1.5全称量词与存在量词讲义（4知识点+11题型）-2025-2026学年第一学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

1.5 全称量词与存在量词 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 全称量词与全称量词命题 全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 注意点： (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定. (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”. 知识点2 存在量词与存在量词命题 存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的、对某些 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 注意点： (1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题. (2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 知识点3 全称量词命题的否定 1.全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，¬p(x).也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题. 2.常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n+1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 注意点： 总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定.一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假. 知识点4 存在量词命题的否定 1.存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x).即，存在量词命题的否定是全称量词命题. 2.存在量词命题否定的关注点 (1)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定. (2)存在量词命题的否定既要改变量词，又要否定结论，即∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x). 思路方法总结 1.全称量词命题及其真假的判断 (1)判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个，任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别. (2)若证明全称量词命题“∀x∈M，p(x)”为真命题，就要证明集合M中每个元素x，都能使p(x)成立；若证明全称量词命题“∀x∈M，p(x)”为假命题，则需要举个反例，即在集合M中找到一个元素，使p(x)不成立. 2.存在量词命题及其真假的判断 (1)判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有“存在一个，至少有一个，有些，有一个，对某些，有的”等表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别. (2)若证明存在量词命题“∃x∈M，p(x)”为真命题，则只要在集合M中找到一个元素x，使 p(x)成立即可；若集合M中的所有的元素，都不能使结论成立，则可判断命题是假命题. 3.命题的否定的关注点 (1)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定. (2)全称量词命题的否定既要改变量词，又要否定结论，所以找出全称量词并明确结论是关键. (3)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定. (4)存在量词命题的否定既要改变量词，又要否定结论，即∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x). 4.依据含量词命题的真假求参数的取值范围 (1)含参数的全称量词命题为真时，常将问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，通过列不等式(组)求解. (2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，借助根的判别式来求解. (3)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为假的问题，通常转化为存在量词命题“∃x∈M，a≤y(或a≥y)”为真的问题. (4)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为假的问题，转化为全称量词命题“∀x∈M，a≤y(或a≥y)”为真的问题. 典例·举一反三 题型一 全称量词命题的判断 1．下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 【答案】B 【分析】由全称量词的定义逐项判断即可． 【详解】选项A，含有存在量词“存在一个”，该命题是存在量词命题，所以A错误； 选项B，含有全称量词“每个”，该命题是全称量词命题，所以B正确； 选项C，含有存在量词“至少有一个”，该命题是存在量词命题，所以C错误； 选项D，含有存在量词“有些”，该命题是存在量词命题，所以D错误． 故选：B． 2．下列命题为全称量词命题的是（    ） A．存在实数，使得 B．有的有理数的立方是无理数 C．有一个实数的绝对值是负数 D．任意三角形的内角和都是 【答案】D 【分析】根据全称，特称命题的概念依次判断选项即可. 【详解】对选项A，为存在量词命题， 对选项B，为存在量词命题， 对选项C，为存在量词命题， 对选项D，为全称量词命题. 故选： 3．下列语句不是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以零都等于零 B．素数都是奇数 C．高一（）班绝大多数同学是团员 D．凡是过去，皆为序章 【答案】C 【分析】由全称命题的定义，全称命题为含有全称量词的命题，由此对四个选项进行分析，即可得到答案． 【详解】命题“任意一个实数乘以零都等于零”，含有全称量词，故A是全称量词命题； B中命题可改写为：任意的素数都是奇数，含有全称量词，故B是全称量词命题； C中命题可改写为：高一()班存在部分同学是团员，不含全称量词，C不是全称量词命题； D中命题可改写为：所有已经发生的事，都是过去的事，含全称量词，故D是全称量词命题． 故选：C. 4．下列命题中：①任意一个正方形都是中心对称图形；②所有三角形都有外接圆；③存在，使得；④任意一个菱形都是平行四边形． 其中全称量词命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据特称命题及全称命题定义判断即可. 【详解】常见的“任意”“所有”“一切”等均为全称量词，所以命题①②④为全称量词命题,③为特称量词命题． 故选：C. 5．下列命题是全称量词命题的是（    ） A． B．存在一个菱形的四条边不相等 C．偶数的平方是偶数 D．至少有两个合数小于7 【答案】C 【分析】根据全称量词的特征即可得答案. 【详解】解：对于A，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意； 对于B，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意； 对于C，命题为：所有偶数的平方是偶数，此命题为全称命题，符题意； 对于D，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意. 故选：C. 题型二 全称量词改写命题 6．用量词符号“”表述下列命题． (1)对任意成立； (2)对所有实数，方程恰有一个解； 【答案】(1)． (2)方程恰有一解． 【分析】根据全称量词命题书写形式进行书写 【详解】（1）． （2）方程恰有一解． 7．将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（　　） A．∀x，y∈R，都有x2+y2≥2xy B．∃x，y∈R，都有x2+y2≥2xy C．∀x＞0，y＞0，都有x2+y2≥2xy D．∃x＜0，y＜0，都有x2+y2≤2xy 【答案】A 【分析】根据两个实数变量x，y的取值对不等式成立无影响，再结合全称命题的定义改写即可． 【详解】因对于任意实数x，y，不等式x2+y2≥2xy都成立，于是将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题为：“，都有x2+y2≥2xy”. 故选：A 8．根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为 . ，，，， 【答案】 【分析】根据所给关系式可得到等式右侧部分的规律为：. 【详解】，， ，，根据所给四个式子可得到规律 ，所以. 故答案为：. 9．用量词“∀”表达下列命题： (1)实数都能写成小数形式; (2)凸n边形的外角和等于360°; (3)任意一个实数乘 都等于它的相反数． 【答案】(1)，x能写成小数形式． (2)是凸n边形， ，且}，x的外角和等于360°． (3)， ． 【分析】根据全称命题以及特称命题的形式，即可求解. 【详解】（1），x能写成小数形式． （2）是凸n边形， ，且}，x的外角和等于360°． （3）， ． 10．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 (3)答案见详解 【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题的定义判断，再用符号表示即可． 【详解】（1）全称量词命题．表示为，． （2）存在量词命题．表示为一次函数，它的图象过原点． （3）全称量词命题．表示为二次函数，它的图象的开口都向上． 题型三 全称量词命题的真假判断 11．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（    ） A． B．为奇数 C．所有菱形的四条边都相等 D．是无理数 【答案】C 【分析】利用全称量词命题的定义，结合真假判断逐项分析即可. 【详解】对于A，因为，该命题是全称量词命题，不是真命题，不符合题意； 对于B，该命题是存在量词命题，不是全称量词命题，不符合题意； 对于C，易知该命题是全称量词命题，且是真命题，符合题意； 对于D，该命题不是全称量词命题，不符合题意． 故选：C． 12．命题“矩形都有外接圆”是（   ） A．全称量词命题、真命题 B．全称量词命题、假命题 C．存在量词命题、真命题 D．存在量词命题、假命题 【答案】A 【分析】根据全称量词命题的定义判断即可. 【详解】命题“矩形都有外接圆”即所有的矩形都有外接圆，为全称量词命题，且为真命题. 故选：A 13．下列命题既是真命题又是全称量词命题的是（    ） A．直角三角形的内角是锐角或直角 B．至多有一个实数，使 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数，使 【答案】A 【分析】根据全称命题及真假分别判断各个选项即可. 【详解】直角三角形的内角是锐角或直角,原命题为真命题，属于全称量词命题，A正确； 当时，满足，原命题为真命题且是存在量词命题，B错误； 存在，原命题为全称量词命题且为假命题，C错误； 对于任意一个负数，都有，原命题为存在量词命题且为假命题，D错误． 故选：A. 14．下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的定义即可知选项CD不合题意，再判断出命题真假即可得出结论. 【详解】对于A，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题， 例如2是素数，但2是偶数，所以A错误； 对于B，易知“，”是全称量词命题， 且由可得，所以是真命题，即B正确； 对于C，“有一个实数，使”是存在量词命题，不合题意； 对于D，“有些平行四边形是菱形”是存在量词命题，不合题意； 故选：B 15．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（         ） A．矩形的对角线互相平分且相等 B．对任意非正数c，若，则 C．有些菱形不是平行四边形 D．对任意实数x，不等式恒成立 【答案】ABD 【分析】ABD选项，为全称量词命题，且可推出为真命题；C选项为存在量词命题，错误. 【详解】A选项，矩形的对角线互相平分且相等，为全称量词命题，且是真命题，A正确； B选项，对任意非正数c，若，则，为全称命题，且是真命题，B正确； C选项，有些菱形不是平行四边形为存在量词命题，C错误； D选项，对任意实数x，不等式恒成立，为全称量词命题， 因为，故不等式恒成立，为真命题，D正确. 故选：ABD 题型四 全称量词命题真假求参数 16．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由其否定为真命题，通过求解即可； 【详解】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 17．若命题：“，”.使命题为假命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由命题为真求出的范围，再结合选项求出命题为假命题的必要不充分条件. 【详解】，，而，当且仅当时取等号，则， 因此命题，命题为假命题时，， 由给定的选项知，集合真包含于集合， 所以使命题为假命题的一个必要不充分条件是. 故选：A 18．已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对，和分类讨论，即可得到的取值范围. 【详解】若，则对有，不满足条件； 若，则对任意有，满足条件； 若，则对有，不满足条件. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 19．已知集合，集合或，全集. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）由集合的交集和并集的定义运算即可； （2）由已知可得，进而得到或，求解即可. 【详解】（1）当时，， 因为或， 所以，或； （2）因为“，都有”是真命题，所以， 因为集合，集合或， 所以或， 即或，所以实数的取值范围. 20．已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件得是的真子集，列不等式组即可求解； （2）根据已知条件得是的子集，讨论和，列不等式组即可求解； （3）讨论和，列不等式组即可求解. 【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集， 当时，，得； 当时，，不等式组无解， 综上实数的取值范围为； （3）若， 当时，，得； 当时，或，解得或无解， 综上， 所以实数的取值范围为. 题型五 存在量词命题的判断 21．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题： (1)负数没有倒数； (2)至少有一个整数，它既能被2整除；又能被5整除； (3){x|x是无理数}，是无理数； (4)，则. 【答案】(1)全称量词命题 (2)存在量词命题 (3)全称量词命题 (4)全称量词命题 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题定义判断即可 【详解】（1）负数没有倒数是“任意负数没有倒数”，有全称量词是全称量词命题 （2）至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；有存在量词“至少有一个”是存在量词命题 （3）{x|x是无理数}，是无理数；有全称量词是全称量词命题 （4），则.有全称量词是全称量词命题 22．下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是偶数 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的定义即可得出答案． 【详解】D含有存在量词，至少有一个，为存在量词命题， ABC含有全称量词：任意的或者包含所有的意思，为全称量词命题. 故选：D 23．下列命题中的存在量词命题是（   ） A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的定义求解即可. 【详解】对于A，含有量词所有，为全称量词命题，故A错误； 对于B，含有量词每一个，为全称量词命题，故B错误； 对于C，含有量词有的，为存在量词命题，故C正确； 对于D，含有量词任意，为全称量词命题，故D错误. 故选：C. 24．下列命题属于存在量词命题的是（    ） A．任意一个自然数都是整数 B．有的菱形是正方形 C．梯形有两边平行 D．， 【答案】BD 【分析】根据存在量词及全称量词的定义判断各个选项即可. 【详解】任意一个自然数都是整数中有全称量词是全称命题，A错误； 有的菱形是正方形有存在量词有的，B正确； 梯形有两边平行是全称命题，C错误； ,有存在量词，是存在量词命题，D正确. 故选：BD. 25．下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以0都等于0 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 【答案】D 【分析】利用存在量词命题的定义求解即可. 【详解】存在量词命题指含有存在量词的命题， 故“一定存在没有最大值的二次函数”为存在量词命题，故D正确； 其他选项不含存在量词，故ABC错误. 故选：D. 题型六 存在量词改写命题 26．命题“，”不可以表述为（    ） A．有一个，使得 B．对有些，使得 C．任选一个，使得 D．至少有一个，使得 【答案】C 【分析】,意为存在实数使得成立,故逐个选项判断即可. 【详解】“”是存在量词符号，与“有一个”、“有些”、“至少有一个”表示的含义相同， 但是“任选一个”是全称量词，所以C的表述不正确， 故选：C. 27．用量词符号“”表述下列命题． (1)有些整数既能被整除，又能被整除； (2)某个四边形不是平行四边形． 【答案】(1)，既能被整除，又能被整除； (2)，不是平行四边形． 【分析】根据存在量词命题的表示形式即可得解. 【详解】（1）因为存在量词命题的形式为“存在中的元素，”，用符号表示为“，”, 所以原命题表述为：，既能被整除，又能被整除； （2）原命题表述为：，不是平行四边形. 28．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 【答案】(1)全称量词命题，符号表示为 (2)存在量词命题，符号表示为 (3)全称量词命题，符号表示为 (4)存在量词命题，符号表示为,的值随的增大而增大． 【分析】（1）（2）（3）（4）根据全称命题、特称命题的定义及形式求解． 【详解】（1）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （2）这是存在量词命题，符号表示为； （3）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （4）这是存在量词命题，符号表示为，的值随的增大而增大． 29．用量词符号表述下列命题： (1)任意一个实数乘以都等于它的相反数； (2)对任意实数，都有； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【答案】(1) (2) (3)且. (4)｛四边形｝，｛平行四边形｝ 【分析】根据全称量词命题或存在量词命题的知识写出正确答案. 【详解】（1）. （2）. （3）且. （4）｛四边形｝，｛平行四边形｝. 30．用符号“∀”“∃”表示下列含有量词的命题： （1）自然数的平方大于零； （2）存在一对整数，使2x＋4y＝3； （3）存在一个无理数，它的立方是有理数． 【答案】（1）∀x∈N，x2>0；（2）∃x∈Z，y∈Z，2x＋4y＝3；（3）∃x∈R，x∉Q，x3∈Q. 【分析】利用全称量词命题和存在量词命题的符号语言表示. 【详解】（1）∀x∈N，x2>0； （2）∃x∈Z，y∈Z，2x＋4y＝3； （3）∃x∈R，x∉Q，x3∈Q. 【点睛】本题主要考查全称量词命题和存在量词命题表示，属于基础题. 题型七 存在量词命题的真假 31．下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（    ） A．所有正方形都是菱形 B．，使 C．至少有一个实数，使 D．，使 【答案】C 【分析】先判断量词，再判断量词命题的真假即可得解. 【详解】A，所有正方形都是菱形为全称量词命题，故A错误； B，，使为存在量词命题， 而恒成立，该命题为假命题，故B错误； C，至少有一个实数，使为存在量词命题， 当时，方程成立，该命题为真命题，故C正确； D，，使为存在量词命题， 而恒成立，该命题为假命题，故D错误； 故选：C. 32．下列命题既是真命题又是存在量词命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】易判断AD是全称命题，赋值法可判断BC的真假. 【详解】选项A，D均不是存在量词命题，B，C均是存在量词命题， 当时，，故B为真命题， 当时，，故C为假命题. 故选：B. 33．下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有（    ） A．，使得方程成立 B．存在一个三角形，它的三个角都是锐角 C．至少有一个实数，使得 D．， 【答案】BC 【分析】利用存在量词命题的定义，含有存在量词的命题来判断；判断存在量词命题为真的判定方法即可判断． 【详解】由得，，所以该方程没有实数根，该命题为假命题，A错误； 含有存在量词“存在”，且锐角三角形的三个角都是锐角，B正确； 含有存在量词“至少有一个”，且当时，，C正确； 含有全称量词“”，D错误， 故选：BC． 34．（多选）已知命题，命题：所有能被4整除的数都是偶数，则（   ） A．是存在量词命题，是真命题 B．是存在量词命题，是假命题 C．是全称量词命题，是真命题 D．是全称量词命题，是假命题 【答案】AC 【分析】根据存在量词和全称量词命题的定义即可求解. 【详解】，又，故当时，等式成立，故命题是存在量词命题，是真命题； 能被4整除的数均能被2整除，故所有能被4整除的数都是偶数，命题是全称量词命题，是真命题． 故选：AC 35．下列命题中是假命题的个数为 ． （1）每一个末位是0的整数都是5的倍数； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （3）有些实数是无限不循环小数； （4）存在一个三角形不是等腰三角形． 【答案】0 【分析】（1）根据能被5整除的整数的判定方法即可判断出正误；（2）根据线段垂直平分线定理加以判断，可得答案；（3）根据实数的分类即可判断出正误；（4）举例即可判断正误． 【详解】（1）若一个整数的末位是0，则它可以被5整除， 故“每一个末位是0的整数都是5的倍数．”是真命题； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等， 根据线段的垂直平分线定理，可知它是真命题； （3）实数包含无理数，而无理数就是无限不循环小数， 故“有些实数是无限不循环小数”是真命题； （4）有的三角形不是等腰三角形，比如三个角分别为的直角三角形， 故“存在一个三角形不是等腰三角形”是真命题． 故假命题的个数为0. 故答案为：0 题型八 已知存在量词命题的真假求参数 36．若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：原命题为假，则其否定命题为真，因此写出其否定命题，结合恒成立求解即可； 解法二：先假设原命题为真，利用存在性成立求解后，再取相反面即可. 【详解】解法一：由于“，使得”是假命题， 则其否定：“，使得”是真命题，故， 又随着的增大而减小， 所以小于当时的最小值时，恒成立， 则，即． 解法二：当题中命题为真命题时，可得，使得成立， 所以大于或等于当时的最小值即可， 即，又该命题为假命题，所以． 故选：A. 37．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由“，”为真命题，从而得，即可求解. 【详解】由命题“，”为假命题，则由“，”为真命题， 则，因，所以，所以可得， 所以原命题为假命题的一个充分不必要条件是，故A正确. 故选：A. 38．已知命题“存在实数，使得不等式成立”为真命题，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由于命题是真命题，即不等式有解，则可通过求解，即可得结果. 【详解】由题意得，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：． 39．若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知方程无解，结合判别式运算求解即可. 【详解】因为命题“，使得成立”为假命题， 可知方程无解，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 40．已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得是的真子集，然后根据真子集关系列不等式组求解即可. （2）由已知条件得集合的关系，然后按照和分类讨论，根据子集关系列不等式组求解即可. （3）方法一：由题意，然后根据集合关系列不等式组求解即可． 方法二：由题意，先求时的取值范围，求解时按照和分类讨论，根据集合关系列不等式组求解，最后利用补集思想求解即可. 【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集． 当时，满足，此时，得； 当时，若，则，不等式组无解． 综上，实数的取值范围为． （3）方法一：“，”是真命题，则，所以，所以． 所以，解得，所以实数的取值范围为． 方法二：“，”是真命题，则． 当时，若，则； 若，则或，解得． 综上，当时，． 所以当时，，即实数的取值范围为． 题型九 全称量词命题的否定 41．设是奇数集，是偶数集，则“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】由题意知命题“”为全称命题，其否定为特称命题，即， 故选：D 42．命题，的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题直接求解即可. 【详解】由题意，根据全称量词命题的否定的定义有， 命题，的否定是，. 故选：A. 43．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是：，. 故选：B 44．命题“，”的否定为 （    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据含全称量词的命题的否定规则即得. 【详解】根据含全称量词的命题的否定规则，改变量词，否定结论即得：命题“，”的否定为“，”. 故选：C. 45．命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】解：因为，是全称量词命题， 所以其否定为存在量词命题，即，， 故选：D 题型十 存在量词命题的否定 46．命题：“，”的否定是（      ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用存在量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题：“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以所求的否定是：，. 故选：A 47．已知命题，使，其否定命题为（    ） A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 【答案】B 【分析】由特称命题的否定是将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】由特称命题的否定是全称命题，则原命题的否定，使. 故选：B 48．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，可直接得到答案. 【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以命题“，”的否定是： ，. 故选：C 49．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定. (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数y，满足； (3)所有的素数都是奇数； (4)方程的每一个根都是正数. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】由全称量词命题和存在量词命题的概念判定即可，再写出命题的否定即可. 【详解】（1）全称量词命题. 原命题的否定：存在整数的平方小于零. （2）存在量词命题. 原命题的否定：对任意的实数y，都有. （3）全称量词命题. 原命题的否定：存在素数不是奇数. （4）全称量词命题. 原命题的否定：方程至少有一个根不是正数. 题型十一 命题的否定的真假 50．已知命题p：，，命题q：，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【分析】结合存在量词和全称量词判断的真假，再判断各选项.. 【详解】当时，，所以为真命题， 当时，，所以为假命题， 所以为假命题，为真命题， 所以只有C正确， 故选：C. 51．已知命题是无理数是无理数；命题，使得是奇数，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】D 【分析】通过举特例可判断命题正误，推理判断命题的正误，结合命题否定含义可得答案. 【详解】对于命题，若是无理数，但是是有理数，所以命题是假命题，则是真命题； 对于命题由，因为和是两个连续的整数，则必是偶数，故命题是假命题，则为真命题. 故选：D. 52．已知命题p：“，”，则命题p的真假及命题p的否定分别为（   ） A．真命题，， B．真命题，， C．假命题，， D．假命题，， 【答案】B 【分析】求出的解，即可得出命题p的真假，进而写出命题p的否定. 【详解】由题意， 在命题p：“，”中， 因为，所以或， 故命题p为真命题，C，D错误； 命题p的否定为“，”，A错误，B正确． 故选：B. 53．关于命题“”，下列说法正确的是（    ） A．该命题是全称量词命题，且为真命题 B．该命题是存在量词命题，且为假命题 C． D． 【答案】AD 【分析】解不等式判断命题的真假，结合全称量词、存在量词命题的概念及全称量词命题的否定为存在量词命题得出答案. 【详解】对于A，B，命题“”为全称量词命题， 不等式的解集为， 则成立，所以该命题为真命题，故A正确，B错误； 对于C，D，，故C错误，D正确． 故选：AD. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5 全称量词与存在量词 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 全称量词与全称量词命题 全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 注意点： (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定. (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”. 知识点2 存在量词与存在量词命题 存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的、对某些 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 注意点： (1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题. (2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 知识点3 全称量词命题的否定 1.全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，¬p(x).也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题. 2.常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n+1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 注意点： 总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定.一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假. 知识点4 存在量词命题的否定 1.存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x).即，存在量词命题的否定是全称量词命题. 2.存在量词命题否定的关注点 (1)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定. (2)存在量词命题的否定既要改变量词，又要否定结论，即∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x). 思路方法总结 1.全称量词命题及其真假的判断 (1)判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个，任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别. (2)若证明全称量词命题“∀x∈M，p(x)”为真命题，就要证明集合M中每个元素x，都能使p(x)成立；若证明全称量词命题“∀x∈M，p(x)”为假命题，则需要举个反例，即在集合M中找到一个元素，使p(x)不成立. 2.存在量词命题及其真假的判断 (1)判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有“存在一个，至少有一个，有些，有一个，对某些，有的”等表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别. (2)若证明存在量词命题“∃x∈M，p(x)”为真命题，则只要在集合M中找到一个元素x，使 p(x)成立即可；若集合M中的所有的元素，都不能使结论成立，则可判断命题是假命题. 3.命题的否定的关注点 (1)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定. (2)全称量词命题的否定既要改变量词，又要否定结论，所以找出全称量词并明确结论是关键. (3)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定. (4)存在量词命题的否定既要改变量词，又要否定结论，即∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x). 4.依据含量词命题的真假求参数的取值范围 (1)含参数的全称量词命题为真时，常将问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，通过列不等式(组)求解. (2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，借助根的判别式来求解. (3)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为假的问题，通常转化为存在量词命题“∃x∈M，a≤y(或a≥y)”为真的问题. (4)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为假的问题，转化为全称量词命题“∀x∈M，a≤y(或a≥y)”为真的问题. 典例·举一反三 题型一 全称量词命题的判断 1．下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 2．下列命题为全称量词命题的是（    ） A．存在实数，使得 B．有的有理数的立方是无理数 C．有一个实数的绝对值是负数 D．任意三角形的内角和都是 3．下列语句不是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以零都等于零 B．素数都是奇数 C．高一（）班绝大多数同学是团员 D．凡是过去，皆为序章 4．下列命题中：①任意一个正方形都是中心对称图形；②所有三角形都有外接圆；③存在，使得；④任意一个菱形都是平行四边形． 其中全称量词命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列命题是全称量词命题的是（    ） A． B．存在一个菱形的四条边不相等 C．偶数的平方是偶数 D．至少有两个合数小于7 题型二 全称量词改写命题 6．用量词符号“”表述下列命题． (1)对任意成立； (2)对所有实数，方程恰有一个解； 7．将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（　　） A．∀x，y∈R，都有x2+y2≥2xy B．∃x，y∈R，都有x2+y2≥2xy C．∀x＞0，y＞0，都有x2+y2≥2xy D．∃x＜0，y＜0，都有x2+y2≤2xy 8．根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为 . ，，，， 9．用量词“∀”表达下列命题： (1)实数都能写成小数形式; (2)凸n边形的外角和等于360°; (3)任意一个实数乘 都等于它的相反数． 10．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上． 题型三 全称量词命题的真假判断 11．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（    ） A． B．为奇数 C．所有菱形的四条边都相等 D．是无理数 12．命题“矩形都有外接圆”是（   ） A．全称量词命题、真命题 B．全称量词命题、假命题 C．存在量词命题、真命题 D．存在量词命题、假命题 13．下列命题既是真命题又是全称量词命题的是（    ） A．直角三角形的内角是锐角或直角 B．至多有一个实数，使 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数，使 14．下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 15．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（         ） A．矩形的对角线互相平分且相等 B．对任意非正数c，若，则 C．有些菱形不是平行四边形 D．对任意实数x，不等式恒成立 题型四 全称量词命题真假求参数 16．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 17．若命题：“，”.使命题为假命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 18．已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 19．已知集合，集合或，全集. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 20．已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; (3)若，求实数的取值范围． 题型五 存在量词命题的判断 21．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题： (1)负数没有倒数； (2)至少有一个整数，它既能被2整除；又能被5整除； (3){x|x是无理数}，是无理数； (4)，则. 22．下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是偶数 23．下列命题中的存在量词命题是（   ） A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似 24．下列命题属于存在量词命题的是（    ） A．任意一个自然数都是整数 B．有的菱形是正方形 C．梯形有两边平行 D．， 25．下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以0都等于0 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 题型六 存在量词改写命题 26．命题“，”不可以表述为（    ） A．有一个，使得 B．对有些，使得 C．任选一个，使得 D．至少有一个，使得 27．用量词符号“”表述下列命题． (1)有些整数既能被整除，又能被整除； (2)某个四边形不是平行四边形． 28．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 29．用量词符号表述下列命题： (1)任意一个实数乘以都等于它的相反数； (2)对任意实数，都有； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 30．用符号“∀”“∃”表示下列含有量词的命题： （1）自然数的平方大于零； （2）存在一对整数，使2x＋4y＝3； （3）存在一个无理数，它的立方是有理数． 题型七 存在量词命题的真假 31．下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（    ） A．所有正方形都是菱形 B．，使 C．至少有一个实数，使 D．，使 32．下列命题既是真命题又是存在量词命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 33．下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有（    ） A．，使得方程成立 B．存在一个三角形，它的三个角都是锐角 C．至少有一个实数，使得 D．， 34．（多选）已知命题，命题：所有能被4整除的数都是偶数，则（   ） A．是存在量词命题，是真命题 B．是存在量词命题，是假命题 C．是全称量词命题，是真命题 D．是全称量词命题，是假命题 35．下列命题中是假命题的个数为 ． （1）每一个末位是0的整数都是5的倍数； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （3）有些实数是无限不循环小数； （4）存在一个三角形不是等腰三角形． 题型八 已知存在量词命题的真假求参数 36．若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 38．已知命题“存在实数，使得不等式成立”为真命题，则的取值范围是 ． 39．若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ． 40．已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 题型九 全称量词命题的否定 41．设是奇数集，是偶数集，则“”的否定是（   ） A． B． C． D． 42．命题，的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 43．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 44．命题“，”的否定为 （    ） A．， B．， C．， D．， 45．命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 题型十 存在量词命题的否定 46．命题：“，”的否定是（      ） A．， B．， C．， D．， 47．已知命题，使，其否定命题为（    ） A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 48．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 49．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定. (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数y，满足； (3)所有的素数都是奇数； (4)方程的每一个根都是正数. 题型十一 命题的否定的真假 50．已知命题p：，，命题q：，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 51．已知命题是无理数是无理数；命题，使得是奇数，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 52．已知命题p：“，”，则命题p的真假及命题p的否定分别为（   ） A．真命题，， B．真命题，， C．假命题，， D．假命题，， 53．关于命题“”，下列说法正确的是（    ） A．该命题是全称量词命题，且为真命题 B．该命题是存在量词命题，且为假命题 C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$