1.4 充分条件与必要条件（讲义，知识点&6大题型&刷好题）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦“充分条件与必要条件”核心知识点，从命题定义出发，通过“若p则q”的真假判断引出条件关系，结合集合包含关系（小范围推大范围）构建直观理解，形成从定义到应用的完整学习支架。 资料特色在于融入生活实例（如“努力学习与成功”“一屋不扫何以扫天下”）转化逻辑关系，培养用数学眼光观察现实世界的能力，通过题型分层设计（从判断到求参）发展推理意识，课中助力教师系统教学，课后帮助学生巩固提升。

第 一 章 集合与常用逻辑用语 1.4 充分条件与必要条件 课标要点 1、理解“充分条件”“必要条件”“充要条件”的含义及逻辑关系。 2、能判断给定命题中条件与结论之间的充分、必要关系。 3、掌握用集合观点理解充分与必要条件（小范围推大范围为充分，大范围推小范围为必要）。 4、会判断充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要四种关系。 5、能利用充分条件与必要条件解决简单的参数范围问题。 学习重难点 重点： 1、充分条件与必要条件的定义区分（“若p则q”为真时，p是q的充分条件，q是p的必要条件）； 2、四种关系（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）的判断方法； 3、小范围推大范围”的集合直观（条件对应集合小则充分，结论对应集合小则必要）。 难点： 1、“充分”与“必要”的方向容易混淆（推出方向与条件、结论的对应关系）； 2、判断“既不充分也不必要”时需举反例说明； 3、含参问题中由充分或必要条件求参数范围时，端点值的取舍及集合包含关系的准确对应容易出错。 知识点 充分条件与必要条件 1、命题：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题。写成“若p,则q”“如果p,那么q”等形式。 2、充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 3、充分必要条件的概念 如果,那么与互为充要条件. 随学随练 1．（25-26高一上·湖北武汉·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 知识点 充分条件与必要条件和集合的联系（重点） 1、设，则 p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充要条件 且 p是q的充分不必要条件 且 是的必要不充分条件 且 是的既不充分也不必要条件 且 且 2、充分条件与必要条件的传递性 （1）若是的充分条件，是的充分条件，即则有,即是的充分条件； （2）若是的必要条件，是的必要条件，即则有,即是的必要条件； （2）若是的充要条件，是的充要条件，即则有,即是的充要条件； 特别提醒 “小推大是充分，大推小是必要，相等是充要”。即集合范围较小的对应条件，是范围较大的对应条件的充分条件；反之，范围较大的是较小的必要条件。若两集合无包含关系，则条件间无充分或必然联系。应用时先化简条件为集合，再比较集合的包含关系即可快速判断。 随学随练 1．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）设，则“”是“”（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型 真假命题的判断 ▌例1（25-26高一上·重庆·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．有些菱形不是平行四边形 B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C．所有素数都是奇数 D．每个四边形的内角和都是 ▌例2（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）（多选）下列命题中，是真命题的有（   ） A．集合的所有真子集为， B．若（其中a，），则 C． D．若a，b，，则是的充要条件 解题贴士 断命题真假，核心是看条件和结论是否在所有情况下都成立。若条件成立时结论必成立（即充分性成立），则为真命题；否则只需举一个反例即可判假。 ▌对点练1-1（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）对于任意两个集合与，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 ▌对点练1-2（25-26高一上·重庆·阶段检测）（多选）下列命题为假命题的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充要条件 题型 逻辑事件的充分、必要条件 ▌例1（25-26高一上·四川成都·期中）努力学习不一定能够成功，不努力学习一定不会成功，在这句话中，努力学习是成功的什么条件？（    ） A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 ▌例2（25-26高一上·广东茂名·阶段检测）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫天下”是“能扫一屋”的一个（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 解题贴士 语句的逻辑关系判断，核心是将自然语言转化为“若p则q”的推出方向。 ▌对点练1-1（25-26高一上·湖北咸宁·阶段检测）（多选）王之涣《登鹳雀楼》中的诗句“白日依山尽，黄河入海流；欲穷千里目，更上一层楼”隐含了“只有更上一层楼，才能穷千里目”的逻辑关系，请判断以下哪些选项正确（    ） A．“更上一层楼”是“能穷千里目”的充分条件. B．“更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件. C．“能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件. D．“能穷千里目”是“更上一层楼”的必要条件. ▌对点练1-2（25-26高一上·重庆·阶段检测）《三国演义》是中国古典四大名著之一．《三国演义》中曾写道“卧龙凤雏，得一可安天下”，据此分析“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 题型 充分、必要条件的判断 ▌例1（25-26高二下·浙江·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ▌例2（25-26高一下·云南文山·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解题贴士 1、判断哪个是条件，哪个是结论 2、判断充分必要条件，就是看  能否推出 、能否推出。得出结论 ▌对点练1-1（25-26高二下·广东深圳·期末）设，则“”是“”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ▌对点练1-2（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知，，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型 充分、必要条件的探究 ▌例1（25-26高二下·湖南岳阳·期末）已知集合，，则的必要不充分条件可能是（    ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）（多选）下列是“集合是集合的子集”的必要条件的是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 把条件看作集合，范围小的是充分条件，范围大的是必要条件，相等是充要。 找“充分不必要”就找比目标范围小的；找“必要不充分”就找比目标范围大的。两集合无包含关系则既不充分也不必要。 ▌对点练1-1（25-26高二下·云南曲靖·阶段检测）设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2使成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 题型 充分、必要条件的传递性 ▌例1（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）（多选）已知是的充分条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则（    ） A．是的充分条件 B．是的充要条件 C．是的充分条件 D．是的必要条件 ▌例2（2025高一上·全国·专题练习）设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么（   ） A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙是甲的充要条件 D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 解题贴士 充分条件与必要条件均具有传递性，充要条件传递性最强，可双向传递。 ▌对点练1-1（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）（多选）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的充要条件，是的必要条件，则（    ） A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件 ▌对点练1-2（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）（多选）已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（    ） A．p是q的既不充分也不必要条件 B．p是s的充分条件 C．r是q的必要不充分条件 D．s是q的充要条件 题型 根据充分、必要条件求参 ▌例1（25-26高一上·福建泉州·期中）若是的充分条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一上·山东聊城·阶段检测）已知. (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求实数取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 解题贴士 根据充分必要求参，核心是将条件关系转化为集合包含关系，再转化为参数不等式（或方程），最后解出范围。特别留意空集情况——若含参集合可为空，优先讨论空集是否满足条件。 ▌对点练1-1（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 基础通关 1．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）（多选）下列命题为假命题的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．若，，则 C．方程有两个负根的充要条件是 D．已知集合，且，则m的取值构成的集合为 2．（25-26高一上·山东威海·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）设，则成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（   ） A．是的充分不必要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件 5．（25-26高一上·黑龙江鸡西·阶段检测）已知p是q成立的必要条件，q是r成立的充要条件，r是s成立的充分条件，s不是q成立的充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．p是r成立的充要条件 B．s是r成立的必要不充分条件 C．p是s成立的充分不必要条件 D．q是s成立的必要不充分条件 6．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 8．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（25-26高一上·云南楚雄·阶段检测）已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 素养提升 1．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高一下学期5月春季联赛数学试题）设集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的值． 2．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 3．（25-26高一上·四川成都·期中）数学的一些概念我们往往可以用生活中发生的故事来理解： 近期，某校校园论坛发生了一起网暴事件，请根据下面五个事实来完成以下题目： p： 蔡宇杰在朋友圈发了“独来独往的生活也很舒服”. q： 宋某将该朋友圈截图发至校园论坛. r： 宋某在帖子中附带蔡宇杰的照片并用特别恶毒的语言辱骂蔡宇杰. s： 论坛出现针对蔡宇杰的网络暴力. t： 宋某称自己“只是转发内容，没有鼓励网暴”. 经警方调查，确认 p、q、r、s 均为事实，t 是宋某的单方面辩解.在对应空格中填上“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”： （i）q 是 s 的________. （ii）r 是 s 的________. （iii）“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的________. 4．（25-26高一上·河南新乡·期中）已知集合，. (1)若，求的取值集合； (2)若是的必要条件，求的取值集合； (3)若，求的取值集合. 5．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 (3)当时，若与有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 迁移创新 1．（25-26高一上·上海·阶段检测）有限集合S中元素的个数记作card(S)，设A，B都为有限集合给出下列命题： ①的充要条件是； ②的必要条件是； ③的充分条件是； ④的充要条件是.其中真命题的序号是（   ） A．③④ B．①② C．①④ D．②③ 2．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）已知是正实数集的一个子集，定义运算，使其满足下列4个条件：①，则“”的充要条件是“”；②，则“”的充要条件是“”；③，则“”的充要条件是“”；④，. (1)设集合，若，求的取值集合； (2)设，证明：“”的充要条件是“”； (3)设，且，证明：. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 一 章 集合与常用逻辑用语 1.4 充分条件与必要条件 课标要点 1、理解“充分条件”“必要条件”“充要条件”的含义及逻辑关系。 2、能判断给定命题中条件与结论之间的充分、必要关系。 3、掌握用集合观点理解充分与必要条件（小范围推大范围为充分，大范围推小范围为必要）。 4、会判断充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要四种关系。 5、能利用充分条件与必要条件解决简单的参数范围问题。 学习重难点 重点： 1、充分条件与必要条件的定义区分（“若p则q”为真时，p是q的充分条件，q是p的必要条件）； 2、四种关系（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）的判断方法； 3、小范围推大范围”的集合直观（条件对应集合小则充分，结论对应集合小则必要）。 难点： 1、“充分”与“必要”的方向容易混淆（推出方向与条件、结论的对应关系）； 2、判断“既不充分也不必要”时需举反例说明； 3、含参问题中由充分或必要条件求参数范围时，端点值的取舍及集合包含关系的准确对应容易出错。 知识点 充分条件与必要条件 1、命题：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题。写成“若p,则q”“如果p,那么q”等形式。 2、充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 3、充分必要条件的概念 如果,那么与互为充要条件. 随学随练 1．（25-26高一上·湖北武汉·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先解不等式，再利用充分条件和必要条件的概念进行判断. 【详解】不等式等价于，即，解得或， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 知识点 充分条件与必要条件和集合的联系（重点） 1、设，则 p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充要条件 且 p是q的充分不必要条件 且 是的必要不充分条件 且 是的既不充分也不必要条件 且 且 2、充分条件与必要条件的传递性 （1）若是的充分条件，是的充分条件，即则有,即是的充分条件； （2）若是的必要条件，是的必要条件，即则有,即是的必要条件； （2）若是的充要条件，是的充要条件，即则有,即是的充要条件； 特别提醒 “小推大是充分，大推小是必要，相等是充要”。即集合范围较小的对应条件，是范围较大的对应条件的充分条件；反之，范围较大的是较小的必要条件。若两集合无包含关系，则条件间无充分或必然联系。应用时先化简条件为集合，再比较集合的包含关系即可快速判断。 随学随练 1．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）设，则“”是“”（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的判断求解. 【详解】因为推不出，而一定能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 题型 真假命题的判断 ▌例1（25-26高一上·重庆·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．有些菱形不是平行四边形 B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C．所有素数都是奇数 D．每个四边形的内角和都是 【答案】D 【分析】一一判断各命题的真假即可. 【详解】对于A：所有菱形都是平行四边形，故A错误； 对于B：在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行，故B错误； 对于C：是素数，但是偶数，故C错误； 对于D：每个四边形的内角和都是，故D正确. 故选：D ▌例2（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）（多选）下列命题中，是真命题的有（   ） A．集合的所有真子集为， B．若（其中a，），则 C． D．若a，b，，则是的充要条件 【答案】BCD 【分析】对A，根据真子集定义求解判断；对B，根据集合相等的定义求解判断；对C，根据子集的定义即可判断；对D，根据充要条件的定义判断. 【详解】对于A，集合的真子集为，，，故A错误‘ 对于B，由，得，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为等价于， 等价于， 所以是的充要条件，故D正确. 故选：BCD. 解题贴士 断命题真假，核心是看条件和结论是否在所有情况下都成立。若条件成立时结论必成立（即充分性成立），则为真命题；否则只需举一个反例即可判假。 ▌对点练1-1（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）对于任意两个集合与，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】D 【分析】由集合的运算及基本关系求解． 【详解】对于A项，对，有，对，有， 所以，集合的所有元素相同，即，则A项正确； 对于B项，若，则对，有，则，则B项正确； 对于C项，若，则对，则，则C项正确； 对于D项，如，显然，故D项错误. 故选：D ▌对点练1-2（25-26高一上·重庆·阶段检测）（多选）下列命题为假命题的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充要条件 【答案】AC 【分析】根据集合的包含关系，以及充分条件、必要条件的判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，例如：集合，满足，但，即充分性不成立； 反之：若，此时满足，但，即必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，所以A错误； 对于B，由，则成立，即充分性成立； 反之：当时，不一定成立，即必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，所以B正确； 对于C，当时，若，则，所以充分性不成立； 反之：当时，可得，所以必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，所以C错误； 对于D，由， 可得， 所以，即，所以充分性成立， 反之：若，则， 即，所以必要性成立， 所以“”是“”成立的充要条件，所以D正确. 故选：AC. 题型 逻辑事件的充分、必要条件 ▌例1（25-26高一上·四川成都·期中）努力学习不一定能够成功，不努力学习一定不会成功，在这句话中，努力学习是成功的什么条件？（    ） A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【详解】“努力学习不一定能够成功”，则“努力学习”不能推出“成功”，不满足充分性， “不努力学习一定不会成功”则“不努力学习”能推出“不成功”， 其逆否命题“成功”能推出“努力学习”，满足必要性， 故“努力学习”是“成功”的必要不充分条件． ▌例2（25-26高一上·广东茂名·阶段检测）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫天下”是“能扫一屋”的一个（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】利用逆否思想来理解即可. 【详解】“一屋不扫，何以扫天下”，即如果一个人一屋不扫，那么这个人不可能扫天下， 逆否可得：如果一个人能扫天下，那么他一定能扫一屋， 即“能扫天下”一定得到“能扫一屋”，所以“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件． 故选：A. 解题贴士 语句的逻辑关系判断，核心是将自然语言转化为“若p则q”的推出方向。 ▌对点练1-1（25-26高一上·湖北咸宁·阶段检测）（多选）王之涣《登鹳雀楼》中的诗句“白日依山尽，黄河入海流；欲穷千里目，更上一层楼”隐含了“只有更上一层楼，才能穷千里目”的逻辑关系，请判断以下哪些选项正确（    ） A．“更上一层楼”是“能穷千里目”的充分条件. B．“更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件. C．“能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件. D．“能穷千里目”是“更上一层楼”的必要条件. 【答案】BC 【分析】利用充分性与必要性的条件判断即可. 【详解】由题意可知只有更上一层楼才能穷千里目，但仅更上一层楼，未必能穷千里目， 所以“更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件，“能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件； 故A错误，B正确，故C正确，D错误. 故选：BC. ▌对点练1-2（25-26高一上·重庆·阶段检测）《三国演义》是中国古典四大名著之一．《三国演义》中曾写道“卧龙凤雏，得一可安天下”，据此分析“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】“卧龙凤雏，得一可安天下”的逻辑为：得到卧龙或凤雏中的任意一个，就可以安天下， 则“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的充分条件； 但是原句中未提及“安天下必须得到卧龙或凤雏”，即安天下可能通过其他途径实现， 则“得到卧龙或凤雏”不是“安天下”的必要条件； 则“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的充分不必要条件. 故选：B. 题型 充分、必要条件的判断 ▌例1（25-26高二下·浙江·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，故充分性成立； 若，则或，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. ▌例2（25-26高一下·云南文山·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】取，成立，不成立，故， 若，则，所以“”是“”的必要不充分条件. 解题贴士 1、判断哪个是条件，哪个是结论 2、判断充分必要条件，就是看  能否推出 、能否推出。得出结论 ▌对点练1-1（25-26高二下·广东深圳·期末）设，则“”是“”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求解不等式得出的取值范围，再根据充分性和必要性的定义判断两个条件之间的关系. 【详解】不等式可化为， 所以，若成立， 一定满足，因此充分性成立， 若满足，不一定满足（例如）， 因此，必要性不成立. ▌对点练1-2（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知，，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】应用不等式性质及特殊值法结合充分必要条件定义判断求解. 【详解】满足“”成立，“且”不成立， 又因为“且”可以得出“”， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 题型 充分、必要条件的探究 ▌例1（25-26高二下·湖南岳阳·期末）已知集合，，则的必要不充分条件可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分集合和讨论求解，先确定的充要条件，再确定其必要不充分条件. 【详解】因为或. 若，则，解得，即A非空； 若，由，此时. 所以的充要条件为：. 对于A，为充要条件，不符合题意； 对于B，成立推不出，但成立，必有，故B符合题意； 对于C，是的充分不必要条件，不符合题意； 对于D，推不出，也推不出，不符合题意. ▌例2（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）（多选）下列是“集合是集合的子集”的必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据，结合并集、交集的运算以及必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，， 故是“集合是集合的子集”的必要条件的是AC选项. 故选：AC. 解题贴士 把条件看作集合，范围小的是充分条件，范围大的是必要条件，相等是充要。 找“充分不必要”就找比目标范围小的；找“必要不充分”就找比目标范围大的。两集合无包含关系则既不充分也不必要。 ▌对点练1-1（25-26高二下·云南曲靖·阶段检测）设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 若，则，所以，解得， 当时，，此时， 所以是的充要条件， 故“”的一个必要不充分条件是. ▌对点练1-2使成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A，是成立的一个既不充分也不必要条件，故A错误；对于选项B，是成立的一个充分条件，故B正确；对于选项C，是成立的一个必要条件，故C错误；对于选项D，是成立的一个既不充分也不必要条件，故D错误． 题型 充分、必要条件的传递性 ▌例1（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）（多选）已知是的充分条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则（    ） A．是的充分条件 B．是的充要条件 C．是的充分条件 D．是的必要条件 【答案】ABD 【分析】根据充分条件、必要条件、充要条件的定义求解即可. 【详解】由已知得. 选项A，，则是的充分条件，所以A正确； 选项B，，则，所以是的充要条件，所以B正确； 选项C，根据已知条件，无法得出是的充分条件，所以C错误； 选项D，，则是的必要条件，所以D正确. 故选：ABD. ▌例2（2025高一上·全国·专题练习）设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么（   ） A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙是甲的充要条件 D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 【答案】A 【分析】根据已知条件，即可容易求得甲乙丙之间的推出关系，则问题得解. 【详解】因为甲是乙的必要条件，所以乙甲． 又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙乙，但乙丙，如图． 综上，有丙甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件； 故答案为：A 【点睛】考查充分条件、必要条件的判断. 解题贴士 充分条件与必要条件均具有传递性，充要条件传递性最强，可双向传递。 ▌对点练1-1（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）（多选）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的充要条件，是的必要条件，则（    ） A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件 【答案】AB 【分析】结合已知根据充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】因为是的充分不必要条件，是的充分条件，所以，，． 因为是的充要条件，所以．因为是的必要条件，所以． 综上可得，，，但， 即是的充要条件，是的充分不必要条件． 故选：AB ▌对点练1-2（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）（多选）已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（    ） A．p是q的既不充分也不必要条件 B．p是s的充分条件 C．r是q的必要不充分条件 D．s是q的充要条件 【答案】BD 【分析】根据充分条件和必要条件定义结合题意分析即可得解. 【详解】， 故. 所以p是s和q的充分条件，r是q的充分条件，s是q的充要条件. 故AC错误，BD正确. 故选：BD. 题型 根据充分、必要条件求参 ▌例1（25-26高一上·福建泉州·期中）若是的充分条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为在恒成立，求解的解，即可列不等式求解. 【详解】由于是的充分条件，故在恒成立， 由可得， 当时，可得，当时，，时，无解， 要使在，恒成立， 故或，解得， 故选：B ▌例2（25-26高一上·山东聊城·阶段检测）已知. (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求实数取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据条件，列出不等式组，可求的取值范围. 【详解】（1）因为是的必要条件，所以. 所以实数的取值范围为. （2）因为是的充分条件，所以. 所以实数的取值范围为. （3）因为是的充分不必要条件， 所以命题所表示的集合是命题所表示的集合的真子集. 由（2）可知，当时，集合. 又因为与不能同时成立（前者解得，后者解得）， 所以两个集合不可能相等. 故是的充分不必要条件的充要条件与是的充分条件等价， 所以实数的取值范围为. 解题贴士 根据充分必要求参，核心是将条件关系转化为集合包含关系，再转化为参数不等式（或方程），最后解出范围。特别留意空集情况——若含参集合可为空，优先讨论空集是否满足条件。 ▌对点练1-1（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，分，和，三种情况讨论，列出不等式，即可求解. 【详解】由集合，， 因为是的必要条件，则， 当时，此时集合为空集，满足； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. ▌对点练1-2已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据充分不必要条件列出不等式组，求解即得的取值范围. 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，则⫋， 当时，即，则， 当时，，得， 综上，的取值范围为． 基础通关 1．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）（多选）下列命题为假命题的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．若，，则 C．方程有两个负根的充要条件是 D．已知集合，且，则m的取值构成的集合为 【答案】ACD 【分析】利用必要不充分条件定义判断A；求出集合判断B；利用充要条件的定义，举例说明判断C；利用集合的互异性确定判断D. 【详解】对于A，只能得到集合有公共元素，并不能得到， 反之，由，可能有，此时， 因此“”是“”的既不充分也不必要条件，A是假命题； 对于B，依题意，，，，B不是假命题； 对于C，其充要条件是且，解得，C是假命题； 对于D，由集合，得，因此m的取值构成的集合中不含元素1，D是假命题. 故选：ACD 2．（25-26高一上·山东威海·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】解不等式，得；解不等式，得， 而集合真包含于集合， 所以“”是“”的必要不充分条件． 3．（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）设，则成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于两个集合来说，根据充分条件是找子集，必要条件是找集合，即可得到答案. 【详解】若集合是集合的必要条件，则， 所以在选项中使得成立的一个必要条件只有， 故选：A 4．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（   ） A．是的充分不必要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件 【答案】B 【分析】由充分条件、必要条件的概念逐个判断即可. 【详解】解：由已知有，，，，， 由此得且，故AC不正确； ，，故B正确； 且，故D不正确． 故选：B． 5．（25-26高一上·黑龙江鸡西·阶段检测）已知p是q成立的必要条件，q是r成立的充要条件，r是s成立的充分条件，s不是q成立的充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．p是r成立的充要条件 B．s是r成立的必要不充分条件 C．p是s成立的充分不必要条件 D．q是s成立的必要不充分条件 【答案】B 【分析】根据题给条件得出，据此对各选项进行逐一判断. 【详解】依题意得. 由得，但p不一定能推出r，充分性不一定满足，故A错. 由得，又，所以s是r成立的必要不充分条件，故B对. 由得，又，无法建立p与s的确切关联，即p不一定能推出s，s不一定能推出p，故C错； 因为，所以，又，所以q是s成立的充分不必要条件，故D错. 故选：B. 6．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，问题转化为两个集合的包含关系，可求实数的取值范围. 【详解】非空集合， 是的充分不必要条件，则有集合是集合的真子集，所以， 即实数的取值范围为. 7．（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【答案】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 【分析】根据代入方程，因式分解即可求证充分性成立，将代入方程中即可求证必要性． 【详解】略 8．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是的必要不充分条件，可得是的真子集，再分，和三种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系即可得解. 【详解】由，得或， 因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集， 当时，，符合题意； 当时，， 因为是的真子集，所以，解得； 当时，， 因为是的真子集，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 9．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来得到充分性，结合若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入得到不必要性，进而得到结果； 【详解】若小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来． 若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入， 所以“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的充分不必要条件． 故选：A. 10．（25-26高一上·云南楚雄·阶段检测）已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据已知条件，得出方程只有一个根或两个相等的实根，结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】若，则方程变为，即，解得， 方程有两个相等的实数根1，即仅有一个真子集， “”能推出“仅有1个真子集”，故充分性成立； 若“仅有1个真子集”，则“中仅有1个元素”， 当时，，解得，则仅有一个真子集， 当时，，解得，即也仅有一个真子集， “仅有1个真子集”不能推出“”，故必要性不成立． 故选：A． 素养提升 1．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高一下学期5月春季联赛数学试题）设集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先分别求解集合和集合，再根据交集的定义求出； （2）先分别求解集合和集合，再根据逻辑关系得到不等式组，解出即可. 【详解】（1）当 时，集合， 分式不等式等价于：， 解得：，即 ， 因为集合 ， 由 ， 解得： 或 ，即 ， 因此：. （2）因为，则， 解得：，即 ， 则， 由题意，“”是“”的必要不充分条件， 即 ，且 ，则， 因此：， 解得：，所以 2．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）因为命题为真命题，所以，解得 所以实数的取值范围是． （2）令，， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，解得， 综上所述，存在符合条件的实数，且实数的取值范围是． 3．（25-26高一上·四川成都·期中）数学的一些概念我们往往可以用生活中发生的故事来理解： 近期，某校校园论坛发生了一起网暴事件，请根据下面五个事实来完成以下题目： p： 蔡宇杰在朋友圈发了“独来独往的生活也很舒服”. q： 宋某将该朋友圈截图发至校园论坛. r： 宋某在帖子中附带蔡宇杰的照片并用特别恶毒的语言辱骂蔡宇杰. s： 论坛出现针对蔡宇杰的网络暴力. t： 宋某称自己“只是转发内容，没有鼓励网暴”. 经警方调查，确认 p、q、r、s 均为事实，t 是宋某的单方面辩解.在对应空格中填上“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”： （i）q 是 s 的________. （ii）r 是 s 的________. （iii）“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的________. 【答案】 必要不充分条件 充分不必要条件 必要不充分条件 【分析】利用充分条件和必要条件的定义逐项判断即可. 【详解】（i）在本题的情境中，网络暴力是截图加上恶毒的语言辱骂共同作用的结果，因此q 是 s 的不充分条件； 网络暴力是在校园论坛上发生的，其起因是宋某将蔡宇杰的朋友圈内容截图和转发行为，如果没有宋某的这一行为，该事件就不会发生，故q 是 s 的必要条件， 故q 是 s 的必要不充分条件； （ii）宋某在帖子中附带蔡宇杰的照片并用特别恶毒的语言辱骂蔡宇杰，这必然导致论坛出现针对蔡宇杰的网络暴力，所以r 是 s 的充分条件， 但网络暴力的产生不一定是由宋某的这一行为发生的，可能是其他人的行为发生的，所以r 是 s 的不必要条件， 故r 是 s 的充分不必要条件； （iii）宋某不直接辱骂，他有其他违法行为仍需承担责任，所以“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的不充分条件， 若宋某直接辱骂了，他显然是需承担责任的，所以“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的必要条件， 故“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的必要不充分条件. 4．（25-26高一上·河南新乡·期中）已知集合，. (1)若，求的取值集合； (2)若是的必要条件，求的取值集合； (3)若，求的取值集合. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由，利用元素与集合的关系即可求解； （2）由已知得，分和两种情况讨论即可； （3）由，得，解出即可求解. 【详解】（1）因为，由，所以， 解得， 所以的取值集合为； （2）由已知得，， ①若，则，解得； ②若，则，解得， 综上所述，的取值集合为或； （3）由，可得， 解得，则的取值集合为. 5．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 (3)当时，若与有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据命题p是真命题，则列式计算即可； （2）记，，依题意可得，即可得到不等式组，解之即得； （3）分命题为真，命题为假或命题为假，命题为真两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）因为命题是真命题， 所以． 即，解得， 所以实数a的取值范围是； （2）由（1）可知：， 记，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以或， 解得，所以实数的取值范围是； （3）当时，命题：， 当命题为真，命题为假时，此时； 当命题为假，命题为真时，此时； 综上，实数得取值范围为：或. 迁移创新 1．（25-26高一上·上海·阶段检测）有限集合S中元素的个数记作card(S)，设A，B都为有限集合给出下列命题： ①的充要条件是； ②的必要条件是； ③的充分条件是； ④的充要条件是.其中真命题的序号是（   ） A．③④ B．①② C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】对于①，由得到集合与集合两个集合中没有公共元素，则，说明必要性成立；由，则的元素个数等于的元素个数与的元素个数，说明集合与两个集合中没有公共元素，得到，则充分性成立.对于②，由可知集合A中的元素都是集合B中的元素，说明可以得到，则必要性成立.③特值法，取，，则满足，但不满足，说明充分性不成立； ④由可以推出，则必要性成立；特例法，取，，满足，但不满足，则充分性不成立. 【详解】对于①，，则集合与集合两个集合中没有公共元素，，必要性成立； ， 则的元素个数等于的元素个数与的元素个数， 集合与两个集合中没有公共元素，，充分性成立. ①正确； 对于②，，集合A中的元素都是集合B中的元素， 可以推出，必要性成立. ②正确； ③如果，，满足，但是不满足，充分性不成立，③错误； ④，，必要性成立；如果，，满足，但是不满足，充分性不成立，④错误； 故选：B. 2．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）已知是正实数集的一个子集，定义运算，使其满足下列4个条件：①，则“”的充要条件是“”；②，则“”的充要条件是“”；③，则“”的充要条件是“”；④，. (1)设集合，若，求的取值集合； (2)设，证明：“”的充要条件是“”； (3)设，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得不等式和，运算求解即可； （2）根据题中运算的定义，分充分性和必要性两个方面分析证明； （3）根据题意可得，进而分析可得，即可得结果. 【详解】（1）因为是正实数集的一个子集，，所以， 又因为，则，解得， 所以的取值集合为. （2）充分性：若，则，则由①可知， 故由，可得. 必要性：由，设， 若，则由，可得，由，可得，矛盾. 若，则由，可得，由，可得，符合题意. 若，则由，可得，由，可得，矛盾. 故由，可得. 综上可知：“”的充要条件是“”. （3）由④可知， 因为，则， 设，可知， 则，可得， 且，，可得，所以. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $