第04讲 充分条件与必要条件（3大知识点+7大题型）（讲义）-2026年新高一数学暑期衔接进阶讲义（人教A版2019）

第04讲 充分条件与必要条件 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念 3 知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断 3 知识点三：充要条件的证明 4 03 题型精讲举一反三 5 题型一：充分条件、必要条件与充要条件的判定 5 题型二：充分条件与必要条件的基本性质及应用 6 题型三：由充分条件确定参数的取值范围 8 题型四：由必要条件确定参数的取值范围 9 题型五：由充要条件确定参数的取值范围 11 题型六：充要条件的双向证明 13 题型七：探求命题成立的充要条件 15 04 过关测试 18 知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：． 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件． ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件． 知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到． ①“若，则”为真命题； ②是的充分条件； ③是的必要条件 以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达． 知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件． 从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件． 知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论， ③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件． 知识点三：充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 知识点诠释：对于命题“若，则” ①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题； ②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题； ③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题． 题型一：充分条件、必要条件与充要条件的判定 例1．（2026·高一·上海奉贤·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 例2．（2026·高二·安徽·学业考试）设，，则（    ） A．既是的充分条件，也是的必要条件 B．是的充分条件，但不是的必要条件 C．是的必要条件，但不是的充分条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 例3．（2026·高一·江苏常州·阶段检测）下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， 变式1．（2026·高一·江西·阶段检测）“为整数” 是 “为整数” 的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2．（2026·高一·山东菏泽·阶段检测）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（   ） A．是的充分不必要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件 题型二：充分条件与必要条件的基本性质及应用 例4．（2026·高一·上海·期中）下列是成立的一个充分非必要条件的是（　　） A． B． C． D． 例5．（2026·高一·河北·阶段检测）已知条件或，则使得条件p成立的一个充分不必要条件是（   ） A．或 B．或 C．或 D． 例6．（2026·高一·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 变式3．（2026·高一·湖南衡阳·阶段检测）已知条件，则使得条件成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C．或 D． 变式4．（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）下面四个条件中，使成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 题型三：由充分条件确定参数的取值范围 例7．（2026·高一·河北保定·期中）已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 例8．（2026·高一·陕西渭南·期末）设全集，集合，. (1)当时，求; (2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围. 例9．（2026·高一·湖南娄底·期末）设全集，集合，. (1)若，求集合； (2)命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 变式5．（2026·高一·福建三明·阶段检测）已知全集，集合，. (1)若，求，； (2)若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围. 变式6．已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 题型四：由必要条件确定参数的取值范围 例10．（2026·高一·上海·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 例11．（2026·高一·广东深圳·期末）已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 例12．（2026·高一·陕西宝鸡·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 变式7．（2026·高一·四川凉山·期末）已知集合或． (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 变式8．设， (1)用列举法表示集合A并写出集合A的所有子集； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的值. 题型五：由充要条件确定参数的取值范围 例13．（2026·高一·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 例14．（2026·高一·广东东莞·阶段检测）已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 例15．已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 变式9．（2026·高二·陕西咸阳·阶段检测）已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 变式10．（2026·高一·湖南郴州·阶段检测）设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 题型六：充要条件的双向证明 例16．已知，证明：“”是“”的充要条件. 例17．（2026·高一·上海·阶段检测）（1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是 例18．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）设集合. (1)11和36是集合中的元素吗？若是，请说明理由. (2)证明：属于的两个整数，其积也属于； (3)写出“偶数（）属于”的一个充要条件并证明. 变式11．（2026·高一·上海·期中）已知A是R的非空真子集，如果对任意，都有，，则称A是封闭集. (1)判断集合，是否为封闭集，并说明理由； (2)命题p：若非空集合，是封闭集，则“”是“是封闭集”的充要条件.请判断命题p的真假，并说明理由. 变式12．（2026·高一·河北邢台·阶段检测）已知是正实数集的一个子集，定义运算，使其满足下列4个条件：①，则“”的充要条件是“”；②，则“”的充要条件是“”；③，则“”的充要条件是“”；④，. (1)设集合，若，求的取值集合； (2)设，证明：“”的充要条件是“”； (3)设，且，证明：. 题型七：探求命题成立的充要条件 例19．一元二次方程有两个异号实根的充要条件是______. 例20．关于的方程有两个负实根的充要条件是______． 例21．（2026·高一·上海·阶段检测）设x，，已知，则的一个充分必要条件是______. 变式13．写出关于，，的等式成立的一个充要条件：______． 变式14．（2026·高一·北京海淀·阶段检测）设、是任意两个集合，请写出一个“”的充分必要条件是________． 1．（25-26高一下·贵州毕节·期中）“”是“”成立的（   ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2．（25-26高一下·上海闵行·期中）设集合、是全集的两个子集，则是的（    ） A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 3．（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·云南昆明·模拟预测）已知的三条边长为a，b，c，则“是等边三角形”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高一下·安徽·开学考试）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·湖北孝感·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 8．（24-25高三·全国·一轮复习）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（25-26高一上·山东德州·阶段检测）“集合只有个真子集”的充分不必要条件有（ ） A． B． C． D． 10．（多选题）（25-26高一上·福建福州·期中）下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“为无理数”是“都为无理数”的必要不充分条件 C．是的充分不必要条件 D．设，则“”是“”的充要条件 11．（多选题）（25-26高一上·安徽阜阳·期中）“”的一个必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）命题“”是命题“”的____________条件． 13．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知命题：方程有实数根，命题：；那么是的________条件.（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件） 14．（24-25高一上·江苏南京·阶段检测）已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为______. 15．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知全集，集合，. (1)若，求和； (2)设：，：，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16．（25-26高一上·浙江温州·期中）已知集合或. (1)若，求及； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，，全集. (1)若，求； (2)若s：x∈A是t：x∈B的必要不充分条件，求实数的取值范围. 18．（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知集合． (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19．（25-26高一上·内蒙古乌海·阶段检测）设集合，全集． (1)若非空集合满足是的充分条件，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 充分条件与必要条件 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念 3 知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断 3 知识点三：充要条件的证明 4 03 题型精讲举一反三 5 题型一：充分条件、必要条件与充要条件的判定 5 题型二：充分条件与必要条件的基本性质及应用 6 题型三：由充分条件确定参数的取值范围 8 题型四：由必要条件确定参数的取值范围 9 题型五：由充要条件确定参数的取值范围 11 题型六：充要条件的双向证明 13 题型七：探求命题成立的充要条件 15 04 过关测试 18 知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：． 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件． ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件． 知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到． ①“若，则”为真命题； ②是的充分条件； ③是的必要条件 以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达． 知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件． 从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件． 知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论， ③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件． 知识点三：充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 知识点诠释：对于命题“若，则” ①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题； ②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题； ③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题． 题型一：充分条件、必要条件与充要条件的判定 例1．（2026·高一·上海奉贤·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【解析】若，则，故“”是“”的充分条件， 若，则，故“”是“”的必要条件， 综上可得：“”是“”的充要条件. 例2．（2026·高二·安徽·学业考试）设，，则（    ） A．既是的充分条件，也是的必要条件 B．是的充分条件，但不是的必要条件 C．是的必要条件，但不是的充分条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 【答案】C 【解析】由可得或， 命题不一定推出命题，命题不是命题的充分条件； 命题可推出命题，命题是命题的必要条件， 是的必要不充分条件． 故选：C. 例3．（2026·高一·江苏常州·阶段检测）下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， 【答案】D 【解析】对于A，若则或，则， 所以不是的充分条件，故A不符合； 对于B，若，则且或且，则， 所以不是不充分条件，故B不符合； 对于C，若关于的方程有两个实数解， 则，解得且， 则，所以不是不充分条件，故C不符合； 对于D，在中，可得， 则，所以是的充分条件，故D符合. 故选：D. 变式1．（2026·高一·江西·阶段检测）“为整数” 是 “为整数” 的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，为整数，故不一定是整数，而当是整数时，一定是整数，所以“为整数”是“为整数”的必要不充分条件. 故选：A. 变式2．（2026·高一·山东菏泽·阶段检测）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（   ） A．是的充分不必要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件 【答案】B 【解析】由已知有，，，，， 由此得且，故AC不正确； ，，故B正确； 且，故D不正确． 故选：B． 题型二：充分条件与必要条件的基本性质及应用 例4．（2026·高一·上海·期中）下列是成立的一个充分非必要条件的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A,由于不能推出，故A错误， 对于B,由可得，故可得，但可得，无法得到，故是成立的一个充分不必要条件，B正确， 对于C，由可得，由于无法得知的符号，所以无法确定，故C错误， 对于D, ，故是成立的充分必要条件，D错误， 故选：B 例5．（2026·高一·河北·阶段检测）已知条件或，则使得条件p成立的一个充分不必要条件是（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【解析】使得条件p成立的一个充分不必要条件应为或的真子集， 只有或满足要求. 故选：. 例6．（2026·高一·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】“能扫天下”一定得到“能扫一屋”， 所以“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件. 故选：A. 变式3．（2026·高一·湖南衡阳·阶段检测）已知条件，则使得条件成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】由题意得，解得或， 故使得条件成立的一个充分不必要条件应为或的真子集， 其中满足要求，其他选项不满足. 故选：A 变式4．（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）下面四个条件中，使成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，“”能推出“”，但“”不能推出“”，故满足题意； 对于B，“”不能推出“”，故选项B不是“”的必要条件，不满足题意； 对于C，“”不能推出“”，故选项B不是“”的必要条件，不满足题意； 对于D，“”不能推出“”，故选项C不是“”的必要条件，不满足题意. 故选：A. 题型三：由充分条件确定参数的取值范围 例7．（2026·高一·河北保定·期中）已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）已知，或，若， 则A的所有元素都不在B中，可得不等式组： ， 解得，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则，即A的所有元素都属于B， 因此有两种情况： ① ，此时，解得； ② ，此时，解得， 综上，m的取值范围是或. 例8．（2026·高一·陕西渭南·期末）设全集，集合，. (1)当时，求; (2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围. 【解析】（1）当时，集合， 又因为全集，所以， 因为集合，所以 （2）因为“”是“”的充分条件，所以. 又因为集合，，所以. 即的取值范围为. 例9．（2026·高一·湖南娄底·期末）设全集，集合，. (1)若，求集合； (2)命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1），， 所以或，； （2）因为是的充分不必要条件，所以且， 所以，其中等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围是. 变式5．（2026·高一·福建三明·阶段检测）已知全集，集合，. (1)若，求，； (2)若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 因为，所以；； （2）若“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集， 当时，，此时，满足是的真子集， 当时，则，解得：，且和不能同时成立， 综上所述：实数a的取值范围为. 变式6．已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】命题对应集合， 命题对应集合或， 若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 则有或，解得或，即， 又，故的取值范围为. 题型四：由必要条件确定参数的取值范围 例10．（2026·高一·上海·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）若，则，得； 若，则， 因为，所以或，得或，则， 综上，实数的取值范围为； （2）因为，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 则，且等号不同时成立，得， 故实数的取值范围为. 例11．（2026·高一·广东深圳·期末）已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【解析】（1）当时，， 因为，所以或，. （2）因为“”是“”的必要不充分条件，则集合B是集合A的真子集， 当时，，解得； 当时，要使集合B是集合A的真子集，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 例12．（2026·高一·陕西宝鸡·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 【解析】（1），当时， 所以； （2）由（1）得，， 因为是的必要条件，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 变式7．（2026·高一·四川凉山·期末）已知集合或． (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以或或 所以， 或 （2）因为是的必要不充分条件，则是的真子集． 则或，所以或， 所以实数m的取值范围为或. 变式8．设， (1)用列举法表示集合A并写出集合A的所有子集； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的值. 【解析】（1）由题可知集合中元素满足方程，解得或， 即集合所以集合的所有子集是，，，. （2）因为“”是“”的必要条件，所以， 当时，无解，则； 当时，，则； 当时，，则， 综上所述，实数的值为或或 题型五：由充要条件确定参数的取值范围 例13．（2026·高一·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 【解析】（1）∵是的必要条件，故， ∴，解得， 即所求实数m的取值范围是. （2）∵若是的充要条件，则， ∴，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. 例14．（2026·高一·广东东莞·阶段检测）已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 【解析】（1）若存在实数，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数，使得是成立的充要条件. （2）因为，所以，故， 由是成立的必要不充分条件，得真包含于， 所以且不等式组的两个等号不同时取得，解得，又， 所以的取值范围为. 例15．已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【解析】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 变式9．（2026·高二·陕西咸阳·阶段检测）已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）要使是的充要条件，需使， 即，此方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． （2）要使是的必要条件，需使． 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，要使，则有 ，解得，所以． 综上可得，当实数时，是的必要条件． 变式10．（2026·高一·湖南郴州·阶段检测）设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 【解析】（1）集合， 即； （2）由已知，， 若是的充要条件，则， ， . 题型六：充要条件的双向证明 例16．已知，证明：“”是“”的充要条件. 【解析】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 例17．（2026·高一·上海·阶段检测）（1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是 【解析】（1）关于的一元二次方程. 因为，所以无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）必要性：若关于的方程有一个根为1，则， 充分性：若， 则关于的方程有一个根为1， 所以关于的方程有一个根为1的充要条件是； 例18．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）设集合. (1)11和36是集合中的元素吗？若是，请说明理由. (2)证明：属于的两个整数，其积也属于； (3)写出“偶数（）属于”的一个充要条件并证明. 【解析】（1）因为，，所以，； （2）设这两个整数分别为， 则集合中的元素， 所以． 因为，所以， ，则成立. （3）“偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数． 充分性：因为k为偶数，所以设，所以， 而，所以满足集合， 所以偶数属于M． 必要性：因为偶数属于M，所以． 因为，所以与有相同的奇偶性． 因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数． 变式11．（2026·高一·上海·期中）已知A是R的非空真子集，如果对任意，都有，，则称A是封闭集. (1)判断集合，是否为封闭集，并说明理由； (2)命题p：若非空集合，是封闭集，则“”是“是封闭集”的充要条件.请判断命题p的真假，并说明理由. 【解析】（1）是封闭集，不是封闭集，理由如下： 对于集合，因，故是封闭集； 对于集合，因， 故集合不是封闭集． （2）真命题，理由如下： 若，不妨任取，则有， 又集合是封闭集，则，同理， 因此，即是封闭集； 反之，若是封闭集，则是非空集合，即， 故是是封闭集的充要条件，命题是真命题． 变式12．（2026·高一·河北邢台·阶段检测）已知是正实数集的一个子集，定义运算，使其满足下列4个条件：①，则“”的充要条件是“”；②，则“”的充要条件是“”；③，则“”的充要条件是“”；④，. (1)设集合，若，求的取值集合； (2)设，证明：“”的充要条件是“”； (3)设，且，证明：. 【解析】（1）因为是正实数集的一个子集，，所以， 又因为，则，解得， 所以的取值集合为. （2）充分性：若，则，则由①可知， 故由，可得. 必要性：由，设， 若，则由，可得，由，可得，矛盾. 若，则由，可得，由，可得，符合题意. 若，则由，可得，由，可得，矛盾. 故由，可得. 综上可知：“”的充要条件是“”. （3）由④可知， 因为，则， 设，可知， 则，可得， 且，，可得，所以. 题型七：探求命题成立的充要条件 例19．一元二次方程有两个异号实根的充要条件是______. 【答案】 【解析】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 故答案为： 例20．关于的方程有两个负实根的充要条件是______． 【答案】 【解析】充分性：由题意可得，即得，充分性成立； 必要性：若，则此时， 满足方程有两个负实根，必要性成立． 故关于的方程有两个负实根的充要条件是充要条件是． 故答案为： 例21．（2026·高一·上海·阶段检测）设x，，已知，则的一个充分必要条件是______. 【答案】 【解析】因为 ， 所以的一个充分必要条件是. 故答案为： 变式13．写出关于，，的等式成立的一个充要条件：______． 【答案】 【解析】将等式整理得， 即，即． 故原式的等价于：． 故答案为： 变式14．（2026·高一·北京海淀·阶段检测）设、是任意两个集合，请写出一个“”的充分必要条件是________． 【答案】（只需与等价即可）. 【解析】， 所以，“”的充分必要条件是“”. 故答案为：（只需与等价即可）. 1．（25-26高一下·贵州毕节·期中）“”是“”成立的（   ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【解析】由题可得，，充分性不成立；，必要性成立 2．（25-26高一下·上海闵行·期中）设集合、是全集的两个子集，则是的（    ） A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】D 【解析】若，可得，但集合不一定等于全集，所以充分性不成立； 例如：设全集，集合， 此时满足，但集合不是集合的子集，所以必要性不成立， 综上可得，是的既非充分也非必要条件. 3．（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则 ，是充分条件， 若，则推不出， 比如： 也可以， 所以“”是“”的充分不必要条件. 4．（2026·云南昆明·模拟预测）已知的三条边长为a，b，c，则“是等边三角形”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为 且且是等边三角形， 所以“是等边三角形”是“”的充要条件. 5．（25-26高一下·安徽·开学考试）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若，解得，即等价于. 对于选项A：因为集合与集合之间不存在包含关系， 可知是的既不充分也不必要条件，故A错误； 对于选项B：因为集合与集合相等， 可知是的充要条件，故B错误； 对于选项C：因为集合是集合的真子集， 可知是的充分不必要条件，故C正确； 对于选项D：因为集合是集合的真子集， 可知是的必要不充分条件，故D错误. 6．（25-26高一上·湖北孝感·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】先讨论充分性： 当时，，故能推出； 当时，，由得，故，即能推出， 所以“”是“”充分条件成立； 再讨论必要性： 取，此时满足，但不满足， 所以必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7．设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 8．（24-25高三·全国·一轮复习）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由不等式，可得（不合题意）， 要使得是的一个充分条件， 则满足，解得. 故选：D. 9．（多选题）（25-26高一上·山东德州·阶段检测）“集合只有个真子集”的充分不必要条件有（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】因为集合只有个真子集，所以集合中有个元素， 因为，则有： 当时，， 当时，， 当时，， 因集合中只有个元素，则， 所给选项中：，， 所以只有C和D中的范围符合充分不必要条件， 故选：CD. 10．（多选题）（25-26高一上·福建福州·期中）下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“为无理数”是“都为无理数”的必要不充分条件 C．是的充分不必要条件 D．设，则“”是“”的充要条件 【答案】CD 【解析】对于A，令，则，所以充分性不成立， 若，则一定有，所以必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故A错误； 对于B，令，则为无理数，但为有理数，故充分性不成立， 令，则，所以必要性不成立， 综上，“为无理数”是“都为无理数”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C，因为，所以，充分性成立， 当时，比如，但， 故不一定推出，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，由，可得， 解得，故“”是“”的充要条件，故D正确. 故选：CD 11．（多选题）（25-26高一上·安徽阜阳·期中）“”的一个必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】设，选项对应的集合为N， 因为题中所求的是“”的一个必要不充分条件，所以M是N的真子集， 是的真子集； 故选:AC. 12．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）命题“”是命题“”的____________条件． 【答案】必要不充分 【解析】设命题，命题， 由推不出，如时，满足，但， 所以充分性不满足； 由能推出， 因为，即， 所以且， 所以是的必要不充分条件. 即命题“”是命题“”的必要不充分条件. 13．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知命题：方程有实数根，命题：；那么是的________条件.（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件） 【答案】必要不充分 【解析】因为命题：方程有实数根， 所以，，即或， 因为命题：， 所以是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 14．（24-25高一上·江苏南京·阶段检测）已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为______. 【答案】 【解析】根据题意可知，若p是q的充分不必要条件需满足，解得； 但且两端等号不同时成立，所以，即； 因此实数m的取值范围为. 故答案为： 15．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知全集，集合，. (1)若，求和； (2)设：，：，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）全集，集合， 若，则， 则，或， 则； （2）设：，：，若是成立的必要不充分条件，则， 当时，，即，符合题意； 当时，则需满足，且两等号不能同时取得，解得， 故实数的取值范围为. 16．（25-26高一上·浙江温州·期中）已知集合或. (1)若，求及； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，或，由，得或， 所以或，或. （2）由是的充分不必要条件，得是的真子集， 当时，，解得，满足是的真子集，因此； 当时，或，解得或， 所以实数的取值范围为或. 17．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，，全集. (1)若，求； (2)若s：x∈A是t：x∈B的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）若，则，所以，或， 所以； （2）因为“”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集. 若，则，解得； 若，则需满足，解得， 综上，实数的取值范围是或. 18．（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知集合． (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）当a=0时， 或 解不等式得集合， 所以或 （2）由是的充分不必要条件， 可得：是的真子集， 当即时，，符合， 当时，则，二三式等号不能同时取到， 解得：， 综上：实数的取值范围是. 19．（25-26高一上·内蒙古乌海·阶段检测）设集合，全集． (1)若非空集合满足是的充分条件，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）因为非空集合满足是的充分条件，所以， 所以，解得， 所以的取值范围是. （2）当时，满足，此时，则； 当时，因为，则需满足或，解得， 综上所述，的取值范围是. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $