专题1.1 有理数的引入（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级上册

本讲义聚焦有理数的引入，系统梳理正数负数的意义、相反意义的量的表示方法以及有理数的概念与分类，构建从实际情境抽象数的概念到分类应用的学习支架。 资料通过温度、收入等实际情境培养数感与抽象思维（数学眼光），借助分类训练和典例变式题提升逻辑推理能力（数学思维），数集填写强化符号意识（数学语言）。课中辅助教师系统教学，课后分层练习帮助学生巩固知识，查漏补缺。

专题1.1 有理数的引入 教学目标 1.理解正数、负数的意义，能正确识别正负数，会用正负数表示具有相反意义的量。 2.理解有理数的概念，掌握有理数的两种分类标准，能正确对有理数进行分类。 3.了解数集的含义，能将数填入对应数集，做到不重不漏。 4.结合实际情境感受负数的应用价值，发展数感与抽象思维。 教学重难点 1.重点 （1）正负数的概念与实际意义 （2）有理数的概念与分类方法 （3）用正负数表示具有相反意义的量 2.难点 （1）对0的多重意义的全面理解 （2）有理数分类时做到不重不漏 （3）实际情境中基准的选择与正负含义解读 知识点01：正数与负数 1.定义：大于0的数叫作正数，正数前的“+”号可省略不写；在正数前加上“-”号的数叫作负数，负数前的“-”号不可省略。 2. 0的意义：0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界；0不仅可以表示“没有”，还可以表示特定的数量基准。 3.注意：不能仅以符号直接判断数的正负，如不是正数，不是负数。 【即学即练】 1．下列各数，，54，0，，，0.001，中，负数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．请任意写出3个正数与3个负数： 正数：{                                  …}． 负数：{                                  …}． 知识点02：具有相反意义的量 1.核心特征：成对出现、属于同类量、意义相反，对应数量不一定相等。 2.表示方法：先规定其中一种意义的量为正，与其意义相反的量即为负；选择的基准不同，表示的结果也不同。 3.常见相反意义关键词：上升/下降、收入/支出、盈利/亏损、向东/向西、零上/零下、运进/运出、增加/减少。 【即学即练】 1．某市元旦的最高气温为零上，记为；最低气温为零下，则最低气温记为_______． 2．浪费用电千瓦记作千瓦，则节约用电千瓦记作（     ） A．千瓦 B．千瓦 C．千瓦 D．千瓦 知识点03：有理数的概念与分类 1.按“定义”分类： 2.按“符号”分类： 3.常用数集概念： 非负数：正数和0；非正数：负数和0； 非负整数（自然数）：正整数和0；非正整数：负整数和0。 【即学即练】 1．把下列有理数填在相应的集合内： 正有理数集合： 负有理数集合：． 整数集合：． 2．把下列各数填在相应的括号里 ，，，，，，，， 整数集合：                       分数集合：                       有理数集合：                       非负整数集合：                       题型01正负数的识别与判断 紧扣正负数定义，先化简含多重符号的数再判断；牢记0既不是正数也不是负数。 【典例1】. （2026·江西上饶·二模）下列各数中，属于负数的是（     ） A．2026 B． C．0 D． 【变式1】. （2026·河北邯郸·二模）下列各数中，是正数的是（   ） A． B． C． D．0 【变式2】. （2026·云南楚雄·二模）中国是世界上最早使用负数的国家，我国古代数学名著《九章算术》是世界上最早系统阐述负数概念的著作．下列各数中，是负数的是（    ） A．5 B． C．0 D． 【变式3】. （24-25六年级下·黑龙江·开学考试）在、、、中，负数有___________个． 题型02相反意义的量的辨析 抓住“同类量、意义相反、有数量”三个特征，排除非同类、无数量的表述。 【典例2】. （25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列各项中具有相反意义的量的是（    ） A．盈利50元和超支80元 B．身高增加2cm和体重减少2kg C．得4分和失2分 D．前进5米和左移5米 【变式1】. （25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下面不具有相反意义的量是（   ） A．前进和后退 B．节约3吨水和浪费3吨水 C．存入800元和支出800元 D．身高增加和体重减少3千克 【变式2】. （25-26七年级上·云南昭通·期中）下列不具有相反意义的量的是（    ） A．前进和后退 B．入库和出库 C．身高增加和体重减少 D．超过和不足 【变式3】. （2025·湖北襄阳·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走10步记作“”，则“”表示（    ） A．向北行走8步 B．向南行走8步 C．向东行走8步 D．向西行走8步 题型03用正负数表示相反意义的量 先明确规定的正方向，相反方向即为负；注意基准设定，基准不同结果不同。 【典例3】. （25-26七年级下·云南文山·期末）3月22日是“世界水日”，为了增强同学们的节水意识，学校课外兴趣小组进行用水调查．如果小明家节约了4.5吨水，记作吨，那么小兰家浪费了2.2吨水，可记作（     ） A．6.7吨 B．吨 C．2.2吨 D．吨 【变式1】. （2026·河南平顶山·三模）临近期末，某班班委会将班级的废品卖掉后收入380元，如果把它记作元，那么购买劳动工具支出290元，记作_________． 【变式2】. （2026·四川自贡·中考真题）如果无人机上升记作，那么下降记作（     ） A． B． C． D． 【变式3】. （2026·河南平顶山·一模）为丰富教职工文体生活，展现昂扬向上的精神风貌，增强团队凝聚力，4月16日下午，郑州市信息技术学校举行2026年教职工乒乓球混合团体赛．乒乓球质量检测中，如果一个乒乓球的质量超出标准质量记作，那么比标准质量轻记作（     ） A． B． C． D． 题型04允许偏差类正负数应用 以标准值为基准，“±”表示上下浮动范围；合格范围为标准值减偏差到标准值加偏差。 【典例4】. （24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一种袋装食品标准净重为100克，质监部门工作人员为了解该种食品每袋重与标准净重的误差，把食品净重克记为克，那么，食品净重99克就记为______克 【变式1】. （2024·青海西宁·一模）一包零食的质量标识为“克”，则下列质量合格的是（   ） A．66克 B．67克 C．71克 D．74克 【变式2】. （25-26七年级上·陕西榆林·期末）一种巧克力的质量标识为“克”，表示其标准重量为克，上下偏差不超过克就符合标准，则下列巧克力符合标准的是（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 【变式3】. （24-25七年级下·山西阳泉·开学考试）某种零件的直径的合格标准是(25±0.2)mm．经检查， 一个零件的直径是24.9 mm， 则该零件是____的（填“合格”或“不合格”）． 题型05有理数的概念辨析 紧扣有理数定义，明确整数、分数的范围；厘清“非负”“非正”等易混概念。 【典例5】. （26-27六年级·上海·小升初衔接）在，，，，，，，中，正有理数有__________． 【变式1】. （25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在，，0，，3.14159，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】. （25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在，，，，，这六个数中，有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式3】. （25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）有下列一组数：，，，，0，，2025，则下列说法正确的是（   ） A．有理数有6个 B．是正数，不是分数 C．非正数有3个 D．以上都不对 题型06有理数分类的说法正误判断 逐条对照定义判断，重点关注0的特殊性、分类标准是否统一、是否遗漏类别。 【典例6】. （24-25七年级上·福建南平·阶段检测）下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【变式1】. （24-25六年级上·上海·期中）下面说法正确的是（   ） A．正数和负数统称为有理数 B．是最大的负数 C．零不是正数，也不是负数，但是整数 D．自然数就是正整数 【变式2】. （25-26六年级上·上海崇明·期末）下列关于有理数的说法，错误的是（      ） A．0是整数 B．负分数是有理数 C．有理数包括正有理数和负有理数 D．1 是最小的正整数 【变式3】. （24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤是无限不循环小数，所以不是有理数其中错误的说法的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型07有理数的分类与数集填写 先化简所有数，再按分类标准逐一归类；注意0的归属，做到不重不漏。 【典例7】. （25-26七年级上·全国·期末）把下列各数填入相应的集合：，0，，，5，，1.2 正数集合：｛________｝；负数集合：｛________｝；整数集合：｛________｝． 【变式1】. （25-26七年级上·重庆·期末）把下列各有理数填入相应的集合内： ，，0.6，，0，，． 负有理数集合：{                         …}； 整数集合：{                             …}； 负分数集合：{                           …}； 非负有理数集合：{                       …}． 【变式2】. （25-26七年级上·四川泸州·期中）把下列各数分类，并把序号填写在表示相应集合的大括号里．（只填写序号） ①，②，③9，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（两个6之间8的个数依次增加1），⑨，⑩ (1)正有理数集合：______…； (2)负有理数集合：______…； (3)非负整数集合：______… 【变式3】. （25-26七年级上·贵州黔东南·期末）把下列各数填入相应的括号内（只填写序号）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 负数：{______________________}； 整数：{______________________}； 分数：{______________________}； 有理数：{______________________}． 一、单选题 1．在，，，，，中，非负数有（） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2．我国古代的《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．若气温零上记作，则气温零下记作（     ） A． B． C． D． 3．在，，0，23，中，非负整数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 4．若某班班委卖出班级的废品收入元，记为元，则购买班级劳动工具花费元，记为______元． 5．如图是某市2026年1月1日的天气预报图，温度为，则这天的最低气温为________． 6．中国是世界上最早认识和应用负数的国家．在《九章算术》中记载了我国古代用正放的筹表示正数，斜放的筹表示负数的方法．书写时，在这个数的最后一码上加一斜杠表示负．如果表示＋312，那么表示的数是______． 7．把下面各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）： ，，，，，，，，． 负整数集合{______________…} 整数集合{______________…} 正分数集合{______________…} 非负整数集合{______________…} 有理数集合{______________…} 三、解答题 8．把下列有理数填入相应的集合内： ，，0，，7，，， ． 1．下列说法正确的有（    ） ①有限小数一定是有理数；②有理数一定是有限小数；③任何一个无限循环小数都可以化成分数；④任何一个分数都可以化成小数；⑤任何一个无限小数都是有理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列语句中错误的有（ ）个． 不带“”号的数都是正数；如果是正数，那么一定是负数；不存在既不是正数，也不是负数的数；表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 3．“有理数运动会”已经拉开序幕，每位有理数运动员要通过自己专属的检录通道，才能参加运动项目，请你作为志愿者带领以下有理数有秩序地进行检录（填序号）：①；②；③；④0；⑤；⑥10；⑦；⑧； 运动会检录窗口 正有理数 非负整数 负分数 4．出租车司机小李新年这天从鼓楼出发，上午营运时是在南北走向的大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午所接的六位乘客的行车里程（单位：）如下： ． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车耗油量为（升/千米），这天上午小李接送乘客，出租车共耗油多少升？ (3)若出租车起步价为元，起步里程为（包括3km），超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 5．桌子上有8个杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4个，只要翻转2次，就能把它们全部翻成杯口朝下．如果将8个茶杯改为6个，每次任意翻转其中的4个，最少经过_____次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 有理数的引入 教学目标 1.理解正数、负数的意义，能正确识别正负数，会用正负数表示具有相反意义的量。 2.理解有理数的概念，掌握有理数的两种分类标准，能正确对有理数进行分类。 3.了解数集的含义，能将数填入对应数集，做到不重不漏。 4.结合实际情境感受负数的应用价值，发展数感与抽象思维。 教学重难点 1.重点 （1）正负数的概念与实际意义 （2）有理数的概念与分类方法 （3）用正负数表示具有相反意义的量 2.难点 （1）对0的多重意义的全面理解 （2）有理数分类时做到不重不漏 （3）实际情境中基准的选择与正负含义解读 知识点01：正数与负数 1.定义：大于0的数叫作正数，正数前的“+”号可省略不写；在正数前加上“-”号的数叫作负数，负数前的“-”号不可省略。 2. 0的意义：0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界；0不仅可以表示“没有”，还可以表示特定的数量基准。 3.注意：不能仅以符号直接判断数的正负，如不是正数，不是负数。 【即学即练】 1．下列各数，，54，0，，，0.001，中，负数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查负数的定义，小于0的数是负数，据此求解即可． 【详解】解：在，，54，0，，，0.001，中， 负数为，，，共3个． 故选：B． 2．请任意写出3个正数与3个负数： 正数：{                                  …}． 负数：{                                  …}． 【答案】正数：（答案不唯一）；负数：（答案不唯一） 【分析】本题考查了正数与负数，熟练掌握正数与负数的定义是解题关键．根据大于0的数是正数、小于0的数是负数解答即可得． 【详解】解：正数：； 负数：． 知识点02：具有相反意义的量 1.核心特征：成对出现、属于同类量、意义相反，对应数量不一定相等。 2.表示方法：先规定其中一种意义的量为正，与其意义相反的量即为负；选择的基准不同，表示的结果也不同。 3.常见相反意义关键词：上升/下降、收入/支出、盈利/亏损、向东/向西、零上/零下、运进/运出、增加/减少。 【即学即练】 1．某市元旦的最高气温为零上，记为；最低气温为零下，则最低气温记为_______． 【答案】 【分析】利用正负数表示一对相反意义的量，已知零上温度记为正，可推得零下温度的表示方法． 【详解】解：由题意得，零上温度记为正，则零下温度记为负， 最低气温为零下，因此最低气温记为． 2．浪费用电千瓦记作千瓦，则节约用电千瓦记作（     ） A．千瓦 B．千瓦 C．千瓦 D．千瓦 【答案】D 【详解】解：∵浪费用电千瓦记作千瓦， ∴节约用电千瓦记作千瓦． 知识点03：有理数的概念与分类 1.按“定义”分类： 2.按“符号”分类： 3.常用数集概念： 非负数：正数和0；非正数：负数和0； 非负整数（自然数）：正整数和0；非正整数：负整数和0。 【即学即练】 1．把下列有理数填在相应的集合内： 正有理数集合： 负有理数集合：． 整数集合：． 【答案】；； 【分析】本题考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握正有理数、负有理数、整数的定义，根据正有理数、负有理数、整数的定义即可求解． 【详解】解：正有理数集合：； 负有理数集合：； 整数集合：， 故答案为：；；． 2．把下列各数填在相应的括号里 ，，，，，，，， 整数集合：                       分数集合：                       有理数集合：                       非负整数集合：                       【答案】整数集合：；分数集合：；有理数集合：；非负整数集合： 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数分类的定义逐项分析即可 【详解】解：整数集合：； 分数集合：； 有理数集合：； 非负整数集合： 题型01正负数的识别与判断 紧扣正负数定义，先化简含多重符号的数再判断；牢记0既不是正数也不是负数。 【典例1】. （2026·江西上饶·二模）下列各数中，属于负数的是（     ） A．2026 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】解：A、，是正数，不符合要求； B、，是负数，符合要求； C、0既不是正数也不是负数，不符合要求； D、，是正数，不符合要求． 【变式1】. （2026·河北邯郸·二模）下列各数中，是正数的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】解：是正数，是负数，既不是正数，也不是负数. 【变式2】. （2026·云南楚雄·二模）中国是世界上最早使用负数的国家，我国古代数学名著《九章算术》是世界上最早系统阐述负数概念的著作．下列各数中，是负数的是（    ） A．5 B． C．0 D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴A不是负数． ∵，∴B不是负数． ∵既不是正数也不是负数，∴C不符合要求． ∵， ∴是负数，D符合要求 【变式3】. （24-25六年级下·黑龙江·开学考试）在、、、中，负数有___________个． 【答案】 【分析】依据负数的定义，找出所有小于的有理数，统计其数量即可． 【详解】解：在、、、中， ，，， 这三个数为负数，其余数中、、是正数，既不是正数也不是负数． 故负数有个． 题型02相反意义的量的辨析 抓住“同类量、意义相反、有数量”三个特征，排除非同类、无数量的表述。 【典例2】. （25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列各项中具有相反意义的量的是（    ） A．盈利50元和超支80元 B．身高增加2cm和体重减少2kg C．得4分和失2分 D．前进5米和左移5米 【答案】C 【分析】本题考查相反意义的量的概念．相反意义的量必须针对同一类量，且意义相反． 选项C中的“得4分”和“失2分”都是关于分数的量，且“得”与“失”意义相反，因此符合要求．其他选项要么不是同一类量，要么意义不相反． 【详解】∵ 相反意义的量需满足：①同一类量；②意义相反． A项：盈利与超支不是严格相反（盈利与亏损相反，超支与节约相反），不符合． B项：身高与体重是不同类量（单位不同），不符合． C项：得与失都是分数量，意义相反，符合． D项：前进与左移是不同方向量（前进与后退相反，左移与右移相反），不符合． 故选：C． 【变式1】. （25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下面不具有相反意义的量是（   ） A．前进和后退 B．节约3吨水和浪费3吨水 C．存入800元和支出800元 D．身高增加和体重减少3千克 【答案】D 【分析】本题考查的是具有相反意义的量的含义． 根据两个量是否具有相反意义，进行逐项判定，即可作答． 【详解】解：A、前进和后退是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； B、节约3吨水和浪费3吨水是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； C、存入800元和支出800元是具有相反意义的量，故此选项不符合题意； D、身高增加和体重减少3千克是不具有相反意义的量，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式2】. （25-26七年级上·云南昭通·期中）下列不具有相反意义的量的是（    ） A．前进和后退 B．入库和出库 C．身高增加和体重减少 D．超过和不足 【答案】C 【分析】本题考查相反意义的量，相反意义的量是指同一属性的相反变化，如方向、增减等，据此解答即可． 【详解】解：A、选项中前进与后退是相反方向，故选项A不符合题意； B、选项中入库与出库是相反操作，故选项B不符合题意； C、选项中身高增加与体重减少不具有相反意义，故此选项符合题意； D、选项中超过与不足是相反状态；均具有相反意义，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式3】. （2025·湖北襄阳·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走10步记作“”，则“”表示（    ） A．向北行走8步 B．向南行走8步 C．向东行走8步 D．向西行走8步 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：∵将向南行走10步记作“”， ∴“”表示向北行走8步． 故选：A 题型03用正负数表示相反意义的量 先明确规定的正方向，相反方向即为负；注意基准设定，基准不同结果不同。 【典例3】. （25-26七年级下·云南文山·期末）3月22日是“世界水日”，为了增强同学们的节水意识，学校课外兴趣小组进行用水调查．如果小明家节约了4.5吨水，记作吨，那么小兰家浪费了2.2吨水，可记作（     ） A．6.7吨 B．吨 C．2.2吨 D．吨 【答案】D 【分析】节约用水量记为正，对应相反意义的浪费用水量应记为负，即可得出答案． 【详解】解：∵题目规定节约用水记为正，浪费与节约是相反意义的量， ∴浪费用水应记为负，因此小兰家浪费了吨水，可记作吨． 【变式1】. （2026·河南平顶山·三模）临近期末，某班班委会将班级的废品卖掉后收入380元，如果把它记作元，那么购买劳动工具支出290元，记作_________． 【答案】元 【详解】解：如果收入380元记作元，那么支出290元记作元． 【变式2】. （2026·四川自贡·中考真题）如果无人机上升记作，那么下降记作（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知的上升的记法，即可推出下降的记法． 【详解】无人机上升记作，那么下降记作． 【变式3】. （2026·河南平顶山·一模）为丰富教职工文体生活，展现昂扬向上的精神风貌，增强团队凝聚力，4月16日下午，郑州市信息技术学校举行2026年教职工乒乓球混合团体赛．乒乓球质量检测中，如果一个乒乓球的质量超出标准质量记作，那么比标准质量轻记作（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得：超出标准质量记为正数，则低于标准质量，应记为负数， 则比标准质量轻记作． 题型04允许偏差类正负数应用 以标准值为基准，“±”表示上下浮动范围；合格范围为标准值减偏差到标准值加偏差。 【典例4】. （24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一种袋装食品标准净重为100克，质监部门工作人员为了解该种食品每袋重与标准净重的误差，把食品净重克记为克，那么，食品净重99克就记为______克 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，根据正数和负数是一组相反意义的量即可求得答案，理解正数和负数是一组相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵食品净重克记为克， ∴食品净重99克就记为克， 故答案为：． 【变式1】. （2024·青海西宁·一模）一包零食的质量标识为“克”，则下列质量合格的是（   ） A．66克 B．67克 C．71克 D．74克 【答案】C 【分析】本题考查的是正负数，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据正负数的定义求解即可． 【详解】解：∵一包零食的质量标识为“克”， 而(克)，(克)， ∴一包零食的质量合格范围为：克， ∴克在其合规范围内， 故选：C． 【变式2】. （25-26七年级上·陕西榆林·期末）一种巧克力的质量标识为“克”，表示其标准重量为克，上下偏差不超过克就符合标准，则下列巧克力符合标准的是（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】D 【分析】此题考查了正负数的实际应用，根据巧克力的质量标识为“克”，求出合格质量范围的取值范围，进而即可求解，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵标准重量克，偏差克， ∴（克），（克）， ∴合格范围为克合格质量克， 、，不符合； 、，不符合； 、，不符合； 、，符合； 故选：． 【变式3】. （24-25七年级下·山西阳泉·开学考试）某种零件的直径的合格标准是(25±0.2)mm．经检查， 一个零件的直径是24.9 mm， 则该零件是____的（填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【分析】本题主要考查了正负数的意义， 根据合格标准得出零件直径的合格范围，再根据是否在范围内判断． 【详解】解：根据题意（mm），（mm）， 可知零件直径的合格标准在之间， 所以24.9mm合格． 故答案为：合格． 题型05有理数的概念辨析 紧扣有理数定义，明确整数、分数的范围；厘清“非负”“非正”等易混概念。 【典例5】. （26-27六年级·上海·小升初衔接）在，，，，，，，中，正有理数有__________． 【答案】，，，， 【详解】解：是大于的整数，整数属于有理数，所以是正有理数； 小于，所以不是正有理数； 小于，所以不是正有理数； 是大于的整数，整数属于有理数，所以是正有理数； 既不是正数也不是负数，所以不是正有理数； 是大于的有限小数，有限小数可以化为分数，属于有理数，所以是正有理数； 是大于的分数，分数属于有理数，所以是正有理数； 是大于的无限循环小数，无限循环小数可以化为分数，属于有理数，所以是正有理数； 综上可知，正有理数有：，，，，． 【变式1】. （25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在，，0，，3.14159，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】解：是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 是整数，是有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； 是有限小数，是有理数； ，是有限小数，是有理数； （每相邻两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，是无理数。 综上，有理数共有个． 【变式2】. （25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在，，，，，这六个数中，有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】根据有理数的定义逐个判断六个数即可得到结果． 【详解】解：∵整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都可化为分数，属于有理数， 逐个判断得： 是分数，是有理数； 是无限不循环小数，不是有理数； 是整数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是无限循环小数，是有理数. 故有理数共5个，故选C． 【变式3】. （25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）有下列一组数：，，，，0，，2025，则下列说法正确的是（   ） A．有理数有6个 B．是正数，不是分数 C．非正数有3个 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了有理数、正数、分数、非正数的定义，理解其定义是解题的关键． 根据相关知识点逐一判断各选项的正误． 【详解】解：A：整数和分数统称有理数，题目中的7个数均为有理数，故该选项不合题意； B：10.1是有限小数，属于分数，故该选项不符合题意； C：非正数包含0和负数，则有，，，共3个，故该选项符合题意． 故选：C． 题型06有理数分类的说法正误判断 逐条对照定义判断，重点关注0的特殊性、分类标准是否统一、是否遗漏类别。 【典例6】. （24-25七年级上·福建南平·阶段检测）下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【答案】A 【分析】本题考查了的意义，有理数的分类，根据的意义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：0既不是正数也不是负数，是整数 故选：A． 【变式1】. （24-25六年级上·上海·期中）下面说法正确的是（   ） A．正数和负数统称为有理数 B．是最大的负数 C．零不是正数，也不是负数，但是整数 D．自然数就是正整数 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的定义与有理数的分类，根据有理数的分类进行判断即可．有理数包括：整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数和负分数）． 【详解】解：A、正数和负数、零统称为有理数 ，选项错误，不符合题意； B、是最大的负整数，选项错误，不符合题意； C、零不是正数，也不是负数，但是整数，选项正确，符合题意； D、除0以外的自然数就是正整数，选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2】. （25-26六年级上·上海崇明·期末）下列关于有理数的说法，错误的是（      ） A．0是整数 B．负分数是有理数 C．有理数包括正有理数和负有理数 D．1 是最小的正整数 【答案】C 【分析】本题考查有理数的概念，有理数包括正有理数，负有理数和0，有理数是分数和整数的统称，0也是整数，1是最小的正整数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、0是整数，原说法正确，不符合题意； B、负分数是有理数，原说法正确，不符合题意； C、有理数包括正有理数、负有理数和0，原说法错误，符合题意； D、1 是最小的正整数，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式3】. （24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤是无限不循环小数，所以不是有理数其中错误的说法的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．①根据0的意义进行解答即可；②有理数包括正有理数、零和负有理数，据此来判断即可；③根据有理数的分类进行解答即可，据此判断即可；④非负数包括正数和0，据此判断即可；⑤是无限循环小数，据此判断即可． 【详解】解：0不是最小的整数，没有最小的整数， ∴①不正确； ∵有理数包括正有理数、负有理数和0， ∴②不正确； ∵整数、负整数和零、正分数、负分数统称为有理数， ∴③不正确； ∵非负数包括正数和0， ∴④不正确； ∵是无限循环小数， ∴⑤不正确． ∴综上，①②③④⑤不正确，共5个， 故选∶D． 题型07有理数的分类与数集填写 先化简所有数，再按分类标准逐一归类；注意0的归属，做到不重不漏。 【典例7】. （25-26七年级上·全国·期末）把下列各数填入相应的集合：，0，，，5，，1.2 正数集合：｛________｝；负数集合：｛________｝；整数集合：｛________｝． 【答案】 ，5，1.2 ，， ，0，5 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类，正数是大于0的数，负数是小于0的数，整数包括正整数、0和负整数，据此进行分类判断即可． 【详解】解：正数集合：{ ，5，1.2 }；负数集合：{ ，， }；整数集合：{ ，0，5 }． 故答案为：，5，1.2；，，；，0，5． 【变式1】. （25-26七年级上·重庆·期末）把下列各有理数填入相应的集合内： ，，0.6，，0，，． 负有理数集合：{                         …}； 整数集合：{                             …}； 负分数集合：{                           …}； 非负有理数集合：{                       …}． 【答案】；；； 【分析】本题考查了有理数的分类，根据负有理数、整数、负分数及非负有理数的定义将各有理数进行分类即可． 【详解】解：，， 负有理数集合：是负整数，属于负有理数；是负分数，属于负有理数；是负分数，属于负有理数；是负无限循环小数，属于负有理数， ∴负有理数集合为； 整数集合：是负整数，属于整数；0是整数；是正整数，属于整数， ∴整数集合为； 负分数集合：是负分数；是负分数；是负无限循环小数，可化为负分数，属于负分数， ∴负分数集合为； 非负有理数集合：0.6是正分数，属于非负有理数；0是非负有理数；是正整数，属于非负有理数， ∴非负有理数集合为． 【变式2】. （25-26七年级上·四川泸州·期中）把下列各数分类，并把序号填写在表示相应集合的大括号里．（只填写序号） ①，②，③9，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（两个6之间8的个数依次增加1），⑨，⑩ (1)正有理数集合：______…； (2)负有理数集合：______…； (3)非负整数集合：______… 【答案】(1)②③⑥⑩ (2)①⑤⑨ (3)③④ 【分析】本题考查了有理数的概念和分类，掌握有理数的概念和分类是解题的关键． （1）正有理数包括正整数，正分数，正有限小数，正无限循环小数，据此解答即可求解； （2）负有理数包括负整数，负分数，负有限小数，负无限循环小数，据此解答即可求解； （3）非负整数包括正整数和0，据此解答即可求解． 【详解】（1）解：正有理数包括正整数，正分数，正有限小数，正无限循环小数， 为正有理数． 故答案为：②③⑥⑩． （2）负有理数包括负整数，负分数，负有限小数，负无限循环小数， 为负有理数． 故答案为：①⑤⑨． （3）非负整数包括零和正整数， 是非负整数． 故答案为：③④． 【变式3】. （25-26七年级上·贵州黔东南·期末）把下列各数填入到相应的括号内（只填写序号）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 负数：{______________________}； 整数：{______________________}； 分数：{______________________}； 有理数：{______________________}． 【答案】②⑦；①③⑦；②④⑤⑥；①②③④⑤⑥⑦ 【分析】本题考查有理数的定义及分类，熟记负数、整数、分数及有理数定义与分类是解决问题的关键． 根据有理数定义及分类，按照负数、整数、分数定义逐个归类即可得到答案． 【详解】解：负数：{②⑦}； 整数：{①③⑦}； 分数：{②④⑤⑥}； 有理数：{①②③④⑤⑥⑦}． 一、单选题 1．在，，，，，中，非负数有（） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查非负数的概念，解题思路是先明确非负数的定义，非负数指大于或等于的数，包括和正数．再逐个判断给出的数，统计符合要求的数的个数即可． 【详解】解： ，，二者为负数，不符合要求． ，，，，四个数均满足大于或等于，属于非负数． 非负数共有个． 2．我国古代的《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．若气温零上记作，则气温零下记作（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵气温零上记作，说明规定零上为正， ∴与零上意义相反的零下为负，因此气温零下记作． 3．在，，0，23，中，非负整数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先明确非负整数的定义，即大于等于0的整数，再逐个判断给出的数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：是负分数，不符合要求； 是分数，不符合要求； 是非负整数，符合要求； 是非负整数，符合要求； 是负整数，不符合要求； ∴符合条件的非负整数共个． 二、填空题 4．若某班班委卖出班级的废品收入元，记为元，则购买班级劳动工具花费元，记为______元． 【答案】 【详解】解：根据相反意义的量可知，收入记为元，则花费即支出应记为元 5．如图是某市2026年1月1日的天气预报图，温度为，则这天的最低气温为________． 【答案】 【详解】解：某市2026年1月1日的天气预报图，温度为，则这天的最低气温是． 6．中国是世界上最早认识和应用负数的国家．在《九章算术》中记载了我国古代用正放的筹表示正数，斜放的筹表示负数的方法．书写时，在这个数的最后一码上加一斜杠表示负．如果表示＋312，那么表示的数是______． 【答案】 【详解】 解：如果表示＋312，那么表示的数是 7．把下面各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）： ，，，，，，，，． 负整数集合{______________…} 整数集合{______________…} 正分数集合{______________…} 非负整数集合{______________…} 有理数集合{______________…} 【答案】 见解析 【分析】根据整数，正分数，非负整数，有理数的定义进行分类，需注意是无限不循环小数，不属于有理数，解题时先化简各待分类的数，再根据定义分类． 【详解】解：先化简各数，可得 ，，， 因此按定义分类如下： 负整数集合{，……}， 整数集合{，，，，……}， 正分数集合{，……}， 非负整数集合{，，……}， 有理数集合{，，，，，，，……}． 三、解答题 8．把下列有理数填入相应的集合内： ，，0，，7，，， ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类． 根据正数的定义、分数的定义、整数的定义、负有理数的定义作答即可． 【详解】解：如图： 1．下列说法正确的有（    ） ①有限小数一定是有理数；②有理数一定是有限小数；③任何一个无限循环小数都可以化成分数；④任何一个分数都可以化成小数；⑤任何一个无限小数都是有理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的定义和分类，注意区分无限循环小数与无限不循环小数．根据有理数的定义，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，而无限不循环小数是无理数，不属于有理数． 【详解】解：有理数是能表示为两个整数之比的数， ①有限小数可以写成分母为10的幂的分数，是有理数，正确； ②有理数不一定是有限小数，如无限循环小数（如）是有理数但不是有限小数，原说法错误； ③无限循环小数可以化成分数，正确； ④分数的分子除以分母必得小数（有限或无限循环），正确； ⑤无限小数包括无限不循环小数（如π），是无理数，不是有理数，原说法错误． ∴正确的有①③④，共3个． 故选：B． 2．下列语句中错误的有（ ）个． 不带“”号的数都是正数；如果是正数，那么一定是负数；不存在既不是正数，也不是负数的数；表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据大于0的数是正数，小于0的数是负数，对各选项分析判断即可解答． 本题主要考查正数与负数的定义，熟练掌握大于0的数是正数、小于0的数是负数是解答本题的关键． 【详解】解答：①0不带“”号但不是正数，故原说法错误； ②如果是正数，那么一定是负数，故正确； ③0既不是正数，也不是负数，故原说法错误； ④表示温度为0度，故原说法错误； 综上，错误的有3个． 故选：C． 3．“有理数运动会”已经拉开序幕，每位有理数运动员要通过自己专属的检录通道，才能参加运动项目，请你作为志愿者带领以下有理数有秩序地进行检录（填序号）：①；②；③；④0；⑤；⑥10；⑦；⑧； 运动会检录窗口 正有理数 非负整数 负分数 【答案】 ②③⑥⑧ ④⑥⑧ ①⑤ 【分析】本题考查了有理数的分类，解题的关键是明确正有理数、非负整数、负分数的定义． 先明确各类数的定义，正有理数是大于0的有理数；非负整数是0和正整数；负分数是小于0的分数（包括可化为分数的负小数）；再逐一分析所给有理数，按定义归类． 【详解】解：正有理数是大于0的有理数，包括②、③、⑥10、⑧； 非负整数是0和正整数，包括④0、⑥10、⑧； 负分数是小于0的分数，包括①、⑤ 故正有理数：②③⑥⑧；非负整数：④⑥⑧；负分数：①⑤． 4．出租车司机小李新年这天从鼓楼出发，上午营运时是在南北走向的大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午所接的六位乘客的行车里程（单位：）如下： ． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车耗油量为（升/千米），这天上午小李接送乘客，出租车共耗油多少升？ (3)若出租车起步价为元，起步里程为（包括3km），超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)鼓楼以北处 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法和正负数的意义，有理数的运算在实际问题中的应用，包括位置的确定、耗油量的计算以及车费的计算． ()先将这几个数相加，根据题干规定，若和为正，则在出发点的南方；若和为负，则在出发点的北方；； ()将这几个数的绝对值相加，再乘以耗油量，即可得出答案； ()分别计算六次行程的车费后求和，即可． 【详解】（1）解：． 答：将最后一位乘客送到目的地时，小李在鼓楼以北处． （2）， ， 答：出租车共耗油． （3）第次里程，车费元； 第次里程，车费元； 第次里程，车费元； 第次里程，车费元； 第次里程，车费元； 第次里程，车费元； 总车费为(元)． 答：小李这天上午共得车费元． 5．桌子上有8个杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4个，只要翻转2次，就能把它们全部翻成杯口朝下．如果将8个茶杯改为6个，每次任意翻转其中的4个，最少经过_____次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下． 【答案】3 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，通过模拟翻转过程，用表示杯口朝上，表示杯口朝下，从初始状态开始，逐步翻转，找到使所有杯口朝下的最少次数即可． 【详解】解：设杯口朝上用“”表示，杯口朝下用“”表示， 初始状态全部杯口朝上，即为6个， 第一次翻转任意4个，变为4个和2个，即状态为：， 第二次翻转选择第2、3、4、5个杯子，翻转后状态为： ． 第三次翻转选择第2、3、4、6个杯子，翻转后状态为：，即全部杯口朝下． ∴最少翻转3次就能把它们全部翻成杯口朝下， 故答案为：3． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $