第30讲 合并同类项 小升初衔接 2026--2027学年人教版七年级数学上册

人教版·数学·七年级上册（2024 新版） §5.2.1 合并同类项 · 导学案 第三课时　学生版　·　李冶 1248《测圆海镜》天元术再登场 一、学习目标 ① 核心概念　理解「合并同类项」在解一元一次方程中的作用——把方程中的同类项合并起来，从而把复杂方程化简为形如 ax = b 的最简方程；理解「合并同类项」是解方程的第一大工具（§4.2.1 复用与升级）。 ② 核心方法　掌握形如 ax+bx=c 或 ax-bx+cx=d 的一元一次方程的三步解法「识·合·解」——识别同类项 · 合并同类项 · 系数化为 1（等式性质 2）；能规范书写每步依据，为 §5.2.2 移项做好铺垫。 ③ 数学史素养　感受中国宋元数学在解方程算法化上的世界领先地位。 二、重难点 类别 具体内容 突破策略 重点 1 形如 ax+bx=c 的方程：先合并同类项，再系数化为 1 识·合·解三步法 · 系数相加，字母指数不变 · 板演演示 3x+2x=20 → 5x=20 → x=4 重点 2 含负号或省略系数 1 的同类项合并（如 5x-2x+x） 默认系数为 1 · 负号跟着系数走 重点 3 合并同类项解方程的应用题——建立数学模型（列方程 → 解方程） 设·找·列三步法（§5.1.1）联动 · 工厂加工/年龄倍差/几何比例 三大情境 难点 1 系数为分数或负数时的合并（如 x + x = 5） 通分再合并 · 分数运算复习铺垫 · 教师板演化归六分之一策略 难点 2 合并同类项 vs 化简 vs 解方程 三者的关系 §4.2.1 化简：值不变 / §5.2.1 解方程：求 x · 三者都用同一操作但目的不同 难点 3 应用题中列出「同类项之和 = 常数」型方程的建模能力 找等量关系：总量 = 各部分之和 · 「每份 × 份数」型 · 「x + kx = 总」型 ⚠️ 六大易错预警 ① 系数省略当无系数　5x-2x+x = 4x（√）；很多学生写成 5x-2x+x = 6x 或 3x——系数 1 默认存在！ ② 合并时忘负号　5x-2x+x = 3x+x = 4x（√）；不能写成 5-2+1=4x，也不能写成 8x（负号是系数一部分） ③ 分数系数不通分直接加　x + x ≠ x —— 应通分 ④ 系数化为 1 时忘除以负数变号　由 -3x=6 得 x=2 —— 应为 x=-2（两边同除 -3） ⑤ 不同类项误合并　3x + 2 = 5x（错！）—— 3x 与 2 不是同类项，不能合并 ⑥ 应用题只合并不建方程　光把 40x+60x=100x 化简完就交卷 —— 忘了要令 100x=1000 求 x 三、复习回顾 回顾 1：§4.2.1 合并同类项（识·合·检三步法） ① 同类项定义：所含　　　　相同，并且　　　　也相同的项。 ② 合并法则：把同类项的　　　　相加，字母和字母的指数保持不变。 回顾 2：§5.1.2 等式性质 2（系数化为 1 的公理依据） 等式性质 2：等式两边都乘同一个数，或除以同一个　　　　的数，结果仍为等式。 演练：由 5x=20，两边同除以　　　　，得 x =　　　　。 回顾 3：§5.1.1 设找列三步法（列方程的基石） 三步法：① 设　　　　为 x · ② 找　　　　· ③ 列　　　　。 四、新知探究 探究一　从「化简」到「解方程」——本节最大跃升 回忆 §4.2.1：把 3x + 2x 化简，得到　　　　。（这是化简，结果与原式的值相等） 现在，如果告诉你 3x + 2x = 20，问 x 是多少？——这就变成了「解方程」问题！ ① 你会怎么处理左边的 3x + 2x？　　　　 ② 合并后方程变成 5x = 20，接下来怎么求 x？　　　　 探究二　形如 ax+bx=c 的方程 · 识·合·解三步法 以 3x + 2x = 20 为标准案例，规范书写解答流程： 步骤 操作 依据 ① 识 识别同类项：3x 与 2x 都含字母 x，指数都为 1 同类项的定义 ② 合 合并同类项：(3+2)x = 5x，原方程化为 5x = 20 合并同类项法则（§4.2.1） ③ 解 系数化为 1：两边同除以 5，得 x = 4 等式性质 2（§5.1.2） ④ 验（可选） 代入检验：3·4 + 2·4 = 12 + 8 = 20 ✓ 方程的解的定义（§5.1.1） 探究三　含负号 & 分数系数的合并同类项方程 案例 1：解方程 5x - 2x + x = 12 案例 2（分数系数）：解方程 x + x = 5 案例 3（负号陷阱）：解方程 -0.5x + 1.5x - 2x = 4 探究四　应用题·工厂加工模型（人教版经典） 【问题】某工厂第一车间每天加工零件 40 件，第二车间每天加工 60 件。两个车间同时开工加工 x 天，共完成 1000 件。求加工的天数 x。 ① 用 §5.1.1 设·找·列三步法： 　设：加工的天数为　　　　 　找等量关系：　　　　＋　　　　＝ 1000 　列方程：　　　　＝ 1000 ② 用「识·合·解」三步法解方程 40x + 60x = 1000： 五、例题精讲 例 1　基础方程（识·合·解三步法演练） 解下列方程： (1) 3x + 2x = 10 (2) 7x - 4x = 15 (3) 5y + y = 24 (4) 8a - 3a - a = 16 例 2　含分数、负号的合并方程 解下列方程： (1) -3x + 5x = 8 (2) x - x = 3 (3) x + x = 10 (4) -0.5x + 1.5x - 2x = 4 例 3　应用题·合并同类项建模三大情境 (1) 工厂加工型：某工厂 A、B 两车间共同加工一批零件，A 车间每天加工 40 件，B 车间每天加工 60 件。同时开工加工同样天数，共加工 1000 件。求加工的天数。 (2) 分组比例型：某班学生参加植树活动，按 3:4:5 分成三组。三组共种树 60 棵。问种得最多的一组种了多少棵？ (3) 几何比例型★：三角形三个内角之比为 1:2:3。求三个内角的度数。 六、当堂检测 Part 1　辨析题（5 分×5 = 25 分） 判断下列方程能否直接用合并同类项+系数化为 1 求解（打 ✓ 或 ✗）： (1) 3x + 5x = 24　　　　 (2) 3x + 5 = 24　　　　 (3) 2x + 3y = 15　　　　 (4) x - x + x = 5　　　　 (5) 3x² + 2x² = 20　　　　 Part 2　解方程（10 分×4 = 40 分） (1) 4x + 5x = 27　　　　　　　　　　　　　(2) 6y - 2y + y = 25 (3) x + x = 12　　　　　　　 　(4) 5x - 8x + 2x = -6 Part 3　应用题（35 分） (1)（15 分）某公司购买笔记本电脑与办公桌若干。笔记本每台 5000 元，办公桌每张 800 元。已知购买数量之比为 1:2，共花费 13200 元。问购买了多少台笔记本？ (2)（10 分）一根木棒被截成 3 段，长度比为 2:3:5，最长的一段比最短的一段长 12 cm。求木棒原长。 (3)（10 分·陷阱题）解方程 4x - 5x + x = 8。你会得到什么？ 七、思维导图 + 三大黄金口诀 §5.2.1 合并同类项知识树 合并同类项（§5.2.1） ├─ 概念区 │　├─ 定义：字母相同、指数相同的项（§4.2.1 复用） │　└─ 升级：从「化简工具」变「解方程工具」 ├─ 方法区 │　├─ 识：识别同类项 │　├─ 合：合并同类项（系数相加、字母指数不变） │　└─ 解：系数化为 1（等式性质 2） ├─ 依据区 │　├─ §4.2.1 合并同类项法则 │　└─ §5.1.2 等式性质 2 ├─ 应用区 │　├─ 形如 ax+bx=c 的方程直接求解 │　└─ 应用题建模（工厂/分组/几何比例） ├─ 桥梁区 │　├─ ← §4.2.1 化简：值不变 │　├─ ← §5.1.2 性质：等价变换 │　└─ → §5.2.2 移项：花拉子米 830 └─ 历史区 　　├─ 李冶 1248《测圆海镜》天元术再登场 　　└─ 中国宋元数学：解方程算法化世界领先 三大黄金口诀 图标 口诀 要点 🧩 同类项才能合 字母相同、指数相同 —— 3x 与 2 不能合并，3x 与 3y 不能合并 🔢 系数加起来，字母不变 (3+2)x = 5x，字母 x 和指数 1 都不动 —— 只对系数做加法 ➗ 系数化为 1 靠性质 2 5x=20，两边同除 5 得 x=4 —— 等式性质 2 保证等价，除数不能为 0 八、分层作业 🅰 基础层（全体完成） A-1 判定同类项（6 题·2 分×6 = 12 分）　下列各组中是同类项的打 ✓，不是打 ✗： ① 3x 与 -5x　　② 2xy 与 -3yx　　③ 4x² 与 4x　　④ -a 与 2a　　⑤ 5 与 -3　　⑥ 2x² y 与 3xy² A-2 解方程（8 分×5 = 40 分） ① 2x + 3x = 25　　　　② 8y - 3y = 15　　　　③ 4a + a - 2a = 21 ④ x + x = 8　　　　⑤ -3x + 5x - 4x = 6 A-3 填空（6 分×3 = 18 分） ① 解方程 3x + 4x = 21 时，第一步是把 3x 与 4x　　　　，得到　　　　。 ② 由 7x = 21 得 x = 3，用了　　　　，两边同　　　　7。 ③ 由方程 -5x = 15 求 x，得 x =　　　　，依据　　　　。 🅱 提升层（学有余力完成） B-1 分数系数解方程（10 分×3 = 30 分） ① x - x + x = 4　　　② x + x = 14　　　③ 0.6x - 0.2x + 0.4x = 8 B-2 综合应用题（15 分×3 = 45 分） ① 甲、乙、丙三种商品单价之比为 2:3:5，各买 x 件，共花费 200 元，求 x。 ② 一个正方形与一个长方形的周长相等，长方形长比宽多 4 cm。设正方形边长为 x cm，长方形宽也为 x cm，求 x。 ③ 某车间要生产 750 个零件，A 组每天生产 30 个，B 组每天生产 45 个。两组合作，多少天完成？ B-3 结构复杂型（12 分×3 = 36 分） ① 已知方程 x - x + x + x = 15，求 x。 ② 解方程 ax + 2ax - 4ax = 10（a ≠ 0） ③ 关于 x 的方程 5x + 3x = m 的解是 x = 2，求 m 的值。 🅲 挑战层（选做·数学史与命题创作） 🅲-1 含参陷阱题（15 分） 解关于 x 的方程 (a+b)x + (2a-b)x = 15，分类讨论 a、b 的值。 🅲-2 天元术仿写（20 分） 李冶 1248 在《测圆海镜》中用「天元」表示未知数（相当于我们的 x），并通过合并同类项化简方程。请你仿照李冶天元术的思路，编写一道「分堆式」应用题：三个数按 a:b:c 的比例分配，总和为 M，其中一个部分与另一个部分的差为 D。用合并同类项的方法给出你自己的题目、方程与解答。 🅲-3 ★★★ 大结局·李冶天元术算法说明书（25 分） 模仿李冶《测圆海镜》的算法风格，用你自己的语言，写一份《用合并同类项解一元一次方程》的算法说明书。要求： ① 至少 3 个步骤；② 每步说明操作和依据；③ 必须包含「识别同类项」「合并」「系数化为 1」三个核心步骤；④ 可以自由添加检验、注意事项等；⑤ 用一个具体方程做演示。 九、学习反思 反思维度 我的记录 ① 概念理解 　我用一句话说清「合并同类项」如何帮助解方程：　　　　　　　　　　 ② 三步法掌握 　识·合·解三步法，我最容易在　　　　这一步出错，原因是　　　　 ③ 分数系数 　含分数系数的合并，我掌握了　　　　，还需要练习　　　　 ④ 应用建模 　设找列三步法与识合解三步法的联系：　　　　　　　　 ⑤ 与 §4.2.1 的联系 　§4.2.1 化简 vs §5.2.1 解方程，本节最大跃升是：　　　　　　 ⑥ 数学史感悟 　李冶 1248 天元术再登场，我对中国宋元数学的印象是：　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版·数学·七年级上册（2024 新版） §5.2.1 合并同类项 · 导学案 第三课时　教师版（含答案与教学建议）　·　李冶 1248《测圆海镜》天元术再登场 一、学习目标 ① 核心概念　理解「合并同类项」在解一元一次方程中的作用——把方程中的同类项合并起来，从而把复杂方程化简为形如 ax = b 的最简方程；理解「合并同类项」是解方程的第一大工具（§4.2.1 复用与升级）。 ② 核心方法　掌握形如 ax+bx=c 或 ax-bx+cx=d 的一元一次方程的三步解法「识·合·解」——识别同类项 · 合并同类项 · 系数化为 1（等式性质 2）；能规范书写每步依据，为 §5.2.2 移项做好铺垫。 ③ 数学史素养　感受中国宋元数学在解方程算法化上的世界领先地位。 二、重难点 类别 具体内容 突破策略 重点 1 形如 ax+bx=c 的方程：先合并同类项，再系数化为 1 识·合·解三步法 · 系数相加，字母指数不变 · 板演演示 3x+2x=20 → 5x=20 → x=4 重点 2 含负号或省略系数 1 的同类项合并（如 5x-2x+x） 默认系数为 1 · 负号跟着系数走 重点 3 合并同类项解方程的应用题——建立数学模型（列方程 → 解方程） 设·找·列三步法（§5.1.1）联动 · 工厂加工/年龄倍差/几何比例 三大情境 难点 1 系数为分数或负数时的合并（如 x + x = 5） 通分再合并 · 分数运算复习铺垫 · 教师板演化归六分之一策略 难点 2 合并同类项 vs 化简 vs 解方程 三者的关系 §4.2.1 化简：值不变 / §5.2.1 解方程：求 x · 三者都用同一操作但目的不同 难点 3 应用题中列出「同类项之和 = 常数」型方程的建模能力 找等量关系：总量 = 各部分之和 · 「每份 × 份数」型 · 「x + kx = 总」型 ⚠️ 六大易错预警 ① 系数省略当无系数　5x-2x+x = 4x（√）；很多学生写成 5x-2x+x = 6x 或 3x——系数 1 默认存在！ ② 合并时忘负号　5x-2x+x = 3x+x = 4x（√）；不能写成 5-2+1=4x，也不能写成 8x（负号是系数一部分） ③ 分数系数不通分直接加　x + x ≠ x —— 应通分 ④ 系数化为 1 时忘除以负数变号　由 -3x=6 得 x=2 —— 应为 x=-2（两边同除 -3） ⑤ 不同类项误合并　3x + 2 = 5x（错！）—— 3x 与 2 不是同类项，不能合并 ⑥ 应用题只合并不建方程　光把 40x+60x=100x 化简完就交卷 —— 忘了要令 100x=1000 求 x 三、复习回顾 回顾 1：§4.2.1 合并同类项（识·合·检三步法） ① 同类项定义：所含　　　　相同，并且　　　　也相同的项。 答：字母 · 相同字母的指数（例：3x 与 5x 是同类项；3x² 与 3x 不是同类项） ② 合并法则：把同类项的　　　　相加，字母和字母的指数保持不变。 答：系数（例：3x + 5x = 8x；5x - 2x + x = 4x） 回顾 2：§5.1.2 等式性质 2（系数化为 1 的公理依据） 等式性质 2：等式两边都乘同一个数，或除以同一个　　　　的数，结果仍为等式。 答：非零 · 符号：a=b(c≠0) ⇒ a/c=b/c —— 这是「系数化为 1」的公理依据 演练：由 5x=20，两边同除以　　　　，得 x =　　　　。 答：5 · x=4（依据：等式性质 2） 回顾 3：§5.1.1 设找列三步法（列方程的基石） 三步法：① 设　　　　为 x · ② 找　　　　· ③ 列　　　　。 答：未知量 · 等量关系 · 方程（三步法一以贯之，本节所有应用题都靠它列方程） 【教学起点】三次复习回顾直接托举本节：§4.2.1 合并同类项是本节最核心的操作工具，§5.1.2 性质 2 是「系数化为 1」的公理依据，§5.1.1 设找列三步法是应用题建模的通用流程。本节就是把这三块知识组装成解方程流水线——识别同类项 → 合并同类项 → 系数化为 1 = 解 ax+bx=c 型一元一次方程。李冶 1248 天元术再登场，从「合并同类项的诞生」（§4.2.1）走向「合并同类项解方程」（本节）——完美的师承对偶。 四、新知探究 探究一　从「化简」到「解方程」——本节最大跃升 回忆 §4.2.1：把 3x + 2x 化简，得到　　　　。（这是化简，结果与原式的值相等） 答：5x（§4.2.1 合并同类项，值不变的化简） 现在，如果告诉你 3x + 2x = 20，问 x 是多少？——这就变成了「解方程」问题！ ① 你会怎么处理左边的 3x + 2x？　　　　 答：合并同类项，得 5x（§4.2.1 复用） ② 合并后方程变成 5x = 20，接下来怎么求 x？　　　　 答：两边同除以 5，得 x = 4（§5.1.2 等式性质 2） 【核心洞察】合并同类项 从「化简工具」升级为「解方程工具」——同样的操作，服务不同的目的。§4.2.1 是为了让式子更简单，§5.2.1 是为了求出未知数 x。这就是本节的思维跃升。 探究二　形如 ax+bx=c 的方程 · 识·合·解三步法 以 3x + 2x = 20 为标准案例，规范书写解答流程： 步骤 操作 依据 ① 识 识别同类项：3x与 2x 都含字母x,指数都为 1 同类项的定义 ② 合 合并同类项：(3+2)x = 5x，原方程化为 5x = 20 合并同类项法则（§4.2.1） ③ 解 系数化为 1：两边同除以 5，得 x = 4 等式性质 2（§5.1.2） ④ 验（可选） 代入检验：3·4 + 2·4 = 12 + 8 = 20 ✓ 方程的解的定义（§5.1.1） 【三步法金句】识·合·解三步法与 §4.2.1「识·合·检」形成完美对偶——只有第三步不同：§4.2.1 化简完成「检」查值不变，§5.2.1 求出未知数「解」出 x。同一个「识·合」，两种「第三步」——数学的美就在这里。 探究三　含负号 & 分数系数的合并同类项方程 案例 1：解方程 5x - 2x + x = 12 识：5x、-2x、x（省略系数 1，实为 +x）三项都是同类项 合：(5 - 2 + 1)x = 4x，方程化为 4x = 12 解：x = 3（等式性质 2）　答：x = 3 案例 2（分数系数）：解方程 x + x = 5 识：两项都含字母 x，指数为 1，是同类项 合：系数通分 + = + = ，方程化为 x = 5 解：两边同除以 （即两边同乘 ），得 x = 5 × = 6　答：x = 6 案例 3（负号陷阱）：解方程 -0.5x + 1.5x - 2x = 4 合：(-0.5 + 1.5 - 2)x = -x，方程化为 -x = 4 解：两边同乘 -1，得 x = -4　答：x = -4 【负号陷阱警示】案例 3 的关键：-x 不是 0，而是系数为 -1 的 x。系数化为 1 时两边同乘 -1（或同除 -1），x 前的负号变正号，但结果值必须变号。学生最爱把 -x=4 直接写 x=4——错误率超过 60%。 探究四　应用题·工厂加工模型（人教版经典） 【问题】某工厂第一车间每天加工零件 40 件，第二车间每天加工 60 件。两个车间同时开工加工 x 天，共完成 1000 件。求加工的天数 x。 ① 用 §5.1.1 设·找·列三步法： 　设：加工的天数为　　　　 答：x（题目已经设好） 　找等量关系：　　　　＋　　　　＝ 1000 答：第一车间总数（40x）＋ 第二车间总数（60x）＝ 1000 　列方程：　　　　＝ 1000 答：40x + 60x = 1000 ② 用「识·合·解」三步法解方程 40x + 60x = 1000： 识：40x 与 60x 是同类项 合：(40+60)x = 100x，方程化为 100x = 1000 解：两边同除以 100，得 x = 10 验：40·10 + 60·10 = 400 + 600 = 1000 ✓　答：加工 10 天。 【建模五感】① 未知量感——一定是设「时间」而不是「件数」；② 单位量感——「每天 40 件」是速率；③ 累计量感——「x 天 × 40 件/天 = 40x 件」；④ 总量感——两车间之和 = 总量；⑤ 方程感——同类项自然出现，天生适合本节合并同类项法则。 五、例题精讲 例 1　基础方程（识·合·解三步法演练） 解下列方程： (1) 3x + 2x = 10 解：合并得 5x = 10，两边同除 5，x = 2　答：x = 2 (2) 7x - 4x = 15 解：合并得 3x = 15，两边同除 3，x = 5　答：x = 5 (3) 5y + y = 24 解：y 的系数为 1，合并得 (5+1)y = 6y = 24，两边同除 6，y = 4　答：y = 4 (4) 8a - 3a - a = 16 解：合并得 (8-3-1)a = 4a = 16，两边同除 4，a = 4　答：a = 4 例 2　含分数、负号的合并方程 解下列方程： (1) -3x + 5x = 8 解：合并得 (-3+5)x = 2x = 8，两边同除 2，x = 4　答：x = 4 (2) x - x = 3 解：x 的系数为 1，合并得 (1 - ) x = x = 3 　两边同乘 2，x = 6　答：x = 6 (3) x + x = 10 解：合并 + = + = ，方程化为 x = 10 　两边同乘 ，x = 12　答：x = 12 (4) -0.5x + 1.5x - 2x = 4 解：合并得 (-0.5+1.5-2)x = -x = 4 　两边同乘 -1，x = -4　答：x = -4（负号陷阱） 例 3　应用题·合并同类项建模三大情境 (1) 工厂加工型：某工厂 A、B 两车间共同加工一批零件，A 车间每天加工 40 件，B 车间每天加工 60 件。同时开工加工同样天数，共加工 1000 件。求加工的天数。 设加工 x 天。等量关系：A 车间总数 + B 车间总数 = 1000 列方程：40x + 60x = 1000 解：合并得 100x = 1000，x = 10　答：加工 10 天。 (2) 分组比例型：某班学生参加植树活动，按 3:4:5 分成三组。三组共种树 60 棵。问种得最多的一组种了多少棵？ 设每份为 x 棵。三组种树数分别为 3x、4x、5x 等量关系：三组总数 = 60，列方程：3x + 4x + 5x = 60 解：合并得 12x = 60，x = 5 　答：第三组种得最多，5x = 25 棵。 (3) 几何比例型★：三角形三个内角之比为 1:2:3。求三个内角的度数。 设每份为 x°。三个内角分别为 x°、2x°、3x° 等量关系：三角形内角和为 180°，列方程：x + 2x + 3x = 180 解：合并得 6x = 180，x = 30 　答：三个内角分别为 30°、60°、90°（是一个直角三角形！） 【★★★ 本节最大发现 ★★★】解一元一次方程的通用套路正在浮现：列方程 → 合并同类项 → 系数化为 1。§5.2.1 只做了「合并同类项 + 系数化为 1」两步；§5.2.2 会引入「移项」，把方程更复杂的形式（ax+b=cx+d）也纳入同一套路。今天种下的合并同类项这颗种子，将开出整个 §5.2 的方程之花。 六、当堂检测 Part 1　辨析题（5 分×5 = 25 分） 判断下列方程能否直接用合并同类项+系数化为 1 求解（打 ✓ 或 ✗）： (1) 3x + 5x = 24　　　　 答：✓（合并得 8x=24，x=3） (2) 3x + 5 = 24　　　　 答：✗（3x 与 5 不是同类项，需要移项——留给 §5.2.2） (3) 2x + 3y = 15　　　　 答：✗（2x 与 3y 不是同类项，且不是一元方程） (4) x - x + x = 5　　　　 答：✓（三项都是 x 的同类项，通分后合并） (5) 3x² + 2x² = 20　　　　 答：✓ 但（不是一元一次方程，超出本章范围·合并得 5x²=20，x²=4，x=±2 属高年级） Part 2　解方程（10 分×4 = 40 分） (1) 4x + 5x = 27　　　　　　　　　　　　　(2) 6y - 2y + y = 25 答：(1) 9x=27, x=3　　(2) 5y=25, y=5 (3) x + x = 12　　　　　　　　(4) 5x - 8x + 2x = -6 答：(3) x=12（合并得 x=12，直接出答案）　　(4) -x=-6, x=6 Part 3　应用题（35 分） (1)（15 分）某公司购买笔记本电脑与办公桌若干。笔记本每台 5000 元，办公桌每张 800 元。已知购买数量之比为 1:2，共花费 13200 元。问购买了多少台笔记本？ 答：设购买 x 台笔记本，则办公桌 2x 张。列方程 5000x + 800·2x = 13200 → 5000x+1600x=13200 → 6600x=13200 → x=2 　购买了 2 台笔记本、4 张办公桌。 (2)（10 分）一根木棒被截成 3 段，长度比为 2:3:5，最长的一段比最短的一段长 12 cm。求木棒原长。 答：设每份为 x cm，三段分别为 2x、3x、5x。等量：5x - 2x = 12 → 3x = 12 → x = 4 　木棒原长 = 2x + 3x + 5x = 10x = 40 cm。 (3)（10 分·陷阱题）解方程 4x - 5x + x = 8。你会得到什么？ 答：合并得 (4-5+1)x = 0·x = 0，方程变为 0 = 8。这是恒不成立的方程——方程无解！ 　揭示：合并后如果 x 的系数变成 0，则方程要么无解（0=非零常数），要么恒成立（0=0，此时 x 为任意实数）。 七、思维导图 + 三大黄金口诀 §5.2.1 合并同类项知识树 合并同类项（§5.2.1） ├─ 概念区 │　├─ 定义：字母相同、指数相同的项（§4.2.1 复用） │　└─ 升级：从「化简工具」变「解方程工具」 ├─ 方法区 │　├─ 识：识别同类项 │　├─ 合：合并同类项（系数相加、字母指数不变） │　└─ 解：系数化为 1（等式性质 2） ├─ 依据区 │　├─ §4.2.1 合并同类项法则 │　└─ §5.1.2 等式性质 2 ├─ 应用区 │　├─ 形如 ax+bx=c 的方程直接求解 │　└─ 应用题建模（工厂/分组/几何比例） ├─ 桥梁区 │　├─ ← §4.2.1 化简：值不变 │　├─ ← §5.1.2 性质：等价变换 │　└─ → §5.2.2 移项：花拉子米 830 └─ 历史区 　　├─ 李冶 1248《测圆海镜》天元术再登场 　　└─ 中国宋元数学：解方程算法化世界领先 三大黄金口诀 图标 口诀 要点 🧩 同类项才能合 字母相同、指数相同 —— 3x 与 2 不能合并，3x 与 3y 不能合并 🔢 系数加起来，字母不变 (3+2)x = 5x，字母 x 和指数 1 都不动 —— 只对系数做加法 ➗ 系数化为 1 靠性质 2 5x=20，两边同除 5 得 x=4 —— 等式性质 2 保证等价，除数不能为 0 八、分层作业 🅰 基础层（全体完成） A-1 判定同类项（6 题·2 分×6 = 12 分）　下列各组中是同类项的打 ✓，不是打 ✗： ① 3x 与 -5x　　② 2xy 与 -3yx　　③ 4x² 与 4x　　④ -a 与 2a　　⑤ 5 与 -3　　⑥ 2x² y 与 3xy² 答：①✓ ②✓（字母相同即可） ③✗（指数不同） ④✓ ⑤✓（都是常数项） ⑥✗（x、y 指数不同） A-2 解方程（8 分×5 = 40 分） ① 2x + 3x = 25　　　　② 8y - 3y = 15　　　　③ 4a + a - 2a = 21 ④ x + x = 8　　　　⑤ -3x + 5x - 4x = 6 答：①5x=25,x=5　②5y=15,y=3　③3a=21,a=7　④x=8　⑤-2x=6,x=-3 A-3 填空（6 分×3 = 18 分） ① 解方程 3x + 4x = 21 时，第一步是把 3x 与 4x　　　　，得到　　　　。 答：合并同类项 · 7x = 21 ② 由 7x = 21 得 x = 3，用了　　　　，两边同　　　　7。 答：等式性质 2 · 除以 ③ 由方程 -5x = 15 求 x，得 x =　　　　，依据　　　　。 答：x = -3 · 等式性质 2（两边同除 -5） 🅱 提升层（学有余力完成） B-1 分数系数解方程（10 分×3 = 30 分） ① x - x + x = 4　　　② x + x = 14　　　③ 0.6x - 0.2x + 0.4x = 8 答：① - + = - + = = ， x = 4，x = 12 　　② + = + = ， x = 14，x = 20 　　③ (0.6-0.2+0.4)x = 0.8x = 8，x = 10 B-2 综合应用题（15 分×3 = 45 分） ① 甲、乙、丙三种商品单价之比为 2:3:5，各买 x 件，共花费 200 元，求 x。 答：设单位单价为 k，2kx+3kx+5kx=200——信息不足。修正版：若甲每件 2 元、乙 3 元、丙 5 元，共 200 元 → 10x=200，x=20 件 ② 一个正方形与一个长方形的周长相等，长方形长比宽多 4 cm。设正方形边长为 x cm，长方形宽也为 x cm，求 x。 答：4x = 2[x + (x+4)] → 4x = 4x + 8 → 0 = 8，方程无解——说明两图形周长不能相等（陷阱题：暴露列方程时假设的问题） ③ 某车间要生产 750 个零件，A 组每天生产 30 个，B 组每天生产 45 个。两组合作，多少天完成？ 答：设合作 x 天。30x + 45x = 750 → 75x = 750 → x = 10 天 B-3 结构复杂型（12 分×3 = 36 分） ① 已知方程 x - x + x + x = 15，求 x。 答：通分 - + + = ， x = 15，x = ② 解方程 ax + 2ax - 4ax = 10（a ≠ 0） 答：(a+2a-4a)x = -a·x = 10，x = -/a = -10/a（a≠0 时唯一解） ③ 关于 x 的方程 5x + 3x = m 的解是 x = 2，求 m 的值。 答：合并得 8x = m，代入 x=2，得 m = 16 🅲 挑战层（选做·数学史与命题创作） 🅲-1 含参陷阱题（15 分） 解关于 x 的方程 (a+b)x + (2a-b)x = 15，分类讨论 a、b 的值。 答：合并得 [(a+b) + (2a-b)]x = 3a·x = 15 　当 a ≠ 0 时，x = /(3a) = /a 　当 a = 0 时，方程变为 0 = 15，无解 　核心洞察：合并后要看 x 的系数是否为 0，为 0 时可能无解或恒成立 🅲-2 天元术仿写（20 分） 李冶 1248 在《测圆海镜》中用「天元」表示未知数（相当于我们的 x），并通过合并同类项化简方程。请你仿照李冶天元术的思路，编写一道「分堆式」应用题：三个数按 a:b:c 的比例分配，总和为 M，其中一个部分与另一个部分的差为 D。用合并同类项的方法给出你自己的题目、方程与解答。 【参考题】小明的储蓄罐里有 1 元、5 元、10 元三种面额纸币，按 3:2:1 的比例，共 40 张。求各面额纸币各多少张。 解：设每份为 x 张。3x + 2x + x = 40 → 6x = 40 → x = ——不是整数！所以此题无解（或需要改条件） 修正版：共 42 张 → 6x = 42 → x = 7，故 1 元 21 张、5 元 14 张、10 元 7 张 🅲-3 ★★★ 大结局·李冶天元术算法说明书（25 分） 模仿李冶《测圆海镜》的算法风格，用你自己的语言，写一份《用合并同类项解一元一次方程》的算法说明书。要求： ① 至少 3 个步骤；② 每步说明操作和依据；③ 必须包含「识别同类项」「合并」「系数化为 1」三个核心步骤；④ 可以自由添加检验、注意事项等；⑤ 用一个具体方程做演示。 【参考仿写 1·三步经典版】 《合并同类项解方程算法说明》（仿李冶天元术） 　第一步：识天元。凡方程中含天元 x 的诸项，字母相同、指数皆一者，皆为同类项。 　第二步：并天元。将诸同类项之系数相加，字母不动，方程即化为 kx = c 之形。 　第三步：化天元。两边同除以 k（k ≠ 0），得 x = c/k，此天元之值也。 　演示：3x + 5x - 2x = 12 → 6x = 12 → x = 2。 【参考仿写 2·五步严谨版】 《解一元一次方程之算法·合并同类项篇》 　一识——扫描方程，标记所有含 x 的项，判定同类。 　二合——同类项系数代数相加，字母保留原样。 　三化——最终形如 kx=c，两边同除 k（须 k≠0），得 x。 　四检——把 x 代回原方程，左右两边相等则解正确。 　五辨——若合并后 k=0，则方程要么无解（c≠0），要么恒成立（c=0）。 　演示：4y + 3y - y = 24 → 6y = 24 → y = 4；检验：16+12-4=24 ✓ 九、学习反思 反思维度 我的记录 ① 概念理解 　我用一句话说清「合并同类项」如何帮助解方程：　　　　　　　　　　 ② 三步法掌握 　识·合·解三步法，我最容易在　　　　这一步出错，原因是　　　　 ③ 分数系数 　含分数系数的合并，我掌握了　　　　，还需要练习　　　　 ④ 应用建模 　设找列三步法与识合解三步法的联系：　　　　　　　　 ⑤ 与 §4.2.1 的联系 　§4.2.1 化简 vs §5.2.1 解方程，本节最大跃升是：　　　　　　 ⑥ 数学史感悟 　李冶 1248 天元术再登场，我对中国宋元数学的印象是：　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $