专题1.4 绝对值与有理数的大小比较（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级上册

本初中数学讲义聚焦绝对值与有理数大小比较，系统梳理绝对值的几何意义（数轴上点与原点距离）和代数意义，通过性质（非负性、分类讨论）构建知识支架，衔接有理数大小比较及实际应用。 资料以几何直观为核心，通过数轴深化绝对值理解，设计分类讨论题型培养推理意识，结合乒乓球质量偏差等实际问题提升应用能力。典例与变式结合，课中助教师分层教学，课后供学生查漏补缺，强化知识运用。

专题1.4 绝对值与有理数大小比较 教学目标 1.理解绝对值的几何意义与代数意义，能熟练求出任意有理数的绝对值。 2.掌握绝对值的核心性质，理解绝对值的非负性，并能解决相关计算问题。 3.能运用绝对值知识解决实际偏差类问题，体会数形结合与分类讨论的数学思想。 教学重难点 1.重点 （1）绝对值的概念与几何意义 （2）绝对值的性质与求法 （3）绝对值非负性的应用 2.难点 （1）绝对值性质中分类讨论思想的运用 （2）结合数轴的绝对值化简问题 （3）绝对值非负性的综合拓展应用 知识点01：绝对值的概念 1.几何意义：在数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2.核心结论： （1）互为相反数的两个数的绝对值相等，即； （2）绝对值最小的数是，不存在绝对值最大的数； （3）数轴上的点离原点越近，对应的数的绝对值越小；离原点越远，绝对值越大。 【即学即练】 1．下列说法中，正确的有（    ） （1）绝对值相等的两个数必相同或互为相反数 （2）正数和零的绝对值等于它本身 （3）只有负数的绝对值是它的相反数 （4）一个数的绝对值必为正． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法中，错误的是（    ） A．一个数的绝对值一定是正数 B．互为相反数的两个数的绝对值相等 C．绝对值最小的数是0 D．的绝对值是7，记作 知识点02：绝对值的性质 1.代数性质： （1）正数的绝对值是它本身； （2）的绝对值是； （3）负数的绝对值是它的相反数。 2.符号表示： 也可写作 【即学即练】 1．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ） A．－3 B． C． D．2 2．的绝对值为（     ） A．-8 B．8 C． D．2 知识点03：绝对值的非负性与拓展性质 1.非负性：任意有理数的绝对值都是非负数，即对任意有理数，总有；当且仅当时，。 2.拓展结论： （1）若几个非负数的和为，则每个非负数都为，即若，则； （2）绝对值等于它本身的数是非负数；绝对值等于它的相反数的数是非正数； （3）若，则或，对应两个互为相反数的解。 【即学即练】 1．如果，那么的值为____． 2．A，B在数轴上，分别表示数，，且． (1)直接写出的值是 ，的值是 ，线段的长度是 ； (2)如图1，是一条定长的线段（点在点的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点（即点在线段上的这段过程）所需的时间为3秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为15秒． ①求线段的长； ②直接写出线段运动的速度为 个单位长度/秒； ③如图2，当动线段运动到点与点重合时，与此同时，点从点出发，在动线段上，以1个单位长度/秒的速度向点运动，遇到点后，点立即原速返回，向点运动，遇到点后也立即原速返回，向点运动．设动线段，以及点同时运动的时间为秒（），当时，求的值． 题型01求具体有理数的绝对值 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是。 【典例1】.的绝对值是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】.的绝对值是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】.等于（     ） A．2027 B． C． D． 【变式1-3】.的绝对值是（     ） A．3 B． C． D． 题型02已知绝对值求原数 绝对值为正数的数有两个，且互为相反数；不要遗漏负数解，绝对值为的数仅有。 【典例2】.绝对值等于2026的数是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】.若，则x的值是_________． 【变式2-2】.若，，且，求的值． 【变式2-3】.已知互为相反数，求代数式的值． 题型03含绝对值的四则运算 先计算绝对值符号内的算式，再去掉绝对值符号，最后按四则运算法则计算；注意绝对值外的负号。 【典例3】.计算： (1)； (2)． 【变式3-1】.计算 (1) (2) 【变式3-2】.计算： (1)； (2)． 【变式3-3】.计算： 题型04绝对值非负性的基础应用 几个绝对值的和为，则每个绝对值内的式子均为，据此列方程求解字母的值。 【典例4】.若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】.已知与互为相反数，则（   ） A． B．1 C． D．2 【变式4-2】.若有理数，满足，则的值为（   ） A．6 B． C．3 D． 【变式4-3】.已知，则_________，_________． 题型05绝对值的实际应用 用绝对值表示实际量与标准值的偏差，绝对值越小越接近标准；按误差范围判断是否合格。 【典例5】.标准乒乓球的质量为2.7克．现随机抽取4个样本进行检测，其中超过标准质量的克数用正数表示，不足标准质量的克数用负数表示，从质量的角度来看，最接近标准质量的是（    ） A．克 B．克 C．克 D．克 【变式5-1】.比赛用的乒乓球有一定的标准质量，但实际生产的乒乓球的质量可能会有一些偏差，检测记录中“”表示超出标准质量，“”表示不足标准质量，现随机抽取4个乒乓球进行质量检测，那么最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】.检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/ (1)几号篮球最接近标准质量？ (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【变式5-3】.我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正在一条南北方向的公路上执行治安巡逻，规定：初始位置为0，向北为正，向南为负．机器人从初始位置到巡逻结束所走的路程（单位：）如下：，，，，，． (1)在这次巡逻中，该巡逻机器人离出发点的最远距离为多少？ (2)已知巡逻机器人的平均速度为，求这次治安巡逻的时间． 题型06结合绝对值的大小比较 根据数轴上点的位置判断数的正负，结合绝对值的几何意义比较大小，可借助特殊值法验证。 【典例6】.（1）把数表示在下面的数轴上． （2）比较这六个数的大小，并用“>”连接． 【变式6-1】.有理数在数轴上对应点的位置如图所示． (1)结合数轴可知：______；（用“”“”或“”填空） (2)结合数轴，比较，，，，的大小，并用“”连接起来． 【变式6-2】.操作与实践： (1)把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数： 0，，，，，5． (2)按从小到大的顺序用“”连接起来． 比较大小：_________________________________________________________________ (3)观察数轴，回答问题：大于并且小于5的整数有哪几个？ 【变式6-3】.有理数a，b在数轴上的位置如图．则与的大小为______． 题型07结合数轴的绝对值化简 先由数轴判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值性质去符号，最后合并化简。 【典例7】.已知、、在数轴上的位置如图所示，化简______． 【变式7-1】.已知，，在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空：______0，______0； (2)填空：______，______； (3)化简：． 【变式7-2】.已知有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）； (2)化简：． 【变式7-3】.已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“”“”“”填）； (2)根据数轴化简：______；______；______； (3)若，，求a，c的值． 题型08绝对值的最值问题 利用的性质，当绝对值部分为时，含绝对值的式子取得最值。 【典例8】.已知为有理数，则的最小值为______． 【变式8-1】.如果两个有理数x，y满足，则的最大值__________，的最小值为__________． 【变式8-2】.代数式的最小值是（    ） A．0 B． C．1 D．2 【变式8-3】.如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 题型09绝对值的分类讨论探究 针对字母的正负性分情况讨论，如类问题，分、两类求解。 【典例9】.已知：，且，．则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则_____ 【变式9-1】.如图，点在数轴上表示的数分别为，则下列结论中正确的个数有（   ） ①； ② ③； ④ ⑤若点是数轴上任一点，表示的数是，且的最小值为10，则的值为-10． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-2】. “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【变式9-3】.我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A． ①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 一、单选题 1．的绝对值是（     ） A． B． C． D． 2．绝对值小于3的整数有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个 3．下列各数中，是负数的是（     ） A． B．0 C． D． 二、填空题 4．________． 5．数轴上到原点距离为3个单位长度的点表示的数是_____. 6．如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是__________． 三、解答题 7．已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 8．已知与互为相反数，与互为倒数，，是最大的负整数．求的值． 9．某检修小队在东西走向的公路上进行电路检修，约定向东为正，小队从A地出发到收工时，记录如下(单位：：，，，，，，，． (1)收工时，小队在A地的什么方向？距离A地多远？ (2)若小队从A地出发，检修结束后直接回到A地，求该小队当天行走的总路程； (3)在A地东侧处有一个广告牌，小队在这次的检修中有　　次经过这个广告牌． 1．如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 2．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 4．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了重要的规律：如果数轴上点A、B分别表示有理数a、b，那么A、B两点间的距离表示为．例如数轴上表示4和的两点之间的距离可表示为． （1）如图，在数轴上点M表示数1，点N表示数，则M、N两点间的距离为_______； （2）若，则x的值为_______． 5．数学课上，老师讲解了绝对值的几何意义，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可变形为，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．根据这一原理，请解答如下问题． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 绝对值与有理数大小比较 教学目标 1.理解绝对值的几何意义与代数意义，能熟练求出任意有理数的绝对值。 2.掌握绝对值的核心性质，理解绝对值的非负性，并能解决相关计算问题。 3.能运用绝对值知识解决实际偏差类问题，体会数形结合与分类讨论的数学思想。 教学重难点 1.重点 （1）绝对值的概念与几何意义 （2）绝对值的性质与求法 （3）绝对值非负性的应用 2.难点 （1）绝对值性质中分类讨论思想的运用 （2）结合数轴的绝对值化简问题 （3）绝对值非负性的综合拓展应用 知识点01：绝对值的概念 1.几何意义：在数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2.核心结论： （1）互为相反数的两个数的绝对值相等，即； （2）绝对值最小的数是，不存在绝对值最大的数； （3）数轴上的点离原点越近，对应的数的绝对值越小；离原点越远，绝对值越大。 【即学即练】 1．下列说法中，正确的有（    ） （1）绝对值相等的两个数必相同或互为相反数 （2）正数和零的绝对值等于它本身 （3）只有负数的绝对值是它的相反数 （4）一个数的绝对值必为正． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的性质，根据绝对值的性质逐一判断各说法是否正确即可． 【详解】解：∵绝对值相等的两个数必相同或互为相反数，如则或，∴（1）正确； ∵正数的绝对值等于它本身，零的绝对值等于0，也等于它本身，∴（2）正确； ∵负数的绝对值是它的相反数，但零的绝对值也是它的相反数（0的相反数是0），∴（3）错误； ∵零的绝对值为0，不是正数，∴（4）错误； ∴正确的有（1）和（2），共2个． 故选：B． 2．下列说法中，错误的是（    ） A．一个数的绝对值一定是正数 B．互为相反数的两个数的绝对值相等 C．绝对值最小的数是0 D．的绝对值是7，记作 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的定义与性质，熟练掌握“绝对值的非负性、相反数的绝对值关系”是解题的关键．根据绝对值的定义及性质，逐一分析每个选项的正误，找出错误的选项． 【详解】解： 绝对值的性质是“一个数的绝对值是非负数（即大于或等于0）”，0的绝对值是0，不是正数，故 A项错误，符合题意； ∵互为相反数的两个数（如和）到原点的距离相等， ∴它们的绝对值相等，故 B项正确，不符合题意； ∵ 绝对值是非负数，最小的非负数是0， ∴ 绝对值最小的数是0，故 C项正确，不符合题意； ，故 D项正确，不符合题意； 故选：． 知识点02：绝对值的性质 1.代数性质： （1）正数的绝对值是它本身； （2）的绝对值是； （3）负数的绝对值是它的相反数。 2.符号表示： 也可写作 【即学即练】 1．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ） A．－3 B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：∵数轴上某点到原点的距离等于该点所表示的数的绝对值． ∴分别计算各选项的绝对值∶，，，． 比较大小得， ∴对应的点与原点距离最近． 2．的绝对值为（     ） A．-8 B．8 C． D．2 【答案】C 【详解】解：． 知识点03：绝对值的非负性与拓展性质 1.非负性：任意有理数的绝对值都是非负数，即对任意有理数，总有；当且仅当时，。 2.拓展结论： （1）若几个非负数的和为，则每个非负数都为，即若，则； （2）绝对值等于它本身的数是非负数；绝对值等于它的相反数的数是非正数； （3）若，则或，对应两个互为相反数的解。 【即学即练】 1．如果，那么的值为____． 【答案】9 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，以及代数式的求值，准确的计算是解决本题的关键． 根据非负数的性质，绝对值和平方项的和为零时，每个部分都为零，从而求出未知数的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴且， ∴， ∴，． 则． 故答案为：9． 2．A，B在数轴上，分别表示数，，且． (1)直接写出的值是 ，的值是 ，线段的长度是 ； (2)如图1，是一条定长的线段（点在点的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点（即点在线段上的这段过程）所需的时间为3秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为15秒． ①求线段的长； ②直接写出线段运动的速度为 个单位长度/秒； ③如图2，当动线段运动到点与点重合时，与此同时，点从点出发，在动线段上，以1个单位长度/秒的速度向点运动，遇到点后，点立即原速返回，向点运动，遇到点后也立即原速返回，向点运动．设动线段，以及点同时运动的时间为秒（），当时，求的值． 【答案】(1)，21，24 (2)①；②2；③的值是或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴动点问题． （1）根据题意，可知，，即可算出m与n的值，线段用两点间的距离公式即可解出； （2）①设的长度为m，根据题目，我们知道，解这个方程即可； ②根据题目直接计算即可； ③当时，点P对应的数是，点C从P到点Q需要秒，由此开始秒后，点P对应的数是，点Q表示的数是，再根据，，，分四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：，21，24； （2）解：①设的长度为m， 则， 解得， ∴线段； ②∵线段完全经过点A所需的时间为3秒， ∴， 即运动的速度为2个单位长度/秒， 故答案为：2； ③当时，点P对应的数是，点C从P到点Q需要秒， 由此开始秒后，点P对应的数是，点Q表示的数是， 当点Q到达点时，，解得， 分三种情况讨论： 阶段1：当时，点未到达点，点从点出发，未到达点，此时点C对应的数是， ∴，， ∵， ∴， 解得； 阶段2：当时，点未到达点，点到达点，开始返回点，此时点C对应的数是， 当时，点C对应的数是9， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）； 阶段3：当时，点已经超过点，点到达点，又返回向点运动，此时点C对应的数是， ∴，， ∵， ∴， 解得； 阶段4：当时，点已经超过点，点到达点，又返回向点运动，此时点C对应的数是， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）； 综上，的值是或． 题型01求具体有理数的绝对值 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是。 【典例1】.的绝对值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【变式1-1】.的绝对值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：是正数，即，根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身， ． 【变式1-2】.等于（     ） A．2027 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 【变式1-3】.的绝对值是（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 题型02已知绝对值求原数 绝对值为正数的数有两个，且互为相反数；不要遗漏负数解，绝对值为的数仅有。 【典例2】.绝对值等于2026的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义，求解绝对值等于给定正数的数即可． 【详解】因为绝对值为正数的数有两个，且这两个数互为相反数， 所以绝对值等于2026的数是． 【变式2-1】.若，则x的值是_________． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，根据绝对值的定义，一个数的绝对值表示它到原点的距离，因此方程有两个解． 【详解】解：由绝对值的定义可知，表示x到原点的距离为3， ∴或． 故答案为：3或． 【变式2-2】.若，，且，求的值． 【答案】或． 【分析】本题考查了绝对值的定义，有理数减法，首先依据绝对值的定义求得、，结合条件，分为两种情况计算即可，解题的关键是熟练掌握有理数减法运算及分类讨论思想． 【详解】解：因为，， 所以或，或， 因为，所以或，， 当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为或． 【变式2-3】.已知互为相反数，求代数式的值． 【答案】4 【分析】本题主要考查相反数及绝对值、代数式的值，熟练掌握相反数及绝对值、代数式的值是解题的关键；由题意易得，然后代值求解即可． 【详解】解：由与互为相反数可知：， ， ， ． 题型03含绝对值的四则运算 先计算绝对值符号内的算式，再去掉绝对值符号，最后按四则运算法则计算；注意绝对值外的负号。 【典例3】.计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查有理数的加减运算，涉及的知识点是有理数的加减法运算法则、绝对值的化简． （1）根据有理数加减法运算法则计算即可． （2）根据有理数加减法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3-1】.计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，化简绝对值，涉及有理数的加减法，有理数的乘方，有理数的除法，掌握其运算规则是解题的关键． （1）先去括号，然后从左到右进行计算即可； （2）先计算有理数的乘方，化简绝对值，以及有理数的除法，然后从左到右进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式3-2】.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算，熟记有理数混合运算法则及相关运算律是解决问题的关键． （1）先化简符号，再由交换律与结合律变形，最后由有理数加减运算法则计算即可得到答案； （2）先计算乘方运算，再计算绝对值，然后计算除法运算，最后由有理数加法运算计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3-3】.计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，一个数的绝对值，熟练掌握有理数加减混合运算规则是解题的关键． 先去掉绝对值，带分数变成假分数，分母都化成相同值，然后分子相加减，并约分即可完成计算． 【详解】解： ． 题型04绝对值非负性的基础应用 几个绝对值的和为，则每个绝对值内的式子均为，据此列方程求解字母的值。 【典例4】.若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值． 根据非负数的性质，绝对值和平方项均为非负数，它们的和为零，则每个部分必须为零，那么得到且，求出，再代入求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴ 且， ∴ ，即， ∴ ，即， ∴ ， 故选：C． 【变式4-1】.已知与互为相反数，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了互为相反数的两个非负数的性质，求代数式的值，掌握互为相反数的两个非负数的性质是关键；根据互为相反数的条件，绝对值表达式均需为零，从而求出a和b的值，再代入计算． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴； ∵且， ∴且， ∴且， ∴， ∴． 故选：C． 【变式4-2】.若有理数，满足，则的值为（   ） A．6 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质，绝对值的非负性，平方结果的非负性，理解非负数的性质是解题的关键．利用非负数的性质，平方项和绝对值项均非负，和为零则每项为零，解出 a 和 b 的值后计算比值. 【详解】解：∵ 且 ，且 ， ∴ 且 ， ∴ 且 ， ∴ ，， ∴ . 故选：D． 【变式4-3】.已知，则_________，_________． 【答案】 1 / 【分析】本题考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， 解得， 故答案为：． 题型05绝对值的实际应用 用绝对值表示实际量与标准值的偏差，绝对值越小越接近标准；按误差范围判断是否合格。 【典例5】.标准乒乓球的质量为2.7克．现随机抽取4个样本进行检测，其中超过标准质量的克数用正数表示，不足标准质量的克数用负数表示，从质量的角度来看，最接近标准质量的是（    ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】D 【分析】最接近标准质量的乒乓球，是与标准质量偏差的绝对值最小的那个，只需计算各选项数的绝对值，比较大小即可得到结果. 【详解】解：∵ 最接近标准质量等价于与标准质量的偏差的绝对值最小，分别计算各选项偏差的绝对值：，，，， 又∵， ∴最小，即克最接近标准质量. 【变式5-1】.比赛用的乒乓球有一定的标准质量，但实际生产的乒乓球的质量可能会有一些偏差，检测记录中“”表示超出标准质量，“”表示不足标准质量，现随机抽取4个乒乓球进行质量检测，那么最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偏差的绝对值越小，乒乓球质量越接近标准质量，则只需比较各选项偏差的绝对值大小即可得到结果． 【详解】∵ 越接近标准质量，乒乓球质量偏差的绝对值越小， 分别计算各选项偏差的绝对值： ， ， ， ， ∵ ， ∴ 选项A的偏差绝对值最小，最接近标准质量． 【变式5-2】.检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/ (1)几号篮球最接近标准质量？ (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球最接近标准质量 (2)的篮球的质量好一些 【分析】本题主要考查正负数，绝对值的运用，理解题意是关键． （1） 利用绝对值比较大小，值越小，越接近； （2）利用绝对值比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴3号篮球最接近标准质量． （2）解：∵， ∴结果为的篮球的质量好一些． 【变式5-3】.我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正在一条南北方向的公路上执行治安巡逻，规定：初始位置为0，向北为正，向南为负．机器人从初始位置到巡逻结束所走的路程（单位：）如下：，，，，，． (1)在这次巡逻中，该巡逻机器人离出发点的最远距离为多少？ (2)已知巡逻机器人的平均速度为，求这次治安巡逻的时间． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正数和负数，绝对值及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）分别求得每次巡逻后距出发点的距离及位置后进行判断即可； （2）根据绝对值的实际意义列式计算即可． 【详解】（1）解：第1次；， 第2次：， 第3次：， 第4次：， 第5次：， 第6次：． 答：在这次巡逻中，该巡逻机器人离出发点的最远距离为． （2）解：． 答：这次治安巡逻的时间为． 题型06结合绝对值的大小比较 根据数轴上点的位置判断数的正负，结合绝对值的几何意义比较大小，可借助特殊值法验证。 【典例6】.（1）把数表示在下面的数轴上． （2）比较这六个数的大小，并用“>”连接． 【答案】(1)详见解析(2) 【分析】(1)根据数轴特点把各数表示在数轴上， (2)根据数轴上右边的点表示的数总比左边的大用“”连接即可． 【详解】解：(1)如图，，，， 各数在数轴上表示为， (2)由数轴知，从大到小排列为： ． 【点睛】本题主要考查了利用数轴比较有理数的大小，绝对值，正负数，用数轴上的点表示有理数，熟练掌握用数轴上的点表示有理数是解决此题的关键． 【变式6-1】.有理数在数轴上对应点的位置如图所示． (1)结合数轴可知：______；（用“”“”或“”填空） (2)结合数轴，比较，，，，的大小，并用“”连接起来． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查数轴与有理数的对应关系，理解图示，掌握数轴的特点与有理数的关系是解题的关键． （1）根据数轴的特点可得，再根据绝对值的性质化简，即可求解； （2）根据数轴的特点，相反数的意义，在数轴上分别表示出的值，再根据数轴比较有理数大小的方法即可求解． 【详解】（1）解：根据图示可得， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示， ∴． 【变式6-2】.操作与实践： (1)把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数： 0，，，，，5． (2)按从小到大的顺序用“”连接起来． 比较大小：_________________________________________________________________ (3)观察数轴，回答问题：大于并且小于5的整数有哪几个？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)，，，0，1，2，3，4 【分析】本题考查数轴与有理数，正确的在数轴上表示出各数，是解题的关键： （1）确定原点，正方向和单位长度，画出数轴，进行把各数在数轴上进行表示即可； （2）根据数轴上的数右边的比左边的大，比较大小即可； （3）数形结合，求出大于并且小于5的整数即可。 【详解】（1），，， 在数轴上表示各数，如图所示． （2）按从小到大的顺序用“”连接起来为： ； （3）由数轴得，大于并且小于5的整数有8个：，，，0，1，2，3，4． 【变式6-3】.有理数a，b在数轴上的位置如图．则与的大小为______． 【答案】 【分析】本题考查化简绝对值．根据点在数轴上的位置，判断出式子的符号即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， 故答案为：． 题型07结合数轴的绝对值化简 先由数轴判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值性质去符号，最后合并化简。 【典例7】.已知、、在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】0 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号、化简绝对值、整式的加减运算等，解题的关键是根据a、b、c在数轴上的位置得出，．根据a、b、c在数轴上的位置判断出，得出，，去绝对值，再合并同类项即可． 【详解】解：根据a、b、c在数轴上的位置可知：， ∴，， ∴ ． 故答案为：0． 【变式7-1】.已知，，在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空：______0，______0； (2)填空：______，______； (3)化简：． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了根据数轴判断式子正负，绝对值的非负性． （1）由数轴可知，进而判断即可； （2）根据绝对值的非负性作答即可； （3）根据得到，进而根据绝对值的非负性化简即可． 【详解】（1）解：由数轴可知， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴，， 故答案为：，； （3）解：∵， ∴， 又∵，， ∴． 【变式7-2】.已知有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查利用根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值意义，绝对值性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据数轴的特点即可判断的正负，再结合绝对值意义，即可判断的正负； （2）根据数轴判断式子，的正负，再结合绝对值性质化简，即可解题． 【详解】（1）解：由数轴可知，，，， 且， 所以， 故答案为：；； （2）解：因为，， 所以． 【变式7-3】.已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“”“”“”填）； (2)根据数轴化简：______；______；______； (3)若，，求a，c的值． 【答案】(1)；； (2)；； (3) 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，绝对值，正确读懂数轴是解题的关键． （1）在原点左边的数小于0，原点右边的数大于0，据此可得答案； （2）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得答案； （3）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得答案． 【详解】（1）解：由数轴可知； （2）解：∵， ∴，；； （3）解：∵，，， ∴． 题型08绝对值的最值问题 利用的性质，当绝对值部分为时，含绝对值的式子取得最值。 【典例8】.已知为有理数，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，可得，即可求解． 利用绝对值的非负性，确定代数式的最小值． 【详解】解：∵， ∴的最小值为 故答案为：． 【变式8-1】.如果两个有理数x，y满足，则的最大值__________，的最小值为__________． 【答案】 3 4 【分析】此题考查绝对值的意义，数轴上两点之间的距离． 把变为可求出的最大值；由得，将原式化为，根据两点间距离的几何意义可求其最小值为4． 【详解】解：因为，则， 所以； 因为绝对值是非负数，即， 所以当最小时，整个式子的值最大． 当时，，此时， 所以的最大值是3． 由得，， 所以，此式表示x到3的距离加上x到7的距离， 根据绝对值的性质，当x在3和7之间（包括3和7）时，距离和最小，最小值为． 所以的最小值为4． 故答案为：3；4． 【变式8-2】.代数式的最小值是（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性，利用绝对值的非负性，求表达式的最小值即可． 【详解】解：∵， ∴，当时，等号成立， ∴最小值为， 故选：B． 【变式8-3】.如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的非负性．当绝对值取最小值时，式子取得最大值． 【详解】解：∵， ∴ 当 时，即时，取得最大值，最大值为； 故选A． 题型09绝对值的分类讨论探究 针对字母的正负性分情况讨论，如类问题，分、两类求解。 【典例9】.已知：，且，．则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则_____ 【答案】15 【分析】本题考查了绝对值意义，有理数加法运算，有理数除法运算，代数式求值．根据绝对值的意义分情况求出m的值，从而得出x的值，y的值，然后再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，，， a，b，c三个数中有两负一正，当a，b为负，c为正数时， ； 当a，c为负，b为正数时， ； 当b，c为负，a为正数时， ； ， m共有3个不同的值，在这些不同的m值中，最小的值为， ， ∴， 故答案为：15． 【变式9-1】.如图，点在数轴上表示的数分别为，则下列结论中正确的个数有（   ） ①； ② ③； ④ ⑤若点是数轴上任一点，表示的数是，且的最小值为10，则的值为-10． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，根据图示，可得，，据此逐项判定即可． 【详解】解：根据数轴得：，， ①∵，，， ∴，故①正确； ②由数轴得，点到原点的距离大于点到原点的距离大于点到原点的距离， 所以，，故②正确； ③∵，， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ④∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤根据绝对值的几何意义可得，当时，取得最小值， 又的最小值为10， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故⑤正确， 综上，正确的结论是①②③⑤，共4个， 故选：D． 【变式9-2】. “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或0 (2)1 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则，根据分类讨论的思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键． （1）对、进行讨论，即、同正，、同负，、异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （2）根据，，是有理数，，把求转化为求的值，根据得结果． 【详解】（1）解：已知，是有理数，当时，可分为四种情况： ①若，，； ②若，，； ③若，，； ④若，，． 故的值为或0； （2）解：因为，，是有理数，，， 所以，，，且，，有两个负数一个正数， 不妨设，，， 则． 【变式9-3】.我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘除法符号问题，根据，分三种情况分别求得的值，即可判断①；根据，可得，得出，或，，然后根据绝对值的意义化简绝对值进而判断②，根据，得出，，，求出，根据，，得出、、中一负两正，再化简绝对值即可判断③，根据，可得，得出a、b、c中有3个负数或一负两正，分类讨论化简绝对值，根据③的方法即可判断④和⑤． 【详解】解：①∵， 当同号时，即或，时， 或， 当异号，即，或，， ∴或 ∴当时，的值为或；故①正确； 当时，即， ∴a、b异号，即，或，， ∴或； ∴当时，的值为；故②正确； ∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴． ∴的值为．故③不正确； ∵，则 ∴， ∴a、b、c中有3个负数或一负两正， 当a、b、c都是负数时，； 当a、b、c中有一负两正时，； ∴的值为或；故④正确； ∵， ∴a、b、c中一负两正或一正两负， 当a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴ 当a、b、c中一正两负， 不妨设, ∴ ∴的所有可能的值为，故⑤正确， 故正确的有①②④⑤， 故选：C． 一、单选题 1．的绝对值是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的绝对值是 2．绝对值小于3的整数有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个 【答案】A 【详解】解：设满足条件的整数为， ∵是整数，且， ∴， ∴绝对值小于3的整数有，共5个． 3．下列各数中，是负数的是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A中，，是正数，不符合题意； 选项B中，0既不是正数，也不是负数，不符合题意； 选项C中，，是负数，符合题意； 选项D中，，是正数，不符合题意． 二、填空题 4．________． 【答案】． 【详解】解：根据绝对值的性质，一个负数的绝对值是它的相反数， ． 5．数轴上到原点距离为3个单位长度的点表示的数是_____. 【答案】 【分析】根据数轴上点到原点距离的定义，结合绝对值的性质求解，所求数的绝对值等于3，即可得到对应的数． 【详解】设该点表示的数为，由题意得， 解得或， ∴数轴上到原点距离为3个单位长度的点表示的数是． 6．如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是__________． 【答案】 【分析】利用绝对值的非负性，得出的最小值进而确定表达式的最大值即可． 【详解】解：为有理数， ， ， ，当且仅当时，即时取等号， 最大值为． 三、解答题 7．已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 【答案】(1)5 (2)画图见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设到a、b两数距离之和为4的数为， 则， 当时，，； 当时，，方程无解； 当时，，； ∴到a、b两数距离之和为4的数为或． 8．已知与互为相反数，与互为倒数，，是最大的负整数．求的值． 【答案】4或 【分析】本题考查了相反数、倒数的性质，绝对值的意义，有理数的分类，代数式求值．根据已知分别求得，，，，进而分和分别代入求值，即可求解． 【详解】解：由已知得，，，， 当时，； 当时，， 故的值是4或． 9．某检修小队在东西走向的公路上进行电路检修，约定向东为正，小队从A地出发到收工时，记录如下(单位：：，，，，，，，． (1)收工时，小队在A地的什么方向？距离A地多远？ (2)若小队从A地出发，检修结束后直接回到A地，求该小队当天行走的总路程； (3)在A地东侧处有一个广告牌，小队在这次的检修中有　　次经过这个广告牌． 【答案】(1)收工时，小队在A地正东方，距离A地 (2)总路程为 (3)2 【分析】本题考查了正数和负数、有理数的加减运算的实际应用，绝对值的意义，正确列出算式并掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将从A地出发到收工时行走记录相加，根据计算的结果和题中规定的正方向即可确定出检修小队在A地的哪一边以及距离A地的距离； （2）把记录的数的绝对值相加，求出总路程即可． （3）求出每次离A地的距离，判断即可． 【详解】（1）解：将从A地出发到收工时行走记录相加： （）， 答：收工时，小队在A地正东方，距离A地； （2）解：若小队从A地出发，检修结束后直接回到A地总路程为： （）， 答：总路程为； （3）解：第一次离A地正西， ，第二次离A地正东， ，第三次离A地正东， ，第四次离A地正东，第一次经过这个广告牌； ，第五次离A地正东， ，第六次离A地正东， ，第七次离A地正东， ，第八次离A地正东，第二次经过这个广告牌． 故共2次经过这个广告牌． 故答案为：2． 1．如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据绝对值的性质求出负数a的取值范围，再结合数轴上数的大小与位置的关系，判断a和的位置关系． 【详解】解：∵， 又∵，且a是负数， ∴， ∴表示数a的点在表示的点的右侧，故B正确． 2．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和，据此分析其最小值． 【详解】解：∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和， ∴当时，的值最小，为到的距离，即； ∴最小值是1； 故选A． 3．若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，表示数轴上与对应点之间的距离，由可知在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和，当位于和之间时，距离之和取得最小值，最小值为两点之间的距离． 【详解】解：∵表示数轴上与两数对应的点之间的距离， ∴，即在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和， 当时，有最小值，为． 4．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了重要的规律：如果数轴上点A、B分别表示有理数a、b，那么A、B两点间的距离表示为．例如数轴上表示4和的两点之间的距离可表示为． （1）如图，在数轴上点M表示数1，点N表示数，则M、N两点间的距离为_______； （2）若，则x的值为_______． 【答案】 5 或3 【分析】此题考查了绝对值的几何意义，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据题干公式即可解答； （2）表示到的距离，表示到的距离，分类讨论，即或，分别求得的值即可． 【详解】（1）解：M、N两点间的距离为； 故答案为：； （2）解：表示到的距离，表示到的距离， 当在左边，即时， ； 当在右边，即时， ； 故答案为：或． 5．数学课上，老师讲解了绝对值的几何意义，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可变形为，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．根据这一原理，请解答如下问题． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1)8 (2)或 (3)、、、、、 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，熟练掌握“绝对值表示数轴上两点之间的距离”是解题的关键． （1）根据绝对值的几何意义，计算与在数轴上的距离； （2）将变形为，结合距离的意义列方程求解； （3）根据的几何意义（到和的距离和），分析的取值范围后确定整数解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴或， 即或， ∴或； （3）解：∵表示到和的距离和，且与在数轴上的距离为， ∴在到之间（含和）． ∴符合条件的整数为：，，，，，． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $