和) 得正整数；③ 情境自然连贯 九、学习反思 反思项 完全掌握 😃 基本掌握 🙂 需要复习 😐 ① 我能说清楚什么是方程/一元一次方程 □ □ □ ② 我能用三大标准判定一元一次方程 □ □ □ ③ 我能用「设·找·列」三步法列方程 □ □ □ ④ 我能验证方程的解并加括号防错 □ □ □ ⑤ 我理解从算式思维到方程思维的跃升 □ □ □ ⑥ 我能说出丢番图墓志铭并求解 x=84 □ □ □ 学科网（北京）股份有限公司 $