湖南张家界市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

2026年普通高中二年级第二学期期末考试 数学 ◎⑥ 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 姓名 女 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 尔 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将 半 答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 炮 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 ⊙ 0 准考证号 报 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 批 有一项是符合题目要求的。 排 1.样本数据3,7,11,7,13,15的第40百分位数为 9 A.7 B.9 C.11 D.12 梨 考室号 价 2.已知a=(m,-2),b=(2,1),且a⊥b,则|a-2b|= 邮 A.5 B.4 C.25 D.5 长 3 女 3. 己知sina= 2π 则cos(π-a)= 洲 尔 A号 c D 座位号 料 4.曲线y=f(x)在点(1，f()处的切线如图所示，则f'(1)-∫()= 绿 A.0 0 B.2 解 C.-2 长 D.-1 考点名称 ☒ 5.已知抛物线x2=4y上的一点M(x。y%)与焦点间的距离为3，则yo的值为 A.1 B.2 C.23 D. 16 然 6.已知x=2026是函数f(x)=(x-2025)(x-2026)(x-m)的一个极值点，则f(2027)= A.0 B.1 C.2 D.3 ◎⑥ 2026年普通高中二年级第二学期期末考试数学第1页（共4页） 7.一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市， 是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式 平台，自上而下一共2层，每层的塔数均不少于 上一层的塔数，总计108座.已知其中10层的塔 数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之 和为8，则第11层的塔数为 A.15 B.16 C.17 D.19 8.已知数据1,2,3,4，x(0<x<5)的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个， 则这2个数字之积大于5的概率为 C. 3-5 。名 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 Q,已知复数2名：则下列结论正确的有 A.z的虚部是i B.z的共轭复数是1-i C.z在复平面内对应的点在第二象限 D.|z=2 10.已知点P是圆0：x2+y2=4上一动点，点M(-3,0),点N(0,-4),则 A。点P到直线MN的距离的最大值为号 B.满足PM⊥PN的点P有2个 C.过点N作圆O的两条切线，切点分别为A,B,则直线AB的方程为y=-1 D.2PM+PW的最小值是2√10 11.已知点P是棱长为2的正方体ABCD-AB,C,D,表面上一动点，则下列结论正确的有 A.当P在线段CC上运动时，三棱锥B一ABP的体积为定值 B.当P在线段A,C,上运动时，直线DP与AC所成角的取值范围为 ππ 4'2 C.当P在底面A,B,CD上运动时，记AD的中点为E,若PE⊥BD,则PE的最 小值为√6 D.使直线AP与平面AB,CD所成角为45°的点P的轨迹长度为π+4√2 2026年普通高中二年级第二学期期末考试数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12。若椭圆等+片-1a>可)的焦距是2.则其离心率为 13.函数∫(x)=Asin(ox+p)(A>0,w>0,pl<π)的部分图象 如图所示，其中P传2为函数图象的-个最高点，Q(.0） 3π1 为函数图象与x轴的一个交点，则p的值为 14.在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的差（前项减后项)，形成新的数列， 我们把这样的操作称为该数列的一次“差扩充”.如数列2024,2026第1次“差 扩充”后得到数列2024，-2,2026，第2次“差扩充”后得到的数列2024,2026， -2,-2028,2026.设数列2024,2026经过第n次“差扩充”后所得数列的项数为 Pn,所有项的和为Sn,则log(Bo6+So5-1)的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分) 在△ABC中，角A,B,C对边分别为a,b,c,且sin2B+sin2C-3 sin Bsin C=sin2A. (I)求A: (2)若a=√7，b=1,求△ABC的面积. 16.（15分) 如图1所示的平行四边形ABCD中，CA=CB=1,CD=√互.现将△DAC沿AC 折起，使得点D到达点P的位置，且PB=√5，得到如图2所示的三棱锥P-ABC,记 M为棱PC的中点. 图1 图2 (1)求证：AM⊥BC: (2)记E为棱AB的中点，在直线CE上存在点N,使得PNI∥平面MAB.请确 定点N的位置，并求出二面角P-NB-A的大小. 2026年普通高中二年级第二学期期末考试数学第3页（共4页) 17.(15分) 某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一人，且每人 只派一次、如果一人闯关失败，再派下一人重新闯关：三人中只要有人闯关成功即视作 比赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分 别为P、P,、P,假定P,、P2、P互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立. 游 (若依次派甲、乙、丙进行阅关，且A寻=子A=宁求该小组比赛 出 胜利的概率： (2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，请写出所需派出的人数X的分布列，并求X a 的期望E(X): 洲 (3)己知1>P,>P2>P,若乙只能安排在第二个派出，要使派出人数的期望较小， 地 试确定甲、丙谁先派出 叫 湖 游 18.(17分) 已知点4〔，0)，B0,,双曲线C:若-量=1a>0,b>0经过点A,且C的 岌 9 条渐近线与直线AB平行，P为C上异于顶点的任意一点，A为C的左顶点. 为 (1)求C的方程； (2)求直线AP与AP的斜率之积； 时 (3)设2为C上异于顶点和点P的任意一点，且直线AP的斜率是直线AQ的斜 岸 率的3倍，证明：直线PQ恒过定点. 9 4g 19.（17分) 已知函数∫(x)的定义域为R.定义：若对任意x,x2∈R,当|x<x2|时， 鲱 ∫(x)<f(x2),则称函数f(x)具有“性质P”. (1)判断函数f(x)=e*是否具有“性质P”: ⊙ 杀 (2)若函数f(x)= ar,x≤0，具有“性质P”,求所有满足条件的实数a和b x+b,x>0 的值； 冷 (3)已知f(x)的值域为[0,1)，且在[0，+∞)上是严格增函数，证明：f(x)是偶函 阔 数的充要条件是∫(x)具有“性质P”. 2026年普通高中二年级第二学期期末考试数学第4页（共4页） 张家界市2026年普通高中二年级第二学期期末联考 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 题号 4 5 6 7 8 答案 D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BD BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2.2 1 13.-π 14.1013 6 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：(1)由sin2B+sin2C-V3 sin BsinC=sin2A,得b2+c2-V3bc=a2, …2分 ：cosA=2+c2-a2-36c-5 ……………4分 2bc 2bc 2 :A∈(0，元）.A∈(0，π)· …6分 (2)由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccosA, ………………………………7分 代入a=7,6=1,4-名，可得7=1+e-2c9 …………9分 整理得c2-√3c-6=0,解得c=25(舍负) …11分 △MBC的面积为S=bosin A=)x1x2N5×=日 ………………13分 2 22 16.(15分) (1)证明：因为CA=CB=DA=1,CD=AB=V2,CA+CB2=2=AB2, 所以∠ACB=90°，所以∠DAC=90°，即DA⊥AC,BC⊥CA ……1分 图2中，PA=DA=1,AB=V2,PB=V5 则PA2+AB2=3=PB2,所以PA⊥AB, …2分 又PA⊥AC,又AB,AC为平面ABC内两条相交直线， 所以PA⊥面ABC, …4分 又BCC面ABC,所以PA⊥BC …5分 又PA,AC为平面PAC内两条相交直线，所以BC⊥面PAC …6分 又AMC面ABC,所以AM⊥BC. ……7分 2026年普通高中二年级第二学期期末考试数学参考答案第1页（共4页） (2)解：存在点N,使得PF∥平面MAB, 理由：如图，以CF,CB为邻边，构造矩形ACBF,连接CF,易知CF过点E, …8分 因为E,M分别为CF,CP的中点，所以PFIIME …9分 又MEC平面MAB,PFa平面MAB,所以PF∥平面MAB, ……10分 即点F就是点N. …l分 由(I)知PA⊥平面ACBN,BNC平面ACBN,所以BN⊥PA …12分 又BN⊥AN,AN,PA是平面PAN内两条相交直线，所以BN⊥面PAN…I3分 又PNc平面PAN,所以PN⊥BN 又AN⊥BN,所以∠PNA为二面角P-NB-A的平面角·…I4分 因为PA⊥AN,PA=AN,所以∠PNA=45° 即二面角P-NB-A的大小为45°· …15分 解法2： Z (1)因为CA=CB=1,CD=V2,PB=V3,所以PA2+AC2=2=PC2, 所以∠PAC=90°且∠PAB=90° …2分 以CF,CB为邻边，构造矩形ACBF.以A为原点，AF,AC,AP所在直线 分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 …3分 则40o0o.ao,coo.02》 …5分 C→y 所以丽-2》c=(-100, …6分 则AM.BC=0,所以AM⊥BC …7分 (2)因为ACBF是矩形，所以BF⊥AF,E为CF中点， 则Poa),5方0ro0, …8分 所以丽-（分0》历=（←0 …9分 所以FP=2EM,即FP∥EM …10分 而EM在平面MAB内，FP在平面MAB外，所以PF∥平面MAB,即点F就是点N.…II分 由于PN⊥BN,AN⊥BN,所以∠PNA就是二面角P-NB-A的平面角 所以cos∠PNA= .A=1+0+0=2 …l4分 INPIINAI 21 2 所以∠PNA=45°，即二面角P-NB-A的大小为45°· …15分 17.（15分) 解： (1)设事件A表示“该小组比赛胜利”，则P(A)=三+×名+×x23 …5分 44343224 (2)由题意可知，X的所有可能取值为1,2,3， …6分 则P(X=I)=P1,P(X=2)=(1-P)P2,P(X=3)=(1-p1-P), …9分 所以X的分布为： X 1 2 3 p P (1-p)P2 (1-p)1-P2) 2026年普通高中二年级第二学期期末考试数学参考答案第2页（共4页） 所以E(X)=P,+2(1-B)P2+3(1-p)1-p2)=P2-2p,-P2+3: …10分 (3)若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为E, 由（2)可知，E=PP2-2p,-P2+3, 若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为E2, 则E2=P3P2-2P3-P3+3, …11分 则E,-E2=(pP2-2p,-P2+3)-(P3P2-2P3-P2+3)=PP2-2p-P3P2+2P =P2(p1-P3)-2(P,-P3)=(P-P)(P2-2), …13分 因为1>B,>P2>P,所以P,-P3>0,P2-2<0,所以E-E2<0,即E<E2,…14分 所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲. …15分 18.(17分) 解：(1)由C经过点A(3,0),得a=3. …2分 由。=昌有又因为双曲战C若-茶=0>06>0)一条渐近线与直线8平行， 所以合-分则6e1, …4分 故c的方程为。-y=1. …5分 9 2)设P(6W6.则普-片=1，即=普-1 …6分 易得A(-3,0),A(3,0) …7分 则：如产 -3’ …8分 -91， 所以kk如=4无3=9￥-99-9以。 即直线4P与P的斜率之积为) …10分 (3)证明：由2)知，kwkn写因为w=3站@，所以ken= …11分 设直线P2的方程为x=*m,代入号-少=1，得(a2-少2+2my+2-9=0, 则m2-9≠0且△=36(m2+n2-9）>0,即m2≠9且m2+n2>9.…12分 设(，)（≠3且5≠x),则%+%=-2m, m2- .…13分 因为k0ke=上2×业=y1 mg⅓= x-3x2-3(-3(8-3)27' 再将x=my+n,2=my2+n代入得：得(my+n-3)(m%2+n-3)=27y, 即(m2-27）yy2+m(n-3)(y+2)+(m-3y2=0, 所以(2-2n列号+me-39a-3求-0， …14分 因为直线P2不过点A(3,0),所以n*3,所以(m2-27)”+3 -2mn m2-9+mm2- +n-3=0,…15分 2026年普通高中二年级第二学期期末考试数学参考答案第3页（共4页） (m2-27)(n+3)-2m2n+(n-3)(m2-9）=0,化简整理得-36n-54=0,解得n=-3 …16分 所以直线P2的方程为x=my- ，枚直线P2恒过定点(-30 …17分 19.(17分) 解：(1)函数f(x)=e*不具有“性质P”, …2分 理由如下： 例如当x=-2,2=-3时，显然x<,成立， …3分 e4=e2,e=e3,根据指数函数的单调性可知e2>e3, …4分 所以有f(x)>f(x,),这与“性质p”矛盾，故函数f(x)=e不具有“性质P”. …5分 (2)因为函数∫(x)具有“性质P”,所以取x=0,有x=0<,于是有f(x)<f(x2),6分 当x2∈(0，+∞)时，由f(x)<f(x2)→0<x2+b→b≥0， 当x2∈(-o,0)时，由f(x)<f(x2)→0<ax2→a<0, …7分 若b>0,若[0则有)s)=a= 取x=-受>0→f6)片=+b>b2f6), 此时<，但是f(x)>f(),不符合“性质p”,所以b>0不符合题意， 故b=0,此时f(x)= 「ax,x≤0 x,x>01 …8分 若x>0,x<0,x<-x时，则>-1，由f(x)<f(x)→<a→点>a→a≤1， x, 若x<0,x>0,-<x时，则点<-1，由f)<fx)→a此<→点<a→a2-1,…9分 因此a=-1,综上所述：当且仅当a=-l,b=0时，满足条件. …10分 (3)充分性：若∫(x)具有“性质P”,则∫(x)是偶函数. 若存在x,>0,f(x)≠f(-x),不妨设∫(x)>f(-x), 记f()=M,f(-)=m,即M>m, 因为函数f(x)的值域为[0，)，所以0≤m<M<1, ……11分 若x<-xl,则有f(x)<f(-xo)=m, ……12分 若x>x,则有f(x)>f(x)=M, …13分 放对任意xeR,f“eD),这与的值装为Q)不后， 所以f(x)≠f(-x,)不成立，则有f(x)=∫(-x),因此函数f(x)是偶函数： …14分 必要性：若∫(x)是偶函数，则f(x)具有“性质P” 当<s时，因为f(x)在[0，+∞)上是严格增函数，所以∫(s)<f(x), …15分 又因为函数f(x)是偶函数， 所以由fxD<f(x→f()<八)，因此f(x)具有“性质P”. …16分 所以∫(x)是偶函数的充要条件是：(x)具有“性质P”· …17分 (注：如有其它解法请酌情给分.) 2026年普通高中二年级第二学期期末考试数学参考答案第4页（共4页）